固体金属中的扩散.
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固体金属的扩散
3.2 扩散方程（理论模型）
本节讨论扩散现象的宏观规律，可将金属看作是 连续介质，建立数学理论模型，用微分方程求解。
一、 扩散第一定律（适用 于稳态变化）
推导 ：设有一根固溶体合金棒
料，其沿长度方向存在着
浓度梯度如图3-1所示，则
经高温加热若干时间后因
溶质原子的迁移而逐渐达
到成分均匀。说明虽然单
个原子的运动无规则，但
也即：
dC
d
2D
d 2C
d2
0
(3-4)
解方程得：
C A e(2 4D)d B 0
令：
x
2 D 2 Dt
则：
C A2
D
e(2)d B A
x 2
Dt e(2 )d
B
0
0
(3ห้องสมุดไป่ตู้5)
定义误差函数
erf ( ) 2 e( 2 )d
0
erf ( ) erf ( ),erf () 1
一定的固溶度，能够溶入基体晶格，形成固溶体， 这样才能进行固态扩散。
扩散即原子由基态到激活态，并迁移到一定的 位置的现象。
二、固态扩散的类型：
➢按扩散过程中是否发生浓度变化分为：自扩散和 互扩散，自扩散即不伴随浓度变化的扩散，与浓度 梯度无关，只发生在纯金属和均匀固溶体中（如纯 金属的晶粒长大，大晶粒吞并小晶粒）；互扩散即 伴随有浓度变化的扩散，与异类原子的浓度差有关， 异类原子相互扩散，相互渗透，又称“化学扩散”。
C t
D
2C x2
(3-3)
四、 扩散第二定律的应用
例一：设有两根很长且截面均匀的合金棒对焊在 一起，棒A的浓度为 C2 ,棒B 的浓度为 C1 , C2 C1 假设棒为无限长，扩散系数D为恒值， 即对（3-3）式求解
本节讨论扩散现象的宏观规律，可将金属看作是 连续介质，建立数学理论模型，用微分方程求解。
一、 扩散第一定律（适用 于稳态变化）
推导 ：设有一根固溶体合金棒
料，其沿长度方向存在着
浓度梯度如图3-1所示，则
经高温加热若干时间后因
溶质原子的迁移而逐渐达
到成分均匀。说明虽然单
个原子的运动无规则，但
也即：
dC
d
2D
d 2C
d2
0
(3-4)
解方程得：
C A e(2 4D)d B 0
令：
x
2 D 2 Dt
则：
C A2
D
e(2)d B A
x 2
Dt e(2 )d
B
0
0
(3ห้องสมุดไป่ตู้5)
定义误差函数
erf ( ) 2 e( 2 )d
0
erf ( ) erf ( ),erf () 1
一定的固溶度，能够溶入基体晶格，形成固溶体， 这样才能进行固态扩散。
扩散即原子由基态到激活态，并迁移到一定的 位置的现象。
二、固态扩散的类型：
➢按扩散过程中是否发生浓度变化分为：自扩散和 互扩散，自扩散即不伴随浓度变化的扩散，与浓度 梯度无关，只发生在纯金属和均匀固溶体中（如纯 金属的晶粒长大，大晶粒吞并小晶粒）；互扩散即 伴随有浓度变化的扩散，与异类原子的浓度差有关， 异类原子相互扩散，相互渗透，又称“化学扩散”。
C t
D
2C x2
(3-3)
四、 扩散第二定律的应用
例一：设有两根很长且截面均匀的合金棒对焊在 一起，棒A的浓度为 C2 ,棒B 的浓度为 C1 , C2 C1 假设棒为无限长，扩散系数D为恒值， 即对（3-3）式求解
关于影响金属材料固态扩散的因素与控制
影响金属材料固态扩散的因素与控制摘要：由扩散第一定律可知，在浓度梯度一定时，原子扩散仅取决于扩散系数D。
对于典型的原子扩散过程，D符合Arrhenius公式，。
因此，D仅取决于D0、Q和T，凡是能改变这三个参数的因素都将影响扩散过程。
关键词：温度，因素，扩散，组元，系数一，温度由扩散系数表达式看出，温度越高，原子动能越大，扩散系数呈指数增加。
以C 在γ-Fe中扩散为例，已知D0=2.0×10-5m2/s，Q=140×103J/mol，计算出927℃和1027℃时C的扩散系数分别为1.76×10-11m2/s，5.15×10-11m2/s。
温度升高100℃，扩散系数增加三倍多。
这说明对于在高温下发生的与扩散有关的过程，温度是最重要的影响因素。
应该注意，有些材料在不同温度范围内的扩散机制可能不同，那么每种机制对应的D和Q不同，D便不同。
在这种情况下，～并不是一条直线，而是由若干条直线组成的折线。
例如，许多卤化物和氧化物等离子化合物的扩散系数在某一温度会发生突变，反映了在这一温度以上和以下受到两种不同的机制控制。
图3.15表示出Na+离子在NaCl晶体中扩散系数的实验值。
其中，高温区发生的是以点缺陷扩散为主的本征扩散，低温区发生的是以夹杂产生或控制的缺陷扩散为主的非本征扩散。
二，成分1，组元性质原子在晶体结构中跳动时必须要挣脱其周围原子对它的束缚才能实现跃迁，这就要部分地破坏原子结合键，因此扩散激活能Q和扩散系数D必然与表征原子结合键大小的宏观或者微观参量有关。
无论是在纯金属还是在合金中，原子结合键越弱，Q越小，D越大。
合金中的情况也一样。
考虑A、B组成的二元合金，若B组元的加入能使合金的熔点降低，则合金的互扩散系数增加；反之，若能使合金的熔点升高，则合金的互扩散系数减小，在微观参量上，凡是能使固溶体溶解度减小的因素，都会降低溶质原子的扩散激活能，扩散系数增大。
第八章扩散
右跳动的几率将大于向左跳动的几率，在同一时间内， 向右跳过去的原子数大于反向跳回来的原子数，大量 原子无序跃迁的统计结果，就造成物质的定向传输， 即发生扩散。所以，扩散不是原子的定向跃迁过程， 扩散原子的这种随机跃迁过程，被称为原子的随机行 走。
扩散现象和本质
图8-3 对称和倾斜的势能曲线
扩散现象和本质
呈正弦波形变化（图8-12b）。
扩散应用举例
（一）铸锭（件）的均匀化退火
图8-12 铸锭中的枝晶偏析a）及溶质 原子在枝晶二次轴之间的浓度分布b）
扩散应用举例
（二）金属的粘接
1.
钎焊是连接金属的一
种方法。钎焊时，先将零
件（母材）搭接好，将钎
料安放在母材的间隙内或
间隙旁（图8-13），然后
将它们一起加热到稍高于
三、固态金属扩散的条件
扩散过程都是在扩散驱动力作用下进行的，如 果没有扩散驱动力，也就不可能发生扩散。墨水向 周围水中的扩散，锡向钢表面层中的扩散，其扩散 过程都是沿着浓度降低的方向进行，使浓度趋于均 匀化。相反，有些杂质原子向晶界的偏聚，使晶界 上的杂质浓度要比晶内高几倍至几十倍，又如共析 转变和过饱和固溶体的分解，扩散过程却是沿着浓 度升高的方向进行。可见，浓度梯度并不是导致扩 散的本质原因。
扩散现象和本质
应当指出，固态扩散是大量原子无序跃迁的统计 结果。在晶体的周期势场中，原子向各个方向跃迁的 几率相等，这就引不起物质传输的宏观扩散效果。如 果晶体周期场的势能曲线是倾斜的（图8-3），那么
原子自左向右跃迁的激活能为Q，而自右向左的激活 能在数值上为Q+ΔG（图8-3c）。这样一来，原子向
固态金属扩散的条件
（一）扩散要有驱动力
从热力学来看，在等温等压条件下，不管浓度 梯度如何，组元原子总是从化学位高的地方自发地 迁移到化学位低的地方，以降低系统的自由能。只 有当每种组元的化学位在系统中各点都相等时，才 达到动态平衡，宏观上再看不到物质的转移。当浓 度梯度与化学位梯度方向一致时，溶质原子就会从 高浓度地区向低浓度地区迁移；相反，当浓度梯度 与化学位梯度不一致时，溶质原子就会朝浓度梯度 相反的方向迁移。可见，扩散的驱动力不是浓度梯 度，而是化学位梯度。
扩散现象和本质
图8-3 对称和倾斜的势能曲线
扩散现象和本质
呈正弦波形变化（图8-12b）。
扩散应用举例
（一）铸锭（件）的均匀化退火
图8-12 铸锭中的枝晶偏析a）及溶质 原子在枝晶二次轴之间的浓度分布b）
扩散应用举例
（二）金属的粘接
1.
钎焊是连接金属的一
种方法。钎焊时，先将零
件（母材）搭接好，将钎
料安放在母材的间隙内或
间隙旁（图8-13），然后
将它们一起加热到稍高于
三、固态金属扩散的条件
扩散过程都是在扩散驱动力作用下进行的，如 果没有扩散驱动力，也就不可能发生扩散。墨水向 周围水中的扩散，锡向钢表面层中的扩散，其扩散 过程都是沿着浓度降低的方向进行，使浓度趋于均 匀化。相反，有些杂质原子向晶界的偏聚，使晶界 上的杂质浓度要比晶内高几倍至几十倍，又如共析 转变和过饱和固溶体的分解，扩散过程却是沿着浓 度升高的方向进行。可见，浓度梯度并不是导致扩 散的本质原因。
扩散现象和本质
应当指出，固态扩散是大量原子无序跃迁的统计 结果。在晶体的周期势场中，原子向各个方向跃迁的 几率相等，这就引不起物质传输的宏观扩散效果。如 果晶体周期场的势能曲线是倾斜的（图8-3），那么
原子自左向右跃迁的激活能为Q，而自右向左的激活 能在数值上为Q+ΔG（图8-3c）。这样一来，原子向
固态金属扩散的条件
（一）扩散要有驱动力
从热力学来看，在等温等压条件下，不管浓度 梯度如何，组元原子总是从化学位高的地方自发地 迁移到化学位低的地方，以降低系统的自由能。只 有当每种组元的化学位在系统中各点都相等时，才 达到动态平衡，宏观上再看不到物质的转移。当浓 度梯度与化学位梯度方向一致时，溶质原子就会从 高浓度地区向低浓度地区迁移；相反，当浓度梯度 与化学位梯度不一致时，溶质原子就会朝浓度梯度 相反的方向迁移。可见，扩散的驱动力不是浓度梯 度，而是化学位梯度。
固体材料中的原子扩散机制扩散系数及影响因素解析
Diffusion couple Q (cal /mol ) D0 (cm2/s )
C in FCC iron 32900
0.23
C in BCC iron 20900
0.011
N in FCC iron
34600
0.0034
N in BCC iron
18300
0.0047
空位机制扩散
• 不同温度下存在不同的空位平衡浓度CV，借助空 位扩散的合金，温度越高越有利于扩散
（2）
Z为配位数，ν为振动频率
• 如果扩散原子在三维空间内跃迁，每跳跃一步的距离为dx，在推导菲
克第D一=定(1律/6时) ·，f·令（dx）2
（3）
• 将式2代入式3，得
D=(1/6)·(dx)2·Z·ν·exp(ΔS/R）·exp(-ΔE/RT）=
（4）
D为D间0·隙ex固p(溶-Δ体E/R中T溶）质原子的扩散系数，D0为扩散常数
7.2.3 空位机制扩散
• 空位总会存在，存在空位 • 使一个熵原增子加在空位旁边，它就可
能跳进空位中，这个原子原来 的位置变成空位，另外的邻近 原子占据新形成的空位，使空
• 位在继置续换运动式，固这溶就是体空中位机制
扩散
溶剂原子与溶质原子半径 相差不
大，很难进行间隙扩散， 主要依靠
原子和空位的交换位置进 行扩散
Energy
扩散需要能量－扩散激活能
Substitutional (Vacancy)
Qv
Q i Interstitial
Activation energy of diffusion
1.Qi＜Qv, lower Q indicates easy diffusion • 2.diffusion couple • 3.diffusion data for selected materials （See Table）
固体金属的扩散课件
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感谢观看
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ANALYSIS
SUMMAR Y
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CATALOG
DAห้องสมุดไป่ตู้E
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
固体金属扩散的实验研 究方法
实验研究方法概述
• 实验研究方法是通过观察和实验来研究固体金属扩散现象的一 种方法。这种方法可以提供直接、客观的数据，帮助我们深入 了解固体金属扩散的规律和机制。
实验研究方法分类
直接观察法
通过显微镜等设备直接观察固体 金属在扩散过程中的变化，记录 相关数据。这种方法可以提供直 观的证据，但实验条件要求较高
SUMMAR Y
06
固体金属扩散的前沿研 究进展
前沿研究进展概述
固体金属扩散是材料科学领域的重要研究内容，涉及到金属材料的制备、加工、 性能优化等方面。近年来，随着科技的不断进步，固体金属扩散的研究取得了显 著的进展。
新的实验技术和计算模拟方法的出现，为研究固体金属扩散提供了更深入、更全 面的认识。同时，随着新材料、新工艺的不断涌现，固体金属扩散的应用前景也 越来越广泛。
。
物理模拟法
通过模拟实际环境中的温度、压 力等条件，研究固体金属在模拟 环境下的扩散行为。这种方法可 以模拟实际工况，但实验条件难
以完全控制。
化学分析法
通过化学分析手段，测定固体金 属在扩散过程中的成分变化，从 而推断扩散行为。这种方法可以 提供较为准确的数据，但实验过
程较为繁琐。
实验研究方法应用实例
前沿研究进展分类
实验研究
利用先进的实验设备和技术，如原子力显微镜、X射线衍 射、中子散射等，对固体金属扩散进行微观观测和表征， 揭示扩散机制和扩散行为。
金属冶炼中的扩散与固溶行为
扩散：金属元 素在熔体中的 迁移过程，影 响金属的熔炼
和凝固
固溶：金属元 素在熔体中的 溶解过程，影 响金属的熔炼
和凝固
扩散与固溶的 相互作用：影 响金属的熔炼 和凝固，影响 金属的性质和
性能
扩散与固溶对 金属冶炼的影 响：影响金属 的熔炼和凝固， 影响金属的性 质和性能，影 响金属的加工
和成型
扩散与固溶在金 属冶炼中的实际 应用案例
扩散的种类和影响因素
扩散种类： 包括自扩 散、互扩 散和杂质 扩散
影响因素： 温度、压 力、浓度 梯度、晶 体结构、 杂质浓度 等
扩散速率： 与温度、 浓度梯度、 晶体结构 等因素有 关
扩散机制： 包括空位 机制、间 隙机制和 替位机制
扩散现象： 包括晶界 扩散、晶 格扩散和 表面扩散 等
扩散应用： 在金属冶 炼、半导 体制造等 领域有广 泛应用
固溶体的应用：固溶体广泛应 用于合金材料中，提高材料的 性能和稳定性
固溶的种类和影响因素
固溶种类：固溶体、金属间化合物、 金属间化合物固溶体
固溶作用：提高金属的强度、硬度、 耐磨性、耐腐蚀性等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
影响因素：温度、压力、时间、合 金成分、晶格常数、晶格缺陷等
固溶机理：原子扩散、位错运动、 晶格畸变等
扩散在金属冶炼中的应用
合金化：通过扩散使不同金属 元素均匀混合，形成合金
晶粒生长：通过扩散使晶粒长 大，提高金属的强度和韧性
相变：通过扩散使金属中的相 变发生，形成新的相
缺陷修复：通过扩散使金属中 的缺陷得到修复，提高金属的 稳定性和可靠性
扩散过程的控制因素
温度：温度越 高，扩散速度
越快
物理冶金原理：5-扩散
D = Do × e-Q/RT Ln D = ln Do－Q/RT
Ln Do 斜率 k = Q/R 求出Q
Ln D
1/T
几种典型扩散现象
• 下坡扩散Down-Hill Diffusion ： • 上坡扩散 Up-Hill Diffusion:
•Down-Hill Diffusion
DA, DB
Vacancy Mechanism:
Diffusion of Substitutional Solute Atoms
空位机制：置换式溶质原子
（置换式原子的扩散就是空位的反向运动）
空位机制：置换式溶质原子
（置换式原子的扩散就是空位的反向运动）
间隙机制：间隙溶质原子 Interstitial Mechanism:
元素原子自扩散激活能与元素熔点的关系 Q = k . Tm
元素原子自扩散激活能与元素熔点的关系 Q = k . Tm
晶 体 结 构 的 影 响
影响扩散的因素
• 晶体缺陷密度： 空位浓度: 过饱和空位（固溶后不能停留太长时间） 位错及层错密度：是扩散的快速通道 晶界（晶粒尺寸）: 纳米材料（表面纳米化－渗氮） 相界:
• 温度足够高：能量起伏、热激活 • 时间足够长：大量原子微观上无规
则跃迁、物质的定向传输 • 存在驱动力（浓度梯度、化学位梯
度、应变能梯度、表面能梯度）
扩散对材料科学与工程的意义
材料合成、制备、加工、使用过程都是控制 扩散的过程：
• 固态相变与热处理过程： • 凝固加工（铸造、焊接、…….) • 成形热加工（热锻、热轧、热挤压, ……) • 高温力学行为及氧化、腐蚀等性能： • 粉末冶金烧结： • 表面化学热处理与表面渗工艺， • 扩散连接, …….
Ln Do 斜率 k = Q/R 求出Q
Ln D
1/T
几种典型扩散现象
• 下坡扩散Down-Hill Diffusion ： • 上坡扩散 Up-Hill Diffusion:
•Down-Hill Diffusion
DA, DB
Vacancy Mechanism:
Diffusion of Substitutional Solute Atoms
空位机制：置换式溶质原子
（置换式原子的扩散就是空位的反向运动）
空位机制：置换式溶质原子
（置换式原子的扩散就是空位的反向运动）
间隙机制：间隙溶质原子 Interstitial Mechanism:
元素原子自扩散激活能与元素熔点的关系 Q = k . Tm
元素原子自扩散激活能与元素熔点的关系 Q = k . Tm
晶 体 结 构 的 影 响
影响扩散的因素
• 晶体缺陷密度： 空位浓度: 过饱和空位（固溶后不能停留太长时间） 位错及层错密度：是扩散的快速通道 晶界（晶粒尺寸）: 纳米材料（表面纳米化－渗氮） 相界:
• 温度足够高：能量起伏、热激活 • 时间足够长：大量原子微观上无规
则跃迁、物质的定向传输 • 存在驱动力（浓度梯度、化学位梯
度、应变能梯度、表面能梯度）
扩散对材料科学与工程的意义
材料合成、制备、加工、使用过程都是控制 扩散的过程：
• 固态相变与热处理过程： • 凝固加工（铸造、焊接、…….) • 成形热加工（热锻、热轧、热挤压, ……) • 高温力学行为及氧化、腐蚀等性能： • 粉末冶金烧结： • 表面化学热处理与表面渗工艺， • 扩散连接, …….
固体在金属中的扩散
固体在⾦属中的扩散第三章固体⾦属中的扩散物质的迁移可通过对流可扩散两种⽅式进⾏。
在⽓体和液体中物质的迁移⼀般是通过对流和扩散来实现的。
但在固体中不发⽣对流，扩散是唯⼀的物质迁移⽅式，其原⼦或分⼦由于热运动不断地从⼀个位置迁移到另⼀个位置。
扩散是固体材料中的⼀个重要现象，诸如⾦属铸件的凝固及均匀化退⽕，冷变形⾦属的回复和再结晶，陶瓷或粉末冶⾦的烧结，材料的固态相变，⾼温蠕变，以及各种表⾯处理等等，都与扩散密切相关。
要深⼊地了解和控制这些过程，就必须先掌握有关扩散的基本规律。
研究扩散⼀般有两种⽅法：①表象理论——根据所测量的参数描述物质传输的速率和数量等；②原⼦理论——扩散过程中原⼦时如何迁移的。
本章主要讨论固体材料中扩散的⼀般规律、扩散的影响因素和扩散机制等内容。
固体材料设计⾦属、陶瓷和⾼分⼦化合物三类；⾦属中的原⼦结合是以⾦属键⽅式；陶瓷中的原⼦结合主要是以离⼦键⽅式为主；⽽⾼分⼦化合物中的原⼦结合⽅式是共价键或氢键结合，并形成长链结构，这就导致了三种类型固体中原⼦或分⼦扩散的⽅式不同，描述它们各⾃运动⽅式的特征也是本章的主要⽬的之⼀。
3.1扩散定律及其应⽤3.1.1菲克第⼀定律当固体中存在着成分差异时，原⼦将从浓度⾼处向浓度低处扩散。
如何描述原⼦的迁移速率，阿道夫?菲克(Adolf Fick）对此进⾏了研究，并在1855年久得出：扩散中原⼦的通量与质量浓度梯度成正⽐，即该⽅程称为菲克第⼀定律或扩散第⼀定律。
其中，J为扩散通量，表⽰单位时间内通过垂直于扩散⽅向x的单位⾯积的扩散物质质量，其单位为kg⁄(㎡·s)；D为扩散系数，其单位为㎡⁄s；⽽ρ是扩散物质的质量浓度，其单位为kg⁄m3。
式中的负号表⽰物质的扩散⽅向与质量浓度梯度dρ⁄dx⽅向相反，即表⽰物质从⾼的质量浓度区向低的质量浓度区⽅向迁移。
菲克第⼀定律描述了⼀种稳态扩散，即质量浓度不随时间⽽变化。
史密斯(R.P.Smith)在1953年发表了运⽤菲克第⼀定律测定碳在у-Fe中的扩散系数的论⽂，他将⼀个半径为r，长度为l的纯铁空⼼圆筒置于1000℃⾼温中渗碳，即筒内和筒外分别渗碳和脱碳⽓氛，经过⼀定时间后，筒壁内各点的浓度不再随时间⾯变化，满⾜稳态扩散的条件，此时，单位时间内通过管壁的碳量q⁄t为常数。
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菲克第一定律：扩散中原子的通量与质量浓度梯度 成正比。 C J D x 式中： J：扩散通量，表示单位时间内通过垂直于扩 散方向x的单位面积的扩散物质流量,单位为 kg/m2· s； D：扩散系数，单位为m2/s， C：扩散物质的质量浓度，单位为kg/m2。 负号表明物质的扩散方向与质量浓度梯度方 向相反，即表示物质从高的质量浓度区向低的质 量浓度区方向迁移。
故物质的积存速率为
J A J1 A J 2 A dx x
该积存速率也可用体积元中 扩散物质质量浓度随时间的 变化率表示，因此可得
CAd x J Adx t x
C J t x
将菲克第一定律代入上式，可得
C C (D ) t x x
菲克第一定律可 直接描述了稳态扩散， 即质量浓度不随时间 而变化 。
C C 2 C1 D J D x x
假设D与浓度无关。
c1
H2
x 例1
c2
利用一薄膜从气流中分离氢气。在稳定状态时，薄 膜一侧的氢浓度为0.025mol/m3,另一侧的氢浓度为 0.0025mol/m3，并且薄膜的厚度为100μm。假设氢通过 薄膜的扩散通量为2.25×10-6mol/（m2s），求氢的扩散 系数。
第四章
重点内容：
晶态固体中的扩散
1、固体中质点扩散的特点和扩散动力学方程：扩散 第一、第二定律、扩散方程的求解； 2、扩散驱动力及扩散机制：间隙扩散、置换扩散、 空位扩散； 3、扩散系数、扩散激活能、影响扩散的因素。
扩散(diffusion)：原子或分子的迁移现象称 为扩散。扩散的本质是原子依靠热运动从一个位 置迁移到另一个位置。 物质的迁移可通过对流和扩散两种方式进行。
1. 高斯解 把总量为M的扩散元素沉积成非常薄的薄层，
夹在两个厚度为“无限”的全同试样之间进行扩散，
近似取沉积层的厚度为零，则方程（4.2）的
初始条件
边界条件 其解为:
t＝ 0时
t≥0时
x＝0
x≠0 x＝±∞
C=∞C=0 C=0 x2 M C x, t exp 4 Dt 2 Dt
扩散的分类 （1）根据有无浓度变化 自扩散：原子经由自己元素的晶体点阵而迁移的扩散。 (如纯金属或固溶体的晶粒长大-无浓度变化) 互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩 散。（有浓度变化） （2）根据扩散方向 下坡扩散：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩散。 上坡扩散：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩散。 （3）根据是否出现新相 原子扩散：扩散过程中不出现新相。 反应扩散：由之导致形成一种新相的扩散。
（4.4）
若沉积物是置于试样表面的薄层， 只向x﹥0处扩散，则其解应为
x2 M C x, t exp Dt 4 Dt
（4.5）
适用于薄膜材料的扩散问题。
2. 误差函数解
在t时间内，试样表面扩散组元i的浓度Cs 被维持为常数，试样中i组元的原始浓度为Co， 则方程（4.2）的 初始条件 t＝0时 x ﹥0 C=Co 边界条件 t≥0时 x ＝0 C=Cs x＝∞ C=Co 其解为
二、菲克第二定律
大多数扩散过程是非稳态扩散，即在扩散过程 中任一点的浓度随时间而变化（ dc/dt≠0 ）。
解决这类扩散问题，可由第一定律结合质量守 恒条件，推导出菲克第二定律来处理。 如图表示在垂至于物质运动的方向x上，取一个 截面积均为A, 长度为dx的体积元，设流入及流出此 体积元的扩散物质通量J1和J2，由质量平衡可得： 流入速率－流出速率＝积存速率
C1 C 2 C1 C 2 x C ( x, t ) erf （4.7） 2 2 2 Dt
低碳钢高温奥氏体渗碳是提高钢表面性能和 降低生产成本的重要工艺。此时，原始碳质量浓 度为C0的渗碳零件可被视为半无限长扩散体。假 定渗碳一开始，渗碳源表面就达到渗碳气氛的碳 质量浓度CS，由公式（4.6）可求得一定渗碳时间 后，距零件表面不同位置的含碳量。 在渗碳工艺中，常以给定碳浓度作为渗碳层 的界限，若给定值C，则
（4）按原子的扩散方向分：
体扩散：在晶粒内部进行的扩散；
表面扩散：在表面进行的扩散称为；
晶界扩散：沿晶界进行的扩散称为。
表面扩散和晶界扩散的扩散速度比体扩散要 快得多，一般称前两种情况为短路扩散。还有沿 位错线的扩散，沿层错面的扩散等。
第一节
扩散的宏观规律
一、菲克第一定律 当固体中存在着成分差异是时，原子将从浓 度高处向浓度低处扩散，如何描述原子的迁移速 率，阿道夫· 菲克（A. Fick)在1885年得出定律。
气、液体中物质的迁移一般是通过对流和扩散 来实现的。
固体中不发生对流，扩散是唯一的物质迁移方 式。其原子或分子由于热运动不断地从一个位置 迁移到另一个位置。
water
adding dye partial mixing homogenization
time
扩散现象:原子或离子迁移的微观过程以及由此 引起的宏观现象。 半导体掺杂 固溶体的形成 离子晶体的导电 扩散 固相反应 相变 烧结 材料表面处理 材料科学与工程中许多现象——烧结、氧化、 蠕变、沉淀、化学热处理以及许多相变过程都与扩 散密切相关。
x C ( x, t ) C S (C S C 0 )erf 2 Dt
（4.6）
适用于半无限长物体扩散问题。
式中 erf ( )( x ) 称为误差函数，与给定β 2 Dt 值相对应的误差函数值可由表 4－1查得。
把扩散组元浓度分别为C1、C2的两块“无限” 大的试样对接在一起，构成扩散偶进行扩散，称无 限长物体的扩散问题。则方程（4.2）的 初始条件 t＝0时 x ﹥0 C=C1 x﹤0 C=C2 边界条件 t≥0时 x＝∞ C=C1 x ＝ -∞ C=C2 其解为
（4.2）
该方程为菲克第二定律定律。如果假定D与浓 度无关，则上式可简化为 （4.3） 菲克第二定律表达了扩散元素浓度与时间及位 置的一般关系。三维表达式为：
三、扩散方程的解
对于非稳态扩散，则需对菲克第二定律 按所研究问题的初始条件和边界条件求解。
常用的扩散第二方程的解有： 高斯解 误差函数解
正弦解