(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测卷(答案解析)(1)
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一、选择题
1.已知0a >,0b >,2ab =,则42a b +的最小值为( )
A .
B .4
C .
D .8
2.现有以下结论: ①函数1
y x x
=+
的最小值是2; ②若a 、b R ∈且0ab >,则
2b a
a b
+≥;
③
y =2;
④函数()4
230y x x x
=-->的最小值为2-. 其中,正确的有( )个
A .0
B .1
C .2
D .3
3.如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是( ) A .
14
B .
12
C .1
D .2
4.若正数x ,y 满足2
440x xy +-=,则x y +的最小值是( )
A B .
5
C .2
D .
2
5.已知0a >,0b >,若不等式122m a b a b
+≥+恒成立,则实数m 的最大值为( ) A .10
B .9
C .8
D .7
6.已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于()2,0A 、()6,0B 两点,则不等式220cx bx a +-< 的解集为( ) A .(6,2)-- B .11,,62????
-∞+∞ ? ?????
C .11,26-
-??
??
? D .11,,26?
???
-∞-
-+∞ ? ?????
7.对于任意实数x ,不等式210ax ax -+>恒成立,则实数a 的取值范围是( )
A .(]0,4
B .[)0,4
C .(]
[),04,-∞+∞ D .()(),04,-∞+∞
8.若不等式2
10x ax ++≥对于一切10,2x ??
∈ ???
恒成立,则a 的最小值是( ) A .0
B .2-
C .52
-
D .3-
9.若集合{
}
2
|10A x ax ax =-+<=?,则实数a 的取值范围是 ( ) A .{}|04a a << B .{|04}a a ≤< C .{|04}a a <≤
D .{|04}a a ≤≤
10.若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子:(1)22a 32b ab +>,(2)
553223a b b a a b +>+,
(3)22
52(2)a b a b ++≥-,(4)
2b a
a b
+>.其中恒成立的个数是 A .1个 B .2个 C .3个
D .4个
11.若任意取[]1,1x ∈-,关于x 的不等式()
2
2
20x mx m ++-≤成立,则实数m 的取值范围为( )
A .11,22?-+???
B .1122?-???
C .??
D .??
12.已知1x >,则4
1
x x +-的最小值为 A .3
B .4
C .5
D .6
二、填空题
13.若对(,1]x ∈-∞-时,不等式2
1
()2()12
x
x
m m --<恒成立,则实数m 的取值范围是
____________..
14.若不等式210ax ax +-≤的解集为实数集R ,则实数a 的取值范围为__________. 15.已知a 、b 、c 为正实数,则代数式938432a b c
b c c a a b
+++++的最小值是_________. 16.已知3x <,则函数4
()3
f x x x =
+-的最大值是________. 17.若不等式2
56x xt <--对于1,22
x ?∈????
?
恒成立,则实数t 的取值范围是______.
18.已知()4x
x
e e
f x =+
,若正数(),a b a b ≠满足()()f a f b =,则ln 2ln 2
a b
+的取值范围为__________.
19.已知,x y 为正实数,且11
4x y m x y
+=
+=,则m 的最小值为___________. 20.已知0a >,0b >,且22a b +=,那么
21
a b
+的最小值为________. 三、解答题
21.已知二次函数()2
f x ax bx c =++.
(1)若()0f x >的解集为{}
12x x -<<,解关于x 的不等式()2
430bx ax c b +-+≤;
(2)若不等式()2f x ax b ≥+对x ∈R 恒成立,求2
22
3b a c
+的最大值. 22.已知命题1:(2,),242x p x m x ?∈+∞+-,命题:q 方程22
1213
x y
m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆.
(1)若p 为真,求实数m 的取值范围;
(2)若p q ∧是假命题,p q ∨是真命题,求实数m 的取值范围.
23.已知二次函数()2
23f x x ax =-+.
(1)若()f x 在(],1-∞上单调递减,求实数a 的最小值; (2)存在[]
4,2x ∈--,使得()f x a ≥有解,求实数a 的取值范围.
24.已知,(0,)a b ∈+∞,函数2()f x ax x b =-+满足(1)0f =. (1)求
41
a a b
++的最小值; (2)解关于x 的不等式()0f x ≤.
25.已知函数
2
12
()log (1)f x x =+,26()g x x ax =-+. (1)若()g x 为偶函数,求a 的值并写出()g x 的增区间;
(2)若关于x 的不等式()0 23x x <<,当1x >时,求() 1 g x x -的最小值; (3)对任意的1[1,)x ∈+∞,2[2,4]x ∈-,不等式12()()f x g x ≤恒成立,求实数a 的取值范围. 26.已知函数()2 2f x x ax =-. (1)若函数()f x 在区间(),1-∞上单调递减,求实数a 的取值范围; (2)若函数()()[]() 12,5g x f x x =+∈-的最大值为13,求实数a 的最小值. 【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除 一、选择题 1.D 解析:D 【分析】 由于0a >,0b >且2ab =,则利用基本不等式可得 428a b +=≥=≥,从而可得答案 【详解】 因为0a >,0b >且2ab =, 所以428a b +=≥==≥, 当且仅当2a b =时,即1a =,2b =时取等号. 故选:D. 【点睛】 关键点点睛:该题考查的是有关利用基本不等式求最值的问题,正确解题的关键是要明确等号成立的条件. 2.B 解析:B 【分析】 取0x <,可判断①的正误;利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】 对于①,当0x <时,1 0y x x =+ <,①错误; 对于②,若a ,b R ∈且0ab >,说明 0b a >,0a b >,则2b a a b +≥=,当且仅当22a b =时取等号,显然成立,②正确; 对于③, 2y = ≥=, =231x +=,显然这样的x 不存在,所以结论不正 确,③错误; 对于④,因为0x >,所以4 3x x +≥ 函数()4 230y x x x =-->的最大值为2-,所以结论不正确,④错误. 故选:B. 【点睛】 易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 3.B 解析:B 【分析】 设两个正方形的边长分别为x 、y ,可得1x y +=,利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和2 2x y +的最小值. 【详解】 设两个正方形的边长分别为x 、y ,则0x >,0y >且1x y +=, 由基本不等式可得22 2x y xy +≥,所以,( )()2 22 2 2221x y x y xy x y +≥++=+=, 所以,22 12 x y +≥ ,当且仅当1 2x y ==时,等号成立, 因此,两个正方形的面积之和2 2x y +的最小值为 1 2 . 故选:B. 【点睛】 易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 4.A 解析:A 【分析】 首先条件变形为2 404x y x -=>,代入x y +后利用基本不等式求最小值. 【详解】 0,0x y >>,2 2 444004x x xy y x -+-=?=>,解得:02x << 2431 44x x x y x x x -∴+=+=+≥=, 当 314x x =,即3 x =时等号成立, 即x y + 故选:A 【点睛】 易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方 5.C 解析:C 【分析】 由已知可得()122m a b a b ??≤++ ???,即求()122a b a b ??++ ??? 的最小值,由基本不等式可得答案. 【详解】 因为0a >,0b >,则()122m a b a b ?? ≤++ ?? ?, 所以()1242448b a a b a b a b ?? ++=++≥+ ??? , 当且仅当4b a a b =即2b a =等号成立,要使不等式恒成立,所以8m ≤ 所以实数m 的最大值为8. 故选:C. 【点睛】 易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 6.D 解析:D 【分析】 利用函数图象与x 的交点,可知()2 200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或 26x =,再利用根与系数的关系,转化为4b a =-,12c a =-,最后代入不等式220cx bx a +-<,求解集. 【详解】 由条件可知()2 200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =, 则226b a +=- ,26c a ?=-,得4b a =-,12c a =-, 22201280cx bx a ax ax a ∴+----<, 整理为:()()2 1281021610x x x x ++>?++>, 解得:16x >- 或12 x <-, 所以不等式的解集是11,,26? ??? -∞--+∞ ? ?? ??? . 故选:D 【点睛】 思路点睛:本题的关键是利用根与系数的关系表示4b a =-,12c a =-,再代入不等式 220cx bx a +-<化简后就容易求解. 7.B 解析:B 【分析】 讨论0a =和0a ≠情况,再根据一元二次不等式与二次函数的关系,解不等式得解. 【详解】 关于x 的不等式2 10ax ax -+>恒成立, 当0a =时,10>恒成立,满足题意 当0a ≠时,即函数()2 1f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可, 所以0 0a >??? ,即2040a a a >??-,解得04a <<, 所以实数a 的取值范围是[0,4). 故选:B 【点睛】 本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围,考查了一元二次不等式的解法,属于基础题. 8.C 解析:C 【分析】 采用分离参数将问题转化为“1a x x ??≥-+ ? ??对一切10,2x ?? ∈ ??? 恒成立”,再利用基本不等式求解出1 x x +的最小值,由此求解出a 的取值范围. 【详解】 因为不等式210x ax ++≥对于一切10,2 x ??∈ ?? ? 恒成立, 所以1a x x ??≥-+ ? ??对一切10,2x ?? ∈ ??? 恒成立, 所以max 110,2a x x x ???? ????≥-+ ∈ ? ??????????? ?, 又因为()1f x x x =+在10,2?? ???上单调递减,所以()min 15 22 f x f ??== ???, 所以52a ≥-,所以a 的最小值为52 -, 故选:C. 【点睛】 本题考查利用基本不等式求解最值,涉及不等式在给定区间上的恒成立问题,难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法:参变分离法、分类讨论法. 9.D 解析:D 【分析】 本题需要考虑两种情况,00a a =≠,,通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围. 【详解】 设()2 1f x ax ax =-+ 当0a =时,()10f x =>,满足题意 当0a ≠时,()f x 时二次函数 因为{ } 2 |10A x ax ax =-+<=? 所以()2 1f x ax ax =-+恒大于0,即 0≤ 所以240a a -≤,解得04a ≤≤. 【点睛】 本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题,需要对未知数进行分类讨论. 10.A 解析:A 【解析】 分析:将不等式两侧的式子做差和0比即可,或者将不等式两侧的式子移到一侧,再配方即可. 详解: (1) 22a 32b ab +-=2 2322b a b ??+- ??? ,当a=1,b=-2.时不等式不成立; (2)553223 a b b a a b +>+=() ()()2 22a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时,不等式不成立; (3)()2 2 522a b a b ++--()()2 2 =a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) b a a b + ,2][2,)∈-∞-?+∞(,故不正确. 故答案为A. 点睛:这个题目考查了基本不等式的应用条件,两式比较大小的方法;两个式子比较大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系. 11.A 解析:A 【分析】 由已知结合二次函数的性质及特殊点所对应的函数值的正负即可求解 【详解】 解:令( ) 2 2 ()2,[1,1]f x x mx m x =++-∈-, 由题意得2 2 (1)120 (1)120f m m f m m ?-=-+-≤??=++-≤?? , 解得 1122 m -+≤≤ , 故选:A 【点睛】 此题考查了二次不等式在闭区间上恒成立问题的求解,二次函数性质的应用,属于中档题 12.C 解析:C 【分析】 由1x >,得10x ->,则44 1111 x x x x +=-++--,利用基本不等式,即可求解. 【详解】 由题意,因为1x >,则10x ->, 所以44111511x x x x + =-++≥=--, 当且仅当411 x x -=-时,即3x =时取等号, 所以4 1 x x + -的最小值为5,故选C . 【点睛】 本题主要考查了基本不等式的应用,其中解答中熟记基本不等式的使用条件,合理构造是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 二、填空题 13.【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为:【点睛】方法点晴:本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中 解析:()2,3- 【分析】 运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题. 【详解】 不等式() 21212x x m m ??--< ??? 转化为2214x x m m +-<,化简为2211()22x x m m -<+, 令1 2 x t = ,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立,令2 ()f t t t =+,又[ )2,t ∈+∞, 当2t =时,()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==, 所以,26m m -<恒成立,化简得260m m --<,解不等式得23m -<<. 故答案为:()2,3- 【点睛】 方法点晴:本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围. 14.【分析】分三种情况讨论:(1)当等于0时原不等式变为显然成立;(2)当时根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能;(3)当时二次函数开口向下需时由此可得结论【详解】解:(1)当时得到所以不等式的解集 解析:[]4,0- 【分析】 分三种情况讨论:(1)当a 等于0时,原不等式变为10-<,显然成立; (2)当0a >时,根据二次函数的图象与性质可知解集为R 不可能; (3)当0a <时,二次函数开口向下,需0?≤时,由此可得结论. 【详解】 解:(1)当0a =时,得到10-<,所以不等式的解集为R ; (2)当0a >时,二次函数2 1y ax ax =+-开口向上,函数值y 不是恒小于等于0,所以 解集为R 不可能. (3)当0a <时,二次函数2 1y ax ax =+-开口向下,由不等式的解集为R , 得240a a ?=+≤,即(4)0a a +≤,解得40a -≤≤,所以40a -≤<; 综上,a 的取值范围为[] 4,0-. 故答案为:[] 4,0-. 【点睛】 易错点点睛:对于一元二次不等式型的不等式恒成立问题,注意需讨论二次项系数为零的情况,当系数不为零时,再从根的判别式的符号上考虑. 15.【分析】先由题意令得到代入所求式子化简整理根据基本不等式即可求出结果【详解】因为abc 为正实数不妨令则所以当且仅当即即时等号成立故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三 解析: 4748 【分析】 先由题意,令38432b c x c a y a b z +=??+=??+=?,得到111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ?=-++?? ? =- +?? ? =+-?? ,代入所求式子,化简整理,根据基本不等式,即可求出结果. 【详解】 因为a 、b 、c 为正实数,不妨令38432b c x c a y a b z +=??+=??+=?,则111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ? =-++?? ? =-+? ? ? =+-?? , 所以111131393 93 862164216438432x y z x y z x y z a b c b c c a a b x y z -++-++-++=+++++ 1339338621642164 y z x z x y x x y y z z =-+++-+++- 6139488262164y x z x y z x y x z z y ??????=- ++++++ ? ? ??????? 61474848 ≥- +=, 当且仅当823629164y x x y z x x z y z z y ?=?? ?=???=?? ,即::1:2:3x y z =,即::10:21:1a b c =时,等号成立. 故答案为:4748 . 【点睛】 易错点睛: 利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 16.【分析】配凑成再用利用均值不等式直接求解【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为:【点睛】此题考查利用基本不等式求最值属于基础题方法点睛:均值不等式成立的3个条件一正二定三相等一正:的范围要为正 解析:1- 【分析】 配凑成()4()333f x x x ?? =--+??-?? ,再用利用均值不等式直接求解. 【详解】 因为3x <,所以 ()() 43333413f x x x ? ?=--+≤-=-=-??-? ?.当且仅当43= 3x x --,即1x =时等号成立, 故答案为: 1- 【点睛】 此题考查利用基本不等式求最值,属于基础题. 方法点睛:均值不等式a b +≥成立的3个条件“一正、二定、三相等”. 一正:,a b 的范围要为正值 二定:当,a b 为大于零的变量,那么 a b +、最值. 三相等:验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件. 17.【分析】整理已知条件得到对于恒成立利用二次函数的特点求解范围即可 【详解】由得则对于恒成立令则;令则;综上:故答案为:【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式属于中档题 解析:57,22?? ??? 【分析】 整理已知条件得到2211010 x xt x xt ?+--+ ????恒成立,利用二次函数的特点求解范 围即可. 【详解】 由2 56x xt <--, 得2 2 2 65565xt x x xt x -<-?-<-<-, 则2211010 x xt x xt ?+--+ 令()2 11f x x xt =+-, 则()43 107 2272202 t f t t f ?? ??? ???? ????< ?? ; 令()2 1g x x xt =-+, 则()5 105 2252202 t g t t g ????> ?? ???>?? ????>?? ; 综上: 5722 t <<. 故答案为:57,22?? ??? . 【点睛】 本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式.属于中档题. 18.【分析】根据可得代入利用基本不等式可求解【详解】由可知即故即则故答案为:【点睛】本题考查由函数关系得参数关系考查根据基本不等式求最值属于中档题 解析:()2,+∞ 【分析】 根据()()f a f b =可得2ln 2a b +=,代入 ln 2ln 2 a b +,利用基本不等式可求解. 【详解】 由()()f a f b =可知44a b a b e e e e + =+, 即()4441a b a b a b a b e e e e e e e +??-+-=--= ???()40a b a b a b e e e e ++??--= ??? , 故4a b e +=,即2ln 2a b +=,则ln 2ln 21222b a a b a b ?? +=++> ??? . 故答案为:()2,+∞. 【点睛】 本题考查由函数关系得参数关系,考查根据基本不等式求最值,属于中档题. 19.3【分析】利用已知条件结合1代换构造进而应用基本不等式求最值即可求的最小值;【详解】知:当且仅当等号成立∴即有故答案为:3【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值根据已知条件构造基本不等式形式求最值然 解析:3 【分析】 利用已知条件,结合“1”代换构造41154()x y y x m x y m mx my ++=++,进而应用基本不等式求最值,即可求m 的最小值; 【详解】 11 40x y m x y += +=>知: 4115459x y y x m m x y m mx my m m ??+??+=++=≥+= ? ????? 当且仅当2y x =等号成立, ∴29m ≥,即有3m ≥, 故答案为:3 【点睛】 本题考查了利用基本不等式求最值,根据已知条件构造基本不等式形式求最值,然后求参数范围; 20.4【分析】根据1的变形运用均值不等式即可求解【详解】且当且仅当即时等号成立故答案为:4【点睛】本题主要考查了基本不等式的灵活运用属于中档题 解析:4. 【分析】 根据“1”的变形,运用均值不等式即可求解. 【详解】 0a >,0b >,且22a b +=, 1 (2)12 a b ∴+= ()211211422222b a a b a b a b a b ????∴+=++=+++ ? ????? 1442b a a b ??=++ ?? ?1442?≥+= ? 当且仅当 4b a a b =,即21a b ==时,等号成立. 故答案为:4 【点睛】 本题主要考查了基本不等式的灵活运用,属于中档题. 三、解答题 21.(1)[]1,5-;(2)最大值为23 . 【分析】 (1)由题意可知,1-、2是二次方程20ax bx c ++=的两根,且0a <,根据韦达定理可得出 1b a =-,2c a =-,化简所求不等式,利用二次不等式求解即可; (2)由题意可得出22 044a b ac a >??≤-? ,令1c t a =-,推导出0t ≥,可得出()2222 4313 b t a c t ≤+++,当0t =时,得出()24013t y t ==++,在0t >时,利用基本不等式可求得函数()2 413 t y t =++的最大值,由此可求得结果. 【详解】 (1)由于()0f x >的解集为{} 12x x -<<,则1-、2是二次方程20ax bx c ++=的两根, 由题可得:01212a b a c a ???-+=-???-?=??,即:012a b a c a ? ? ?=-???=-??, ()2430bx ax c b +-+≤等价于2340b c b x x a a a ?? +-+≥ ??? , 即:2450x x --≤,解得:15x -≤≤, 因此,不等式()2 430bx ax c b +-+≤的解集为[]1,5-; (2)()2f x ax b ≥+恒成立,即()2 20ax b a x c b +-+-≥恒成立. ()()20240a b a a c b >??∴??=---≤?? ,也即22044a b ac a >??≤-?, 2 2 22222 2 1 444333c b a c a a c a c a c a --∴≤=?+++, 令1c t a = -,则1c t a =+,2244b ac a ≤-,所以,20ac a -≥,1c a ∴≥,即0t ≥, 令22 2 1 44243c t a y c t t a -=?=+++,当0t =时,0y =; 当0t >时,2442 4243 2t y t t t t ==≤ ++++,当且仅当2t =,3c a =取最大值. 所以2 22 3b a c +的最大值为23. 【点睛】 易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 22.(1)(,2]-∞;(2)(,1](2,)-∞+∞. 【分析】 (1)求出 1242 x x +-在(2,)+∞上的最小值后可得m 的范围; (2)求出命题q 为真时m 的范围,由p q ∧是假命题,p q ∨是真命题,知,p q 一真一 假,由此可求得m 的范围. 【详解】 (1)若p 为真,则 1242 x m x +-, 而 1121121224224224x x x x x -+=++=---, 当且仅当 12 242 x x -=-,即3x =时等号成立; 故2m ,即实数m 的取值范围为(,2]-∞; (2)若q 为真,则213m +>,故1m ; 若p 真q 假,则21m m ???, ,则1m , 若p 假q 真,则21m m >??>? , ,则2m >, 综上所述,实数m 的取值范围为(,1](2,)-∞+∞. 【点睛】 方法点睛:本题考查由命题的真假求参数,考查复合命题的真假判断.掌握复合命题的真值表是解题关键.复合命题的真值表: 23.无 24.无 25.无 26.无 方程、不等式与一次函数专题练习(实际应用) 题型一:方程、不等式的直接应用 典型例题1:(2009,株洲)初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140~200元钱,买一份礼物送给父母.已知: 在暑假期间,如果卖出的报纸不超过1000份,则每卖出一份报纸可得0.1元;如果卖出的报纸超过1000份,则超过部分.... 每份可得0.2元. (1)请说明:孔明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过1000份. (2)孔明同学要通过卖报纸赚取140~200元,请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内. 典型例题2:(2007,福州,10分)李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查.了解到商店为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息: 假设月销售件数为x 件,月总收入为y 元,销售1件奖励a 元,营业员月基本工资 为b 元. (1)求a ,b 的值; (2)若营业员小俐某月总收入不低于1800元,则小俐当月至少要卖服装多少件? 配套练习: 3、(2009,益阳)开学初,小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本;小亮用31元 买了同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格; (2)校运会后,班主任拿出200元学校奖励基金交给班长,购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品,奖给校运 会中表现突出的同学,要求笔记本数不少于钢笔数,共有多少种购买方案?请你一一写出. 4、(2009,济南)自2008年爆发全球金融危机以来,部分企业受到了不同程度的影响,为落实“促民生、促经济”政策,济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案,调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成(计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数).下表是甲、乙两位职工今年五 月份的工资情况信息: (1)试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元? (2)若职工丙今年六月份的工资不低于2000元,那么丙该月至少应销售多少件产品? 5、(2009,青岛)北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元. (1)该商场两次共购进这种运动服多少套? (2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于20%,那么每套售价至少是多少元?(利润率100%=?利润成本 ) 题型二:方案设计 典型例题6、(2009,深圳)迎接大运,美化深圳,园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆,乙种花卉40盆,搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆,乙种花卉90盆. (1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来. (2)若搭配一个A 种造型的成本是800元,搭配一个B 种造型的成本是960元,试说明(1)中哪种方案成本最低?最低成本是多少元? 典型例题7:(2008、湖北咸宁)“5、12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心,某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后,决定调运蔬菜支援灾区。已知A 蔬菜基地有蔬菜200吨,B 蔬菜基地有蔬菜300吨,现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点。从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元,从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x 吨。 x 的值; ⑵、设A 、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元,写出w 与x 之间的函数关系式,并求总运费最小的调运方案; ⑶、经过抢修,从B 地到C 地的路况得到进一步改善,缩短了运输时间,运费每吨减少m 元(m >0),其余路线的运费不变,试讨论总运费最小的调运方案。 19.2.3 一次函数与方程、不等式 一.选择题(共8小题) 1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为() A.x=2 B.y=2 C.x=﹣1 D.y=﹣1 2.一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为() A.x=﹣1 B.x=2 C.x=0 D.x=3 3.一元一次方程ax﹣b=0的解x=3,函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为()A.(3,0)B.(﹣3,0)C.(a,0)D.(﹣b,0) 4.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是() A.B.C.D. 5.若方程x﹣3=0的解也是直线y=(4k+1)x﹣15与x轴的交点的横坐标,则k的值为()A.﹣1 B.0 C.1 D.±1 6.如图,直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P,点P的横坐标为﹣1,则关于x的不等式x+b >kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是() A.B.C. D. 7.如图,直线y=﹣x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为﹣2,则关于x的不等式﹣x+m >nx+4n>0的整数解为() A.﹣1 B.﹣5 C.﹣4 D.﹣3 8.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点,则不等式kx+b<0的解集是() A.x<0 B.0<x<1 C.x<1 D.x>1 二.填空题(共10小题) 9.若直线y=2x+b与x轴交于点(﹣3,0),则方程2x+b=0的解是_________.10.如图是一次函数y=kx+b的图象,则方程kx+b=0的解为_________. 13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系. 2、通过用函数观点处理方程(组)与不等式问题,体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法,进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性. 3、任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 (a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 (a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围. 5、一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0和一元一次不等式的关系:函数y=kx+b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值,即为不等式kx+b>0的解集;在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx+b=0的解;在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx+b<0的解集. ◆典型例题 例1、若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x,y)和点B(x,y),当x<x时,y>1211212 >.m< 0C<mO B.m>.mD),则ym的取值范围是( A.2答案:D.例2、一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6,相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,则这个函数的解读式为____________. 分析: 本题分两种情况讨论:①当k>0时,y随x的增大而增大,则有:当x=-3,y=-5;当x =6中可得b +,把它们代入y=-2y=kx时,=x-y∴∴函 数解读式为4. 1 / 7 ②当k 一次函数与方程、不等式 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠()与x 轴交点的横坐标,就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时,可令0y =,得到方程b 0kx +=,解方程得x b k =-,直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -,b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数,0a ≠)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值围。 三、一次函数与二元一次方程(组)的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠()本身就是一个二元一次方程,直线y b k 0kx =+≠() 上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠(),因此二元一次方程的解也就有无数个。 知识点睛 一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点,m 的值为( ) A .2- B .2 C .1- D .0 【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m , ,则a b +=______. 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20,,()13,,则不求k b ,的值,可直接 得到方程3kx b +=的解是x =______. 二、一次函数与一元一次不等式综合 【例4】 已知一次函数25y x =-+. (1)画出它的图象; (2)求出当3 2 x = 时,y 的值; (3)求出当3y =-时,x 的值; (4)观察图象,求出当x 为何值时,0y >,0y =,0y < 【例5】 当自变量x 满足什么条件时,函数41y x =-+的图象在: (1)x 轴上方; (2)y 轴左侧; (3)第一象限. 【例6】 已知15y x =-,221y x =+.当12y y >时,x 的取值围是( ) A .5x > B .1 2 x < C .6x <- D .6x >- 【例7】 已知一次函数23y x =-+ 例题精讲 很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。实际上,他们之间的联系非常紧密。如果能熟练地掌握三者之间的联系,并在做题时灵活运用,将会有事半功倍的收效。 ★函数与方程之间的关系。 先看函数解析式:(0)y ax b a =+≠,这是一个一次函数,图像是一条直线。对于这个函数而言,x 是自变量,对应的是图像上任意点的横坐标;y 是因变量,也就是函数值,对应的是图像上任意点的纵坐标。如果令0y =,上面的解析式也就变成了0ax b +=,也就是一个一元一次方程了。我们知道,一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候,令0y =(同理求一个函数图像与y 轴交点的时候,令0x =)。所以上面的意义可以这样表达:将函数解析式中的y 变为0,那么就得到相应的方程。这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。这就是函数解析式与方程之间的关系,它适用于所有的函数解析式。举例说明如下: 例如函数23y x =-的图像如右所示: 该函数与x 轴的交点坐标为3 (,0)2 ,也就是在函数 解析式23y x =-中,令0y =即可。令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=,其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。接下来推广到二次函数: 例如函数2 252y x x =-+的图像如右图所示: 很容易验证,该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程2 2520x x -+=的解。 如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的,虽然比较精确,但过程十分繁琐。 在实际中,很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。有时候只需要作出大致图像即可。 既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系,我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢 函数2 252y x x =-+对应的方程是2 2520x x -+=,先求出这个方程的两个解。很容 易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为 1 2 和2。这样,根据函数 一次函数与方程和不等式的关系 1.如图1,直线y=kx+b与x轴交于点A(-4,0),则当y>0时,x的取值范围是(?)A.x>-4 B.x>0 C.x<-4 D.x<0 (1)(2) 2.已知一次函数y=kx+b的图像,如图2所示,当x<0时,y的取值范围是(?)A.y>0 B.y<0 C.-2 8.对于一次函数y=2x+4,当______时,2x+4>?0;?当________?时,?2x+?40;?当_______时,2x+4=0. 9.已知y 1=2x-5,y 2=-2x+3,当_______时,y 1≤y 2. 如图,已知函数y=3x+b 和y=ax ﹣3的图象交于点P (﹣2,﹣5),则根据图象可得不等式3x+b >ax ﹣3的解集是 . 10.如图,一次函数y 1=k 1x+b 1与y 2=k 2x+b 2的图象相交于A (3,2),则不等式(k 2﹣k 1)x+b 2﹣b 1>0的解集为 . 11、已知直线y =-2x +3与直线y =x -6交于点A ,且两直线与x 轴的交点分别为B 、C ,求△ABC 的面积. 12、如图,在平面直角坐标系中一次函数62 1+-=x y 的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ,与一次函数x y =的图像交于第一象限内的点C 。 (1)分别求出A 、B 、C 、的坐标;(2)求出△AOC 一次函数与方程、不等式综合专题复习讲义 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠()与x 轴交点的横坐标,就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时,可令0y =,得到方程b 0kx +=,解方程得x b k =-,直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -,b k - 就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数,0a ≠)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围。 三、一次函数与二元一次方程(组)的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠()本身就是一个二元一次方程,直线y b k 0kx =+≠()上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠(),因此二元一次方程的解也就有无数个。 一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60, ,则m 的值为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【例2】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点,m 的值为( ) A .2- B .2 C .1- D .0 知识点睛 中考要求 例题精讲 【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m , ,则a b +=______. 二、一次函数与一元一次不等式综合 【例3】 已知一次函数25y x =-+. (1)画出它的图象; (2)求出当3 2 x =时,y 的值; (3)求出当3y =-时,x 的值; (4)观察图象,求出当x 为何值时,0y >,0y =,0y < 【例4】 当自变量x 满足什么条件时,函数23y x =-+的图象在: (1)x 轴下方; (2)y 轴左侧; (3)第一象限. 【巩固】当自变量x 满足什么条件时,函数41y x =-+的图象在: (1)x 轴上方; (2)y 轴左侧; (3)第一象限. 2011年中考复习二轮材料 函数、方程、不等式综合应用专题 一、专题诠释 函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线;函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识,函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在初中阶段,应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想,这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此,第二轮中考复习,对这部分内容应予以重视。 这一专题,往往以计算为主线,侧重决策问题,或综合各种几何知识命题,近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力,要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识,较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决。 二、解题策略和解法精讲 函数与方程、函数与不等式密不可分,紧密联系。 利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题,利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系,但在一定条件下又是可以转化的,如一元二次方程有实数根,可得不等式Δ≥0等。 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系,函数y=ax+b(a≠0,a,b为常数)中,函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解,所对应的坐标(-b/a,0)是直线y=ax+b与x轴的交点坐标,反过来也成立;?直线y=ax+b在x轴的上方,也就是函数的值大于零,x的值是不等式ax+b>0(a≠0)的解;在x轴的下方也就是函数的值小于零,x的值是不等式ax+b<0(a≠0)的解. 一般地,每个二元一次方程组,都对应着两个一次函数,于是也就是对应着两条直线,从“数”的角度看,解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这两函数值是何值;从形的角度考虑,解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解: (1)二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2.(2)二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2,b1≠b2. (3)二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2,b1=b2.在复习中,本专题应抓好两个要点:第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系,以期在综合运用中灵活把握。 三、考点精讲 考点一:函数与方程(组)综合应用 例1.(2010广西梧州)直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b =0的解是x=______ 【分析】∵直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则x=2时,y=0,∴关于x的方程2x+b=0的解是x=2。 求一次函数解析式专项练习 1.已知A(2,﹣1),B(3,﹣2),C(a,a)三点在同一条直线上. (1)求a的值; (2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积. 2.已知一次函数的图象经过(1,2)和(﹣2,﹣1),求这个一次函数解析式及该函数图象与x轴交点的坐标. 3.如图所示,直线l是一次函数y=kx+b的图象. (1)求k、b的值; (2)当x=2时,求y的值; (3)当y=4时,求x的值. 4.已知y与x+2成正比例,且x=0时,y=2,求: (1)y与x的函数关系式; (2)其图象与坐标轴的交点坐标. 5.如果y+3与x+2成正比例,且x=3时,y=7. (1)写出y与x之间的函数关系式; (2)画出该函数图象;并观察当x取什么值时,y<0? 6.直线y=kx+b是由直线y=﹣x平移得到的,此直线经过点A(﹣2,6),且与x轴交于点B. (1)求这条直线的解析式; (2)直线y=mx+n经过点B,且y随x的增大而减小.求关于x的不等式 mx+n<0的解集. 7.已知,直线AB 经过A (﹣3,1),B (0,﹣2),将该直线沿y 轴向下平移3个单位得到直线MN . (1)求直线AB 和直线MN 的函数解析式; (2)求直线MN 与两坐标轴围成的三角形面积. 8.已知:关于x 的一次函数y=(2m ﹣1)x+m ﹣2若这个函数的图象与y 轴负半轴相交,且不经过第二象限,且m 为正整数. (1)求这个函数的解析式. (2)求直线y=﹣x 和(1)中函数的图象与x 轴围成的三角形面积. 一次函数与方程不等式关系 1、直线l 1∶y =k 1x +b 与直线l 2∶y =k 2x +c 在同一平面直角坐标系中的图象如图, 则关于x 的不等式k 1x +b <k 2x +c 的解集为( ) A .x >1 B .x <1 C .x >-2 D .x <-2 2、如图,已知直线y 1=x+m 与y 2=kx-1相交于点P(-1,1),则关于x 的不等式x+m>kx-1的解集在数轴 上表示正确的 是( ) 3、用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作 出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元 一次方程 组是 ( ) 中考数学复习:函数与方程、不等式的关系 1.函数与方程的关系 (1)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解?抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标的值; (2)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=mx+n(am≠0)的解?抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与直线y=mx+n(m≠0)交点的横坐标的值. 2.函数与不等式的关系 (1)关于x的不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集?抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)位于x轴上方的所有点的横坐标的值; (2)关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集?抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)位于x轴下方的所有点的横坐标的值; (3)关于x的不等式ax2+bx+c>mx+n(ma≠0)的解集?抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)位于直线y=mx+n(m≠0)上方的所有点的横坐标的值; (4)关于x的不等式ax2+bx+c<mx+n(ma≠0)的解集?抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)位于直线y=mx+n(m≠0)下方的所有点的横坐标的值. 例题讲解 例1在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l:y=-2x+2的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的表达式. 解:如图,因为抛物线的对称轴是x=1,且直线l与直线AB关于对称轴对称. 所以抛物线在-1<x<0这一段位于直线l的下方. 又因为抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为-1. 当x=-1时,y=-2×(-1)+2=4,则抛物线过点(-1,4),将(-1,4)代入y=mx2-2mx-2,得m+2m-2=4,则m=2.所以抛物线的表达式为y=2x2-4x-2. 例2已知y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y满足:当-1≤x≤1时,-1≤y≤1,且抛物线经过点A(1,-1)和点B(-1,1).求a的取值范围. 解:因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,-1)和点B(-1,1),代入得a+b+c=-1,a-b+c=1, 所以a+c=0,b=-1,则抛物线y=ax2-x-a,对称轴为x=1 2a . ①当a<0时,抛物线开口向下,且x=1 2a <0, 一次函数与方程、不等式专项练习60题(有答案)1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为() A.x=2 B.y=2 C.x=﹣1 D.y=﹣1 2.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x<ax+4的解集为() A. x<B.x<3 C. x> D.x>3 3.如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,1),则关于x的不等式kx+b>1的解集是() A.x>0 B.x<0 C.x>1 D.x<1 4.已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限,且与x轴交于点(2,0),则关于x的不等式a(x﹣1)﹣b >0的解集为() A.x<﹣1 B.x>﹣1 C.x>1 D.x<1 5.如图,直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为(1,2),则使y1<y2的x的取值范围为() A.x>1 B.x>2 C.x<1 D.x<2 6.直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k2x<k1x+b的解集为() A.x<﹣1 B.x>﹣1 C.x>2 D.x<2 7.如图,直线y=kx+b经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,0),直线y=2x过点A,则不等式2x<kx+b<0的解集为() A.x<﹣2 B.﹣2<x<﹣1 C.﹣2<x<0 D.﹣1<x<0 8.已知整数x满足﹣5≤x≤5,y1=x+1,y2=﹣2x+4,对任意一个x,m都取y1,y2中的较小值,则m的最大值是()A.1B.2C.24 D.﹣9 9.如图,直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A,若y1<y2,那么() A.x>2 B.x<2 C.x>1 D.x<1 10.一次函数y=3x+9的图象经过(﹣,1),则方程3x+9=1的解为x=_________. 11.如图,已知直线y=ax+b,则方程ax+b=1的解x=_________. 12.如图,一次函数y=ax+b的图象经过A,B两点,则关于x的方程ax+b=0的解是_________. 13.已知直线与x轴、y轴交于不同的两点A和B,S△AOB≤4,则b的取值范围是_________. 一次函数与方程(或不等式)结合的问题 一般地,一次函数中,令是一元一次方程,它的根就是的图象与x轴交点的横坐标,一元一次不等式(或)可以看作是取正值(或负值)的特殊情况,其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。两直线的交点坐标,就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。下面举例说明。 例1. 在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(厘米)与燃烧时间x(小时)之间的关系如图1所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题: (1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________,从点燃到燃尽所 用的时间分别是_________; (2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式; (3)燃烧多长时间,甲、乙两根蜡烛的高度相等(不考虑都燃尽时的情况)在什么时间段内,甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内,甲蜡烛比乙蜡烛低 析解:(1)由图1知,燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米;燃尽所用的时间分别是2小时、小时。(2)设甲蜡烛燃烧时,y与x之间的函数关系式为。由图1可知,函数的图象过点 (2,0),(0,30),所以,解得 所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为:;同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。 (3)由题意得,解得。 ; 所以,当燃烧1小时的时候,甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象知当时,甲蜡烛比乙蜡烛高;当时,甲蜡烛比乙蜡烛低。 说明:本题是一次函数与二元一次方程的结合,利用图象的信息,提供数据解决问题。 例2. 某零件制造车间有工人20名,已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个,且每制造一个甲种零件可获利润150元,每制造一个乙种零件可获利润260元,在这20人中,车间每天安排x人制 一次函数与方程、不等式之间的关系 人教版九年制义务教育八年级数学下册 宁都县赖村中学谢新华 教学重点、难点: 一次函数与方程、不等式之间的关系 教学目标: 1.让学生理解一次函数与方程、不等式之间的关系,从而解答有关的函数坐标、函数值等问题 2.通过探索一次函数与方程、不等式之间的关系,经历具体到抽象再到具体,到抽象,最后具体的学习过程,体会探索的严谨性,科学性,掌握循序渐进的学习方法,树立数形结合的学习函数的思想方法 3.经历了探索一次函数与方程、不等式之间的关系过程,掌握了学法,树立起了学好函数的信心,体会到成功的喜悦 教学策略: 运用多媒体技术,讲练结合与小组讨论法 教学教学过程 谭金林说:可是这两个点怎么画呢?当函数值大于某值时,x怎 样取值? 这下难住了他们,为此他们举出一个例子已知一次函数y=2x+8,请你帮他们画出两点,作出直线?当y>4时,x取何值? 设计意图:通过举自己身边的两位同学的例子引入课题,从而让问题变得那么的贴近自身实际,提高学习的兴趣 板书:一次函数与方程、不等式之间的关系学习目标 1.能理解感悟一次函数与方程、不等式之间的数形关系,并能运用这种关系解决有关一次函数的问题 2.通过问题解决,经历探索一次函数与方程、不等式之间关系的过程,体验知识产生、发展、形成的过程,感悟数形结合思想 3.通过问题解决,经历探索一次函数与方程、不等式之间的数形关系,掌握了学习函数的方法 设计意图:明确学习目标,使学习更具针对性 一、动动手,填一填 (1)当x 取___值时,函数值等于3. (2)当x 取___值时,函数值等于0. (3)当x 取___值时,函数值等于-1 2.已知一次函数y=2x+3的图像(如右上图)及图像上的一 ? a及函数的图 像图像 与x 轴相 交的 情况 对应 方程 的实 数根 对应不等式的解集 图像上的最 高(低)点单调区间及单调性极(最)值 0 >? > a 与x 轴有 两个 交点 有两 个不 相等 的实 数根 2> + +c bx ax的解集是 ). , ( ) , ( 2 1 +∞ ? -∞ ∈x x x 2< + +c bx ax的解集是). , ( 2 1 x x x∈ 顶点是函数 图像上的最 低点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为减 函数,) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为增函数 a b x 2 - =时,函数有极(最) 小值 a b ac 4 42 -0 < a 2> + +c bx ax的解集是 ). , ( 2 1 x x x∈0 2< + +c bx ax的解集是 ). , ( ) , ( 2 1 +∞ ? -∞ ∈x x x 顶点是函数 图像上的最 高点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为增 函数,) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为减函数 a b x 2 - =时,函数有极(最) 大值 a b ac 4 42 - 0 =? > a 与x 轴有 一个 交点 有两 个相 等的 实数 根 2> + +c bx ax的解集是 . , 2 1 x x x x≠ ≠ 顶点是函数 图像上的最 低点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为减 函数,) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为增函数 a b x 2 - =时,函数有极(最) 小值0 0a 与x 轴没有交点 没有实数根 02>++c bx ax 的解集是 .R x ∈02<++c bx ax 的解集是空集. 顶点是函数图像上的最低点 )2,(a b x - -∞∈时为减函数,) ,2(+∞-∈a b x 时为增函数 a b x 2- =时,函数有极(最)小值a b a c 442 - 0++c bx ax 的解集是空集. 02<++c bx ax 的解集是.R x ∈ 顶点是函数图像上的最高点 )2,(a b x - -∞∈时为增函数,) ,2(+∞-∈a b x 时为减函数 a b x 2- =时,函数有极(最)大值a b a c 442 - 不等式、方程与函数 1.若不等式组1+x a 2x 40>??-≤? 有解,则a 的取值围是( ) A .a≤3 B.a <3 C .a <2 D .a≤2 2.若关于x 的分式方程2m x 21x 3x +-=-无解,则m 的值为( ) A .一l.5 B .1 C .一l.5或2 D .一0.5或一l.5 3.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是( ) A .图象关于直线x=1对称 B .函数ax 2+bx+c (a≠0)的最小值是﹣4 C .﹣1和3是方程ax 2+bx+c (a≠0)的两个根 D .当x <1时,y 随x 的增大而增大 4.函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c -3= 0的根的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个异号的实数根 C .有两个相等的实数根 D .没有实数根 5.函数()a y 1x <0x =-的图象如图,那么关于x 的分式方程a 12x -=-的解是( ) A .x=-1 B .x=-2 C .x=-3 D .x=-4 6.如图,已知(4)A n -,,(24)B -,是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x =的图象的两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的函数关系式; (2)求△AOB 的面积; (3)则方程0=-+x m b kx 的解是 ;(请直接写出答案) (4)则不等式0<- +x m b kx 的解集是 .(请直接写出答案) 7.已知二次函数2y a x b x c =++图象的顶点横坐标是4,与x 轴交于A (x 1,0)、B (x 2,0),x 1﹤0﹤x 2,与y 轴交于点C ,O 为坐标原点,tan tan CA BO 2O C ∠-∠=。 (1)求证: b 8a 0+=; (2)求a 、b 的值; (3)若二次函数图象与直线y 2x 3=+仅有一个交点时,求二次函数的最值。 8.已知:y 关于x 的函数()2y kx 2k 1x k 3=-+++的图象与x 轴有交点。 (1)求k 的取值围; (2)若x 1,x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标,且满足()21212kx 2k 1x k 34x x ++++=. ①求k 的值;②当k 1x k 3+≤≤+时,请结合函数图象确定y 的最大值和最小值。 方程、函数与不等式(含答案) 不等式、方程与函数 1.若不等式组1+x a 2x 40 >?? -≤? 有解,则a 的取值范围是( ) A .a≤3 B .a <3 C .a <2 D .a≤2 2.若关于x 的分式方程2m x 2 1x 3x +-=-无解,则m 的值为( ) A .一l.5 B .1 C .一l.5或 2 D .一0.5或一l.5 3.已知二次函数y=ax 2 +bx+c (a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是( ) A .图象关于直线x=1对称 B .函数ax 2+bx+c (a≠0)的最小值是﹣4 C .﹣1和3是方程ax 2 +bx+c (a≠0)的两个根 D .当x <1时,y 随x 的增大而增大 4.函数y =ax 2 +bx +c 的图象如图所示,那么关于x 的一元二次方程ax 2 +bx +c -3=0的根的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个异号的实数根 C .有两个相等的实数根 D .没有实数根 5.函数()a y 1x <0x =-的图象如图,那么关于x 的分式方程a 12x -=-的解是( ) A .x=-1 B .x=-2 C .x=-3 D .x=-4 6.如图,已知(4)A n -,,(24)B -,是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x =的图象的两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的函数关系式; (2)求△AOB 的面积; (3)则方程0=-+x m b kx 的解是 ;(请直接写出答案) (4)则不等式0<- +x m b kx 的解集 是 .(请直接写出答案) 一次函数与方程、不等式(1) 知识技能目标 1.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解; 2.让学生了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型,也是一种重要的数学思想,培养和提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力. 过程性目标 1.使学生体会到实际问题中数量之间的相互关系,学会用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律; 2.通过图象获取函数相关信息,运用图象来解释实际问题中相关量的涵义; 3.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,能通过图象法来求二元一次方程组的解. 教学过程 一、创设情境 问题学校有一批复印任务,原来由甲复印社承接,按每100页40元计费.现乙复印社表示:若学校先按月付给一定数额的承包费,则可按每100页15元收费.两复印社每月收费情况如下图所示. 根据图象回答: (1)乙复印社的每月承包费是多少? (2)当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同? (3)如果每月复印页数在1200页左右,那么应选择哪个复印社? 二、探究归纳 问“乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来? 答“乙复印社的每月承包费”指当x=0时,y的值,从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元. 问“收费相同”在图象上怎样反映出来? 答“收费相同”是指当x取相同的值时,y相等,即两条射线的交点.我们看到,两个一次函数图象的交点处,自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式.而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程,所以交点的坐标就是方程组的解.据此,我们可以利用图象来求某些方程组的解. 问如何在图象上看出函数值的大小? 答作一条x轴的垂线,如下图,此时x的值相同,它与哪一条射线的交点较高,就表示对应函数值较大,收费就较高;反之,它与另一条射线的交点较低,就表示对应函数值较小,收费就较低.从图中可以看出,如果每月复印页数在1200页左右,那么应选择乙复印社收费较 ◆知识讲解 1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系,函数y=ax +b (a≠0,a ,b 为常数)中,函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax +b=0(a≠0)的解,所对应的坐标(- b a ,0)是直线y=ax+ b 与x 轴的交点坐标,反过来也成立;直线y=ax +b 在x 轴的上方,也就是函数的值大于零,x 的值是不等式ax+ b>0(a≠0)的解;在x 轴的下方也就是函数的值小于零,x 的值是不等式ax +b<0(a≠0)的解. 2.坐标轴的函数表达式 函数关系式x=0的图像是y 轴,反之,y 轴可以用函数关系式x=0表示;?函数关系式y=0的图像是x 轴,反之,x 轴可以用函数关系式y=0表示. 3.一次函数与二元一次方程组的关系 一般地,每个二元一次方程组,都对应着两个一次函数,于是也就是对应着两条直线,从“数”的角度看,解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这两函数值是何值;从形的角度考虑,解方程组相当于确定两条直线的交点坐标,所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系. 4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 (1)二元一次方程组11 22 y k x b y k x b =+??=+?有唯一的解?直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2 ?k 1≠k 2. (2)二元一次方程组11 22 y k x b y k x b =+??=+?无解?直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ?k 1=k 2, b 1≠b 2. (3)二元一次方程组11 22 y k x b y k x b =+?? =+?有无数多个解?直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合 ?k 1=k 2,b 1=b 2. ◆例题解析 例1 (2006,长河市)我市某乡A ,B 两村盛产柑橘,A?村有柑橘200t ,?B?村有柑橘300t .现将这些柑橘运到C ,D 两个冷藏仓库,?已知C?仓库可储存240t ,?D?仓库可储存260t ;从A 村运往C ,D 两处的费用分别为每吨20元和25元,从B 村运往C ,D 两处的 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与一元一次方程的关系: 一般的一元一次方程0kx b +=的解就是一次函数y kx b =+的图象与x 轴交点的横坐标。 直线与坐标轴的交点坐标的求法: (1)直线y kx b =+与y 轴交点的横坐标是0,当x=0时,一次函数y kx b =+的函数值 y b =,b 就是交点的纵坐标,即直线y kx b =+与y 轴的交点为(0,b ); (2)直线y kx b =+与x 轴交点的纵坐标是0,故令y=0,得到方程0kx b +=,解方程得 b x k =-,b k -就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标,即直线y kx b =+与x 轴的交点 为(,0)b k -. 一次函数与一元一次不等式的关系: (1)一般的,一元一次不等式0(0)kx b kx b +>+<或的解集,就是使一次函数y=kx+b 的函数值大于0(或小于0)时自变量x 的取值范围。 (2)从图象上看,一元一次不等式0kx b +>的解集是直线y=kx+b 位于x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围;一元一次不等式0kx b +<的解集是直线y=kx+b 位于x 轴下方的部分所对应的自变量x 的取值范围; 一次函数与二元一次方程的关系: (1)一次函数y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx y b -=-的一组解; (2)以二元一次方程kx y b -=-的解为坐标的点都在一次函数y kx b =+的图象上 (3)对于同一个数学模型()y=kx+b k 0≠,若将其中的x 、y 看做变量,则它表示一个一次函数;若将x 、y 看做未知数,则它就是一个二元一次方程,二者本质相同 一次函数与二元一次方程组的关系: 两条直线1l :11y k x b =+ ()10k ≠,2l :22y k x b =+()20k ≠的交点坐标就是关于x 、y 的方程组11 22 y k x b y k x b =+??=+?的解 用图象法解方程组: 画出二元一次方程组中的两个一次函数的图象,找出他们的交点,该交点坐标就是二元一次方程组的解。方程不等式与一次函数专题(实际应用)
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