黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高一下学期数学月考试题
三、解答题
17. 已知函数
（1）当
时，求不等式
（2）若关于 的不等式
． 的解集； 恒成立，求实数 的取值范围．
18. 如图， 是直角
斜边 上一点，
．
（1）若 （2）若
，求角 的大小．
，且
，求
的长．
19. 设 是公比大于1的等比数列， 为数列 （1）求数列 的通项公式；
的前 项和．已知
，且
，，
构成等差数列．
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高一下学期数学月考试题
一、单选题
1. 已知向量
，
，则与
垂直的向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 若 ， 是任意实数，且 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 一元二次不等式 A．10
的解集是 B．-10
，则
的值是（ ） C．14
D．-14
4.
中，已知
，
，
，如果
有两组解，则 的取值范围是（ ）
，其中实数
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13. 圆柱的底面半径为3，侧面积为 ，则圆柱的体积为________．
14. 若向量 、 满足
，
，且 与 的夹角为 ，则
________．
15. 在
中，已知
，
，且最大内角为120°，则
的面积为________．
16. 给定参考公式：
，则数列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…的前100项的和是________．
的面积），且角 的平分线交
10. 设
，
A．
或
C．
，若
，且不等式
恒成立，则 的取值范围是（）
B．
或
D．
11. 正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为 ，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
12. 如图，已知点D为
的边BC上一点，
，
列 中，
，
，则 的通项公式为（ ）
为AC边的一列点，满足
（2）令
，证明：
．
20. 在 （1）设 （2）若
中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，
， ，求
，判断 周长的取值范围．
最时
． 的形状．
21. 已知 、 、
，且
（1）
；
（2）
．求证： ．
22. 已知等比数列 满足
，
，正项数列 前 项和为 ，且
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）令
，求数列 的前 项和 ；
A．
B．
C．
D．
5. 若 满足条件 A．1
，则
的最大值为（ ）
B．
C．2
6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
D．-5
A．
B．
C．
D．
7. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最 后一排的距离为10 m（如图），则旗杆的高度为（ ）
A．10 m
B．30 m
C．10 m
8. 设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且
A．若
，则
C．若 ，则
，
（）
B．若
，则
D．若
，则
D．10 m
9. 在
中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，若
于 ，满足
，则
A．有一个角是30°的等腰三角形
C．直角三角形
的形状是（ ）
（其中
表示
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
（3）若
，求对所有的正整数 都有
成立的 的范围．
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一数学理月考试卷含解析
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果集合，同时满足,就称有序集对为“好集对”。
这里有序集对意指，当时，和是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个。
A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B2. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点( ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度参考答案：C3. 若函数f（x）=log a（x2﹣ax+3）（a＞0且a≠1），满足对任意的x1．x2，当x1＜x2≤时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围为( )A．（0，1）∪（1，3）B．（1，3）C．（0.1）∪（1，2）D．（1，2）参考答案：D【考点】复合函数的单调性．【分析】解题的关键是将条件“对任意的x1．x2，当时，f（x1）﹣f（x2）＞0”转化成函数f（x）在（﹣∞，]上单调递减，然后根据符合函数的单调性的性质建立关系式，解之即可求出所求．【解答】解：“对任意的x1．x2，当时，f（x1）﹣f（x2）＞0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f（x）有意义”．事实上由于g（x）=x2﹣ax+3在x时递减，从而由此得a的取值范围为．故选D．【点评】本题考查复合函数的单调性，二次函数的单调性，同时考查了转化与划归的数学思想，是基础题．4. 点在映射下得对应元素为，则在作用下点的原象是（）A. B. C. D.参考答案：D略5. （5分）已知集合A={x|lgx≤1}，B={x|2x≤1}，则A∪B等于（）A．（0，10] B．（﹣∞，0] C．（0，+∞）D．（﹣∞，10]参考答案：D考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由对数函数、指数函数的性质求出集合A、B，再由并集的运算求出A∪B．解答：解：由lgx≤1=lg10得0＜x＜10，则集合A=（0，10]，由2x≤1=20得x≤0，则集合B=（﹣∞，0]，所以A∪B=（﹣∞，10]，故选：D．点评：本题考查并集及其运算，以及对数、指数函数的性质，属于基础题．6. 已知集合，，则( )参考答案：B7. 对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为，，，则（）．A．B．C．D．参考答案：D无论三种中哪一抽法都要求个体被抽概率相同．选．8. 已知f（x）=a x（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则a的值为（）A．3 B．4 C．﹣4 D．﹣4或3参考答案：A【考点】指数函数的图象与性质．【分析】对底数a分类讨论，根据单调性，即可求得最大值与最小值，列出方程，求解即可得到a的值．【解答】解：①当0＜a＜1时函数y=a x在[1，2]上为单调减函数∴函数y=a x在[1，2]上的最大值与最小值分别为a，a2，∵函数y=a x在[1，2]上的最大值与最小值和为12∴a+a2=12，∴a=3（舍）②当a＞1时函数y=a x在[1，2]上为单调增函数∴函数y=a x在[1，2]上的最大值与最小值分别为a2，a∵函数y=a x在[1，2]上的最大值与最小值和为12∴a+a2=12，∴a=3，故选：A．9. 下列说法中正确的说法个数为①由1，，1.5，，0.5 这些数组成的集合有5个元素；②定义在R上的函数，若满足，则函数为奇函数；③定义在R上的函数满足，则函数在R上不是增函数；④函数在区间上满足，则函数在上有零点；（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：A10. 下列四个函数中，与y=x表示同一个函数的是（）A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知奇函数，当时，则的单调减区间为;参考答案：(0,1)和(-1，0)略12. 函数的值域为____________。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学文科试题
………○__________班………○绝密★启用前黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学文科试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集U R =，集合A {2,1,=--0，1，2}，2B {x |x 4}=≥，则如图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{2,1,--0，1}B ．{}0C ．{}1,0-D ．{1,-0，1}2．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．如果,x y 是实数，那么“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．满足条件4,45a b A ︒===的三角形的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．无数D ．不存在5．角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35-，则θtan = A ．43-B ．43 C ．34-D ．346．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定7．已知4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则13sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．35-8．已知函数12(2),2(),2x f x x f x e x x --->⎧=⎨+≤⎩，则(2019)f =（ ） A ．2B ．1eC ．-2D ．4e +9．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π2410．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为( ) A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>12．已知2(tan )sin sin 2f x x x =-，记1sin ()2f α=，其中α是第四象限角，则tan()4πα+=（ ）A ．17B ．17-C ．7D ．-7第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题14．已知sin 21cos 3αα=-+，则sin 1cos αα-的值是__________．15．曲线x y a =在0x =处的切线方程是ln 210x y +-=，则a =__________． 16．已知下列命题：（1）00,2x ⎡⎤⎢⎥⎣∃∈⎦π，00sin cos x x +≥；（2）()3,x ∀∈+∞，221x x >+；（3）x ∀∈R ，1222xx+>； （4）0,2x ππ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，00tan sin x x >． 其中真命题为__________．（填所有真命题的序号） 三、解答题17．已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθθ=+，直线1l ：()6πθρ=∈R ，直线2l ：()3πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 交于O ，B 两点，求AOB V 的面积．18．已知函数()(),0f x x b x a a b =++->的值域为[)1,+∞． （1）若a b =，求a ，b 的值； （2）证明：3314a b +≥． 19．已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,,)A x R ωπφπ>>-<<∈在一个周期内的部分对应值如下表：（1）求()f x 的解析式； （2）求函数1()()2sin 2g x f x x =-的最大值及其对应的x 的值. 20．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a+的值； （2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 21．已知函数f （x ）=13x 312-（a 2+a+2）x 2+a 2（a+2）x ，a ∈R ． （1）当a=-1时，求函数y=f （x ）的单调区间； （2）求函数y=f （x ）的极值点． 22．已知函数()ln 1x f x me x =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1, (1))f 处的切线方程； （2）若(1,)m ∈+∞，求证：()1f x >.参考答案1．D 【解析】 【分析】由题意知{22}B x x x =≥≤-或，所以U B {x |2x 2}=-<<ð，则阴影部分为()U A B {1,⋂=-ð0，1}【详解】由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U A B ⋂ð，2B {x |x 4}{x |x 2=≥=≥Q 或x 2}≤-，A {2,1，=--0，1，2}，U B {x |2x 2}∴=-<<ð，即()U A B {1,⋂=-ð0，1}故选D ． 【点睛】本题考查Venn 图及集合的交集和补集运算，属基础题． 2．A 【解析】 【分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题. 3．C 【解析】 【分析】将两者相互推导，根据能否推导的情况判断出正确选项. 【详解】当“x y ≠”，可能cosx cosy =，如ππcos cos 33⎛⎫-= ⎪⎝⎭.当“cosx cosy ≠”，则“x y ≠”成立.故“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查余弦函数的性质. 4．B 【解析】 【分析】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即216186c c =+-解得c 再判断即可． 【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且4,45a b A ︒===，即216186c c =+-，即2620c c +=-，∴3c =+3c =-当3c =437a c b +=+=>=；当3c =437a c b +=+=+>=. 故选：B ． 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，分类讨论法，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果． 【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=()tan 0yx xα=≠.【解析】 【分析】由正弦定理得222a b c +<，再由余弦定理求得222cos 02a b c C ab+-=<，得到(,)2C ππ∈，即可得到答案. 【详解】因为在ABC ∆中，满足222sin sin sin A B C +<， 由正弦定理知sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，代入上式得222a b c +<， 又由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为C 是三角形的内角，所以(,)2C ππ∈，所以ABC ∆为钝角三角形，故选A. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C 的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】 由135632πππαα-=+-，再根据诱导公式即可求值. 【详解】135632πππαα-=+-Q ， 135sin sin sin 2sin 6323232πππππππαααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+--=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4sin cos 2335πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B . 【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题.【解析】 【分析】先由2x >，()()2f x f x =--得到函数()f x 的周期，将()2019f 化为()()31f f =-，再由2x ≤时的解析式，即可得出结果. 【详解】因为2x >，()()2f x f x =--，所以()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=，因此2x >，函数()f x 是以4为周期的函数，所以()()()()20193450431f f f f =+⨯==-，又2x ≤，()12x f x e x -=+，所以()()()20191112f f =-=-+=-.故选C 【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，熟记函数周期性即可，属于基础题型. 9．C 【解析】 【分析】因为结果得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭已知，可以逆向思考，反向得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，确定相等关系。
黑龙江哈尔滨市2019-2020学年高一数学下册期中检测题-附答案(已纠错)
哈32中2019-2020学年度下学期中测试高一数学试题一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共40分） 1、 15sin 75sin 15cos 75cos += （ ） A 、 100cos B 、 100sin C 、23 D 、21 2、已知41sin -=x ，则=x 2cos （ ） A 、87B 、87- C 、415 D 、415-3、函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 （ ） A 、π2 B 、π4 C 、4πD 、2π 4、函数x x y 4cos 34sin 3+=的最大值是 （ ） A 、3 B 、32 C 、3 D 、6 5、︒︒︒︒-+50tan 70tan 350tan 70tan = （ ） A 、3 B 、33 C 、33- D 、3- 6、关于零向量，下列说法中错误的是 （ ） A 、零向量是没有方向的 B 、零向量的长度为0 C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量的方向是任意的 7、BC DA CD AB +++= ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 8、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于 A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B9、已知)1,2(),,6(-=-=y ，且与共线，则y = （ ） A 、-6 B 、6 C 、3 D 、-310、已知向量、满足4||,1||==b a ，且,2=∙b a 则与的夹角为（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 二、填空题（每空4分，共20分） 11、已知33)6cos(=-απ，则=+)65cos(απ； 12、已知2||||==，,2)()2(-=-∙+则a 与b 的夹角为 ； 13．若3sin 5θ=，θ为第二象限角，则≡θ2sin _______. 14．等差数列{}n a 中，若377,3a a ==，则10a = ． 三、解答题（每题10分，共40分）15．求函数)32sin(π-=x y ，的周期及单调递减区间；16．已知πβαββαα<<<==0),sin ,(cos ),sin ,(cos b a ， （1）求||的值；（2）求证：+与-互相垂直。
黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2019-2020年高一数学文月考试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2019-2020年高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明。
图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)。
设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为A. 134B.866C. 300D.500参考答案：A2. 已知函数f（x）=2x2+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g （x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．[﹣4，4] B．（﹣4，4）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，﹣4）参考答案：C【考点】一元二次不等式的应用．【分析】对函数f（x）判断△=m2﹣16＜0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和﹣4进行讨论可得答案．【解答】解：当△=m2﹣16＜0时，即﹣4＜m＜4，显然成立，排除D当m=4，f（0）=g（0）=0时，显然不成立，排除A；当m=﹣4，f（x）=2（x+2）2，g（x）=﹣4x显然成立，排除B；故选C．【点评】本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．3. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 ( ）A．B．C．三棱锥的体积为定值D．参考答案：D4. 右边的程序框图，如果输入三个实数，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中应该填入A． B． C．D．参考答案：A5. 已知集合，，则这三个集合之间的关系是（）A． B． C． D．参考答案：B略6. 已知，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则（）A． B． C． D．A7. 函数的单调递增区间为A. B. C.D .参考答案：C8. 下列等式中一定成立的有()A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：A略9. 如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（）A．B．6 C．D．A【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由题意由题意知y=﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4），也可知点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM．由P2A⊥OA而求得．【解答】解：由题意知y=﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0）设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则：∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠PNO=∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB=∠PAB=45°，即P2A⊥OA；PM+MN+NP=P2M+MN+P1N=P1P2═2；，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的关系来解．10. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4C．6 D．8B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知则=参考答案：-2略12. 计算：log43?log98= ．参考答案：【考点】对数的运算性质；换底公式的应用．【分析】直接利用对数的运算性质，把要求的式子化为?，即?，运算求得结果．【解答】解：由对数的运算性质可得log43?log98=?=?=，故答案为．13. 高一（1）班共有50名学生，在数学课上全班学生一起做两道数学试题，其中一道是关于集合的试题，一道是关于函数的试题，已知关于集合的试题做正确的有40人，关于函数的试题做正确的有31人，两道题都做错的有4人，则这两道题都做对的有人．参考答案：25【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】设这两道题都做对的有x人，则40+31﹣x+4=50，由此可得这两道题都做对的人数．【解答】解：设这两道题都做对的有x人，则40+31﹣x+4=50，∴x=25．故答案为25．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查集合知识，比较基础．14. 已知，，则.参考答案：15. （4分）函数f（x）=；求f（f（-3））= ．参考答案：5考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用分段函数代入求值，注意自变量的大小．解答： f（﹣3）=﹣（﹣3）=3；f=f（3）=2×3﹣1=5；故答案为；5．点评：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．16. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 .参考答案：略17. sin(－120°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1050°)＝________.参考答案：1 ;三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市东北师范大学附属中学高一数学理月考试题含解析
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市东北师范大学附属中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0C．﹣12＜a＜0 D．a≤参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数f（x）=的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程ax2+ax﹣3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．【解答】解：由a=0或可得﹣12＜a≤0，故选B．2. 若函数f（x）=的定义域为（）A．[0，1）B．（0，1）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得0≤x＜1，即函数的定义域为[0，1），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．3. 设偶函数在上是增函数，则与的大小关系是（）A. B.C. D. 不能确定参考答案：A4. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为A． B．C．D．参考答案：C略5. 在中，若, , 则等于 ( )A． B． C．或 D．或参考答案：C6. 高为的四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为() A． B．C．1D．参考答案：C7. 一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（）A. B. C.D.参考答案：C8. 下列说法正确的是A 三点确定一个平面B 两条直线确定一个平面C 过一条直线的平面有无数多个D 两个相交平面的交线是一条线段参考答案：C9. 下列各组函数中是同一函数的是( )A．与y=x B．与y=x C．y=x0与y=1 D．与y=x参考答案：D【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A.=x，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两个函数的定义域不相同，不是同一函数．B.=|x|，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数．C．y=x0=1，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两个函数的定义域不相同，不是同一函数．D.=x，两个函数的定义域和对应法则相同是同一函数，故选：D【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．10. 当时,函数的最小值是（）AB CD参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数，的值域是________________.参考答案：[-2,2]略12. 设函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．参考答案：A13. 函数的y=|tan(2x-)|周期是___________．参考答案：略14. 已知等比数列{a n}的公比为2，若，则_____.参考答案：【分析】因为为等比数列，所以，所以，代入公式即可求的值。
2019-2020学年哈尔滨九中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年哈尔滨九中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设x，y∈R，向量a⃗=(x,1),b⃗ =(−1,y),c⃗=(2,−4)且a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗，则|a⃗+b⃗ |=()A. √5B. √10C. 2√5D. 102.下列符号判断错误的是()A. sin156°>0B. cos(−96°)>0C. tan3π5<0 D. sin(−3π5)<03.已知全集U=R，集合A={x|log3(2x−1)≤1}，B={x|y=√3x2−2x}，则A∩B=()A. (12,1] B. [23,2] C. (23,1] D. (12,23)4.在中，，则()A. B. C. D.5.若{b n}满足约束条件{x−1≥0x−y≤0x+y−4≤0，则z=x+2y的最小值为()A. 3B. 4C. 7D. 26.如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为()A. 4B. 8C. 16D. 207.若△A1B1C1三个角的正弦值分别等于△A2B2C2三个角的余弦值，则()A. △A1B1C1为锐角三角形，△A2B2C2也为锐角三角形B. △A1B1C1为锐角三角形，△A2B2C2为钝角三角形C. △A1B1C1为钝角三角形，△A2B2C2为锐角三角形D. △A1B1C1为钝角三角形，△A2B2C2也为钝角三角形8.三棱锥P−ABC中，D、E分别是三角形PAC和三角形ABC的外心，则下列判断一定正确的是()A. DE//PBB. 当AB =BC 且PA =AC 时，DE//PBC. 当且仅当AB =BC 且PA =AC 时，DE ⊥ACD. DE ⊥AC9.中，角所对的边分别为，已知，则角B 等于A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°10. 已知函数f(x)=2log 2(x −a)−log 2x.若对于任意的x ∈(0,+∞)，都有f(x)≥1，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−∞,−12]C. (−∞,−1]D. [−12,0)11. 如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，其三视图如图所示，则异面直线B 1A 与A 1C 所成角的余弦值为( )A. 45B. 8√55 C. 4√525D. 8√52512. 数列{a n }中，a 1=56，a n+1=(5n+10)a n(n 2+5n+6)an +5n+15，则a 99=( )A. 12019B. 20182019C. 12020D. 20192020二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为______ ．14. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=3，|a ⃗ +b ⃗ |=√13，则|b ⃗ |=______．15. 已知G 为△ABC 为重心，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√33c GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则∠A = ______ ．16.三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 设f(x)=|x|+2|x −a|(a >0) (1)当a =1时，解不等式f(x)≤4 (2)若f(x)最小值是4，求实数a 的取值．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC −ccos(A +C)=3acosB ． (1)求cos B 的值；(2)若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，且a =√6，求b 的值．19. 已知数列{a n }中满足a 1=1，a n+1−a n =2n (n ∈N +). (1)求数列{a n }的通项公式 (2)求数列{a n }的前n 项和S n ．20. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里? (Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?21. 已知函数f(x)=alnx−x2．,2]上的最大值；(1)当a=2时，求函数y=f(x)在[12(2)令g(x)=f(x)+ax，若y=g(x)在区间(0,3)上不单调，求a的取值范围；(3)当a=2时，函数ℎ(x)=f(x)−mx的图象与x轴交于两点A(x1,0)，B(x2,0)，且0<x1<x2，又ℎ′(x)是ℎ(x)的导函数，若正常数α，β满足条件α+β=1，β≥α.证明：ℎ′(αx1+βx2)<0．22. 设数列{a n}满足：a n+1=4+a n，且a1=1．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)若b n为a n与a n+1的等比中项，求数列{1b n2【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵a⃗⊥c⃗；∴a⃗⋅c⃗=2x−4=0；∴x=2；∵b⃗ //c⃗；∴4−2y=0；∴y=2；∴a⃗=(2,1),b⃗ =(−1,2)；∴a⃗+b⃗ =(1,3)；∴|a⃗+b⃗ |=√10．故选：B．根据a⃗⊥c⃗即可得出a⃗⋅c⃗=0，从而求出x=2，而根据b⃗ //c⃗即可得出4−2y=0，从而求出y=2，这样即可得出a⃗+b⃗ =(1,3)，从而求出|a⃗+b⃗ |=√10．考查向量垂直的充要条件，向量平行时的坐标关系，向量坐标的加法和数量积运算．2.答案：B解析：解：由于156°为第二象限角，故sin156°>0，故A正确．由于cos(−96°)=cos96°=−sin6°<0，故B不正确．由于tan3π5=tan(π−2π5)=−tan2π5<0，故C正确．由于sin(−3π5)=−sin3π5=−sin2π5<0，故D正确，故选：B．由条件利用三角函数在各个象限中的符号，诱导公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，诱导公式的应用，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．分别求出集合A和B，由此求出A∩B．解：∵全集U=R，集合A ={x|log 3(2x −1)≤1}={x|12<x ≤2}， B ={x|y =√3x 2−2x}={x|x ≤0或x ≥23}， ∴A ∩B ={x|23≤x ≤2}=[23,2]．故选B ．4.答案：B解析：试题分析：由正弦定理可知即，而，且均为三角形的内角，故，所以，故选B ．考点：1.三角形的边角关系；2.正弦定理．5.答案：A解析：解：由约束条件{x −1≥0x −y ≤0x +y −4≤0作出可行域如图，联立{x =1x −y =0，解得A(1,1)，化目标函数z =x +2y 为y =−x2+z2，由图可知，当直线y =−x2+z 2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.答案：C解析：解：由三视图可知，几何体一四棱锥，底面矩形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4 底面积S =6×2=12， 所以V =13Sℎ=13×12×4=16 故选：C ．由三视图可知，几何体是四棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4，按照锥体体积公式求解即可．本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，几何体的体积计算，考查计算能力，空间想象能力．7.答案：C解析：解：因为△A 1B 1C 1的三个内角的正弦值均大于0，所以△A 2B 2C 2的三个内角的余弦值也均大于0，则△A 2B 2C 2是锐角三角形． 若△A 1B 1C 1是锐角三角形，由{sinA 1=cosA 2=sin(π2−A 2)sinB 1=cosB 2=sin(π2−B 2)sinC 1=cosC 2=sin(π2−C 2)，得{ A 2+A 1=π2B 2+B 1=π2C 2+C 1=π2， 那么，A 1+B 1+C 1=π2，这与三角形内角和是π相矛盾； 若△A 1B 1C 1是直角三角形，不妨设A 1=π2， 则sinA 1=1=cosA 2，所以A 2在(0,π)范围内无值．综上所述，△A 1B 1C 1既不是锐角三角形也不是直角三角形，则△A 1B 1C 1是钝角三角形 故选：C ．首先根据正弦、余弦在(0,π)内的符号特征，确定△A 2B 2C 2是锐角三角形；然后假设△A 1B 1C 1是锐角三角形，则由cosα=sin(π2−α)推导出矛盾；再假设△A 1B 1C 1是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出△A 1B 1C 1是钝角三角形的结论．本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式，同时考查反证法思想．8.答案：D解析：解：取AC 中点F ，连接DF 、EF ，由外心可知，DF ⊥AC ，EF ⊥AC ，∵DF ∩EF =F ， ∴AC ⊥平面DEF ， ∵DE ⊂平面DEF ， ∴DE ⊥AC ． 故选D ．取AC 中点F ，连接DF 、EF ，由外心可知，DF ⊥AC ，EF ⊥AC ，利用线面垂直的判定与性质，即可得出结论．本题考查线面垂直的判定与性质，考查外心的性质，比较基础．9.答案：C解析：10.答案：B解析：解：由f(x)≥1整理得log 2(x −a)≥12log 2x +12=log 2√2x ， 所以x −a ≥√2x ，即a ≤x −√2x(x >0)， 令√x =t(t >0)，则a ≤t 2−√2t ．令g(t)=t 2−√2t ，其图象的对称轴为t =√22，所以g(t)min =g(√22)=12−√2×√22=−12，则a ≤−12． 故选：B ．由对数的运算性质可得x −a ≥√2x ，即a ≤x −√2x(x >0)，令√x =t(t >0)，则a ≤t 2−√2t.由二次函数的最值求法，即可得到所求范围．本题考查对数型函数及其应用，以及利用分离变量法求参数的取值范围，考查数学转化思想和运算能力，属于中档题．11.答案：D解析：由题意，可以将三棱柱补形为长方体ABDC −A 1B 1D 1C 1，得到异面直线B 1A 与A 1C 所成角为∠DB 1A ，再由余弦定理求解．本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．解：如图所示，可以将三棱柱补形为长方体ABDC−A1B1D1C1，可得B1D//A1C，则异面直线B1A与A1C所成角为∠DB1A，由三视图可知，B1D=5,B1A=2√5,AD=√13，∴cos∠DB1A=B1D2+B1A2−AD22B1D⋅B1A =8√525．即异面直线B1A与A1C所成角的余弦值为8√525．故选：D．12.答案：C解析：解：由a n+1=(5n+10)a n(n2+5n+6)a n+5n+15=5(n+2)a n(n+3)[(n+2)a n+5]，故(n+3)a n+1=5(n+2)a n(n+2)a n+5，记b n=(n+2)a n，则b n+1=5b nb n+5，两边取倒数，得1b n+1=15+1b n，所以{1bn }是以15为公差的等差数列，又1b1=13a1=25，所以1b n=25+(n−1)15=n+15，所以a n=b nn+2=5(n+1)(n+2)，故a99=5100×101=12020．故选：C ．利用递推关系式推出(n +3)a n+1=5(n+2)a n(n+2)an+5，记b n =(n +2)a n ，则b n+1=5b nb n+5，转化推出{1b n}是以15为公差的等差数列，求解通项公式，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，转化思想以及换元法的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难度比较大的题目．13.答案：18π解析：本题考查该圆锥的侧面积，考查学生的计算能力，比较基础．由题意得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积． 解：由题意得：底面直径和母线长均为6， S 侧=12×2π×3×6=18π． 故答案为18π．14.答案：1解析：解：∵|a ⃗ |=3，|a ⃗ +b ⃗ |=√13，∴13=|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =9+b ⃗ 2+3|b ⃗ |，则|b ⃗ |=1． 故答案为：1由向量的数量积的性质可知，13=|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入即可求解．本题主要考查了平面向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．15.答案：π6解析：解：因为G 为△ABC 为重心，所以GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 所以，GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 又因为a GA⃗⃗⃗⃗⃗ +b GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√33c GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以：a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b GB ⃗⃗⃗⃗⃗ −√33c(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， 所以(a −√33c)GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(b −√33c)GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以a −√33c =0，b −√33c =0，所以，a =b =√33c ， 所以，由余弦定理：cosA =b 2+c 2−a 22bc=13c 2+c 2−13c 22√33c =√32， 可得：A =π6．故答案为：π6．G 为△ABC 为重心可得GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，代入已知可得a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b GB ⃗⃗⃗⃗⃗ −√33c(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ，整理有(a −√33c)GA⃗⃗⃗⃗⃗ +(b −√33c)GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可求a =b =√33c ，由余弦定理可求cos A ，从而得解．本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义，余弦定理的简单应用，属于基本知识的考查．16.答案：−2解析：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 解：∵曲线y =x n+1(n ∈N ∗)， ∴y′=(n +1)x n ，∴f′(1)=n +1，∴曲线y =x n+1(n ∈N ∗)在(1,1)处的切线方程为y −1=(n +1)(x −1)，该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =，∵a n =lgx n ，∴a n =lgn −lg(n +1)，∴a 1+a 2+⋯+a 99=(lg1−lg2)+(lg2−lg3)+(lg3−lg4)+(lg4−lg5)+(lg5−lg6)+⋯+(lg99−lg100) =lg1−lg100=−2． 故答案为：−2．17.答案：解：(1)当a =1时，不等式f(x)≤4可化为：|x|+2|x −1|≤4，当x <0时，原不等式可化为：2−3x ≤4，解得：x ≥−23， ∴−23≤x <0，当0≤x ≤1时，原不等式可化为：2−x ≤4，解得：x ≥−2， ∴0≤x ≤1，当x >1时，原不等式可化为：3x −2≤4，解得：x ≤2，∴0<x ≤2，综上所述不等式f(x)≤8的解集为[−23,2]； (2)∵f(x)=|x|+2|x −a|={2a −3x,x <02a −x,0≤x ≤a 3x −2a,x >a则f(x)在(−∞,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增， ∴当x =a 时，f(x)取最小值a ， ∴a =4．解析：(1)将a =1代入，利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，进而分类讨论各段上f(x)≤4的解，最后综合讨论结果，可得不等式f(x)≤4的解集；(2)利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，结合一次函数的单调性可分析出函数的f(x)的单调性，进而求出函数f(x)的最小值，得到实数a 的取值．本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值不等式，其中利用零点分段法，将函数的解析式化成分段函数的形式，进而分类讨论是解答此类问题的通法．18.答案：解：(1)在△ABC 中，cos(A +C)=cos(π−B)=−cosB ，∴bcosC −ccos(A +C)=3acosB 可化为bcosC +ccosB =3acosB ． 由正弦定理可得：sinBcosC +sinCcosB =3sinAcosB ， 可得sin(B +C)=3sinAcosB ，即sinA =3sinAcosB. 又sinA ≠0, 故cosB =13．(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2可得accosB =2， 即ac =6，由a =√6，可得c =√6．由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得b =2√2．解析：本题综合考查了三角形内角和定理、诱导公式、正弦余弦定理、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． (1)利用三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理即可得出； (2)利用数量积运算、余弦定理即可得出．19.答案：解：(1)∵a 1=1，a n+1−a n =2n (n ∈N +)，∴a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=2n−1+2n−2+⋯+2+1=2n−12−1= 2n−1．(2)数列{a n}的前n项和S n=(2+22+⋯+2n)−n=2×2n−12−1−n=2n+1−2−n．解析：(1)利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．(2)利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了“累加求和”方法、等比数列的求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里；因为所以设追击时间为t，则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解．21.答案：(1)解：∵函数f(x)=alnx−x2，可得当a=2时，f′(x)=2x −2x=2−2x2x，故函数y=f(x)在[12,1]是增函数，在[1,2]是减函数，∴f(x)max=f(1)=2ln1−12=−1．(2)解：∵g(x)=alnx−x2+ax，∴g′(x)=ax−2x+a．∵g(x)在区间(0,3)上不单调，∴g′(x)=0在(0,3)上有实数解，且无重根，由g′(x)=0，有a=2x2x+1=(x+1)2−2(x+1)+1x+1=2(x+1+1x+1)−4∈(0,92)，(x∈(0,3))，综上可得，a∈(0,92)．(3)证明：由题意可得，ℎ′(x)=2x−2x−m，又f(x)−mx=0有两个实根x1，x2，∴{2lnx1−x12−mx1=02lnx2−x22−mx2=0，两式相减，得2(lnx1−lnx2)−(x12−x22)=m(x1−x2)，∴m=2(lnx1−lnx2)x1−x2−(x1+x2)．于是ℎ′(αx1+βx2)=2αx1+βx2−2(αx1+βx2)−2(lnx1−lnx2)x1−x2+(x1+x2)=2αx1+βx2−2(lnx1−lnx2)x1−x2+(2α−1)(x2−x1)，∵β≥α，∴2α≤1，∴(2α−1)(x2−x1)≤0．要证：ℎ′(αx1+βx2)<0，只需证：2αx1+βx2−2(lnx1−lnx2)x1−x2<0，只需证：x1−x2αx1+βx2−ln x1x2>0(∗)．令x1x2=t∈(0,1)，∴(∗)化为1−tαt+β+lnt<0，只证u(t)=lnt+1−tαt+β<0即可．∵u′(t)=1t +−(αt+β)−(1−t)α(αt+β)2=1t−1(αt+β)2=(αt+β)2−tt(αt+β)2=α2(t−1)(t−β2α2)t(αt+β)2，又∵β2α2≥1,0<t<1，∴t−1<0，∴u′(t)>0，∴u(t)在(0,1)上单调递增，故有u(t)<u(1)=0，∴lnt+1−tαt+β<0，即x1−x2αt+β+ln x1x2<0，∴ℎ′(αx1+βx2)<0．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．(1)当a=2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y=f(x)在[12,2]上的最大值；(2)先求得g′(x)=ax−2x+a，因为g(x)在区间(0,3)上不单调，所以g′(x)=0在(0,3)上有实数解，且无重根．由g′(x)=0，求得a=2x2x+1=2(x+1+1x+1)−4∈(0,92)，由此可得a的范围；(3)由题意可得，f(x)−mx=0有两个实根x1，x2，化简可得m=2(lnx1−lnx2)x1−x2−(x1+x2).可得ℎ′(αx1+βx2)=2αx1+βx2−2(lnx1−lnx2)x1−x2+(2α−1)(x2−x1)，由条件知(2α−1)(x2−x1)≤0，再用分析法证明ℎ′(αx1+βx2)<0．22.答案：解：(1)∵a n+1=4+a n，且a1=1，∴a n=1+4(n−1)=4n−3；(2)由(1)可知b n2=a n a n+1=(4n−3)(4n+1)，∴1b n2=1(4n−3)(4n+1)=14(14n−3−14n+1)，∴T n=14(1−15+15−19+⋯+14n−3−14n+1)=14(1−14n+1)=n4n+1．解析：(1)直接利用等差数列的通项公式即得结论；(2)通过(1)裂项可知1b n2=14(14n−3−14n+1)，进而并项相加即得结论．本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2020年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一数学文月考试题含解析
2020年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数 (a＞0，a≠1)在R上既是奇函数，又是增函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图像是( )参考答案：D略2. 在正方体中，二面角的平面角等于（）A B C D参考答案：B 略3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AD，AA1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A. A1B1B. BB1C. B1C1D. A1D1参考答案：D【分析】根据线线、线面的位置关系判断出结果.【详解】解：根据异面直线的定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线，可得与是异面直线，故A选项不正确；因为，平面，平面，所以平面，所以与平面无公共点，因为平面，所以与不相交，故选项B不正确；同理与不相交，故选项C不正确；因为平面，平面，且不平行于，故与相交，故选D.【点睛】本题考查了空间中两直线的位置关系，判断空间中的两条直线位置关系可以从两直线是否共面角度、线面平行角度等等判断.4. 函数的图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据正切函数的对称中心为，可求得函数y图象的一个对称中心．【详解】由题意，令，，解得，，当时，，所以函数的图象的一个对称中心为．故选：C．【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用问题，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5. 直线在两坐标轴上截距之和为2，则k为（）A. 24B. 12C.10D. -24参考答案：D因为直线的方程为：3x﹣4y+k=0，令x=0，可得y= ，令y=0，可得x=﹣，故直线在两坐标轴上的截距之和为=2，解得k=﹣24．故选：D．6. 已知集合，则（）A、 B、 A C、 D、参考答案：A略7. 已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若,b=则a =( ) A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知利用正弦定理可求的值，根据余弦定理可得，解方程可得的值．【详解】，，，由正弦定理，可得：，由余弦定理，可得：，解得：，负值舍去．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．8. 下列函数中，周期为，且在区间上单调递减的是A．B．C.D．参考答案：A9. 设函数f（x）=2x+1的定义域为[1，5]，则函数f（2x﹣3）的定义域为（）A．[1，5] B．[3，11] C．[3，7] D．[2，4]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意知1≤2x﹣3≤5，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤2x﹣3≤5，解得2≤x≤4，∴所求函数f （2x ﹣3）的定义域是[2，4]． 故选D ．【点评】本题的考点是抽象函数的定义域的求法，由两种类型：①已知f （x ）定义域为D ，则f （g （x ））的定义域是使g （x ）∈D 有意义的x 的集合，②已知f （g （x ））的定义域为D ，则g （x ）在D 上的值域，即为f （x ）定义域．10. 如果指数函数y=（a ﹣1）x 是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞2B ．a ＜2C ． a ＞1D ．1＜a ＜2参考答案：A【考点】指数函数的图像与性质． 【专题】函数的性质及应用．【分析】由指数函数的单调性可得a ﹣1＞1，解不等式可得． 【解答】解：∵指数函数y=（a ﹣1）x 是增函数， ∴a﹣1＞1，解得a ＞2 故选：A【点评】本题考查指数函数的单调性，属基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合，集合,且，则．参考答案： 略12. 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则点D的坐标为▲ .参考答案：13. 已知下列命题中：①终边在y 轴上的角的集合是{a |a =}；②是函数的一条对称轴方程；③函数的零点是2，3；④若是锐角，则sinx+cosx>1成立； 其中正确的命题序号为__________________． 参考答案：②③④ 略14. 已知函数，则的单调减区间为 .参考答案：略15. 函数的单调增区间为_______________.参考答案：【分析】将函数解析式变形为，然后解不等式，即可得出该函数的单调递增区间.【详解】，要求函数的单调增区间，即求函数的单调递减区间，解不等式，得，因此，函数单调增区间为.故答案为：. 【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，在求解时要将自变量的系数化为正数，考查运算求解能力，属于基础题. 116. 已知扇形的周长为10cm ，面积为4cm 2，则扇形的中心角等于 （弧度）.参考答案：17. 已知，且，则= ．参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
黑龙江哈尔滨市2019-2020学年高一数学下册期中检测题-附详细答案
哈32中2019-2020学年度下学期中测试高一数学试题一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共40分） 1、 15sin 75sin 15cos 75cos += （ ） A 、 100cos B 、 100sin C 、23 D 、21 2、已知41sin -=x ，则=x 2cos （ ） A 、87B 、87- C 、415 D 、415-3、函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 （ ） A 、π2 B 、π4 C 、4πD 、2π 4、函数x x y 4cos 34sin 3+=的最大值是 （ ） A 、3 B 、32 C 、3 D 、6 5、︒︒︒︒-+50tan 70tan 350tan 70tan = （ ） A 、3 B 、33 C 、33- D 、3- 6、关于零向量，下列说法中错误的是 （ ） A 、零向量是没有方向的 B 、零向量的长度为0 C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量的方向是任意的 7、BC DA CD AB +++= ( ) A 、BD B 、AC C 、0 D 、AB 8、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于 A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B9、已知)1,2(),,6(-=-=b y a ，且a 与b 共线，则y = （ ） A 、-6 B 、6 C 、3 D 、-3 10、已知向量a 、b 满足4||,1||==b a ，且,2=∙b a 则a 与b 的夹角为（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 二、填空题（每空4分，共20分） 11、已知33)6cos(=-απ，则=+)65cos(απ； 12、已知2||||==b a ，,2)()2(-=-∙+b a b a 则a 与b 的夹角为 ； 13．若3sin 5θ=，θ为第二象限角，则≡θ2sin _______. 14．等差数列{}n a 中，若377,3a a ==，则10a = ． 三、解答题（每题10分，共40分）15．求函数)32sin(π-=x y ，的周期及单调递减区间；16．已知πβαββαα<<<==0),sin ,(cos ),sin ,(cos b a ， （1）求||a 的值；（2）求证：b a +与b a -互相垂直。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨第九中学上学期高三第二次月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨第九中学上学期高三第二次月考数学（理）试题一、单选题1．复数z=，则z的共轭．．复数为（）A．i B．-i C．1-i D．)i 【答案】B【解析】由题意得z i=，即可得解.【详解】由题意1iz i+===，所以z的共轭复数为i-.故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算和共轭复数的概念，属于基础题.2．若,a b是任意实数，且a b>，则（）A．22a b>B．1ba<C．()10g a b->D．1122a b⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据指数函数的单调可得D正确，举反例可判断其他选项是错误的.【详解】解：a、b是任意实数，且a b>，如果0a=，2b=-，显然A不正确；如果0a=，2b=-，显然B无意义，不正确；如果0a=，12b=-，显然C，102lg<，不正确；因为指数函数12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b>，1122a b⎛⎫⎛⎫∴<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．故选：D．【点睛】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，属于基础题．3．已知等比数列{}n a 的各项都为正数，且3a ，512a ，4a 成等差数列，则公比q 为（ ）A ．51- B ．51+ C ．35- D ．35+ 【答案】B【解析】转化条件得234111a q a q a q +=，解出方程后即可得解.【详解】由题意得234111a q a q a q +=，10a ≠，0q >，所以21q q +=，解得51q +=或512q =-+（舍去）. 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于基础题. 4．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．6π B ．3π C ．2πD ．π 【答案】A【解析】试题分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积21212S ππ=⨯⨯=，高1h =，故半圆锥的体积136V Sh π==，故选：D ． 【考点】由三视图求面积、体积．5．将函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向左平移6π后，图象关于原点对称，则ϕ的可能值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】先求出平移之后的函数()sin(2)3g x x πϕ=++，由题意令()3k k ϕπ+=π∈Z 即可得解. 【详解】设平移之后的函数为()g x ，由题意()sin(2)3g x x πϕ=++，Q ()g x 图象关于原点对称，∴()3k k ϕπ+=π∈Z 即()3k k ϕπ=π-∈Z . 当1k =时，23ϕπ=. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的平移和三角函数的性质，属于基础题. 6．下列命题是真命题的是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，0303log xx <B ．若a b >，则22am bm >C ．已知A ，B 为ABC V 的两个内角，若A B >，则cosA cosB <D ．函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的所有对称中心为,0()26k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】根据3xy =与3log y x =的图像关于直线y x =对称，可判断A 选项；由不等式的性质可判断B 选项；由三角函数的性质可判断C 、D 选项.即可得解. 【详解】令()3xf x x =-，当(0,)x ∈+∞时，()ln3031xf x -'>=，所以()()300xx f f x ->==即3x x >，由3xy =与3log y x =的图像关于直线y x =对称，故A 错误；当0m =时，22am bm =，故B 错误；(),0,A B π∈，若A B >，由余弦函数单调性可知C 正确；令232k x ππ-=可得46k x ππ=+，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为,0()46k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的关系、不等式的性质和三角函数的性质，属于基础题. 7．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，201820192017S S S <<，则n S 取最小值时n 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．2020【答案】B【解析】结合等差数列前n 项和性质2n S an bn =+，再结合二次函数的性质作出图象即可得解. 【详解】由等差数列前n 项和的性质可得2n S an bn =+，由二次函数的性质结合题意可知2018S 、2019S 、2017S 的关系如图：易知n S 取最小值时n 的值为2018. 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质与二次函数的性质，考查了数形结合的思想，属于基础题.8．已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><图象的最高点与相邻的最低点分别为M ，N ，若直线2230x y +-=经过M ，N 两点，则（ ） A ．2πω=，4πϕ=B ．ωπ=，0ϕ=C ．2πω=，4πϕ=-D ．ωπ=，2ϕπ=【答案】A【解析】由题意得1,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,12N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出T 后可得ω，再令()12222k k Z ππϕπ⨯+=+∈即可得解. 【详解】由题意得M 、N 的纵坐标分别为1、1-，Q 直线2230x y +-=经过M 、N 两点，可得1,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,12N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴512222T =-=，∴22T ππω==，∴()12222k k Z ππϕπ⨯+=+∈即()24k k Z πϕπ=+∈. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+解析式的确定，属于基础题.9．已知平面向量(2cos ,2sin )a αα=r，(cos ,sin )b ββ=r ，若对任意的正实数λ，||a b λ-r r ，则此时||a b -=rr （ ）A ．1B CD ．2【答案】B 【解析】由题意得a b λ-=r r ，可得()1cos 2αβ-=，表示出||a b -rr 即可得解. 【详解】由题意得()2cos cos ,2sin sin a b λαλβαλβ-=--r r，∴a b λ-==r r≥， 当且仅当()2cos 0λαβ=->时，等号成立，∴()244cos 3αβ--=解得()1cos 2αβ-=或()1cos 2αβ-=-（舍去）.∴||a b -=r r==故选：B. 【点睛】本题考查了利用坐标表示向量的模与三角函数的化简，考查了函数思想，属于中档题.10．对于大于1的白然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，373911⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是123，则m 为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】由题意从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数共()()212m m +-，而123是从3开始的第61个奇数，通过给m 赋值即可得解. 【详解】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数共()()212342m m m +-+++⋅⋅⋅+=个，123是从3开始的第12331612-+=个奇数，当10m =时，用去了()()210101542+-=个奇数，当11m =时，用去了()()211111652+-=个奇数，故11m =.故选：C. 【点睛】本题考查了归纳推理的能力，属于中档题.11．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．()31,4D ．()34,2【答案】D【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,34<a <2， 故答案为34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解12．已知数列{}n a 满足11a =，2122(1)24nn n n n a a a na n ++=++，则8a =（ ） A ．64892-B ．32892-C ．16892-D ．7892- 【答案】A【解析】转化条件得21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，再对两边同时取对数1lg 2lg n n b b +=可得，可得648lg lg 9b =，即可得解.【详解】由题意得222124(1)1n n n na na n a n a +++=+， 则2222212414222n n n n n n n a na n n n n na a a a a +⎛⎫⎛⎫+++==++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2nn n b a =+，则21n n b b +=， 对两边同时取对数得1lg 2lg n n b b +=，由11a =可得13b =，1lg lg 3b =， 则数列{}lg n b 是以lg 3为首项，公比为2的等比数列，∴7648lg 2lg 3lg 9b ==，∴6489b =，∴684892a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了转化化归的思想，属于难题.二、填空题13．已知向量(1,2)a =r ，(1,)b m =-r ，若//()a a b -r r r，则m =________.【答案】-2【解析】先求出()2,2a b m -=-r r ，利用向量共线的性质可得2220m --⨯=，即可得解. 【详解】Q 向量(1,2)a =r ，(1,)b m =-r ，∴()2,2a b m -=-rr ，又//()a a b -r r r ，∴2220m --⨯=即2m =-.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示和平面向量共线的坐标表示，属于基础题. 14．已知a ，b 为正实数，且30a b ab +-+=，则ab 的最小值为_________. 【答案】9【解析】转化条件为30ab +≤3≥，即可得解. 【详解】由题意得323a b ab ab ab +-+≥-+即230ab ab -+≤， 转化为：()()310ab ab -+≥解得3ab ≥或1ab ≤-（舍去），∴9ab ≥，当且仅当3a b ==时等号成立.故答案为：9. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，属于中档题.15．已知点G 是△ABC 的重心，AG u u u r ＝λAB u u u r ＋μAC u u u r （λ，μ∈R ），若∠A ＝120°，AB u u u r ·ACu u ur ＝－2，则｜AG u u u r｜的最小值是_____________．【答案】【解析】延长AG 交BC 于点D因为G 是ABC ∆的重心，所以D 是BC 中点，23AG AD =u u u r u u u r而,0AD AB BD AC CD BD CD =+=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，则1()3AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r 因为120,2A AB AC ∠=⋅=-o u u u r u u u r ，所以21cos 2AB AC A AB AC AB AC⋅-===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故4AB AC ⋅=u u u r u u u r所以2222111||2||4333AG AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 122433AB AC ≥⋅-=u u u r u u u r 当且仅当AB AC =u u u r u u u r 时取等号 所以AG 的最小值为2316．设f'（x ）是函数f （x ）的导数，f''（x ）是函数f'（x ）的导数，若方程f''（x ）=0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数f （x ）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g （x ）=x 3﹣3x 2+4x+2，利用上述探究结果计算：1231910101010g g g g L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． 【答案】76【解析】由题意可得：()()2'36,''66g x x x g x x =-=-，令()''0g x =可得1x =，()113424g =-++=， 则函数()g x 关于点()1,4中心对称，据此可得：119218911248101010101010g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 则：1231910101010g g g g L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭89476⨯+=.三、解答题17．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+，x ∈R . （1）求函数()f x 的对称轴和单调递减区间； （2）若6()5f α=且7312ππα<<，求12f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）对称轴23k x ππ=+，k Z ∈，单调减区间5,36k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭k Z ∈（2 【解析】（1）由题意得()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()262x k k Z πππ-=+∈即可求出对称轴，令()322,2622x k k k Z πππππ⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭即可求得单调减区间； （2）由题意得3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由7312ππα<<可得4cos 265πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用2sin 21266f πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可得解.【详解】 （1）由题意2()cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，令()262x k k Z πππ-=+∈，解得()32k x k Z ππ=+∈， ∴函数()f x 的对称轴为()32k x k Z ππ=+∈.令()322,2622x k k k Z πππππ⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭，解得()5,36ππk πk πZ x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+∈+， ∴函数()f x 的单调递减区间为()5,36ππk πk Z k π⎛⎫ ⎪⎝⎭+∈+.（2）由6()5f α=可得3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又7312ππα<<，∴226ππαπ<-<，∴4cos 265πα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭， ∴2sin 22sin 21266f πππααα⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2sin 66341422cos 226652525ππαπαπ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⨯⨯-⨯⨯=⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的化简、()sin y A ωx φ=+的性质、两角和正弦公式的应用，属于基础题.18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，2S ，2成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设22log n n b a =-，令21n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）511122426n T n n =--++ 【解析】（1）转化条件11(2)2n n a a n -=≥，再由1a ，2S ，2成等差数列求出11a =，即可得解；（2）转化条件得1(1)(3)n c n n =++，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）当2n ≥时，11n n n n n a S S a a --==-+-，即11(2)2n n a a n -=≥， 又 1a ，2S ，2成等差数列, ∴1111222a a a ⎛⎫+=+⎪⎝⎭即11a =，则112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）()21122log n n b n a n ==--=+-，1111(1)(3)213n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭.则111111111224354613n T n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭1111151122323122426n n n n ⎛⎫=+--=-- ⎪++++⎝⎭. 【点睛】本题考查了数列通项的求解及裂项相消法的应用，属于基础题.19．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C的对边，2sin sin()sin 2b A A C B +=.（1）求角B ；（2）若ABC V 为锐角三角形，且2c =，求ABC V 面积的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）2ABC S <<△ 【解析】（1）转化条件得sin B B =，求出tan B =（2）由题意2ABC S =V ，由正弦定理结合23A C π+=得1tan a C =+，根据ABC V 为锐角三角形求得62C ππ<<，即可求得14a <<，即可得解.【详解】（1）由正弦定理得：2sin sin sin()sin cos B A A C A B B +=，∵A C B π+=-且sin 0A ≠，sin 0B ≠，∴sin B B =，∴tan B = ∵(0,)B π∈，∴3B π=.（2）由题意得：1sin 22ABC S ac B ==V ，由正弦定理得：22sin sin sin 31sin sin sin tan C c A C C a C C C Cπ⎛⎫- ⎪+⎝⎭===+=，又 ABC V 为锐角三角形，∴2032C ππ<-<，02C <<π故62C ππ<<，∴tan C >，∴14a <<，ABC S <<△【点睛】本题考查了正弦定理和三角形面积公式的应用，考查了转化化归的思想，属于中档题. 20．已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+. （1）求2a ，3a ； （2）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （3）数列{}n b 满足()312nn nnn b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为nT ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（1）214a =，3113a =（2）见解析，231n n a =-（3）23λ-<<【解析】（1）根据递推公式依次求出2a ，3a 即可得解；（2）转化条件得11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合111322a +=可得11322n n a +=即可得解；（3）由题意12n n n b -=，利用错位相减法可得1242nn n T -+=-，则条件可转化为12(1)42n n λ--<-，根据n 为偶数、n 为奇数分类讨论即可得解. 【详解】（1）由11a =得112134a a a =+=，2231313a a a ==+. （2）由13n n n a a a ++=得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32是为首项，3为公比的等比数列. 所以111333222n n n a -+=⨯=，即231n n a =-.（3）()12231nnnn n b an n --⋅==， 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯， 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯L . 两式相减得121011111222222222n n n n T n n -+=+++⋯+-⨯=-，1242n n n T -+=-，所以12(1)42n n λ--<-.令()()*1242n f n n -=-∈N ，易知()f n 单调递增， 若n 为偶数，则()21242f n λ-<-≤，所以3λ<； 若n 为奇数，则()11242f n λ--<-≤，所以2λ-<，所以2λ>-. 所以23λ-<<. 【点睛】本题考查了递推公式的应用、等比数列的证明、数列通项的求解、错位相减求数列前n 项和，考查了恒成立问题的处理方法和分类讨论的思想，属于中档题. 21．已知函数2()ln 2a f x x x =+，()(1)g x a x =+. （1）若1a =-，求()f x 的极大值点；（2）若函数()()()h x f x g x =-，判断()h x 的单调性；（3）若函数()()()m x f x g x x =-+有两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()12ln 2am x m x a -<-. 【答案】（1）1x =（2）见解析（3）见解析【解析】（1）求导21()x f x x-'=，求出()f x 的单调区间后即可得解；（2）由题意得(1)(1)()ax x h x x'--=，根据0a =、01a <<、1a =、1a >分类讨论()h x '的正负，即可得解；（3）由21()ax ax m x x'-+=可得121x x =+，1210x x a =>且4a >，则可得()()()12111ln ln 2am x m x x ax ax -=++-，10x <<()ln ln()2ap t t at at =++-，根据()p t 的单调性求出()p t 的最大值后即可得解. 【详解】（1）当1a =-时，21()x f x x-'=.当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以1x =是()f x 的极大值点. （2）由已知得2()()()ln (1)2a h x f x g x x x a x -=-=++， ()h x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()ax x h x x'--=.当0a =时，1()xh x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 当0a <时，由(1)(1)()0ax x h x x--'==，得1x =或10x a =<.因而当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减.当01a <<时，由(1)(1)()0ax x h x x--'==，得1x =或11x a =>.因而当()0,1x ∈与1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增，当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减.当1a =时，()0h x '≥，因而当(0,)x ∈+∞时，()h x 单调递增. 当1a >时，由(1)(1)()0ax x h x x--'==.得1x =或11x a =<，因而当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭与(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减.综上所述，当0a …时，()h x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； 当01a <<时，()h x 在()0,1与1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()h x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭与(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （3）2()ln 2a m x x x ax =+-，则()m x 的定义域为(0,)+∞. 21()ax ax m x x'-+=. 若()m x 有两个极值点()1212,x x x x <，则方程210ax ax -+=的判别式240a a =->V ，且121x x =+，1210x x a=>，4a >. 又12x x <，∴21121x x x a <=即10x <<()()()()22121111111ln ln 112a m x m x x x x a x x ax ⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=+---- ⎪⎣⎦⎣-⎦⎝⎭- ()111ln ln 2ax ax ax =++-， 设()ln ln()2ap t t at at =++-其中1t x ⎛=∈ ⎝. 由2()0p t a t'=-=得2t a =.由于220a a =<即2a <， ∴()p t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2a ⎛ ⎝上单调递减， 即()p t 的最大值为()22ln 21ln ln 22a a p a a a ⎛⎫=-+-<- ⎪⎝⎭. 从而()()12ln 2am x m x a -<-成立. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了转化化归思想和计算能力，属于难题. 22．在极坐标系中，直线:sin()43l πρθ+=，圆:4sin C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy .（1）求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；（2）已知点P 在圆C 上，P 到l 和x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最大值. 【答案】（1）直线l80y +-=；圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，且02απ≤<）；（2）7 【解析】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可；(2)结合(1)中的结论得到关于12d d +的表达式，结合三角函数的性质确定其最大值即可. 【详解】（1）由:43l sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得，1422sin cos ρθρθ+=； 所以直线l80y +-=；由圆:4C sin ρθ=得，24sin ρρθ= ，因为x cos ρα=，y sin ρα= ，222x y ρ=+，所以圆C 直角坐标方程为：()2224x y +-= 由()2224x y +-=得， 圆C 的参数方程为2,22x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，且02απ≤<），（2）设点P 坐标为()2,22cos sin αα+，则1d ==3sin αα-，222d sin α=+．那么125253d d sin sin πααα⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭， 当56πα=时，12d d +取得最大值7． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（1）已知不等式|2|8x t t +-≤的解集是{|54}x x -≤≤，求实数t 的值；（2）已知实数x ，y ，z 满足22211249x y z ++=，求x y z ++的最大值. 【答案】（1）1（2）max()x y z ++=【解析】（1）转化条件得828t x t t --≤+≤+，结合不等式解集可得45t --=-，即可得解；（2）由柯西不等式得2222(149)()49y z x x y z ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）由|2|8x t t +-≤得80t +≥，∴8t ≥-，828t x t t --≤+≤+，44t x --≤≤.由|2|8x t t +-≤的解集是||54}x x -≤≤，得45t --=-，1t =.（2）由柯西不等式22222(149)123()4923y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++++≥⋅+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴228()x y z ≥++即x y z -≤++≤，当且仅当320123z y x ==>即049y z x ==>且222249y z x ++=，亦即x =，y =，z =时，max ()x y z ++=【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用，属于中档题.。
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一(下)4月月考数学试卷(有答案解析)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一（下）4月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知数列，则是这个数列的第项．A. 20B. 21C. 22D. 232.已知，则的最大值为A. B. 2 C. 4 D.3.在等差数列中，，，则其公差为A. 2B. 1C.D.4.若是边长为1的等边三角形，向量，有下列命题：；与垂直；；其中正确的命题的个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.如图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图．若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列，的前n项和为，则下列说法中正确的是A. 数列是递增数列B. 数列是递增数列C. 数列的最大项是D. 数列的最大项是6.在平行四边形ABCD中，设，，，，则A. B. C. D.7.已知等差数列的前11项之和为，则等于A. B. C. D. 18.已知满足，则是A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形9.在等差数列中，，其前n项和为，若，则A. 0B. 2 018C.D. 202010.已知数列满足：，则A. B. 5 C. D.11.设等比数列的前n项和为若，，则A. 31B. 32C. 63D. 6412.如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上含原点滑动，则的最大值是A. B. 5 C. 6 D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则t的值为______．14.等差数列中，，，则此数列的前15项之和是______．15.将以下正确命题的序号填写在横线上______．若，，且与夹角为锐角，则；点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的重心；若中，，则是钝角三角形；若，则点P为ABC的内心．16.已知数列的各项都是正数，其前n项和满足，，则数列的通项公式为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列满足，且求：的通项公式前100项的和．18.已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是、的等差中项．证明数列是等比数列求数列的通项公式19.已知向量．求向量，的夹角；求的值．20.已知向量，且，其中A是的内角．求角A的大小若，求面积S的最大值．21.已知数列和满足，，，．证明：是等比数列，是等差数列；求和的通项公式．22.已知数列中，已知，，对任意都成立，数列的前n项和为．若是等差数列，求k的值；若，，求；是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：数列，则该数列的通项公式为，若，即，解可得，则是这个数列的第23项；故选：D．根据题意，分析可得该数列的通项公式为，即可得答案本题考查数列的表示方法，关键是掌握数列通项公式的定义．2.答案：B解析：解：，，，，．故选B．本题主要考查了两点间的距离公式，三角函数的图象与性质，是基础题．根据两点间的距离公式，结合两角和与差的三角函数公式，三角函数的图象与性质求解即可．3.答案：D解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．等差数列中，，，解得：，，即可得出公差．【解答】解：等差数列中，，，解得：，，则其公差为：．故选D．4.答案：D解析：解：是等边三角形，向量，，，正确；，因为，所以与垂直，故正确，，，故正确，错；利用正三角形的性质、平面向量的数量积、线性运算判定．本题考查了平面向量的摸、数量积、线性运算，属于中档题．5.答案：C解析：解：因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确证人数，即，所以不是递增数列，所以A错误；因为2月23日新增确诊病例为0，即，所以不是递增数列，所以B错误；因为1月31日新增确诊病例最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列的最大项是，所以C选项正确，数列的最大项是最后一项，所以选项D错误，故选：C．结合变化曲线图，根据数列的知识即可分别判断．本题考查了数列的知识和合情推理的问题，属于中档题．6.答案：A解析：【分析】由已知画出图形，再由共线向量基本定理与平面向量基本定理求解．本题考查平面向量基本定理的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．【解答】解：如图，由，，，，得．故选：A．7.答案：C解析：解：由题意可得，，故，根据等差数列的性质可得，即，则．故选：C．结合等差数列的求和公式及性质可求，进而再根据等差数列的性质及特殊角的三角函数中即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．解析：【分析】本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．根据向量的加减运算法则，将已知化简得，得结合向量数量积的运算性质，可得，得是直角三角形．【解答】解：中，，，即，，，即，是直角三角形，故选C．9.答案：D解析：解：在等差数列中，，其前n项和为，若，，故有，．则，故选：D．由题意利用等差数列的通项公式、前n项和公式，求得要求式子的值．本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，属于基础题．10.答案：B解析：解：数列满足：，可得，，，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，故选：B．求出数列的前几项，得到数列是周期数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是周期数列是解题的关键，是基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查等比数列的性质，属于中档题．由，可求得，然后根据，，代入数据计算即可．【解答】解：设数列的首项为，公比为q由，可得解得，又，，即解得．故选C．12.答案：C解析：解：设，，，则，．，．．的最大值是．故选：C．设，，，利用得出a，b之间的关系，用a，b，表示出B，C 的坐标，代入数量积公式运算得出关于的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．13.答案：解析：【解答】解：向量，，且，，即，解得．故答案为：．解析：根据两向量垂直，其数量积为0，列出方程求出t的值．本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．14.答案：180解析：解：等差数列中，，，，，则此数列的前15项之和，故答案为：180．由题意利用等差数列的通项公式求出首项和公差，再利用前n项和公式求出此数列的前15项之和．本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，属于基础题．15.答案：解析：解：设与夹角为，则且与不共线，所以，解得且，即错误；因为，所以即，同理可得，，所以点O是三角形ABC的垂心，即错误；，所以，角B为钝角，即正确；因为，所以，如图所示，延长CP交AB于D，设，，因为，所以，所以，因为不共线，所以，即，因此．由角分线定理的逆定理可知，CP为的平分线，同理可知，BP为的平分线，故点P为ABC的内心．即正确．故答案为：．根据平面向量数量积的坐标运算以及与夹角之间的关系即可判断；根据三角形重心性质即可判断；根据向量夹角与数量积之间的关系即可判断；根据三角形内心性质、正弦定理、平面向量的线性运算，还有角分线定理即可判断．本题主要考查平面向量在几何中的应用，涉及平面向量的线性运算、数量积、三角形的垂心和内心的性质以及正弦定理等知识点，考查学生综合运用知识的能力和逻辑能力，属于中档题．16.答案：解析：解：当时，，，当时，，即，，又，数列是公差首项为1的等差数列则，即，则．当时，也符合题意故答案为：根据数列的递推关系进行化简即可．本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．17.答案：解：依题意，由，可知数列是以1为公差的等差数列，首项，，．由，可知：．解析：本题第题根据题干中的递推公式可判断出数列是以1为公差的等差数列，然后根据可计算出首项的值，即可得到数列的通项公式；第题根据等差数列的求和公式即可计算出前100项的和的值．本题主要考查等差数列的判别及基本量的计算．考查了定义法，等差数列的通项公式和求和公式，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．18.答案：解：证明：若数列是公差为的等差数列，则，可得，由，则数列是公比为3的等比数列；由是、的等差中项，可得，则，解得，则．解析：运用等差数列的通项公式，以及对数的运算性质，结合等比数列的定义，可得证明；由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到所求通项公式．本题考查等差数列的通项公式和中项性质，以及等比数列的定义和通项公式的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.答案：解：向量．；向量夹角；．解析：直接对模长平方整理即可求解；直接展开其数量积即可求解结论．本题主要考查平面向量数量积以及模长的应用，属于基础题目．20.答案：解：因为，所以，所以，所以，即，因为，所以；由余弦定理可得，，当且仅当时取等号，所以，所以，即面积的最大值．解析：由已知结合向量平行的坐标表示及二倍角公式，辅助角公式进行化简可求；由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题以向量平行的坐标表示为载体，主要考查了二倍角公式，辅助角公式及余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用．21.答案：证明：，，，，即，；又，，是首项为1，公比为的等比数列，是首项为1，公差为2的等差数列；解：由可得：，，，．解析：本题主要考查了等差、等比数列的定义和通项公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于简单题．定义法证明即可；由结合等差、等比的通项公式可得．22.答案：解：是等差数列，则对任意都成立，又对任意都成立，．，，，，，当n是偶数时，，当n是奇数时，，，也适合上式．综上可得，；方法一：假设存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列．，，分别表示为：，，．只考虑：1，q，的三种排列即可：1，q，；1，，q；，1，可得，；．分别解得；或；或．只有满足条件．相邻三项，，分别为：，，．解得．方法二：设数列是等比数列，则它的公比，则，，，分若为等差中项，则，即，解得：，不合题意；若为等差中项，则，即，化简得：，解得：或舍；；若为等差中项，，即，化简得：，解得；；综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个，．解析：由等差数列等差中项的性质即可求得k的值；由，，，分类，根据n为偶数或奇数时，分组，即可求得；方法一：由题意根据等比数列的性质，分别求得q的值，求得任意相邻三项的顺序，即可求得k 的值，方法二：分类，根据等差数列的性质，求得a的值，即可求得k的值．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。