一类具阶段结构的捕食者-食饵模型的周期解

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在这一节，我们给出系统（!）的正平衡点存在及其渐近稳定的条件 !
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收稿日期：!$$% $A &$ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（&$!B&$C#） * 作者简介：肖氏武（&CB& H ），男，湖北天门人，讲师，硕士研究生，主要从事生物数学的研究 * 通讯作者：王稳地，教授 *
文章编号：&$$$ @AB& （!$$%） $# $"#C $@
一类具阶段结构的捕食者食饵模型的周期解
! 肖氏武&p;D 西南师范大学数学与财经学院，重庆 A$$B&@；!D 襄樊学院数学系，湖北襄樊 AA&$@% 摘要：研究了一类具阶段结构的捕食者食饵模型的渐近性质 * 文中假设由幼年阶段转化为成年阶段的转化率依赖于幼年个体数量 * 建立了捕食种群一致持续生存与绝灭的条件 * 证明了稳定的周期解的存在性 * 关键词：阶段结构；持续生存；绝灭；周期轨；稳定性文献标识码：( 中图分类号：!"#$%"；&"’"
第=期
肖氏武，等：一类具阶段结构的捕食者食饵模型的周期解 !! !" " !# # !# # & " !）（ %! !" $ ! （
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西南师范大学学报（自然科学版）
第 #8 卷（!!）
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对系统（"），我们有下面的结论：定理 #"$ 如果（+!）成立，则当（（$）( !!） , ! " $ +$ / （$）（ , ( -） *&$ 成立时，系统（"）是一致持续生存的 0 为证明定理 #;!，我们首先给出下面两个引理，其证明类似于文献［0］中的证明，在此不证 0 系统（"）过初值（1 （$），%（，%（）（1 （$）/ $，% （的解（1 （ 2），%（， "0） ! $） " $） 3 $）/ $，3 # !， ! 2））在其最大存在区间上是正的 0 %（ " 2）引理 #"! 定义 "} （ 1 ，% ! ，% "） 1 $ $，%3 $ $，3 # !， 6 #{ "} （ 1 ，% ! ，% "） 6$ # { % 6 1 / $，%3 / $，3 # !，定理 #;! 的证明存在正数 4 ，当 2 充分大时，使得系统（"）的任意正解（1 （ 2），%（，%（）5（ 4 ，4 ，4 ） ! 2） " 2）引理 #"$ （:）
满足，则正平衡点 , 是渐近稳定的 & $ ，$ $ ）系统（(）在正平衡点 , $ （ ’ $ ，$ " 的线性化系数矩阵 0 $ 的特征方程为 (
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一类具有阶段结构时滞功能反应的捕食者-食饵模型

一类具有阶段结构时滞功能反应的捕食者-食饵模型
刘琼
【期刊名称】《广西科学》
【年(卷),期】2009(016)002
【摘要】A non-autonomous predator-prey model with stage-structured on prey,time delay,type Ⅲ functional response,continuous harvesting on predator has been studied in this paper.The existence of a positive periodic solution of the system has been established.%研究一类食饵具有阶段结构、捕食者具有时滞功能反应和连续收获的非自治捕食者-食饵模型,得到该模型存在正周期解的充分条件.
【总页数】5页(P126-130)
【作者】刘琼
【作者单位】钦州学院数学与计算机科学系,广西钦州,535000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.一类具有时滞和HollingⅡ类功能反应的捕食者-食饵模型 [J], 唐贵坚;唐清干
2.一类具有时滞和阶段结构的强身型食饵-捕食者模型的Hopf分支 [J], 王丽丽;徐瑞
3.一类具有阶段结构和时滞的捕食者-食饵模型的稳定性分析 [J], 李永凤;朱城志
4.一类具有阶段结构和时滞的捕食者-食饵模型分析(英文) [J], 杨金根;周学勇;师向
云
5.一类具有时滞和阶段结构的食饵-捕食者模型的全局稳定性分析 [J], 王丽丽;徐瑞因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类具有时滞和基于比率的捕食者—食饵系统的周期解

ＲａｉｄｐｎｅｔＰｒｄｔｒＰｒｙＳｓｅｔｏ－ｅｅｄｎｅａｏ－ｅｙｔｍ
ＬＩＬｎ，ＬＩＭｉｇＵｏｇｎ，ＹＵ — ａ，ＨＯＮＧｎｇＬｉｙｎｇＧａ
（．ＳｈｏｆＳｉｎｅ１ｃｏｌｃｅｃ，Ｈｅｌｎｊｎｎｔｕｅｏｃｅｃｎｃｎｌｇ，Ｈａｂｎ１０２ｏｉｇｉｇＩｓｉｔｆＳｉｎｅａｄＴｅｈｏｏｙｏａｔｒｉ０７，Ｃｉａ５ｈｎ；
０引言
近年来，生物学中越来越多的证据表明，在许多情况下当捕食者不得不搜寻食物（因此不得不分享或竞争食物），时捕食者一食饵模型应基于 “ 比率
饵种群密度与捕食者种群密度之比的函数。另一方面，ｏｏ，Ｒａ和Ｘａ分别研究了具有ＳｋｌｕｎｉｏＭｏｏｎｌｄ—Ｈｌａｅ功能性反应模型解的全局稳定ａｄｎ
３．牡丹江师范学院计算机科学与技术系，龙江牡丹江１７１；黑５０２
４．黑龙江东方学院基础部，哈尔滨１０８）５０６
［摘要］研究一类非自治的具有时滞和基于比率且有Ｍｏｏｄ—Ｈｌａｅ功能性反应的两种群ｎｌａｎｄ
第２４卷பைடு நூலகம்第３期总８期１
一
类具有时滞和基于比率的捕食者一食饵系统的周期解

一类中立型捕食者-食饵系统的正周期解

具有很强实际背景的研究课题．
根据生物实验以及捕食者与食饵的内在变化规律，国内外许多学者研究了具有不同功能反应的捕食者
一
Байду номын сангаас
食饵系统，如Ｍｏｎｏｄ型功能反应１］、Ｈｏｌｌｉｎｇ型功能反应］、Ｂｅｄｉｎｇｔｏｎ型功能反应＿３等．文献［４］建立了具有Ｗａｔｔ型功能反应的捕食者一食饵系统：
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｅｄａｔｏｒ —ｐｒｅｙｓｙｓｔｅｍ；ｎｅｕｔｒａｌ；ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍ
１引言及预备知识
捕食者一食饵是一类重要的种群模型，其定性研究受到了很多国内外专家和学者的关注，并产生了许多
中图分类号：０１７５．１４文献标志码：Ａ文章编号：１００８ — ８４２３（２０１４）０４ — ０４０２ — ０６
ＴｈｅＰｏｓｉｔｉｖｅＰｅｒｉｏｄｉｃＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆａＣｌａｓｓｏｆ
ＮｅｕｔｒａｌＰｒｅｄａｔｏｒ — — ｐｒｅｙＳｙｓｔｅｍ
ＬＩＪｉａｎｄｏｎｇ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＬｔｉｌｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｆｌｉａｎｇ０３３０００，Ｃｈｉｎａ）

具有密度制约和阶段结构的捕食者-食饵扩散系统的周期解

Ａｂｓｒｃ：Ｔｈｘｓｅｃｓｔｖｅｉｄｃｓｌｔｏｎｓｆｅａｏ－ｅｉｆｉｅｓｔｍｔｅｓｔｔａｔｅｅｉｔｎｅｏｆｐｏｉｉｅｐｒｏｉｏｕｉｏｒａＰｒｄｔｒＰｒｙｄｆｕｓｖｙｓｅｗｉｈｄｎｉｙｒｓｒｃｓｔｇｅｔｕｔｒｉｓｕｅｅｔｉｔｓａｓｒｃｕｅｓｔｄｉｄ．ＯｎｂｏｄｅｏｎｅｓｒｏｂｔｉｅｂｕｉｇｈａａｙｔｃｅｕｎｄｐｅｓｔａｅａｎｄｙｓｎｔｅｎｌｉｔｃｎｉｕｅＢｙｍｅｎｓｆｔｏｎｉａｉｔｅｒｍｓｄｎｃｉｃｄｎｅｄｅｅｔｅｒｅｈｑ．ａｏｈｅｃｔｎｕｔｏｎｈｏｅｂａｅｏｏｎｉｅｃｇｒｅｈｏｙ，ａｌａｓｈｅｔｅｔｔｓｆｃｅｔｃｎｄｔｏｎｏｅｐｓｔｖｒｏｄｃｓｕｉｎｃｎｂｔｉｄ．ｕｆｉｉｎｏｉｉｓｆｒｏｎｏｉｉｅｐｅｉｉｏｌｔｏａｅｏｂａｎｅ
０引言
在经典的捕食者一饵模型里，食假设每个捕食
者个体都有同样的攻击食饵的能力。文中将捕食
生育率可以忽略。人们还注意到，种群间相互在
作用的生态环境中，散也是经常发生的。因此，扩进一步研究具有密度制约和阶段结构的种群扩散
Ｖｏ１３２ＮＯ．６．
Ｄｅ．Ｏ１１ｃ２
具有密度制约和阶段结构的捕食者一饵食扩散系统的周期解

一类具有斑块扩散与反馈控制的捕食者-食饵模型周期解的存在性

中图分类号：７．４Ｏ１５１文献标志码：Ａ
从而得到了下面的生物模型：
１引言与预备知识
捕食一被捕食模型一直是种群生态学的一个十
分基本和重要的研究模型．由于人为或大自然的因素，生动物的整个生存环境被铁路、路、岛等野公小分割成许多斑块，形成斑块生态环境．越来越多的生物学和生理学证据表明，在许多情况下，特别是当捕
度之比的函数．例如，Ｕ和ＣＥＸＨＮ在文献［］１中讨论了２个斑块且功能性反应为Ｍｃａｌｉｈｅｉｓ—Ｍｅｔｎｎｅ
㈤ “
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（）＝一ｌｔ（）ｌｔｘ（ — ２，ｔ叼（）ｔ＋（）２ｔｆ）１
，
｛）（）００［ｒ０，０＞， Ⅱ ０＝０Ｉ，∈ 一，］（＞（）０
Ｌ（）＝０Ｉ００一，］（）＞，ｙｏ（）， ∈［ｆ０，００＞其中ｆ＝ｍｘｌｆ，３，（・，（・（ａ｛，２｝））＝１２，，）（・为连续函数．）
五（）＝一２ｔ２ｔ２ｔｙｔｆ）２ｔ叼（）（）＋（）（ — ３，
（）１
型的捕食者一食饵模型的持续生存和稳定性．在生态模型中加入反馈控制项，是近２０年来生
态数学研究的一个课题，意义在于人们能根据得其到的信息来决定控制策略，而进行相关的调整，进使物种之间达到新的平衡．个思想在以微分方程为这模型的生态系统的体现最早来自ＧＰＬＡＯＡＳＭＹ和ＷＥＧ的工作Ｊ自ＧＰＬＡＮ．ＯＡＳＭＹ和ＷＥＧ的工Ｎ作之后，于带有反馈控制项的不同生物模型，多对许

一类具有避难所和时滞的非自治阶段结构捕食系统的动力学分析

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2024 年 4 月
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具有Beddington—DeAngelis功能反应的时滞捕食者-食饵模型的周期解

维普资讯
第２６卷第３期２００７年６月
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具有ＢｄｉｇｎＤＡｇｌ功能反应的时滞ｅｄｎｔ —ｅｎｅｓｏｉ
关键词：时滞；ＢｄｉｇｎＤＡｇｌ功能反应；ｅｄｎｔ－ｅｎｅｓｏｉ捕食者一食饵系统；全局渐近稳定性；周期解
中图分类号：１５１０７．４文献标识码：Ａ文章编号：６１０４（０７０－０１０１７－２Ｘ２０）３０８－５
（ｃｏｌｆｃｎｅＴｉＰｌｅｈｉＵｉｒｔ，ｉｎｎ３０６，ＣｉａＳｈｏｏＳｉｃ，ｉｎｏｔｎｃｎｅｓｙＴａｊ０１０ｈ）ｅｙｃｖｉｉｎ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＡｒｄｔｒｒｙｓｓｍｉｉｅａｓａｄＢｅｄｎｔｎＤｅｎｅｉｆｎｔｎｌｒｓｏｓｓｓｄｅｎｕｉｐｅａｏ —ｐｅｙｔｗｔｔｅｈｍｅｄｌｙｎｄｉｇｏ－Ａｇｌｕｃｉａｅｐｎｅｉｔｉｄａｄｓｆ－ｓｏｕｃｅｔｏｄｔｎｒｓａｌｈｄｆｒｔｅｕｉｒｙｐｒｉａｃｎｈｘｓｅｃｆｐｒｄｃｓｌｔｎｏｈｙ－ｉｎｎｉｏｓａｅｅｔｂｉｅｏｈｎｆｍｌｅｓｎｅａｄｔｅｅｉｔｎｅｏｅｉｉｏｕｉｆｔｅｓｓｃｉｓｏｓｔｏｏｔｒ．ＢｏｓｕｔＬａｕｏｕｃｉｎｌｈｌｂｓｍｐｏｉｔｂｌｙａｅｓｄｅ．ａｄｅｔｂｉｈｄｔｅｓｆ ‘ ｅｎｙｃｎｔｃｙｐｎｖｆｎｔａ，ｔｅｇｏａａｙｔｔｓａｉｔｒｔｉｄｎｓｌｅｈｕｉｒｏｌｃｉｕａｓ

具阶段结构、密度制约的捕食者—食饵模型

具阶段结构、密度制约的捕食者—食饵模型本文的主要目的是建立几个捕食者-食饵模型并研究这些模型的渐近性态以及阶段结构、密度制约对种群的影响。

本文第一章，我们将捕食者种群分为未成年与成年两个阶段，并且假使只有成年个体捕食食饵，而未成年个体不捕食食饵；同时假设捕食种群中未成年个体成熟为成年个体的转化率是未成年种群密度的函数；建立了具有阶段结构的捕食者-食饵模型。

得到了系统持续生存的条件，并得到了渐近稳定的周期解。

这说明阶段结构可能是种群数量周期扰动的原因，从而使得种群模型的性态更加复杂。

本文第二章，我们对比率依赖型的捕食者-食饵模型进行了研究。

对于捕食者的死亡率，我们不仅考虑了捕食者的自然死亡因素，而且还考虑了由于种内之间争夺资源及其它原因引起的死亡等因素，即考虑捕食者之间密度制约因素。

对系统在原点的性态，我们作了全面的分析。

原点是一个高阶奇点，在它的邻域内存在多种拓扑结构。

我们得到了系统稳定性的条件，并通过分支理论得到了极限环的存在性。

对退化的唯一正平衡点进行研究，得到了Bogdanov-Takens分支，分支出同宿圈。

并进行了数值模拟。

本文第三章，首先假设捕食者的死亡率依赖于捕食者与食饵的比率，接着分别考虑了捕食者的功能性反应为双线性型的与比率依赖型的捕食者-食饵模型。

对于功能性反应为双线性型的模型，我们得到了正平衡点的全局稳定性。

对于功能性反应为比率依赖型的捕食者-食饵模型，通过分支理论得到了极限环的存在性。

并进行了数值模拟。

一类具时滞有避难所捕食者—食饵系统的Hopf分支及周期解

一类具时滞有避难所捕食者—食饵系统的Hopf分支及周期解本文研究了一类具有时滞的食饵有避难所的捕食者——食饵系统模型，讨论了该模型非负平衡点的存在性、稳定性。

对正平衡点，得到它稳定的条件；把τ作为参数，得出Hopf分支存在的条件，给出时滞界限τ<sub>0</sub>，确定在适当参数条件下τ<sub>0</sub>为Hopf分支值；进而计算出决定Hopf分支的方向、分支周期解的稳定性和周期的参数的计算公式中的参数值。

并且通过数值模拟，利用图形对上述结果加以形象的描述。

最后讨论了避难所在此生态学模型中的作用。

本文分为五个部分：模型引入（前言）；预备知识（第一章）；模型分析（第二章、第三章）；例子及数值模拟（第四章）；讨论（第五章）。

一类具时滞和比率依赖的捕食-食饵模型2个周期解存在性

一类具时滞和比率依赖的捕食-食饵模型2个周期解存在性吴书韬;梁峰【摘要】In this paper,the authors studies the existence of two periodic solutions for a generalized delayed ratio-dependent predator-prey model with Holling type III functional response:dx(t)dt =x(t)[r1(t)-a(t)x(t-τ1(t))-b(t)∫-t∞k(t-s)x(s)ds]- c1(t)x(t)y2(t)m2 y2(t)+x2(t) dy(t)dt =y(t)[-r2(t)+mc2(t)x(t-τ2(t))y(t-τ2(t))2y2(t-τ2(t))+x2(t-τ2(t))]. By applying Mawhin′s continuation theorem,some new results on the existence of two positive periodic solu⁃tions are obtained.An example is represented to illustrate the feasibility of our main result.%研究一类带有HollingIII型反应函数的捕食-食饵模型 dx(t)dt =x(t)[r1(t)-a(t)x(t-τ1(t))-b(t)∫-t∞k(t-s)x(s)ds]-c1(t)x(t)y2(t)m2 y2(t)+x2(t)， dy(t)dt =y(t)[-r2(t)+mc2(t)x(t-τ2(t))y(t-τ2(t))2y2(t-τ2(t))+x2(t-τ2(t))]。

运用重合度拓展定理，证明其存在2个正周期解。

并举一个实例验证结论的可行性。

【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】7页(P15-21)【关键词】周期解;Mawhin重合度拓展定理;时滞;捕食-食饵模型;比率依赖【作者】吴书韬;梁峰【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003;安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003【正文语种】中文【中图分类】O175由于捕食和食饵的普遍存在性和重要性，它们之间的动态平衡问题一直是生态学和数学生态学中一个重要研究课题.前些年，传统捕食-食饵模型被广泛研究［1-3］.现阶段，由文献［4-6］知，存在更直接的生物学和生理学证据，其表明在许多情形下，尤其是捕食者之间不得不存在竞争或分享食物时，应该在基于比率的情形下，建立一个更具一般性的捕食-食饵模型［7-8］.许多研究者已经研究带有或不带时滞的基于比率依赖的捕食-食饵模型，并且研究了它们的动力学性质［9-19］.鉴于实际问题的周期性，文献［18］研究了带有时滞和基于比率的捕食-食饵模型的周期解存在问题：在（1）式中加入HollingIII反应函数，文献［19］研究了具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的周期解问题：然而，对此类系统的带有2个周期解存在性的研究结果相对较少.受以上研究结果启发，在本文中，我们研究具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的2个周期解存在性问题：在这里，a,b,c1,c2，r1，r2，τ1，τ2是周期为T的连续非负周期函数，m＞0，K(s):R+→R+是可测函数，且满足.这里r1(t)代表食饵的内禀增长率，m代表半捕捉饱和常数，r2(t)代表捕食者死亡率，c1(t)和c2(t)代表转化率；函数代表在没有捕食者时食饵的比生长速率；x2(t)/(m2y2(t)+x2(t))代表捕食者反应函数（反映了捕食者的捕食能力）.运用Mawhin重合度拓展定理［20］，本文证明系统（3）存在2个正周期解.令X，Y是Banach空间，L:Dom L⋂X→Y是线性映射，N:X→Y是一个连续映射.如果L为指标为零的Fredholm映射且存在连续投影P:X→X，及Q:Y→Y使得ImP=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I-Q)，则L|DomL⋂KerP:(I-P)X→Im L是可逆的.设其逆映射为 Kp.如果Ω是 X中的有界开集，有界且Kp(I-Q):是紧的,则称 N在是 L-紧的.由于 Im Q与 Ker L同构，故存在同构映射J:Im Q→Ker L.下面的Mawhin重合度拓展定理是证明本文结论的主要工具.例1 在系统（3）中，令则可得那么可验证（h1）和（h2）成立.因此，由定理1，可知系统（3）至少有2个不同的正周期解.注2 由于只有相对较少的文献考虑具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的多个周期解问题，所以本文结果相对来说是较为新颖的.【相关文献】［1］ZHANG Zhengqiu，HOU Zhenting，WANG Li.Multiplicity of positive periodic solutions to a generalized delayed predatorprey system with stocking［J］.Nonlinear Anal，2008，68：2608-2622.［2］DING Xiaoquan，JIANG Jifa.Positive periodic solutions in delayed Gause-type predator-prey systems［J］.J Math Anal Ap⁃pl，2008，339：1220-1230.［3］HU Xiaoling，LIU Guirong，YAN Jurang.Existence of multiple positive periodic solutions of delayed predator-prey models with functional responses［J］.Comput Math Appl，2006，52：1453-1462.［4］KUANG Y，BERETTA E.Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system［J］.J Math Biol，1998，36：389-406.［5］JOST C，ARINO O，ARDITI R.About deterministic extinction in ratio-dependent predator-prey models［J］.Bull Math Bi⁃ol，1999，61：19-32.［6］HSU S，HWANG T，KUANG Y.Global dynamics of a predator-prey model with Hassell-Varley type functional response［J］.J Math Biol，2008，10：1-15.［7］HANSKI I.The functional response of predator：worries bout scale［J］.TREE，1991，6：141-142.［8］ARDITI R，PERRIN N，SAIAH H.Functional response and heterogeneities：an experiment test with cladocerans［J］. OIKOS，1991，60：69-75.［9］LIU Xiangsen，LI Gang，LUO Guilie.Positive periodic solution for a two-speciesratio-dependent predator-prey system with time delay and impulse［J］.J Math Anal Appl，2007，325：715-723.［10］SAHA T，BANDYOPADHYAY M.Dynamical analysis of a delayed ratio-dependent prey-predator model within fluctuat⁃ing environmen［tJ］.Appl Math Comput，2008，196：458-478.［11］XIAO Dongmei，LI Wenxia，HAN Maoan.Dynamics in a ratio-dependent predator-prey model with predator harvesting［J］.J Math Anal Appl，2006，324：14-29.［12］RYU K，AHN I.Positive solutions for ratio-dependent predator-prey interaction systems［J］.J Differential Eqns，2005，218：117-135.［13］DAI Binxiang，ZHANG Na，ZOU Jiezhong.Permanence for the Michaelis-Menten type discrete three-species ratio-depen⁃dent food chain model with delay［J］.J Math Anal Appl，2006，324：728-738.［14］AKHMET M，BEKLIOGLU M，ERGENC T，et al.An impulsive ratio-dependent predator-prey system with diffusion［J］. Nonlinear Anal RWA，2006，7：1255-1267. ［15］FAN Yonghong，LI Wantong.Global asymptotic stability of a ratio-dependent predator-prey system with diffusion［J］.J Comput Appl Math，2006，188：205-227. ［16］DEANGELIS D，HOLLAND J.Emergence of ratio-dependent and predator-dependent functional responses for pollination mutualism and seed parasitism［J］.Ecol Model，2006，191：551-556.［17］WANG Mingxin.Stationary patterns for a prey-predator model with prey-dependent and ratio-dependent functional re⁃sponses and diffusion［J］.Phys D：Nonlinear Phenom，2004，196：172-192.［18］FAN Meng，WANG Ke.Periodicity in a delayed ratio-dependent predator-prey system［J］.J Math Anal Appl，2001，262：179-190.［19］WANG Linlin，LI Wantong.Periodic solutions and permanence for a delayed nonautonomous ratio-dependent predatorprey model with Holling type functional response［J］.J Comput Appl Math，2004，162：341-357.［20］GAINES R，MAWHIN J.Coincidence degree and nonlinear differential equations，Lecture notes in math［M］.Berlin：Springer，1977.。

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