2012-2013(1)概率统计(B)答案

广州大学2012-2013学年第一学期考试卷解答
课 程：概率论与数理统计Ⅰ、Ⅱ 考 试 形 式：闭卷考试
学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．事件A ，B 为对立事件，则（ B ）不成立.
（A ）()0P AB =； （B ）()P B A =∅； （C ）()1P A B =； （D ）()1P A B ⋃=.
2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现2点的概率为（ A ）. （A ）1/3； （B ）2/3； （C ）1/6； （D ）1/2.
3．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为
010.40.6X P 01
0.40.6
Y P
则有（ C ）.
（A ）()0P X Y ≠=； （B ）()0.5P X Y ≠=； （C ）()0.48P X Y ≠=； （D ）()1P X Y ≠=.
4．设~()X P λ（泊松分布）且{2}P X =2{1}P X ==，则λ=（ D ）. （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4.
5．对于任意随机变量,ξη，若()()()E E E ξηξη=，则（ B ）. （A ）)()()(ηξξηD D D =； （B ）)()()(ηξηξD D D +=+； （C ）,ξη一定独立； （D ）,ξη不独立.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）
1．设A ，B 为互不相容的随机事件，()0.3,()0.6P A P B ==，则=⋃)(B A P 0.9 .
2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 0.1 .
3．设X 服从参数为1λ=的指数分布，则(1)P X >=1e -.
4．设()9D ξ=，()16D η=，0.5ξηρ=，则()D ξη+= 37 .
5．设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,2)X N ，~(0,1)Y N ，则~X Y +(1,3)N . 三、（本题满分为10分）
某厂有1A 、2A 、3A 三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的 25％，35％，40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02. 现从出厂的产品中任取一件，得到是次品，求它是流水线1A 生产的概率. 解：设B 表示事件“任取1件产品是次品”，
i A 表示事件“第i A 条流水线生产的产品”，1,2,3i =. 则由题意可得：
125()100P A =
，235()100P A =，340()100
P A =， 1(|)0.05P B A =，2(|)0.04P B A =，3(|)0.02P B A =.------3分 由全概率公式
3
1()()()i i i P B P A P B A ==∑
25535440269
1001001001001001002000
=
⨯+⨯+⨯=
(或0.0345)，------7分 所求概率为
111()(|)25
(|)()69
P A P B A P A B P B ==.------10分
设随机变量X 的概率密度为22,01()0,x x f x -<<⎧=⎨⎩
其它，求32Y X =+的分布函数.
解：()()Y F y P Y y =≤------2分
1
(32)((2))3
P X y P X y =+≤=≤-------4分
1
(2)3()y X f x dx --∞
=⎰
------6分
0,
2,1(2)(8),25,9
1,
5.y y y y y ≤⎧⎪⎪
=--<<⎨⎪≥⎪⎩------10分
五、（本题满分为14分）
设连续型随机变量X 的概率密度为
1,01()2
0,
Ax x f x ⎧+<<⎪
=⎨⎪⎩其它 （1）求常数A ；求数学期望()E X ；（3）求方差()D X . 解：（1）由
()1f x dx +∞-∞
=⎰
得
211
0011
()()122222Ax x A Ax dx +=+=+=⎰，
故1A =.------4分
（2） ()E X 3211001117
()()2343412x x x x dx =+=+=+=⎰.------8分
（3） 2
()E X 311240011115()()2464612
x x x dx x =+=+=+=⎰.------11分
()D X 22
()()E X E X =-2257111212144
=-=
.------14分
将两封信随意地投入3个邮筒，设,X Y 分别表示投入第1，2号邮筒中信的数目，求：
（1）(,)X Y 的联合概率分布； （2）X ，Y 的边缘概率分布； （3）(2)P X Y +<. 解：（1）(,)X Y 的联合分布律为：
------6分
（2）X
Y ------10分
（3）(2)P X Y +<(0,0)P X Y ===+(0,1)P X Y ==+(1,0)P X Y ==
1225
9999
=++=.------12分
某学校召开家长座谈会，前来参加家长会的家长人数是一个随机变量，已知一个学生无家长、有1个家长来参加会议的概率分别为0.2，0.8. 若学校共有400名学生，设来参加会议的各家长数是相互独立且服从同一分布. 利用中心极限定理计算来参加会议的家长数X 在300与340之间的概率.
2
t x -
解：设(1,2,400)X k =表示第k 个学生家长来参加会议的家长数，易知
则 ()0.8,k E X = 2()0.80.80.16k D X =-=， 来参加会议的家长数X 可表示为 400
1k k X X ==∑，
由中心极限定理得400
4000.8
320
8
k
X
X -⨯-=
∑ 近似服从(0,1)N ------6分 所求概率为
(300340)P X ≤≤300320320340320
(
)888
X P ---=≤≤ (2.5)( 2.5)=Φ-Φ-2(2.5)1=Φ-= 0.9876------12分
某厂生产的一批零件的内径(单位:mm)服从正态分布N (12, 1). 内径小于11或大于13为不合格品, 其余为合格品. 生产合格品可获利, 否则亏损. 已知单个零件的利润Y (单位: 元)与它的内径X 有如下关系:
⎪⎩⎪
⎨⎧>-≤≤<-= 13 , 41311 , 1011 , 2X X X Y
（1）求Y 的分布律;
（2）求生产单件产品平均利润E (Y ).
2z 解：（1）P (Y = -2) = P (X < 11) =}1
12
11112{
-≤-X P =Φ( -1) = 1 -
Φ( 1) = 0.16------3分
P (Y = -4) = P (X > 13) = 1 - P (X ≤ 13) = 1 - Φ( 1) = 0.16------6分
P (Y = 10) = 1 - P (Y = -2) - P (Y = -4) = 0.68------8分 Y 的分布律为
（2） E (Y ) =-4⨯0.16-2⨯ 0.16+10⨯ 0.68 =5.84 (元)------12分。