2020-2021学年高考数学(理)考点：解三角形
高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)
高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。
2020年高考数学：已知三边解三角形
2020年高考数学：已知三边解三角形（1）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值是 A ．518 B ．34C ．2D ．78（2）在ABC △中，分别是角的对边,,那么等于A ．B ．C ．D ．（3）在ABC △中，已知3AB =，2AC =，BC =AB AC ⋅= A ．32 B ．23- C ．23D ．32-【参考答案】（1）D ；（2）C ；（3）A ．【试题解析】（1）设底边长为x ，则腰长为2x ，设顶角为A ，则由余弦定理的推论，可得cos A =222(2)(2)72228x x x x x +-=⨯⨯．故选D ．（2）∵，∴2229471cos 22322a cb B ac +-+-===⨯⨯. 又，∴.故选C.（3）||||cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅⋅<⋅>由向量模的定义和余弦定理可得||3AB =，||2AC =，2221cos ,24AB AC BC AB AC AB AC +-<>==⋅，故133242AB AC ⋅=⨯⨯=．故选A ．【解题必备】（1）已知三边解三角形，必有一解．（2）已知三边解三角形时，可以连续用余弦定理的推论求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由180A B C ++=︒求第三个角；或者由余弦定理的推论求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但应先求较小边所对的角（因为较小的角必定为锐角）．1．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且5,6,7,a b c ===则cos A = A ．47 B ．57 C ．37D ．352．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，3b =，4c =，设AB 边上的高为h ，则h =A ．2 B ．2C D 3．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5,3,7a b c ===，则ABC △的最大内角的值为__________．1．【答案】B【解析】由余弦定理可得2223649255cos 22677b c a A bc +-+-===⨯⨯.故选B. 2．【答案】D【解析】∵2a =，3b =，4c =，∴2229164217cos 2234248b c a A bc +-+-====⨯⨯，则sin A ==== 如图，则sin sin 3h AC A b A ====. 故选D ． 3．【答案】2π3【解析】因为c a b >>，所以C 为最大角，由余弦定理得2222225371cos 22532a b c C ab +-+-===-⨯⨯，因为()0,πC ∈，所以2π3C =．。
2020版高考数学(理)新增分大一轮人教通用版讲义：第四章 三角函数、解三角形 4.6 含解析
§4.6 正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(2)a2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形(3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(5)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(6)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A(7)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数 一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．概念方法微思考1．在△ABC 中，∠A >∠B 是否可推出sin A >sin B ? 提示 在△ABC 中，由∠A >∠B 可推出sin A >sin B .2．如图，在△ABC 中，有如下结论：b cos C ＋c cos B ＝a .试类比写出另外两个式子． 提示 a cos B ＋b cos A ＝c ； a cos C ＋c cos A ＝b .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × ) (3)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( √ )(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ ) 题组二 教材改编2．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为 ． 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为 ． 答案 2 3解析 ∵23sin 60°＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2，∴S △ABC ＝12×2×23＝2 3.题组三 易错自纠4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c <b cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 由已知及正弦定理得sin C <sin B cos A ， ∴sin(A ＋B )<sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 又sin A >0，∴cos B <0，∴B 为钝角， 故△ABC 为钝角三角形．5．(2018·大连质检)在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．6．(2018·包头模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C ＝ . 答案2π3解析 由3sin A ＝5sin B 及正弦定理，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.题型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 (2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B，可得 b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝217. 因为a <c ，所以cos A ＝277.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．跟踪训练1 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.(2)如图所示，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ．答案66解析 设AB ＝a ，∵AB ＝AD ,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a3.在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC ，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.题型二 和三角形面积有关的问题例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．跟踪训练2 (1)(2018·沈阳质检)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( ) A ．2 2 B.32 C.23D ．3 2 答案 A解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式， 得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x 1－cos 2B .①根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x .②将②代入①，得 S △ABC ＝x1－⎝⎛⎭⎫4－x 24x 2＝128－(x 2－12)216.由三角形的三边关系，得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是 ． 答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的应用命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 C解析 方法一 由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ，从而△ABC 为等腰三角形．方法二 由正弦定理可得sin A ＝2sin B cos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， 于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．引申探究1．本例(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0.又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．本例(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．解 (1)因为AD ∶AB ＝2∶3，所以可设AD ＝2k ， AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，所以由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，所以AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)因为AB ⊥BC ，所以cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217， 所以sin ∠DBC ＝277，所以BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，所以CD ＝7×27732＝433.思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．跟踪训练3 (1)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c2c ，∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．(2)(2018·铁岭统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝ . 答案 4解析 依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝25.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝1－sin 2 ∠ACD ＝15.在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4，AD sin ∠ACD ＝CDsin A ，sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15 .在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，BC ＝AC ·sin Asin B＝4.1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°， 即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝23，C ＝30°，则B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．30°或60° D ．60°或120°答案 D解析 ∵c ＝2，b ＝23，C ＝30°，∴由正弦定理可得 sin B ＝b sin C c ＝23×122＝32，由b >c ，可得30°<B <180°，∴B ＝60°或B ＝120°.3．(2018·丹东模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14 C ．1 D ．2 答案 A解析 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2，p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 A解析 ∵向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B2共线， ∴a cos B 2＝b cos A2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2.∴2sin A 2cos A 2 cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2.则sin A 2＝sin B 2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，即A ＝B .同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.5．(2018·本溪质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π 答案 C解析 c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223，得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，R ＝3，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C.6．(2018·乌海模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．4C ．2 3D ．3 3 答案 C解析 ∵a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12， ∴c ＝23，故选C.7．(2018·通辽模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为 ． 答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π3或2π3. 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即332＝b 12， 解得b ＝1.9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为 ．答案3＋1解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝7π12， ∴sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3 ＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.10．(2018·锦州质检)若E ，F 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝ . 答案 34解析 如图，设AB ＝6，则AE ＝EF ＝FB ＝2.因为△ABC 为等腰直角三角形， 所以AC ＝BC ＝3 2.在△ACE 中，A ＝π4，AE ＝2，AC ＝32，由余弦定理可得CE ＝10. 同理，在△BCF 中可得CF ＝10. 在△CEF 中，由余弦定理得 cos ∠ECF ＝10＋10－42×10×10＝45，sin ∠ECF ＝1－cos 2∠ECF ＝35，所以tan ∠ECF ＝34.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C 及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ， 又由a －c ＝66b ，得a ＝2c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6 ＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12 ＝15－38. 12．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2，所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.13．在△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝23ab sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．不等腰的直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形 答案 D解析 易知a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 2－2ab cos C ＝23ab sin C ，即a 2＋b 2＝2ab sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6，由于a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以2ab sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6≥2ab ，sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6≥1，故只能a ＝b 且C ＋π6＝π2，所以△ABC 为正三角形．14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为( ) A ．2 3 B ．6 C. 3 D ．9 答案 D解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵a＝3，∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝23，∴b ＝2 3 sin B ，c ＝2 3 sin C ，则a ＋b ＋c＝3＋23sin B ＋2 3 sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6，∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴当B ＝π3时周长取得最大值9.15．在△ABC 中，C ＝60°，且a sin A ＝2，则△ABC 面积S 的最大值为 ．答案334解析 由C ＝60°及c sin C ＝a sin A＝2，可得c ＝ 3. 由余弦定理得3＝b 2＋a 2－ab ≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)， ∴S ＝12ab sin C ≤12×3×32＝334，∴△ABC 的面积S 的最大值为334.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，且sin B ＝1＋cos C ，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<A <π，∴A ＝π6.又sin B ＝1＋cos C,0<sin B <1， ∴cos C <0，即C 为钝角， ∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，sin C ＝32，cos C ＝－12， 在△ACM 中，由余弦定理得 AM 2＝b 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2b ·a2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
高考数学：解三角形(复习学案)
专题09 解三角形（一） 三角形中的求值问题1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为________． 【练习3】 在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A B C D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B cos C ＋32c sin C＝2R，则△ABC面积的最大值为( )A．25B．45C．255D．125【例4】在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Ccos cos cos2ab Ac A B+=，ABC∆，则ABC∆周长的最小值为______.2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【练习2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( ) A ．2＋3 B ．2＋2 C ．3D ．3＋2【练习3】已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( )A ．32B ．233C ．33D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB 则b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.53．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝32，tan B ＝2tan A ，则△ABC 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．423．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( ) A ．223B ．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。
第19题 解三角形-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(含答案解析)
第19题 解三角形一、原题呈现【原题】记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．解法一：（1）由sin sin BD ABC a C ∠=及正弦定理得2sin sin a C ac b BD b ABC b b ====∠（2）由余弦定理得22222223cos 2223b c b b c a A b c b c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==⨯⨯⨯⨯整理得22211203a c b +-=，即2211203a c ac +-=， 所以233c a c a ==或， 当3c a =时，由2b ac =得b =，此时)1a b a c +=<，不满足题意，当23c a =时，由2b ac =得3b a =， 所以2227cos 212ac b ABC ac +-∠==解法二：（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c bC ABC=∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =， ∴BD b =，得证．（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， ∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠=-∠， ∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=． 【就题论题】本题第（1）问比较简单，利用正弦定理进行边角代换，即可得出结论．第（2）问求解的关键是利用正弦定理、余弦定理整理出,a b 的关系式，再利用余弦定理求cos ABC ∠．二、考题揭秘【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．难度：中等偏易【考情分析】新教材高考，解三角形是必考题，一般以解答题形式考查，考查主要方式是利用正弦定理与余弦定理解三角形，有时还会涉及到三角形中的三角变换．【得分秘籍】（1）正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．（2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．（3）应用正弦、余弦定理的解题技巧①求边：利用公式a＝sinsinb AB，b＝sinsina BA，c＝sinsina CA或其他相应变形公式求解．②求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝sina Bb，sin B＝sinb Aa，sin C＝sinc Aa或其他相应变形公式求解．③已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．④灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．（4）判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．（5）三角形面积公式的应用原则①对于面积公式S＝ɑb sin C＝ɑc sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的转化．（6）应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：①根据题意，画出示意图，并标出条件；②将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；③检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．【易错警示】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．（2）等式两边都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷） 解答题(2021福建省厦门市高三三模)1. 锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足4sin s sin sin in C B a B C +=． （1）求A ；（2）若4b =，ABC 的面积为D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求AD ．【答案】（1）3A π=；（2）AD =. 【解析】【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角并化简得到sin A =，再结合锐角三角形得到角A 即可；（2）先利用面积公式求得c 边，再结合角平分线，利用BAD CAD BAC S S S +=△△△和面积公式，列式计算求得AD 即可.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==，4sin s sin sin in C B a B C +=，sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，即sin 4sin sin sin B C A B C =又因为sin sin 0B C ≠，所以4sin A =，即sin A =， 又因为ABC 为锐角三角形，所以3A π=；（2）由1sin 2ABCSbc A ==14sin 23c π⨯⨯=3c =，因为BAC ∠的角平分线为AD ，所以126BAD CAD BAC π∠∠∠===， 又因为BAD CAD BAC S S S +=△△△，所以11sin sin 2626c AD b AD ππ⋅+⋅=113sin 4sin 2626AD AD ππ⨯⋅+⨯⋅=，所以74AD =7AD =． 【点睛】思路点睛：一般地，解有关三角形的题目时，常运用正弦定理（或余弦定理）进行边角互化，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.（2021福建省福州市高三5月二模） 2.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos()6b A a B π=-.（1）求B ；（2）若D 是ABC 的外接圆的劣弧AC 上一点，且3a =，4c =，1AD =，求CD .【答案】（1）3π；（2）3. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角，再用差角的余弦公式展开化成正切即可得解； (2)利用余弦定理求出边b ，借助圆内接四边形性质求得ADC ∠，最后又由余弦定理建立方程得解.【详解】（1）ABC 中，由正弦定理有sin cos()sin sin sin cos()66b A a B B A A B ππ=-⇒=-，从而1sin sin sin sin )2B A A B B =+，化简得，1sin sin cos 22A B A B =，因为0A π<<，即sin 0A ≠，所以tan B =0B π<<，故3B π=.（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-2234234cos133π=+-⨯⨯⋅=，即 b =又由于A ，B ，C ，D 四点共圆，从而23ADC B ππ∠=-=， 在ADC 中，设DC x =，由余弦定理得，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，即得22213121cos3x x π=+-⋅⋅⋅，化简得，2120x x +-=，解得3x =或 4x =-（舍去）， 故3DC =.【点睛】思路点睛：已知两边及一边的对角求第三边的三角形问题，可用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解. （广东省汕头市高三二模）3. 随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A 地接到两份外卖单，他须分别到B 地､D 地取餐，再将两份外卖一起送到C 地，运餐过程不返回A 地.A ，B ，C ，D 各地的示意图如图所示，2km BD =，AD =，120ABD ∠=︒，45DCB ∠=︒，30CDB ∠=︒，假设小李到达B ､D 两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：AB BD DB BC →→→)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：1.414≈ 1.732≈)【答案】答案见解析 【解析】【分析】根据正弦定理先求解出,BC CD 的值，再根据余弦定理求解出AB 的值，然后分析每条送餐路径的路程并确定出最短送餐路径对应的送餐时间.【详解】解：在BCD △中，由正弦定理可知：sin sin BC BDBDC BCD =∠∠，即：2sin 30sin 45BC =︒︒，解得：BC =由sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，即：2sin105sin 45CD =︒︒，解得：1CD =(由余弦定理可得22cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得=1CD +或者1CD ，,CBD DCB CD BD ∠>∠∴>=1CD ∴)在ABD △中，由余弦定理可知：222cos 2AB BD AD ABDAB BD即2412cos1204AB AB+-︒=，解得2AB =或4AB =-(舍)；①若送餐路径为：AB BD DB BC →→→，则总路程=67.414km +≈①若送餐路径为：AD DB BC →→，则总路程=2 6.878km ≈①若送餐路径为：AB BD DC →→，则总路程=221 6.732km ++≈①若送餐路径为：AD DB BD DC →→→，则总路程=22110.196km ++≈所以最短送餐路径为AB BD DC →→， 此路径的送餐时间为：6.7326020.19620⨯=(分钟). 【点睛】关键点点睛：本题是实际问题中解三角形的应用，解答问题的关键在于通过正余弦定理求解出每一段未知的线段长度，然后再去分析每一条路径对应的总路程并确定出最短路径以及送餐时间. （2021广东省广州市天河区高三三模）4. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知22cos c b a B -=． （1）求角A 的值； （2）若ABC的面积S c ==sin sin B C 的值 【答案】（1）3π；（2）12．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦变形可求得A 角；（2）由三角形面积求得b ，由余弦定理求得a ，然后用正弦定理可得sin sin B C ． 【详解】（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos C B A B -=，sin 2sin()2sin cos 2sin()2sin cos 2(sin cos cos sin )B A B A B A B A B A B A B π=---=+-=+2sin cos 2cos sin A B A B -=，又B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以()1cos ,02A A π=∈，，3A π=； （2）11sin sin 223ABC S bc A b π===△，b =2222212cos 292a b c bc A =+-=+-⨯=，3a =，又3sin sin sin sin 3a b c A B C π==== sin 1B =，1sin 2C = 所以1sin sin 2B C =．【点睛】方法点睛：正弦定理、余弦定理、三角形面积是解三角形的常用公式，解题方法是利用正弦定理进行边角转换，化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式变形求角，然后再根据问题先用相应公式计算． （2021河北省张家口市高三三模）5. 在四边形ABCD 中，,1,2AB CD AB AC BD ===，且sin sin DBC DCB ∠∠=.（1）求AD 的长； （2）求ABC 的面积.【答案】（1）AD =（2 【解析】【分析】（1）在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD ==设.AD x =在ABD △和ACD △中，分别由余弦定理，列方程22144724x x x x+-+-=-，解得AD ；（2）在ACD △中，由222AD CD AC +=，得到AD CD ⊥，直接利用面积公式求出ABC 的面积.【详解】（1）因为在四边形ABCD 中，AB CD ，所以cos cos .CDA DAB ∠∠=- 在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD == 设.AD x =在ABD △和ACD △中，由1,AB AC ==22144724x x x x+-+-=-， 所以()()2221447.x x +-=-+-解得x =AD =.（2）在ACD △中，2AD AC CD ===，得222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥，所以12ABCSAB AD =⋅=.所以ABC 【点睛】（1）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择． （2）平面四边形问题通常转化为解三角形来处理. （2021河北省唐山市高三三模）6. 如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE 的面积S 为BC .【答案】（1）∠BEC ＝3π；（2）BC = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得1cos 2BEC ∠=，故可求其大小. （2）设AEB α∠＝，由解直角三角形可得,BE CE ，根据面积可求α的值，利用余弦定理可求BC 的长.【详解】（1）∵2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠2222222•2•BE C BE BC CE CE BC BE BE BC CE E BC BC+-+-⋅⋅＝＋＝∴1cos 2BEC ∠=，而BEC ∠为三角形内角，故3BEC π∠=． （2）设AEB α∠＝，则23DEC πα∠=-，其中203πα<<， ∵DE ＝2AE ＝4， ∴2cos cos AE BE αα==，422cos()cos()33CE DE ππαα=--=， ∵△BCE的面积1sin 23cos cos()3S BE CE παα=⋅⋅=-==2sin(2)16πα==--，2sin(21)6α=--， ∴sin 216πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为72666πππα-<-<，故262ππα-=，即3πα=， 此时24cos BE α==，482cos()3CE πα==-， ∴在△BCE 中，由余弦定理得：2222cos 48BC BE CE BE CE BEC +⨯∠＝－＝，∴BC =（2021湖北省襄阳市高三下学期5月第二次模拟）7. 如图，设ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =，12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos 7BAD ∠=．（1）求b 边的长度；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）4b =；（2）【解析】【分析】（1）角化边即可求解；（2）设,AB AC θ=，根据cos 7BAD ∠=列方程即可求解 【详解】（1）由条件12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+， 可得：2212cos 4ca B a b bc =-+，即222221224a c b ca a b bc ac +-⋅=-+， 化简可得：4c b =，因为1c =，所以4b =（2）因为D 为中点，所以()12AD AB AC =+， 设,AB AC θ=，由()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AC AB AC c b c b θ=+=++⋅=++⋅ 得17||2AD =， 又()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+=，所以1cos 7||||17AB AD BAD AB AD ⋅=∠==⋅ 化简可得：228cos 8cos 110θθ+-=解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-， 又14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，则sin θ==，所以ABC 的面积为11sin 14222bc A =⨯⨯⨯=【点睛】关键点点睛：计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可.（2021湖北省武汉市高三下学期4月质量检测）8. 平面凸四边形ABCD 中，9034BAD BCD AD AB ∠=∠=︒==，，.（1）若45ABC ∠=︒，求CD ；（2）若BC =AC .【答案】（1）2；（2） 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BD ，利用差角公式求出sin DBC ∠，再利用直角三角形性质可求CD ；（2）先利用直角三角形及BC 求出sin cos 55CBD CBD ∠=∠=，再利用和角公式求出cos ABC ∠，结合余弦定理可得AC .【详解】（1）连接BD ，在Rt BAD 中，由4390AB AD BAD ==∠=︒，，. 得5BD =，①34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，. ∵45ABC ∠=︒，∴45DBC ABC ∠=︒-∠，①43sin sin 45cos cos 45sin 252510DBC ABD ABD ∠=︒⋅∠-︒⋅∠=⨯=-，在Rt BCD 中，由90BCD ∠=︒知：sin 5102CD BD DBC =⋅∠=⨯=.（2）连接AC ，由（1）知5BD =，在Rt ABD △中易知34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，.在Rt BCD 中，由5BC BD ==得CD =，易知sin cos CBD CBD ∠=∠= ①()cos cos cos cos sin sin ABC ABD CBD ABD CBD ABD CBD ∠=∠+∠=∠⋅∠-∠⋅∠4355=-=. 在ABC 中由余弦定理得：(222222cos 424205AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯= ①AC =（2021湖南省衡阳市高三下学期毕业班联考）9. 如图，ABC 中，1302BD CD BAD =∠=︒，．（1）若AB AC =，求sin DAC ∠；（2）若AD BD =，求AC BC的值． 【答案】（1）sin 1DAC ∠=；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面积比列方程，化简求得sin DAC ∠.（2）设AD x =，求得3BC x =，利用余弦定理列方程，求得AC =，从而求得AC BC. 【详解】（1）设BC 边上的高为h ，11sin 2211sin 22BAD CAD BD h AB AD BAD SS CD h AC AD CAD ⋅⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅⋅∠， 而1sin 302BD CD AB AC BAD ==∠=︒，，，∴sin 1DAC ∠=. （2）设AD x =，则3060AD BD x BAD ABD ADC ==∠=∠=︒∠=︒，，，2,3CD x BC x ==，在ADC 中，由余弦定理得：()()2222222cos603AC x x xx x =+-⋅︒=，∴AC =，∴33AC BC x ==. （2021湖南省株洲市高三下学期质量检测）10. 如图所示，在四边形ABCD中，tan tan BAD BAC ∠=-∠=（1）求DAC ∠的大小；（2）若2DC =，求ADC 周长的最大值.【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】【分析】（1）根据DAC BAD BAC ∠=∠-∠，由()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，利用两角差的正切公式求解；（2）利用正弦定理得到,in AD AC ACD ADC =∠=∠，则ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，再根据23ACD ADC π∠+∠=，利用两角和与差的三角函数转化为22sin 64AD AC ACD π⎛⎫++=+∠+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为DAC BAD BAC ∠=∠-∠，且tan tan 2BAD BAC ∠=-∠= 所以()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，tan tan 1tan BAD BAC BAD BAC∠-∠=+∠⋅∠，-== 因为()0,DAC π∠∈， 所以3DAC π∠=；（2）由正弦定理得sin si n s in DAC A DC A CD ADC D AC ∠=∠==∠所以,in 33AD AC ACD ADC =∠=∠，所以ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，22sin s n 33i ACD ACD π⎛⎫⎛⎫=+∠+-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32sin cos 223ACD ACD ⎛⎫=+∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭， 2n 64si ACD π⎛⎫=+∠+ ⎪⎝⎭， 因为203ACD π<∠<， 所以5666ACD πππ<∠+<， 所以1sin 126ACD π⎛⎫<∠+≤ ⎪⎝⎭， 所以ADC 的周长的最大值为2416+⨯=.【点睛】方法点睛：三角形周长问题，一般地是利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为ABC 外接圆半径)，将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π，然后利用三角函数的性质求解.（2021江苏省扬州中学高三3月调研）11. 如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），6BAC π∠=，DPA θ∠=．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在ADP △区域内种植观赏植物，在CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【答案】（1）1sin DP θ=，566ππθ<<；（2） 【解析】【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得1sin DP θ=，566ππθ<<， （2）分别求出APD S △，ADC S △，可得DPC S △，设三项费用之和为f，可得()1cos 12sin 2f θθθ+=+，566ππθ<<，利用导数求出最值. 【详解】解：（1）过点D 作DD AB '⊥，垂足为D ，在Rt ABC 中，∵AB BC ⊥，6BAC π∠=，3AB =，∴BC =在Rt ADD '中，∵1AD '=，DD '=2AD =，∴sin DAD '∠=∴3DAD π'∠=， ∵6BAC π∠=， ∴6DAP π∠=， 在ADP △中，由正弦定理可得sin sin 6AD DP πθ=， ∴1sin DP θ=，566ππθ<<， （2）在ADP △中，由正弦定理可得sin sin AD AP ADPθ=∠，∴52sin6sinAPπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=，∴5sin16sin2sinAPDS AP PDπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=⋅⋅=△，又11sin22222 ADCS AD DC ADC=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△∴5sin6sinDPC ADC APDS S Sπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=-=△△△，设三项费用之和为f，则()55sin sin1 66211 sin sin sinfπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⨯+⨯+⨯⎪⎪⎝⎭5sin16sin sinπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=+1cos12sinθθ+=+，566ππθ<<，∴()21cos2sinfθθθ-='-，令()0fθ'=，解得23πθ=，当2,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'<，函数f单调递减，当25,36ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'>，函数f单调递增，∴()min23f fπθ⎛⎫==⎪⎝⎭（2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模）12. 已知ABC中，D是AC边的中点，且①3BA=；①BC=①BD=①60A ∠=︒.（1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长.上面问题的条件有多余，现请你在①，①，①，①中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程.【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）5. 【解析】【分析】若删去①①，由余弦定理易得出两解，不满足题意.删①，在ABD △中和ABC 中分别利用余弦定理建立关系可求解，再利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE的长；删①，在ABD △中，由余弦定理有2cosADB ∠=，在BCD △中，cosCDB ∠=，由cos cos ADB CDB ∠=-∠求得x ，利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE 的长. 【详解】删①.（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=，在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==；（2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得5m =； 删①，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅，即2796cos60AD AD =+-⋅，解得1AD =或2AD =，则2AC =或4，有2解，不满足题意；删①，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意； 删①.（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅， 同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=1x =，2AC ∴=； （2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得m =. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是熟练应用余弦定理建立等量关系求解. （2021江苏省苏州市高三下学期三模）13. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知11(0)k k a b c+=>．（1）若2k C π==，求A 的值；（2）若k =2，求当C 最大时ABC 的形状．【答案】（1）4A π=；（2）正三角形. 【解析】【分析】（1）由11a b c +=，结合2C π=，利用正弦定理化简得到c 1o 1sin s A A +=24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解；（2）由112a b c +=，得到2ab c a b =+，由余弦定理得到222cos 2a b c C ab+-=()2142a b ab b a a b ⎡⎤=+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）11a b +=sin 11sin si 2n 2A A π⎛⎫- ⎪⎝==⎭+即c 1o 1sin s AA +=sin cos cos A A A A +=⋅，24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以24A A π+=或24A A ππ+=-， 解得4A π=； （2）112a b c+=，即2a b ab c +=， 所以2ab c a b =+， 由余弦定理得2222222cos 22ab a b a b c a b C ab ab ⎛⎫+- ⎪+-+⎝⎭==， ()()22141412222a b ab ab b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+-≥-=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 当且仅当a b =时，等号成立，此时3C π=，ABC 是正三角形．【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2021山东省泰安肥城市高三三模）14. 已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ；（2）求bc a的取值范围． 【答案】（1）3C π=；（2bc a<< 【解析】 【分析】（1)2224S c b =+-)2224a b c S +-=，根据余弦定理以及三角形的面积公式可得1cos 4sin 2C ab C =⨯，化简整理即可求出结果；（2）根据正弦定理把bc a变形为2sin 2sin B A，进而得到23sin A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭然后以函数的思想根据角A 的范围求值域即可.【详解】解:（1)2224S c b =-)2224a b c S +-=∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C = ∵cos 0C ≠，∴tan C =又(0,)C π∈ ∴3C π=．（2）ABC ∆的外接圆半径为1 ∴2sin c C=，即2sin c C =又sin sin sin a b c A B C ==， ∴2sin a A =，2sin b B =∴bc a==23sin sin A B A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭==1cos sin22sinA AA⎫+⎪⎝⎭=32tan A=+又因为ABC∆是锐角三角形∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<∴tan3>A，1tan A<<32tan2A<<，∴bca<<【点睛】解三角形中的求值域的问题，有两种解题思路：（1）找到边与边之间的关系，利用均值不等式求出最值，再结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来确定范围；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，以函数的思想求值域，注意转化的角的范围是关键.（2021山东省潍坊市高三三模）15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分ABC∠，ABM的面积是BCM面积的2倍．（1）求sinsinCA；（2）若1cos4B=，2b=，求ABC的面积．【答案】（1）2；（2）4．【解析】【分析】（1）由2ABM BCMS S=△△，ABM MBC∠=∠，得到2AB BC=，由正弦定理得sin2sinC ABA BC==；（2）由（1）知2c a =，代入满足1cos 4B =的余弦定理，求得a ，c ，并求得sin B ，则由面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可求得三角形面积. 【详解】解：（1）1sin 2ABM AB S BM ABM =⋅∠△， 1sin 2BCM BC S BM MBC =⋅∠△． 因为2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠，所以2AB BC =． 由正弦定理得sin 2sin C AB A BC == （2）由sin 2sin C A=得2c a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 又因为1cos 4B =，2b =， 所以2221444a a a +-⨯4=， 所以1a =，从而2c =． 又因为1cos 4B =且0πB <<，所以sin 4B =．因此 11sin 122244ABC a S c B ==⨯⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：根据角平分线及面积关系求得2c a =，并利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，解得三角形中的参数.。
由考题定考向,探方法成策略——以２０２１年新高考全国Ⅰ卷解三角形问题为例
试题研究２０２３年６月上半月㊀㊀㊀由考题定考向,探方法成策略以２０２１年新高考全国I卷解三角形问题为例◉江苏省连云港市城头高级中学㊀程玲强㊀㊀１真题呈现,问题解析考题㊀(２０２１年新高考全国Ⅰ卷第１９题)记әA B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知b２＝a c,点D在A C边长,B D s i nøA B C＝a s i n C．(１)证明:B D＝b;(２)若A D＝２D C,求c o søA B C ．图１解析:本题为解三角形问题,可先绘制辅助图形,如图１所示．(１)根据题设可知,B D＝a s i n Cs i nøA B C．由正弦定理得cs i n C＝bs i nøA B C,即s i n Cs i nøA B C＝cb．所以B D＝a cb,又知b２＝a c,则推出B D＝b,得证．(２)由A C＝b,A D＝２D C,可得A D＝２b３,D C＝b３．所以,在әA B D中,c o søA D B＝１３b２９－c２４b２３．同理可得c o søC D B＝１０b２９－a２２b２３．因为øA D B＝π－øC D B,所以１３b２９－c２４b２３＝a２－１０b２９２b２３,整理得２a２＋c２＝１１b２３．又b２＝a c,所以２a２＋b４a２＝１１b２３,整理得６a４－１１a２b２＋３b４＝０,解得a２b２＝１３或a２b２＝３２．在әA B C中,由余弦定理,可得c o søA B C＝a２＋c２－b２２a c＝４３－a２２b２．当a２b２＝１３时,c o søA B C＝７６＞１,不符合题意;当a２b２＝３２时,c o søA B C＝７１２．综上可知,c o søA B C＝７１２．另解:对于第(２)问,还可以从向量视角来解析．已知A D＝２D C,则D是三角形边A C的三等分点,则有B Dң＝１３B Aң＋２３B Cң,两边平方,可得|B Dң|２＝１９|B Aң|２＋４９|B Aң||B Cң|c o søA B C＋４９|B C|２．①在әA B C中,由余弦定理,可得c o søA B C＝a２＋c２－b２２a c．结合题目条件有b２＝９D C２＝a c,B D＝b＝３D C．将上述式子代入①式,消去B D,c o søA B C和b,可初步得到６a２－１１a c＋３c２＝０,则c＝２３a或c＝３a．当c＝３a时,b２＝a c＝３a２,由余弦定理,得c o søA B C＝７６＞１,不符合题意;当c＝２３a时,b２＝a c＝２３a２,可得c o søA B C＝７１２．２命题揭秘,技巧探究上述考题为高考常见的解三角形问题,主要考查三角函数的核心知识,如正弦定理㊁余弦定理,以及利用定理度量三角形,对学生计算分析㊁利用知识解决实际问题的能力有较高的要求．下面深入解读考题的０６Copyright©博看网. All Rights Reserved.２０２３年６月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀命题规律,以及常用的解题技巧．２．１命题规律探究正弦定理㊁余弦定理是高考的热点知识,也是解三角形的核心知识,它们常用来求解三角形的相关问题,如已知边求其他角,判断三角形的形状,求三角形的面积,等等．同时,考题中也常将两个定理与和差公式㊁倍角公式以及三角形的面积公式相结合,转化的技巧性极强．问题解答需要灵活运用正弦定理㊁余弦定理,并有效结合函数与方程思想㊁化归转化思想等．２．２解题技巧探究正弦定理㊁余弦定理是解三角形的核心知识,对应变形式的应用也极为广泛,也是需要重点掌握的知识;另外需要掌握以下几个解析技巧．(１)正弦定理的推广:a s i n A＝b s i n B＝c s i n C＝２R,其中R为әA B C外接圆的半径．求解әA B C外接圆的面积或周长时,可利用正弦定理的推广式来求外接圆的半径．(２)三角形面积公式:S＝１２a b s i n C＝１２b c s i n A＝１２c a s i n B．对于上式,可从三角形内角与边来解读,即三角形的面积可表示为任意两边及其夹角正弦值乘积的一半．(３)正弦知识与三角形个数:利用正弦定理的变形式可判断满足条件的三角形个数．由正弦定理可变形出s i n B＝b s i n A a．当s i n B＝b s i n A a＞１,则满足条件的三角形为０个,即无解;当s i n B＝b s i n A a＝１,则满足条件的三角形为１个;当s i n B＝b s i n A a＜１,则满足条件的三角形为１个或２个．(４)正弦定理的适用问题:已知两角和任意一边,求其他边和角;已知两边和其中一边的对角,求其他边和角．(５)利用正㊁余弦定理解题常用策略:利用两个定理解题常结合转化思想,即将边转化为角,或将角转化为边,最终目标是实现角或边的统一．对于三角形中的不等式问题,可利用两个定理来适当 放缩 ．对于三角形的取值范围问题,若以余弦定理为切入点,则可将问题转化为不等式;若以正弦定理为切入点,则可将问题转化为三角函数．３关联探究,解题分析解三角形问题的类型十分多样,所涉知识考点也较为众多,结合图形理解条件把握三角形特征,活用定理是解题的关键．下面结合具体问题进行关联探究．３．１倍角公式转化,破解三角函数值问题涉及倍角的三角函数问题较为特殊,需用倍角公式构建倍角与三角形内角的关系,然后利用正弦定理㊁余弦定理加以运算突破．图２例１㊀如图２所示,用三个全等的әA B F,әB C D,әC A E拼成了一个等边三角形A B C,әD E F为等边三角形,且E F＝２A E,设øA C E＝θ,则s i n２θ的值为．解析:设A E＝k(k＞０),则E F＝２k．由øA C E＝θ,әA B F,әB C D,әC A E全等,可得øF A B＝θ, C D＝k,D E＝２k．又әA B C为等边三角形,所以øC A E＝π３－θ．在әC A E中,由正弦定理,可得A Es i nøA C E＝C Es i nøC A E,即３s i nθ＝３２c o sθ－１２s i nθ．整理得t a nθ＝３７,则s i n２θ＝２t a nθt a n２θ＋１＝２ˑ３７３４９＋１＝７３２６．评析:例１是关于倍角的三角函数问题,问题涉及了全等三角形和等边三角形,利用正弦定理来求解所涉内角的正弦值是解题的基础,而利用倍角公式构建三角形内角和倍角之间的关系则是解题的关键．３．２正弦定理转化,破解面积取值问题三角形面积取值问题十分常见,从三角函数视角分析,可灵活运用正弦定理来求解,对于其中取值范围的分析,则可结合角度和边长的大小关系．例２㊀在锐角三角形A B C中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知b s i n B＋C２＝a s i n B,且c＝２,则锐角三角形A B C面积的取值范围为．解析:由b s i n B＋C２＝a s i n B,可得b c o s A２＝a s i n B．由正弦定理,可得s i n B c o s A２＝s i n A s i n B．由０＜B＜π２,可得s i n B＞０,故c o s A２＝s i n A,即c o s A２＝２s i n A２c o s A２．又０＜A＜π２,所以０＜A２＜π４,则c o sA２＞０．故s i nA２＝１２,进而可得A＝π３．１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年６月上半月㊀㊀㊀图３如图３所示,在әA B C中B C１ʅA C,B C２ʅA B,可知A C１＝A Bc o sπ３＝１,A C２＝A Bc o sπ３＝４．因为әA B C为锐角三角形,所以点C在线段C１C２上运动,但不包括端点,于是有A C１＜b＜A C２,即１＜b＜４．而әA B C的面积可表示为SәA B C＝１２b c s i n A＝３２b,结合b的取值可得３２bɪ(３２,２３)．故әA B C面积的取值范围为(３２,２３)．评析:例２是求三角形面积的取值范围问题,解题的关键是构建三角形模型㊁确定b的取值范围．上述解题分两阶段突破．第一阶段,结合余弦定理确定内角A的大小;第二阶段,结合图形求解b的取值范围,进而由三角形面积公式求面积的取值范围．３．３两角和差转化,破解三角函数最值问题对于与两角相关的三角函数值问题,突破的核心是两角和与差的公式,即完成两角的统一化,构建单一变量,将问题转化为简单的函数问题,然后利用函数性质求最值．例３㊀在әA B C中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积S可表示为S＝b２＋c２－a２４,试回答下列问题．(１)如果a＝６,b＝２,求c o s B的值;(２)试求s i n(A＋B)＋s i n B c o s B＋c o s(B－A)的最大值．解析:(１)简答．利用面积公式可得A＝π４,结合正弦定理可得s i n B＝b s i n A a＝６６,分析可知B为锐角,故c o s B＝３０６．(２)由(１)可知A＝π４,所以s i n(A＋B)＋s i n B c o s B＋c o s(B－A)＝２２s i n B＋２２c o s B＋s i n B c o s B＋２２s i n B＋２２c o s B＝２(s i n B＋c o s B)＋s i n B c o s B．令t＝s i n B＋c o s B＝２s i n(B＋π４),由Bɪ(０,３π４),得B＋π４ɪ(π４,π),则s i n(B＋π４)ɪ(０,１],所以tɪ(０,２]．故s i n(A＋B)＋s i n B c o s B＋c o s(B－A)＝２t＋t２－１２＝１２(t＋２)２－３２,tɪ(０,２]．分析可知,当t＝２,B＝π４时,原式取得最大值,且最大值为５２．评析:上述第(２)问可视为是两角和差的三角函数最值问题,突破的核心策略是角的转化,即通过内角的变换将问题转化为单一内角的三角函数问题．上述解析过程充分利用了两角和与差的公式㊁内角的三角函数基本关系等,问题的转化思想和运算技巧体现得极为充分．４解后反思,教学建议解三角形问题是高考数学的重要题型,探究命题规律,总结解题技巧是教学探究的重点,下面进一步进行反思教学．４．１理解定理内涵,正确认识定理正弦定理㊁余弦定理是破解 解三角形 问题的核心定理,充分理解定理内涵㊁正确认识定理是探究学习的关键．实际上两大定理揭示了三角形边角关系．如余弦定理体现了三角形三边长与一个角余弦值的关系,是对勾股定理的推广;而正弦定理则体现了三角形各边和所对角正弦值之比的关系．教学中要帮助学生理解该知识内涵,同时引导学生体验定理的探究过程,掌握定理的证明方法,强化学生的思辨思维,以从根本上掌握解三角形问题的知识核心．４．２开展思维训练,总结通性通法边化角 和 角化边 是解三角形问题常用的两种思路,总体而言就是为了实现问题条件的 边 或角 的统一．在教学中要重视学生的思维训练,促使学生充分掌握该类问题的通性通法,正确判断解决问题应选用的方法．４．３关注类型问题,总结破题技巧解三角形问题的类型十分多样,问题的综合性㊁拓展性极强,因此关注问题的多种类型,总结破题技巧十分关键[１]．实际教学中,教师要帮助学生构建解三角形问题的体系,引导学生合理变式,灵活运用定理㊁公式来转化突破．同时注意拓展解法,提升学生的思维水平．参考文献:[１]景君．不畏浮云遮望眼 一道江苏联赛解三角形题的剖析[J]．中学数学,２０２１(７):１９Ｇ２０．Z２６Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
2020年新高考数学复习实际问题中的解三角形问题专题解析
无解
一解
两解
一解
一解
无解
7.三角形常用的面积公式
1
1
1
1
abc
(1)S＝2a·ha(ha 表示 a 边上的高)．(2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R .
1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
应用举例: 类型一、测量高度问题
【例 1】如图，一山顶有一信号塔 CD （ CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚 A 处测得塔尖 C 的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向上前进 l 米后到达 B 处，测得 C 的仰角为 .
3 海里.
(1)求 两点间的距离；(精确到 0.01)
(2)某一时刻，我国一渔船在 点处因故障抛锚发出求教信号.一艘 国舰艇正从点 正东 10 海里的点 处以
18 海里/小时的速度接近渔船，其航线为
(直线行进)，而我东海某渔政船正位于点 南偏西 方向
20 海里的点 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行 8 海里至点 处，再折向点 直线航行，航
实战演练:
1．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东150 BAC 150 方向上，匀速向北航
行 20 分钟到达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 600 方向上，此时测得山顶 P 的仰角 600 ，若山高为 2 3 千米，
近几年高考数学卷“解三角形”专题分析
＝槡２３犮，而根据题目条件知犪＝２犮，结合图形可得犆犇 ＝
犅犆－犅犇＝３ ２犮，那么由题目条件有犫＝６．在Ｒｔ△犃犇犆
（ ） （ ） 中，利用勾股定理可得
２
槡２３犮 ＋
３ ２犮
２＝３６，化简解Fra bibliotek得犮２
＝１２，则
△犃犅犆
的面积犛
＝
１ ２
·犪·犃犇
＝
１ ２
·
２犮·槡２３犮＝槡２３犮２ ＝６槡３．故填答案：６槡３． 点评：解决本题的常规思维是借助余弦定理加以
教学
２０２０年４月 新颖试题
参谋
犫 ２
＝犮，则有
犅犇
＝槡２２犪．在
Ｒｔ△犆犇犅
中，可得ｃｏｓ犅
＝
角三角形来直观处理其中的边与角的关系问题，易于 操作，直观形象．
槡２，则 ２
犅
＝４５°，即
∠犅犆犇
＝４５°，所 以
ｓｉｎ犆
＝
ｓｉｎ（∠犃犆犇 ＋∠犅犆犇）＝ｓｉｎ（３０°＋４５°）＝ｓｉｎ３０°ｃｏｓ４５°
＋ｃｏｓ３０°ｓｉｎ４５°＝
１ ２
×
槡２ ２
槡３ ＋２
×
槡２ ２
＝槡２４＋槡６．
点评：解决本 题 第 （２）问 的 常 规 思 维 是 借 助 条 件
的转化与 正 弦 定 理 的 应 用，利 用 整 体 思 维，并 结 合 三
角恒等变换公式来求解对应角的正弦值，学生处理起
来要有比较高的逻辑推理能力与思维习惯．而利用题 目条件对具体的三角形作高，把一般性的三角形问题 转化为直 角 三 角 形，利 用 平 面 几 何 知 识 来 处 理，思 维 简单易操作，破解过程直观形象，处理起来方向性高， 目的性强．
高考数学复习热点06 三角函数与解三角形(解析版)-2021年高考数学专练(新高考)
热点06 三角函数与解三角形【命题形式】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。
1、题目分布："一大一小",或"三小"，或"二小"("小"指选择题或填空题，"大"指解答题)，解答题以简单题或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较高的题。
2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。
3、新题型的考察：（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。
4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。
【满分技巧】1、夯实基础，全面系统复习，深刻理解知识本质从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。
要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数，是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。
“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、整理，达到举一反三、触类旁通。
2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉。
2020版高考数学复习三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式讲义理(含解析)
第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：□01sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：□02sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2.三角函数的诱导公式1.概念辨析(1)对任意α，β∈R ，有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.小题热身 (1)若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝________. 答案 －12解析 因为sin α＝55，π2<α<π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255， 所以tan α＝sin αcos α＝－12.(2)化简：cos 2α－1sin αtan α＝________.答案 －cos α解析 原式＝－sin 2αsin α·sin αcos α＝－cos α.(3)sin2490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________.答案 －12 －12解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.(4)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.答案 －45解析 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.题型 一 同角三角函数关系式的应用1.已知cos α＝15，－π2<α<0，则1tan α＝( )A.2 6 B ．－2 6 C ．－612 D.612答案 C解析 因为cos α＝15，－π2<α<0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－265，所以1tan α＝cos αsin α＝15－265＝－612.2.已知tan x ＝3，则sin x ＋3cos x2sin x －3cos x ＝________.答案 2解析 因为tan x ＝3，所以sin x ＋3cos x 2sin x －3cos x ＝tan x ＋32tan x －3＝3＋32×3－3＝2.3.sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 答案 44.5解析 因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°， 两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.1.已知△ABC 中，cos A sin A ＝－125，则cos A 等于( )A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213答案 D解析 因为A 是三角形内角，且cos A sin A ＝－125<0，所以cos A <0且5cos A ＝－12sin A ， 则25cos 2A ＝144sin 2A ＝144(1－cos 2A ) 解得cos 2A ＝144169，所以cos A ＝－1213.2.若α是第二象限角，则tan α1sin 2α－1化简的结果是( ) A.－1 B ．1 C.－tan 2α D ．tan 2α答案 A解析 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0， 所以tan α1sin 2α－1＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. 3.(2018·绵阳诊断)已知2sin α＝1＋cos α，则tan α的值为( ) A.－43B.43 C.－43或0D.43或0 答案 D解析 因为2sin α＝1＋cos α，所以4sin 2α＝1＋2cos α＋cos 2α，又因为sin 2α＝1－cos 2α，所以4(1－cos 2α)＝1＋2cos α＋cos 2α，即5cos 2α＋2cos α－3＝0，解得cos α＝－1或cos α＝35.当cos α＝－1时，sin α＝0，tan α＝0，当cos α＝35时，sin α＝45，tan α＝43.题型 二 诱导公式的应用1.化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A.1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 C解析 原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2.已知f (α)＝π－απ－α－π－απ－α，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( ) A.12 B.13 C.32 D.22 答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α－tan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 3.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．答案 0 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.条件探究1 若举例说明3的条件“cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ”改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π12＝a ”，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋7π12.解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π12＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π12＝－a .条件探究2 若举例说明3的条件“cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ”改为“cos(α－17°)＝a ”，求sin(α－107°)．解 sin(α－107°)＝sin(α－17°－90°) ＝－cos(α－17°)＝－a .(1)诱导公式的两个应用方向与原则①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为π2的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明3中π6－θ＋5π6＋θ＝π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝π2.1.(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2017π2＝( ) A.－45 B ．－35 C.35 D.45答案 B解析 因为角α的终边经过点P (3,4)． 所以cos α＝332＋42＝35. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2017π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－1008π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－35. 2.(2018·石家庄模拟)已知k ∈Z ，化简：k π－αk －π－α]k ＋π＋αk π＋α＝________.答案 －1解析 当k 为偶数时，原式＝－α－π－απ＋αα＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1. 当k 为奇数时，原式＝π－α－αsin απ＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上知，原式＝－1.题型 三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的灵活应用角度1 化简与求值1.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355 B.377 C.31010 D.13答案 C解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010.角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系2.(2018·长沙模拟)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin x －cos x ＝( )A.－75B.75C.57 D ．－57答案 A解析 因为sin(π＋x )－cos x ＝－15，所以－sin x －cos x ＝－15，所以sin x ＋cos x ＝15∈(0,1)．又因为－π<x <0，所以－π2<x <0，所以sin x －cos x <0.sin x ＋cos x ＝15，两边平方得1＋2sin x cos x ＝125，所以2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.所以sin x －cos x ＝－75.角度3 常值代换问题3.(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1 D.1625答案 A解析 当tan α＝34时，原式＝cos 2α＋4sin αcos α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34916＋1＝6425， 故选A.同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝….1.1＋π－π＋化简的结果是( )A.sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C.±(sin3－cos3) D ．以上都不对 答案 A解析 因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝1－2sin3·cos3＝－2＝|sin3－cos3|.因为π2<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.2.已知tan100°＝k ，则sin80°的值等于( ) A.k1＋k 2B ．－k1＋k2C.1＋k2k D ．－1＋k2k答案 B解析 由已知得tan100°＝k ＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k ，又因为tan80°＝sin80°cos80°＝sin80°1－sin 280°，所以sin 280°1－sin 280°＝k 2，注意到k <0，可解得sin80°＝－k1＋k2.3.若sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝( )A.25 B ．－25 C.23 D ．－23 答案 B解析 由sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，得sin x ＝2cos x ，即tan x ＝2，则cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos x sin x ＝－sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝－tan x 1＋tan 2x ＝－21＋4＝－25.。