公开课教案--指数与指数幂的运算
《指数与指数幂的运算》教学设计
210
(25 )2
25
10
22;
3 312
3 (34)3
34
12
33;
12
4 a12 4 (a3)4 a3 a 4 ;
10
5 a10 5 (a2)5 a2 a 5 .
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整
除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
你能表示下列式子吗?
3
5 43 45;
3 75
5
73;
2
3 a2 a3;
9
7 a9 a7.
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指 数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.
1.规定：正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N , 且n 1)
2.规定：正数的负分数指数幂的意义：
m
an
1
m
an
1 n am
1
36
2 3 113216
111 236
236.
(2)( 3 25 125) 4 5
23
1
(53 52 )54
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53 54 52 54
21 31
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53 4 52 4 512 54
12 55 54 5.
(1) [(
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高中数学指数与指数幂的运算教案
高中数学指数与指数幂的运算教案教学目标1.理解指数和幂的概念；2.掌握指数的基本运算法则；3.掌握指数幂的计算方法。
教学重难点1.掌握指数的基本运算法则；2.掌握指数幂的计算方法。
教学内容1. 指数的概念指数是数学中一个重要的概念，用于表示一个数的幂次。
指数通常写在一个数的右上角，如a n，其中a是底数，n是指数。
指数的计算可以用重复乘法的方法进行。
2. 指数的基本运算法则2.1. 指数相加、相减指数相加时，如果底数相同，则可以将指数相加，即 $a^m \\times a^n =a^{m+n}$。
指数相减时，如果底数相同，则可以将指数相减，即$\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
2.2. 指数相乘、相除指数相乘时，如果底数相同，则可以将指数相乘，即(a m)n=a mn。
指数相除时，如果底数相同，则可以将指数相除，即 $\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
2.3. 幂函数的运算幂函数是一种特殊的函数，它具有y=ax n的形式。
幂函数的运算可以用指数的基本运算法则进行，例如(x m)n=x mn和 $x^m \\times x^n = x^{m+n}$。
3. 指数幂的计算方法指数幂的计算方法包括以下几种。
3.1. 同底数幂的乘方运算当底数相同时，两个幂相乘可以将指数相加，即 $a^m \\times a^n =a^{m+n}$。
例如，$5^3 \\times 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$。
3.2. 不同底数幂的乘方运算当底数不同时，两个幂相乘可以先将底数相乘，再将指数相加。
例如，$3^4 \\times 2^4 = (3 \\times 2)^4 = 6^4$。
3.3. 同底数幂的除法运算当底数相同时，两个幂相除可以将指数相减，即 $\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
例如，$\\dfrac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$。
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算教案教案标题：指数与指数幂的运算教案概述：本教案旨在帮助学生理解指数与指数幂的概念，并掌握指数与指数幂的运算规则。
通过多种互动教学方法，学生将能够在实际问题中应用指数与指数幂的知识，提高他们的数学思维和解决问题的能力。
教学目标：1. 理解指数和指数幂的概念。
2. 掌握指数与指数幂的运算规则。
3. 能够在实际问题中应用指数与指数幂的知识。
教学重点：1. 指数的定义和性质。
2. 指数幂的定义和性质。
3. 指数与指数幂的运算规则。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、教学课件、实物或图片示例。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、计算器。
教学过程：步骤一：引入（5分钟）教师通过提问和展示实物或图片示例引入指数与指数幂的概念，激发学生的兴趣和思考。
步骤二：概念讲解（15分钟）教师通过教学课件或黑板白板讲解指数的定义和性质，以及指数幂的定义和性质，并与学生一起解决一些简单的例题。
步骤三：运算规则讲解（15分钟）教师详细讲解指数与指数幂的运算规则，包括同底数相乘、相除、幂的乘方等规则，并通过例题演示运用这些规则进行运算。
步骤四：练习与巩固（20分钟）教师提供一些练习题，让学生在课堂上进行个人或小组练习，并及时给予指导和反馈。
教师还可以设计一些应用题，让学生运用指数与指数幂的知识解决实际问题。
步骤五：总结与拓展（10分钟）教师与学生一起总结本节课的重点内容，并提供一些相关拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索。
步骤六：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，要求学生独立完成，并在下节课前交给教师检查。
教学延伸：1. 学生可以通过自主学习，进一步了解指数与指数幂的应用领域，如科学计数法、指数函数等。
2. 教师可以组织学生进行小组讨论或展示，分享他们在实际生活中发现的指数与指数幂的应用案例。
教学评估：1. 教师通过课堂练习和作业的批改，评估学生对指数与指数幂的理解和运用能力。
2. 教师观察学生在课堂上的表现，评估他们的参与度和学习态度。
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算教案一、知识点概述指数是数学中的一个重要概念，它表示一个数的幂次。
指数幂是指一个数的指数次幂，例如a b表示a的b次幂。
指数与指数幂的运算是数学中的基本运算之一，掌握这一知识点对于学习高中数学和大学数学都非常重要。
本教案将介绍指数与指数幂的基本概念、运算规律和解题方法，帮助学生掌握这一知识点。
二、基本概念1. 指数的定义指数是表示一个数的幂次的数，通常用字母a和n表示，a表示底数，n表示指数。
指数的一般形式为a n，读作“a的n次幂”。
2. 指数幂的定义指数幂是指一个数的指数次幂，例如a n表示a的n次幂。
指数幂的一般形式为a n，读作“a的n次幂”。
3. 底数和指数的关系底数和指数是指数幂的两个基本要素，它们之间的关系非常密切。
底数表示被乘数，指数表示乘数，指数越大，指数幂的值就越大。
三、运算规律1. 同底数幂的乘法同底数幂的乘法是指，当两个指数幂的底数相同时，它们的指数相加，底数不变。
即a m×a n=a m+n。
例如：23×24=23+4=27。
2. 同底数幂的除法同底数幂的除法是指，当两个指数幂的底数相同时，它们的指数相减，底数不变。
即a ma n=a m−n。
例如：2523=25−3=22。
3. 幂的乘方幂的乘方是指，当一个指数幂的底数是另一个指数幂的指数时，它们的值相乘，底数不变。
即 (a m )n =a mn 。
例如：(23)4=23×4=212。
4. 幂的除方幂的除方是指，当一个指数幂的底数是另一个指数幂的指数时，它们的值相除，底数不变。
即(a m )n a p =a mn−p 。
例如：(23)422=23×4−2=210。
5. 指数幂的乘方指数幂的乘方是指，当两个指数幂的指数相乘时，它们的底数不变，指数相乘。
即 (a m )n =a mn 。
例如：(23)4=23×4=212。
6. 指数幂的除方指数幂的除方是指，当两个指数幂的指数相除时，它们的底数不变，指数相除。
高中数学指数与指数幂的运算教案
高中数学指数与指数幂的运算教案一、教学目标•理解指数幂的基本概念，掌握指数幂运算法则。
•掌握指数幂运算中的乘方运算法则、除法运算法则、幂运算法则等基本准则。
•掌握如何进行数学题目的化简与计算。
二、教学重点•理解指数幂的概念，掌握乘方运算、除法运算和幂运算的基本法则。
•熟练掌握指数幂的运算方法，能够灵活运用到数学题目计算及求解中。
三、教学内容1. 指数幂的基本概念•定义：指数是乘积的简写，指数幂就是一个数自乘的多次运算。
例如 aⁿ，其中 a 是底数，n 是指数。
•概念：底数与指数是幂的构成要素。
•特征：指数幂的幂次表示底数连续乘法的次数，指数为 0 的指数幂表示为 1。
•记忆技巧：底数 a 和指数 n 都可以从“按次数”这个概念入手去记。
2. 指数幂运算法则2.1 乘法运算法则指数相加，底数不变。
aⁿ × aⁿʸ = aⁿ⁺ʸ。
例如：2² × 2³ = 2⁵2.2 除法运算法则指数相减，底数不变。
aⁿ ÷ aⁿʸ = aⁿ⁻ʸ，其中 n 〉y。
例如：5⁴ ÷ 5² = 5²2.3 幂运算法则底数相同，指数相加。
aⁿ⁺ʸ = (aⁿ)ⁿʸ。
例如：2³⁺² = (2³)² = 8² = 643. 题目解析题目1$0.5^6 \\times 0.5^3 = 0.5^{6+3} = 0.5^9$题目2$4^3 \\div 4^2 = 4^{3-2} = 4^1 = 4$题目3$(3^4)^3 = (3^{4\\times3}) = 3^{12}$四、教学方法1.以练习为主，通过大量的例题和训练来加深学生对指数幂的认识。
2.实践与归纳相结合，提高学生思维水平与解题能力。
五、教学过程1.复习知识点和概念。
2.讲解指数幂运算法则，通过例题讲解并学生操作，带领学生掌握基本的指数幂运算方法。
人教版高中数学必修一教材《指数与指数幂的运算》教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程1(0)n na a a -=≠;()mnm nm n mna a a a a+⋅==(),()n m mn n n na a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 1051025255()aa a a ===② 884242()a a a a ===③1212343444()aa a a ===④5105102525()aa a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323(0)a a a ==>12(0)b b b ==>5544(0)c c c ==>即：*(0,,1)m nmna a a n N n =>∈>老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成概念为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从“特殊一备选例题例1计算 （1）.)01.0(41225325.0212-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+； 【解析】（1）原式1122141149100⎛⎫⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111.61015=+-=（2）原式=232212323414])21[(])87[()3()1.0(---+-+ =3121)31()87(31.0---+-+=73142778910=+-+.【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2 化简下列各式： （1）313315383327----÷÷a a a a a a ；（2）33323323134)21(248a ab a abb ba a ⨯-÷++-. 【解析】 （1）原式=321233153832327----÷÷a aa aa a=323732-÷÷a a a=312213732)()(-÷÷a a a=326732326732---÷=÷÷aa aa a=613221a a =+-；（2）原式=313131313231313231224)8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷++-3131313132313132323131323131312424)42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅++++-=a a a a =⋅⋅=313131.【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如8)2(])2[()2(2162166==-=-.（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.。
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算教案一、教学目标：知识与技能目标：1. 理解指数与指数幂的概念。
2. 掌握指数幂的运算性质和运算法则。
3. 能够运用指数幂的运算性质解决实际问题。
过程与方法目标：1. 通过观察、分析和归纳，培养学生发现和提出问题的能力。
2. 利用同底数幂的乘法、除法、乘方和积的乘方等运算法则，提高学生的逻辑思维能力。
情感态度与价值观目标：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、合作的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 指数与指数幂的概念。
2. 指数幂的运算性质和运算法则。
难点：1. 理解指数幂的运算性质和运算法则。
2. 运用指数幂的运算性质解决实际问题。
三、教学准备：教师准备：1. 指数与指数幂的相关教学素材。
2. 教学课件或板书设计。
学生准备：1. 预习指数与指数幂的相关知识。
2. 准备好笔记本，用于记录重点知识和练习。
四、教学过程：1. 导入：教师通过引入日常生活中的实际问题，如“银行的复利计算”，引导学生思考指数与指数幂的概念。
2. 新课讲解：教师讲解指数与指数幂的概念，通过示例和图示，帮助学生理解指数幂的运算性质和运算法则。
3. 课堂练习：教师给出一些指数幂的运算题目，要求学生独立完成，并及时给予指导和反馈。
4. 应用拓展：教师提出一些实际问题，引导学生运用指数幂的运算性质解决，培养学生的应用能力。
五、课后作业：教师布置一些有关指数与指数幂的练习题目，要求学生在课后完成，巩固所学知识。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对存在的问题，调整教学方法和策略，以提高教学效果。
六、教学评估1. 课堂提问：教师通过提问了解学生对指数与指数幂概念的理解程度，以及学生对指数幂运算性质和运算法则的掌握情况。
2. 课堂练习：教师观察学生在练习过程中的表现，评估学生对指数幂运算的熟练程度。
3. 课后作业：教师批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题及时给予反馈。
《指数与指数幂的运算(第1课时)》教学设计
指数函数指数与指数幂的运算（第一课时）（胡文娟）一、教学目标（一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础．（二）学习目标1．理解根式的概念并掌握运用根式的性质进行化简．2．理解分数指数幂的概念．3．掌握根式与分数指数幂之间的互化．（三）学习重点1．根式与分数指数幂概念的理解．2．分数指数幂的运算性质．（四）学习难点根式与分数指数幂的互化．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第49页至第51页，填空：一般地，如果ax n=，那么x叫做a的n次方根，其中1>n，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．式子n a 叫做根式．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （2）计算下列各式 ①364-；②44)6(1-；③)0,0(55≥≥+b a b a ）（观察上面的计算结果，你得到的结论是：（用字母表达）．详解：①44)4()4(6433-=-⨯-⨯-=-）（； ②61)6(1)6(1)6(1)6(161)6(144444=-⨯-⨯-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-； ③()()()()()b a b a b a b a b a b a b a +=+⋅+⋅+⋅+⋅+=+555）（ 结论：n 为奇数，R a a a n n ∈=，；n 为偶数，⎩⎨⎧<-≥=0,0a a a a a n n ，．2．预习自测（1）若x 表示实数，则下列说法正确的是（）A ．x 一定是根式B ．x -一定不是根式C ．56x 一定是根式 D ．3x -只有当0≥x 才是根式【知识点】根式的定义． 【数学思想】【解题过程】根据根式定义可得C 正确．【思路点拨】根据根式的定义直接判断． 【答案】C ．（2）=-552）（（） A ．4 B ．2 C ．4- D ．2-【知识点】根式的化简． 【数学思想】【解题过程】()()()()()2222222555-=-⋅-⋅-⋅-⋅-=-）（． 【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算． 【答案】D ．（3）将235写为根式，则正确的是（ ）A ．325B ．35C ．523 D ．35【知识点】根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】 【解题过程】32355=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】D ．（4）将536写为分数指数幂的形式，则正确的是（）A ．356 B ．536 C ．156 D ．26【知识点】根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】 【解题过程】535366=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系．【答案】B．二课堂设计1．知识回顾（1）平方根一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（squareroot）或二次方根．（2）立方根一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cuberoot）或三次方根．（3）正数有两个平方根，他们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根．任何一个数都有唯一一个立方根，并且这个立方根的符号与原数相同．2.问题探究探究一根式的概念与根式的化简●活动①回顾理解方根与根式的概念在初中，我们学习过二次方根概念:一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（squareroot）或二次方根．其中，a叫做被开方数．当a≥0时，a表示a的算术平方根．我们也学习过三次方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cuberoot）或三次方根．提问：如果一个数的4次方等于a ，那么这时候这个数叫做什么呢这个数叫做a 的四次方根．追问：如果一个数的n 次方等于a ，那么这时候这个数又叫做什么呢（抢答）一般地，如果a x n =，那么叫做a 的n 次方根，其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．【设计意图】通过回顾已学知识，从特殊到一般，让学生自己总结归纳，加深学生对根式的理解．●活动②根式的性质*,1)n n ∈N >表示n a 的n 次方根，等式a a n n =一定成立吗如果不一定成立，那么n n a 等于什么（分小组讨论）若00a ==n 为奇数时，a a n n =n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n也就是说，当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．追问：a a n n=)(一定成立吗很明显，当根式有意义的情况下a a n n=)(一定成立．综上，根式的性质有：00)1(=n ，a a n n=))(2(，a a n n =)3(（n为大于1的奇数），⎩⎨⎧<-≥==)0()0()4(a a a a a a nn（n为大于1的偶数）．【设计意图】通过学生自主讨论探究归纳总结，得出根式的化简方法，加深印象．探究二分数指数幂的概念★ ●活动①探究分数指数幂的概念当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值．例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，……当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(．问题：以上三个数的含义到底是什么呢考古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P 的值．例如，当t =6000时，600057301()0.4842p ==≈（精确到），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的%．归纳：分数指数幂是一个数的指数为分数．【设计意图】从生活中的实际例子到数学语言，从特殊到一般，体会概念的提炼，抽象过程．探究三根式与分数指数幂的互化 ●活动①根式与分数指数幂的互化5102552510)(aa a a===，4123443412)(a a a a===问题：（1）从上两个例子你能发现什么结论结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a的形式（2））（0,,4532>c c b a 如何表示 3232aa =，21bb =，4545c c =规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm你能得出正数的负分数指数幂的根式表示形式吗？1*()0,,,1)m m nn aa a m n N n --==>∈>正数的分数指数幂是45c 327-±3327333-=-=-）（552)()(b a b a -+-)(2b a -0)(2b a -ba -√（a -b）2+√(a -5)55=|a -b |+(a -b )={a -b+a -b=2(a -b ),a>b b -a+a -b=0,a<bx -2964422+--+-x x x x 52-x 12--x 1-x25-x -202≥-x 2≤x442+-x x x x -=-=222）（x x x x -=-=+-339622）（1-=⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn21<a ()4212-a 12-a 12--a a 21-a 21--21<a 012<-a ()a a a 2112122142-=-=-）（n⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn )0(21≠-=-x x x ）（)0(3162<=y y y )0,()(4343≠=-y x xy y x ）（331x x -=)0(21≠-=-x x x )0(3162<-=y y y ）（331x x =7717)(m n mn＝31242)2(－＝－43433)(y x y x ＋＝＋833)43(23=777)(-m n mn ＝31242)2(＝－5.03132)972()27125()027.0(-+14106)31()16174()23(30----⋅+09.0)35()35()3.0(233323=-+=3903322==-=09.0√3−9203115.03)27102(1.0)972(π-++--313125.01041027.010)833(81)87(3)0081.0(⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯----53113103+73412=+=+=983)323(31310)103(10)23(1331)103(133334444-=-+⨯-=⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⨯-=1131298-a x n =*N ∈n n a )1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm1*()0,,N ,1)m m nn aa a m n n --==>∈>aa nn =⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn)1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm *0,,N ,1)m naa m n n -=>∈>，n 的位置切勿记反．（三）课后作业基础型自主突破1．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（）． ①n mnmaa=；②10=a；③nmnm aa1=-A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【知识点】根式与分数指数幂的互化，分数指数幂． 【数学思想】【解题过程】由分数指数幂的概念判断．【思路点拨】弄清根式与分数指数幂之间的互化关系． 【答案】A ．2．已知432=-x 则x 等于（）A ．8±B ．81±C ．443D ．322±【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】814143232332±=±=±==---）（x x【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系．【答案】B ．3．下列说法中正确的个数是（）①－2是16的四次方根 ②正数的n 次方根有两个 ③a 的n 次方根就是na④a a n n =（≥a 0）A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】n 次方根和n 次根式的概念． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】①是正确的，由4(2)16-=可验证；②不正确，要对n 分奇偶讨论；③不正确，a 的n 次方根可能有一个值，可能有两个值，而n a 只表示一个确定的值，它叫根式；④正确，根据根式运算的依据，当n 为奇数时，n n a ＝a 是正确的，当n 为偶数时，若a ≥0，则有n n a ＝a ．综上，当a ≥0时，无论n 为何值均有n n a ＝a 成立．【思路点拨】根据方根与根式的定义直接进行判断． 【答案】C ．4．若式子4321--）（x 有意义，则x 的取值范围是（）A ．R x ∈B ．21≠x C ．21>x D ．21<x 【知识点】根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】434321121）（）（x x -=--，若4321--）（x 有意义，则021>-x ，即21<x ． 【思路点拨】化分数指数幂为根式，由根式内的代数式大于0求得x 的范围．【答案】D ．5．计算下列各式：（1）44481⨯（2）63125.132⨯⨯【知识点】根式与分数指数幂的互化，根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】（1）62323481444444=⨯=⨯=⨯； （2）633362363322332232332125.132⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯ 6323332613121=⨯=⨯⨯⨯=． 【思路点拨】运用根式的化简法则进行求解．【答案】（1）6；（2）6．6．化简625625++-=________．【知识点】根式的化简．【数学思想】 【解题过程】32232362562522=++-=++-）（）（．【思路点拨】根号里面的部分用完全平方公式化简，再根据根式的化简得出结果． 【答案】32．能力型师生共研7．a a a n n n n 2)(=+时，实数a 和正整数n 所应满足的条件．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【数学思想】分类讨论思想 【解题过程】由a a a n n n n 2)(=+，若n 为奇数，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立；若n 为偶数，则a ≥0，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立．【思路点拨】利用指数的运算法则，对n 为奇数或偶数进行讨论．【答案】n R a ，∈为正奇数或a ≥0，n 为正偶数．8．已知*N ∈n ，化简()(111112n ----+++++++=_____．【知识点】根式的化简运算．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式)21)(21(21-+-=(n +++ 1112312-+=-+++-+-=n n n 【思路点拨】运用以前所学过的分母有理化将原式化简，将复杂问题简单化． 【答案】11-+n ．探究型多维突破9．已知32323232-+=+-=y x ，，求下列各式的值． （1）xy y x +； （2）22y xy x +-．【知识点】根式的化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）194347347347347)32(32)32(322222=-+++-=-+++-=+）（）（x y y x ； （2）19332323232323232322222=-++-+⋅+--+-=+-）（）（y xy x 【思路点拨】直接将已知的等式带入要求的式子中，在运用根式的性质将式子化简．【答案】（1）194；（2）193．10．若0,0>>y x 且满足y xy x 152=-，求y xy x yxy x +-++322的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值．【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】y xy x 152=-即为()()035=+-y x y x ，因为0,0>>y x ，故05=-y x ，所以y x 25=，321632525325225232222==+-++⨯=+-++y yy y y yy y y xy x y xy x ．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算．【答案】3．自助餐1．式子a a 1－经过计算可得到（）A ．a －B ．aC ．－aD ．－a －【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】由原式知a ＜0，因此2a ＝｜a ｜＝－a ，故a ＝a －，于是a a 1－＝－)1(2a a －＝－a －．【思路点拨】负数的偶次方根等于其相反数．【答案】D ．2．下列说法正确的是（）．A ．64的6次方根是2B ．664的运算结果是2±C ．1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立D ．1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义【知识点】方根与根式的概念，根式的化简．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】A 选项考察的是正数的偶次方根有两个，且互为相反数，B 选项的运算结果应该是2，C 选项当a 为负数则不成立．【思路点拨】根据方根与根式的概念，根式的化简进行判断．【答案】D ．3．当8＜x ＜10时，＝－＋－22)10()8(x x __________．【知识点】根式的化简．【数学思想】 【解题过程】2)8(－x 8-=x 8-=x ，2)10(－x x x -=-=1010．【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ．【答案】2．4．化简：=-+20122011)23()23(____________．【知识点】根式的化简求值．【数学思想】 【解题过程】原式20112222⎡⎤=+⋅-⋅=-⎣⎦）））．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算． 【答案】32-．5．求使下列等式成立的x 的取值范围．（1）1212--=--x x x x （2）2)2()4)(2(2+-=--x x x x【知识点】根式的化简运算．【数学思想】【解题过程】（1）12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x 或⎩⎨⎧<-≤-0102x x ，解得2≥x 或1<x ，而12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x ，解得2≥x ，所以等式成立条件为2≥x ．（2）原等式可变形为2)2()2()2(2+-=+-x x x x ，而使得a a -=2成立的条件是0≤a ，结合偶次根式的定义域即可得到⎩⎨⎧≥+≤-0202x x ，解得22≤≤-x ． 【思路点拨】明确a a n n =成立的条件．【答案】（1）2≥x ；（2）22≤≤-x ．6．计算下列各式（式中字母都是正数）（1）0143231)12(3256)71(027.0-+-+----- （2）23241)32()827(0081.0+-- 【知识点】根式与分数指数幂的互化化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）原式[]191316449310131)4()7()103(43421313=+-+-=+-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--- （2）原式103949410394)23(10394)23()103(2323414=+-=+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-- 【思路点拨】正确运用根式与分数指数幂的互化法则．【答案】（1）19；（2）103．。
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[课题] 2.1.1 指数与指数幂的运算（1）[教学目标]1.知识与技能：理解根式的概念，掌握n 次方根的性质2.过程与方法：（1）.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.（2）引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人.（3）通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力3.情感态度与价值观：（1）.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.（2）在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n 次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面。
[教学重点与难点]：1.重点：1.根式的概念.。
2.n 次方根的性质。
2.难点：1.根式概念的理解。
2.n 次方根性质的理解。
[教学方法与手段]1.教学方法：启发式、探究式教学2.教学手段：运用多媒体教学[教学过程]一、创设情景，引入新课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?（众生摇头）师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：21，（21）2，（21）3，…. 师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?生：（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000.师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P =（21）5830t.师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值.那么这些数（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P =（21）5830t就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数——“指数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有理数指数幂）、无理数指数幂.（引入课题，书写课题——指数与指数幂的运算）二、讲解新课（一）探求n次方根的概念师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢? 生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?生：125是5的立方数，5是125的立方根.师：如果x2=a，那么x对于a来说扮演着什么角色？生：x是a的平方根.师：能否用一句话描述你的结论？生：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？生：x是a的立方根.师：能换一种说法表述你的结论吗？生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.师：如果x4=a，x5=a，又有什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x 叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？生：一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根.师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义）一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根（n—th root），其中n＞1，且n∈N*.（二）概念理解课堂训练：试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.（多媒体显示，生完成）（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.（师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足x n=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.（三）n次方根的性质合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）1.以上各数的对应方根都是有理数；2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）生甲：一个数的奇次方根只有一个.生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0.师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？（组织学生交流，得出以下结论）n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.这时，a 的n 次方根用符号n a 表示.（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成±n a （a ＞0）. 注：①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作n 0=0；③当a ≥0时，n a ≥0，所以类似416=±2的写法是错误的.（四）根式的概念 式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 例如56叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.（五）n 次方根的运算性质求下列各式的值：（1）（5）2；（2）33)2(-；（3）44)2(-；（4）2)3(a -（a ＞3）.（生板演，师组织学生评析）解：（1）（5）2=5；（2）33)2(-=－2；（3）44)2(-=|－2|=2；（4）2)3(a -=|3－a |=a －3.师：上面的例题中涉及了哪几类问题? 生：主要涉及了（n a ）n 与n n a 的问题. 合作探究：（1）（n a ）n 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2）n na 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）（1）（n a ）n =a .例如，（327）3=27，（532-）5=－32. （2）当n 是奇数时，n n a =a ；当n 是偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 例如，33)2(-=－2，552=2；443=3，2)3(-=|－3|=3.（六）例题讲解（生板演，师组织学生进行课堂评价）【例1】 求下列各式的值： （1）（38-）3；（2）2)10(-；（3）44)π3(-；（4）2)(b a -（a ＞b ）. 解：（1）（38-）3=－8；（2）2)10(-=10； （3）44)π3(-=π－3；（4）2)(b a -=|a －b |=a －b . 【例2】 化简下列各式：（1）681；（2）62)2(-；（3）1532-；（4）48x ；（5）642b a .解：（1）681=643=323=39；（2）62)2(-=622=32； （3）1532-=－1552=－32；（4）48x =442)(x =x 2； （5）642b a =622)|(|b a ⋅=32||b a ⋅.三、课堂练习1.若x ∈R ，y ∈R ，下列各式中正确的是A.44)(y x +=x +yB.33x －44y =x －yC.2)3(+x +2)3(-x =2x D.3-x +x -3=0 2.12--x x =12--x x 成立的条件是 A.12--x x ≥0 B.x ≠1C.x ＜1D.x ≥2 3.在①42)4(n -；②412)4(+-n ；③54a ；④45a （各式中n ∈N ，a ∈R ）中，有意义的是 A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④4.当8＜x ＜10时，2)8(-x －2)10(-x =________.参考答案：1.D2.D3.B4.2x －18四、课堂小结师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）1.若x n =a （n ＞1，n ∈N *），则x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时，实数a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的n 次方根用符号±n a 表示，负数的偶次方根无意义.式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.3.（1）（n a ）n =a . （2）当n 为奇数时，nn a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 五、布置作业（一）复习课本第57～58页内容，熟悉巩固有关概念和性质；（二）书面作业：课本P 69习题2.1A 组第1题.板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（1）一、基本概念和性质1.n 次方根的定义2.n 次方根的性质3.根式的定义4.n 次方根的运算性质二、例题解析即学生训练板演例1.求下列各式的值例2.化简下列各式目标检测评析布置作业。