实际问题与反比例函数(试题设计)
实际问题与反比例函数
实际问题与反比例函数
前面我们结合实际问题讨 论了反比例函数,看到了反比例 论了反比例函数 看到了反比例 函数在分析和解决实际问题中 所起的作用.下面我们进一步探 所起的作用 下面我们进一步探 讨如何利用反比例函数解决实 际问题. 际问题
市煤气公司要在地下修建一个容积为10 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的 圆柱形煤气储存室。 圆柱形煤气储存室。 单位： （1）储存室的底面积s（单位：m2）与其深度d(单 有怎样的函数关系？ 位: m）有怎样的函数关系？ 定为500 （2）公司决定把储存室的底面积s 定为500 m2 ， 施工队施工时应该向下掘进多深？ 施工队施工时应该向下掘进多深？ （3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m 当施工队按（ 中的计划掘进到地下15 碰上了坚硬的岩石。为了节约建设资金， 时,碰上了坚硬的岩石。为了节约建设资金，公司 临时改变计划，把储存室的深改为15m 相应的， 15m，相应的 临时改变计划，把储存室的深改为15m 相应的， 储存室的底面积应改为多少才能满足需要？（ ？（精 储存室的底面积应改为多少才能满足需要？（精 确到0.01 m2 ） 确到0.01
U
码头工人以每天30 30吨的速度往一艘轮船 例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船 上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。 上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。 (1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v (1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v 轮船到达目的地后开始卸货 单位： 与卸货时间t 单位： （单位：吨／天）与卸货时间t（单位：天） 之间有怎样的函数关系？ 之间有怎样的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况, (2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在 由于遇到紧急情况 不超过5日内卸载完毕, 不超过5日内卸载完毕,那么平均每天至少 要卸多少吨货物? 要卸多少吨货物?
《26.2实际问题与反比例函数》作业设计方案-初中数学人教版12九年级下册
《实际问题与反比例函数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对反比例函数的理解，通过实际问题应用，培养学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学应用意识和实际操作能力。
二、作业内容1. 基础练习：- 掌握反比例函数的基本形式，并能正确识别实际问题中的反比例关系。
- 完成一系列基础计算题，如反比例函数的表达式推导、图像绘制等。
2. 实践应用：- 设计一道与反比例函数相关的实际问题，如电费计算、路程与速度的关系等，并要求学生运用所学知识进行解答。
- 引导学生分析现实生活中的反比例现象，如银行利息与存款金额的关系等。
3. 拓展探究：- 要求学生寻找至少两个生活中的反比例实例，并尝试用反比例函数进行描述和分析。
- 设计一道拓展题，引导学生对反比例函数进行更深入的思考和探究。
三、作业要求1. 完成时间：学生需在课后完成本作业，总耗时不宜过长，建议在1至2小时内完成。
2. 书写规范：学生应按照教材和老师的要求，规范书写步骤和解题过程。
3. 独立思考：鼓励学生在解决问题时独立思考，培养自主解决问题的能力。
4. 家长辅导：鼓励家长在适当的时候给予孩子指导，但避免代替孩子完成作业。
5. 及时反馈：学生应将作业按时交给老师，以便老师及时进行作业评价和反馈。
四、作业评价1. 评价标准：以正确性、规范性、创新性、思维深度等为评价标准，对学生的作业进行评价。
2. 教师评价：教师需认真批改学生作业，对学生的优点和不足进行点评，并提出改进意见。
3. 小组互评：鼓励学生之间互相评价作业，促进相互学习和交流。
4. 反馈方式：通过课堂讲解、书面反馈等方式，及时将评价结果反馈给学生。
五、作业反馈1. 对于普遍存在的问题，老师需在课堂中进行重点讲解和答疑。
2. 对于学生的优秀作业和解题思路，老师需进行表扬和展示，激发学生的积极性。
3. 根据学生的反馈和作业情况，及时调整教学计划和教学方法，提高教学效果。
4. 对于学生的疑问和困惑，老师需耐心解答，并引导学生主动思考和探索。
《实际问题与反比例函数》典型例题
《实际问题与反比例函数》典型例题
典型例题
例题：
1．如图，受力面积为S(m2)(S是常数，且S≠0)的物体所受的压强p(Pa)与压力F(N)之间的函数关系的图象大致是( )
A B
C D
答案：C
说明：由物理知识可知p，F，S三者关系为：p =；∵S是常数且S≠0，∴p =F是正比例函数，∵F>0，S>0，∴答案为C．
2．一定质量的某种气体，它的密度ρ(kg/m3)与它的体积V(m3)成反比例函数；当V = 10m3时ρ = 1.43kg/m3．
①求ρ与V的函数关系式；②求当V = 5m3时该气体的密度ρ．
解：①∵ρ与V成反比例
∴设ρ =
∵当V = 10m3时，ρ = 1.43kg/m3
∴1.43 =，得k = 14.3
∴ρ =
②当V = 5m3时，ρ == 2.86kg/m3．
3．某市上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x−0.4)元成反比例，又当x = 0.65，y = 0.8．
①求y与x之间的函数关系式；
②若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？
解：①∵新增用电量y(亿度)与(x−0.4)元成反比例
∴设y =
∵当x = 0.65时，y = 0.8，∴0.8 =，解得k = 0.2
∴y ==
∴ y与x之间的函数关系式为y =．。
26.2 实际问题与反比例函数
k2 8 解得 10
k2 80
x0
1.6 x 80 x 50
x
问题： 实际问题中的反比例函数的图象与 纯数学问题中反比例函数图象有何异同？ 原因何在？
实际问题中的反比例函数图象一般只是一 个分支或一个分支的一部分，而纯数学问 题是双曲线，原因是它们的自变量取值发 生了变化。
制作一种产品，需先将材料加热到达 60℃后，再进行操 作．设该材料温度为 y（℃），从加热开始计算的时间为 x （分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成 一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反 比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度 为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止 加热进行操作时，y与x的函数关 系式； （2）根据工艺要求，当材料的温 度低于15℃时，须停止操作，那 么从开始加热到停止操作，共经 历了多少时间？
（1）将材料加热时的关系式为：y=9x+15 （0≤x≤5 ），停止加热进行操作时的关系式为y= 300
x
（x>5）；
（2）20分钟．
F 已知压力F,压强p,受力面积之间的关系是 p S
对于同一个物体，F的值不变，则 p是S的（）函数 答案：反比例函数
寒假期间，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰， 突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉 同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区，你能解 释一下小明这样做的道理吗？ 在开始的引入问题中，F,S分别指的什么？你能说 明小明那样做的道理了吗？
F是指小明和同伴的重量，S表示每一个人与冰面 的接触面积，一个人的重量不变，当他与冰面的 接触面积增大时，压强p会减小，压强减小了，危 险就小了。
《26.2实际问题与反比例函数》教案、导学案、同步练习
《26.2实际问题与反比例函数 （1）》教案【教学目标】：1、经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想。
2、会综合运用反比例函数的解析式，函数的图像以及性质解决实际问题。
3、体验数形结合的思想。
【教学重点、难点】：运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系，进而利用反比例函数的图像及性质解决问题。
【教学方法】：讲练法 【教学辅助】：多媒体课件 【教学过程】： 一、忆一忆1、什么是反比例函数？它的图像是什么？具有哪些性质？2、小明家离学校3600米，他骑自行车的速度是x （米/分）与时间y （分）之间的关系式是 ，若他每分钟骑450米，需 分钟到达学校。
二、想一想例1、设△ABC 中BC 的边长为x(cm) ,BC 边上的高AD 为y(cm)，△ABC 的面积为常数。
已知y 关于x 的函数图像过点（3，4）。
（1） 求y 关于x 的函数解析式和△ABC 的面积。
（2） 画出函数的图像，并利用图像，求当82 x 时y 的值。
小结：1、根据实际问题中变量之间的数量关系建立函数解析式。
2、根据给定的自变量的值或范围求函数的值或范围，可以应用函数的性质，也可以应用函数的图像；根据已知函数的值或范围求相应的自变量的值或范围，可以应用函数的性质和图像，也可以把问题转化为解方程或不等式。
三、练一练设每名工人一天能做某种型号的工艺品x 个。
若某工艺厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y 名。
（1）求y关于x的函数解析式。
（2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人？四、说一说：请你说一说本节课自己的收获并对自己参与学习的程度做出简单的评价.五、作业：见作业本教学反思：本节课学生对增减性质掌握很好。
学生对函数值的取值掌握很好。
表达格式较好。
26.2实际问题与反比例函数（2）【教学目标】：1、经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题的过程2、体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结合的数学思想。
反比例函数实际问题例题
1、某工厂生产一种零件，如果每天生产x个零件，那么需要y天完成全部生产任务。
已知当每天生产100个零件时，需要20天完成。
如果生产效率不变，当每天生产200个零件时，需要的天数是？A. 40天B. 20天C. 10天D. 5天（答案）C2、一个水池，如果用x台抽水机同时抽水，需要y小时才能抽干。
现在知道用3台抽水机需要8小时才能抽干。
如果增加抽水机的数量到6台，那么需要的小时数是？A. 16小时B. 8小时C. 4小时D. 2小时（答案）C3、某公司计划招聘x名新员工，如果每名员工的工作效率相同，那么完成一项任务需要y 天。
已知如果招聘10名员工，需要20天完成任务。
如果公司想要在10天内完成任务，那么需要招聘的员工数量是？A. 5名B. 10名C. 20名D. 40名（答案）C4、一个果园，如果每天摘x筐苹果，那么需要y天才能摘完。
现在知道如果每天摘10筐，需要20天才能摘完。
如果果园主想要在10天内摘完所有的苹果，那么每天需要摘的筐数是？A. 5筐B. 10筐C. 20筐D. 40筐（答案）C5、某城市的水费是按照用水量来计算的，如果每月用水x吨，那么需要支付y元的水费。
已知如果每月用水5吨，需要支付100元。
如果某月想要支付50元的水费，那么可以用的水量是？A. 1吨B. 2.5吨C. 5吨D. 10吨（答案）B6、一个工人如果每天工作x小时，那么可以完成y个零件。
现在知道如果每天工作8小时，可以完成16个零件。
如果工人想要在一天内完成32个零件，那么需要工作的小时数是？A. 4小时B. 8小时C. 12小时D. 16小时（答案）D7、某公司投资了一个项目，如果每年投资x万元，那么需要y年才能收回成本。
已知如果每年投资100万元，需要5年才能收回成本。
如果公司想要在3年内收回成本，那么每年需要投资的金额是？A. 50万元B. 100万元C. 150万元D. 约166.67万元（答案）D8、一个学生如果每天学习x小时，那么需要y天才能掌握一项技能。
2023年九年级中考数学一轮复习：实际问题与反比例函数(含解析)
2023年中考数学一轮复习：实际问题与反比例函数一、单选题1．矩形的长为x，宽为y，面积为12，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为（）A．B．C．D．2．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变ρ与V在一定范围内满足ρ= mV，它的图象如图所示，则该气体的质量m为()A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg3．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时.x(min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（）A．27min B．20min C．13min D．7min二、填空题4．小刚欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别为900牛顿和0.5米,则当动力臂为1.5米时,撬动石头需要的力大于牛顿.(提示根据杠杆原理:阻力x阻力臂=动力x动力臂)5．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间(min)y与录入文字的速度x（字/min）之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在9min内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为字/min.6．某物体对地面的压强p（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图）。
当该物体与地面的接触面积为0.25m²时，该物体对地面的压强是Pa。
三、综合题7．如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝mx的图象在第一象限的交点为C，CD℃x轴于D，若OB＝3，OD＝6，℃AOB的面积为3．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当x＞0时，比较kx+b与mx的大小．8．提出问题国庆节期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量促销对消费者的受益程度的大小呢？我们可定义：优惠率p＝km，其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品总金额，当优惠率p越大，消费者受益程度越大，反之就越小．分析问题经统计，顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m（200≤m＜400）元时，优惠率分别为p甲＝km甲与p乙＝km乙，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保此定值请据图象分析：（1）求出k甲的值并用m的代数式表示k乙的值；（2）当购买总金额m元在200≤m＜400条件下时，指出甲、乙两家商场在采取的促销方案是什么？解决问题（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m （200≤m＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱少些？请说明理由．9．某同学设计了如下杠杆平衡实验：如图，取一根长65cm的质地，均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧，距离中点20cm处挂一个重9N 的物体，在中点的右侧，用一个弹簧测力计向下拉，使木杆保持平衡（动力×动力臂＝阻力×阻力臂），改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），观察弹簧测力计的示数F（单位：N）. 通过实验，得到下表数据：（2）在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的函数表达式.（3）若弹簧测力计的量程是10N，求L的取值范围.10．通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（后简称指标）随上课时间的变化而变化.上课开始时，学生随着运动，指标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指标开始下降.指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段；当2040x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分.（1）求这个分段函数的表达式；（2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要18分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？请说明理由. 11．某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环.小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究.发现水温y 是时间x 的函数，其中y （单位：℃）表示水箱中水的温度.x （单位：min ）表示接通电源后的时间.下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）下表记录了32min 内14个时间点的温控水箱中水的温度y 随时间x 的变化情况的值为 ；（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ▲ ；当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ▲ ；②如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y 随时间x 变化的函数图象：（3）如果水温y 随时间x 的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min.12．水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：价格x(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．（1）写出这个反比例函数的解析式；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？13．某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间y （h ）是参加植树人数 x （人）的反比例函数，且当 20x = 人时， 3y h = .（1）若平均每人每小时植树4棵，则这次共计要植树 棵；（2）当 80x = 时，求y 的值；（3）为了能在 1.5h 内完成任务，至少需要多少人参加植树？14．如图，在矩形ABCD 中， 3AB = ， 4BC = ，点P 在BC 边上运动，连接DP ，过点A 作 AE DP ⊥ ，垂足为E ．（1）设 DP y = ， AE x = ，求y 与x 之间函数关系式；（2）写出自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值．15．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 y （单位：cm ）是物距（小孔到蜡烛的距离）x （单位：cm ）的反比例函数，当x=6时，y=2．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若火焰的像高为 3cm ，求小孔到蜡烛的距离．16．如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O 处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点30cm 处挂一个重9.8牛的物体，在中点O 右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧称与中点O 的距离L （单位：cm ），看弹簧秤的示数F （单位：牛，精确到0.1牛） 有什么变化，小慧在做此 《数学活动》时，得到下表的数据：结果老师发现其中有一个数据明显有错误.（1）你认为当L=cm 时所对应的F数据是明显错误的；（2）在已学过的函数中选择合适的模型求出F与L的函数关系式；（3）若弹簧秤的最大量程是60牛，求L的取值范围.17．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示.（1）写出y（m）与S（mm2）的函数关系式；（2）求当面条粗2mm2时，面条的总长度是多少米？18．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y 与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范为；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？19．冬天即将到来，龙泉某中学的初三学生到某蔬菜生产基地作数学实验．在气温较低时，蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜，经收集数据，该班同学将大棚内温度和时间的关系拟合为一个分段函数，如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；（2）若大棚栽种某种蔬菜，温度低于10℃时会受到伤害．问若栽种这种蔬菜，恒温系统最多可以关闭多少小时就必须再次启动，才能使蔬菜避免受到伤害？20．某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y=2.5kvx+（k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．（1）求k的值．（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？（3）现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？21．某市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为15C~20C︒︒的条件下生长最快的新品种，下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度()Cy︒随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线kyx=的一部分，请根据图中信息解答下列问题.（1）恒温系统在这天保持大棚内温度为20C︒的时间有多少小时?（2）求k的值.（3）恒温系统在一天24h内保持大棚温度在15C︒~20C︒的时间有多少小时?22．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y= mx与y=nx(x>0，0<m<n)的图象上，对角线BD℃y轴，且BD℃AC于点P.已知点B的横坐标为4（1）当m=4，n=20时①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由（2）四边形ABCD能否成为正方形?若能，求此时m，n之间的数量关系;若不能，试说明理由.23．如图，在平面直角坐标系中，函数kyx=（0x>，是常数）的图像经过A(2，6)，B(m，n)，其中m>2.过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作轴垂线，垂足为D，AC与BD交于点E，连结AD，DC，CB.（1）若ABD的面积为3，求m的值和直线AB的解析式；（2）求证： DE BE CE AE= ； （3）若AD//BC ，求点B 的坐标 .24．解题方法回顾：在求某边上的高之类问题时，常常利用同一个图形面积不变或等底等高面积不变或多个图形面积之和不变的原理来解决，称为“等积法”.解题方法应用：（1）已知：如图1，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 是线段AD 上任意一点，且PE℃AC 于点E ，PF℃BD 于点F ，求PE ＋PF 的值.小陈同学想到了利用“等积法”解决本题，过程如下：（如图2）解：连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝5，BC ＝12，∴60ABCDS AB BC =⋅=矩形，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴13AC ==， ∴1154AOD ABCD SS ==矩形，11322OA OD AC ===， ∴()111222AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF =+=⋅+⋅=+ ()1131522PE PF =⨯⨯+=， ∴PE ＋PF ＝ .（请你填上小陈计算的正确答案）（2）如图，正方形ABCD 的边长为2，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B '，C '，D '.①设AP ＝x ，BB CC DD y ''++'=，求y 与x 的函数关系式，并求出x 取值范围；②直接写出y 的最大值为 ▲ ，最小值为 ▲ .25．王老师驾驶小汽车从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t （单位：小时），行驶的平均速度为v （单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时.（1）求v 关于t 的函数表达式；（2）王老师上午8点驾驶小汽车从A 地出发.①王老师需要在当天13点至14点（含13点和14点）间到达B 地，求小汽车行驶的平均速度v 需达到的范围；②王老师能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵矩形的长为x，宽为y，面积为12，∴xy＝12，∴y与x之间的函数关系式为y＝12x（x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限.故答案为：C.【分析】首先由矩形的面积公式，得出它的长x与宽y之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答，注意本题中自变量x的取值范围.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵m=ρv=5×1.4=7kg.故答案为：D.【分析】观察图象，将已知点的坐标代入公式m=ρv计算，即可作答.3．【答案】C【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为：y＝kx（k≠0），将（7，100）代入y＝y＝kx，得k＝700，∴y＝700x，将y＝35代入y＝700x，解得x＝20，∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20﹣7＝13分钟.故答案为：C.【分析】观察图象可知：7分钟时，水温为100℃，代入解析式求得k，从而得到反比例函数的解析式，再将y＝35代入反比例函数解析式，求得此时的时间，再减去7分钟即可求得水温从100℃降到35℃所用的时间.4．【答案】300【解析】【解答】解：设需要的力大小为x,由题意得：900×0.5=x×1.5，解得：x=300.故答案为：300.【分析】根据条件： 杠杆原理:阻力x 阻力臂=动力x 动力臂, 代入数值即可求出当动力臂为1.5米时,撬动石头需要的力. 5．【答案】14009【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为 (0)ky x x=> ， 将点 (14010)，代入得： 140101400k =⨯= ， 则反比例函数的解析式为 1400y x= ， 当 9y = 时， 14009x =， 反比例函数的 1400yx=在 0x > 内， y 随 x 的增大而减小，∴如果小明要在 9min 内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为14009字 /min ，故答案为：14009. 【分析】设反比例函数的解析式为 (0)ky x x=> ，将（140，10）代入可得k 的值，求出y=9对应的x 的值，然后根据反比例函数的增减性进行解答.6．【答案】4000【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为vp s=，把（0.5，2000）代入上式，得 20000.5v =解得v=1000∴反比例函数的解析式为1000p s= 当S=0.25时，100040000.25p ==. 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后求出当S=0.25时的函数值即为所求。
实际问题与反比例函数专题训练(1)
实际问题与反比例函数专题训练（1）一．选择题（共10小题）1．（2021秋•玉门市期末）甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．2．（2021秋•晋中期末）如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流I（A）是电阻R （Ω）的反比例函数．当R＝2Ω时，I＝6A．若电阻R增大1Ω，则电源I为（）A．3A B．4A C．7A D．12A3．（2021秋•柳州期末）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数解析式为（）A．y＝200x B．y＝C．y＝100x D．y＝4．（2021秋•杏花岭区校级期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间为（）A．B．3C．4D．5．（2021•武陟县模拟）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kpa）是气体体积V（m3）的反比例函数其图象如图所示，当气体体积为1m3时，气压为（）kPa．A．150B．120C．96D．84 6．（2021•庆元县模拟）如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积V和气体对汽缸壁所产生的压强p．根据如表中的数据规律进行探求，当汽缸内气体的体积压缩到70mL时，压力表读出的压强值a 最接近（）体积V压强p（kPa）100609067807570a60100A ．80kPaB ．85kPaC ．90kPaD ．100kPa7．（2021春•衢州期末）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L ，测量出相应的动力F 数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂L 长度为2.0m 时，所需动力最接近（ ） 动力臂L （m ） 动力F （N ） 0.5 600 1.0 302 1.5 200 2.0 a 2.5120A ．120NB ．151NC ．300ND ．302N8．（2021秋•柳南区期末）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物8min 燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6mg ．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg 才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A ．10分钟B ．12分钟C ．14分钟D ．16分钟9．（2020秋•城阳区期末）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P （Pa ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，其图象如图，点A 在反比例函数图象上，坐标是（8，30），当压强P（Pa）是4800Pa时，木板面积为（）m2．A．0.5B．2C．0.05D．20 10．（2021•云岩区模拟）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识﹣﹣杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）11．（2021秋•长安区期末）如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子．（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为（不写自变量取值范围）；（2）当y≥4m时，x的取值范围为；（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为m．12．（2021秋•高新区校级期末）我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x 天之间的函数关系如图所示（当x≤20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）．则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是．13．（2022•福州模拟）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，在温度不变的情况下，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化，已知密度ρ是体积V的反比例函数关系，它的图象如图所示，则当ρ＝3.3kg/m3时，相应的体积V是m3．14．（2021秋•潍坊期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是．A．函数解析式为I＝B．当R＝9Ω时，I＝4AC．蓄电池的电压是13VD ．当I ≤10A 时，R ≥3.6Ω15．（2021秋•广丰区期末）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P （Pa ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，其图象如图，点A 在反比例函数图象上，坐标是（8，30），当压强P （Pa ）是4800Pa 时，木板面积为 m 2三．解答题（共10小题）16．（2021秋•永年区期末）某水果产销园，利用网络平台试销一种水果，为了获得适合的利润，在平台进行试销售，试销的结果统计如表：第1天 第2天 第3天 第4天 … 日单价x （千克/元） 46810…日销量y （千克）3000200015001200…已知y 是x 的反比例函数． （1）求y 与x 的函数关系式；（2）已知该水果的成本为每千克3元，若该水果产销园的某天利润为9000元，求该天的销售量是多少？17．（2021秋•太原期末）市政府计划建设一项惠民工程，工程需要运送的土石方总量为105m 3，经招投标后，先锋运输公司承担了运送土石方的任务．（1）直接写出运输公司平均每天运送速度v（单位：m3/天）与完成任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式；（2）如果每辆车每天平均运送102m3的土石方，要求不超过50天完成任务，求运输公司平均每天至少安排多少辆车．18．（2021秋•海门市期末）某汽车油箱的容积为70L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到300km远的省城接客人，接到客人后立即按原路返回请回答下列问题：（1）油箱加满油后，汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？（2）小王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小王始终以此速度行驶，不需要加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？19．（2021秋•福州期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？20．（2021秋•韩城市期末）我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x 天之间的函数关系如图所示（当x≤20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）．（1）根据图象求当x≥20时，y与x之间的函数关系式；（2）当x≥20时，体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第多少天开始？21．（2021秋•肇源县期末）新冠肺炎疫情期间，口罩需求量大幅上升．某工厂接到任务紧急生产一批口罩，下面是每时生产口罩的数量与完成任务总共需要的时间的关系．每时生产口罩的数量/万只2346时间/时72483624（1）每时生产口罩的数量与时间有什么关系？（2）如果每时生产8万只口罩，那么完成这项任务一共需要多少时？22．（2021秋•鼓楼区校级期末）为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间教室的药物喷洒要5min，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系式为y＝2x（0≤x≤5），其图象为图中线段OA，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．（1）点A的坐标为；（2）当教室空气中的药物浓度不高于12mg/m3时，对人体健康无危害．如果后勤人员依次对一班至十班教室（共10间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，一班是否能让人进入教室？请通过计算说明．23．（2021秋•仙居县期末）如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点30cm处挂一个重9.8牛的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位：牛，精确到0.1牛）有什么变化．小慧在做此《数学活动》时，得到下表的数据：L/cm510152025303540F/牛58.860.219.614.711.89.88.47.4结果老师发现其中有一个数据明显有错误．（1）你认为当L＝cm时所对应的F数据是明显错误的；（2）在已学过的函数中选择合适的模型求出F与L的函数关系式；（3）若弹簧秤的最大量程是60牛，求L的取值范围．24．（2021秋•舞阳县期末）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？25．（2021秋•达川区期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，分钟时学生的注意力更集中．（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？。
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二、实际问题与反比例函数
――能力题型设计
一、选择题
1．(重难点1)一个长方形的面积为28，则这个长方形的长与宽之间的函数关系是( ) A．反比例函数B．正比例函数C．一次函数D．不能确定
答案：A匡老师点拨：长方形的面积一定，则它的长与宽成反比例函数关系．
2．(重难点3)满足函数y=k(x－1)和函数了y=
k
x(k≠0)的图象大致是图17—2—1中的( )
A．①或③B．②或③C．②或④D．①或④
答案：B匡老师点拨：因为两个函数关系式中的k表示同一个数，所以当k >0时，双曲线y=
k
x经过第一、三象限，一次函数y=k(x－1)=kx－k的图象呈“上升”趋势，且与y轴的交点在原点下方；当k <0时，双曲线在第二、四象限，直线呈“下降”趋势，且与y轴交点在原点的上方，由此可知②③正确，故选B．3．(重难点2)如图17—2—2，P、Q是反比例函数y=
k
x
(k < 0)的图象上任意两点，PP′、QQ′分别垂直x轴于P′、
Q′，则△OPP′与△O QQ′面积的大小关系是( )
A．S△OPP′= S△O QQ′B．S△OPP′< S△O QQ′
C．S△OPP′> S△O QQ′D．无法确定
答案：A匡老师点拨：S△OPP′= S△O QQ′ =
1
2︱xy︱=
1
2︱y︱．
二、填空题
4．(重难点1)某蓄水池的排水管每小时排水8 m3，6 h可将满池水全部排完，若增加排水管，使每小时的排水量达到Q m3，那么将满池水排完所需的时间t(h)与Q(m3)之间的函数关系式为．
答案：t =
48
Q(Q >8) 匡老师点拨：由题意可知这个蓄水池的容积为6×8=48(m
3)，容积一定时，排水时间与每小时的排水量成反比例函数．
5．(易错点1)学校食堂有1 500 kg的煤炭需运出，这些煤运出的天数y与平均每天运出的质量x(kg)之间的函数关系式为．
答案：y =
1500
x
6．(重难点2)实验表明，当导线的长度一定时，导线的
电阻与它的横截面积成反比例．一条长为100 km的铅
导线的电阻R(Ω)与它的横截面积S(cm2)的函数图象如
图17―2―2
图17―2―3
图17―2―1
限时高效训练
17—2—3所示，那么，其函数关系式为；当S=2 cm2时，R=Ω。
答案：R= 29
S，14．5 匡老师点拨：先用待定系数法求出函数的解析式，再代入求值
三、解答题
7．(易错点2)水池中有水若干吨，若单开一个出水口，水流速度v与全池水放完所用时间t如下表；
所用时间t(小时) 10 5
10
3
5
2
2
5
4
1
—…→逐渐减少
出水速度v(吨/小时)1 2 3 4 5 8 10
—…→逐渐增多
(1)写出放完水池中的水所用时间t(小时)与放水速度v(吨/小时)之间的函数关系式；
(2)这是一个反比例函数吗?
(3)反比例函数有可能是：当自变量为正数时，函数值随自变量的增大而减小，所有的反比例函数都是：当自变量为正数时，函数值随自变量的增大而减小吗?试举例说明．
答案：(1)t = 10
v(v >8)；(2)这是一个反比例函数；(3)不是所有的反比例函数都是“当自变量为正数时，函数
的值随自变量的增大而减小”，例如y=－4
x是反比例函数，当x为正数，x增大时，y也增大，也就是说反比
例函数y= k
x，当k < 0，x为正数时，函数的值随自变量的增大而增大
匡老师点拨：掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
8．(重难点1)某石化公司要修建一个容积为5×104 m3的圆柱形储油库．
(1)写出储油库的底面积S(单位：m2)与其高度h(单位：m)之问的函数关系式．
(2)公司决定把储油库的底面半径修建为25 m，那么储油库将建多高?(π取3．14，精确到0．1 m)
(3)为安全以防雷击，储油库的高度不得超过15 m，那么储油库的底面半径将修建为多长?(精确到0．01 m)
答案：解．(1)h= 5×104
S；
(2)S=252π≈1 962．5。
∴h=5×104
1 962．5
≈25．5(m)|
(3)当h=15时，15= 5×104
S，
∴S≈3 333．3(m2)．-
设底面半径为k，则k2π=3 333．3，
∴k≈32．58(m)．
9．(重难点2)小梅购买了一张36元的电话卡，那么她打电话的通话时间t(分钟)与每分钟通话费x(元)有怎样的函数关系?如果话费0．6元/分，每天通话3分钟，这张电话卡她将用多少天?
答案：t = 36
x，当x=0．6时，t=
36
0．6
=60，60÷3=20(天)．
10．(重难点2)如图17—2—4是一块合金制作的长方体工件，
相邻三条棱AB、AC、AD的长度分别为9 cm、6 cm和3 cm，
若工件的质量为6千克，分别以不同的三个面放置在地面上，
地面所受的压强各是多少? 图17―2―4
答案：解：压力F =9．8×6=58．8(N)．
∴压强p 与受力面积S 成反比例，
∴p = 58．8S ． 当3 cm × 6 cm 的面着地时， S =
1810 000(m 2)， p = 58．818
× 10 000≈32 667(Pa)． 当6 cm×9 cm 的面着地时，
S =
5410 000 (m 2)， p = 58．854
× 10 000≈10 889(Pa)． 当3 cm×9 cm 的面着地时，
S =
2710 000 (m 2)， p = 58．827
× 10 000≈21 778(Pa)． 11．(重难点2)一种电视机的显像管额定寿命为18 000小时．
(1)我们每天看电视的时间t (小时)与电视的使用寿命S (天)之间成怎样的函数关系?
(2)如果我们每天看电视的平均时间为6小时，电视的寿命是几年?(一年按365天计算)
答案：(1)S = 18000t
(2)当t =6时，
S = 18 0006
=3000(天 ) 3 000÷365≈8(年)．
12．(重难点2)利用我们学习的反比例函数知识，画出一组面积等于2的三角形(要求至少画三个)。
答案：利用反比例函数图象．
设y= k x ，∵S △=12︱xy ︱= 12
︱k ︱． ∴12
︱k ︱=2，∴k =±4 作函数y =4x ，或y = －4x
的图象，如图17—2所 示，在图象上任取A 、A 1、A 2、...，由点A 、A 1、A 2、...分别作x 轴的垂线，垂足分别为B 、B 1、B 2、...，则S △OAB =S △OA 1B 1=S △OA 2B 2= (2)
13．(重难点2)某市上年度电价为0．8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0．55～0．75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0．4)元成反比例．又当x =0．65元时，y =0．8．
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价－成本价)]
答案：(1)∵y与x－0．4成反比例，
∴设y=
k
x－0．4
(k≠0)．
将x=0．65，y=0．8代入上式
0．8=
k
0．65－0．4
得k=0．2，
∴y=
0．2
x－0．4
=
1
5x－2。
∴y与x的函数解析式为y=
1
5x－2。
(2)根据题意，得(1+1
5x－2
)·(x－0．3)=1×(0．8－0．3)×(1+20%)，
整理，得x2－1．1x+0．3=0，
解之得x1=0．5，x2=0．6．
经检验知x1=0．5与x2=0．6都是原方程的根．
∴x是在0．55～0．75之间，
∴取x=0．6(x=0．5舍去)．
答：当电价调至0．6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%．。