苏教版高中数学选修1-1高二同步测试(10)—双曲线.docx
苏教版数学高二-选修1-1 双曲线及其标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程问题导学一、双曲线定义的应用活动与探究1若一动点P (x ，y )到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之差的绝对值为定值a ，讨论点P 的轨迹．迁移与应用1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．2．设P 为双曲线x 216－y 29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．二、双曲线的标准方程及应用活动与探究2设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．迁移与应用若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －b(1)求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论．(2)待定系数法求双曲线标准方程的步骤：①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．②设方程：根据上述判断设方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．③寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c的方程组．④得方程：解方程组，将a，b代入所设方程即为所求．三、与双曲线有关的轨迹问题活动与探究3如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．迁移与应用设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，求C的圆心轨迹L的方程．(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，根据双曲线的定义，从而得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．答案：课前·预习导学【预习导引】1．差的绝对值两个定点两焦点间的距离预习交流1提示：当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a＝0时，点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；当2a＞|F1F2|时，点M的轨迹不存在．当|MF1|－|MF2|＝2a＜|F1F2|时，点M的轨迹是双曲线的一支．2．x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b2预习交流2(1)提示：在x2，y2的系数异号且双曲线方程化为标准方程的前提下，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(2)提示：x(－5,0)和(5,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：由于a≥0，|AB|＝4，所以讨论a应分以下四种情况：a＝0,0＜a＜4，a＝4，a＞4．解：∵|AB|＝4，∴(1)当a＝0时，轨迹是线段AB的垂直平分线，即y轴，方程为x＝0；(2)当0＜a＜4时，轨迹是以A，B为焦点的双曲线；(3)当a＝4时，轨迹是两条射线y＝0(x≥2)或y＝0(x≤－2)；(4)当a＞4时，无轨迹．迁移与应用1．解：连接ON，ON是△PF1F2的中位线，所以|ON|＝12|PF2|．因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，所以|PF2|＝2或18，|ON|＝12|PF2|＝1或9．2．解：由方程x216－y29＝1，得a＝4，b＝3，故c＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．① 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．活动与探究2 思路分析：(1)利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应首先明确焦点在哪个坐标轴上；(2)若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27＜λ＜36)，再将点A (±15，4)代入求λ，进而求方程．不过这种解题方法有一定的技巧性．解：方法一：设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3．又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线方程为y 24－x 25＝1．方法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程可得A (±15，4)．因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入方程得(±15)227－λ＋4236－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．所以双曲线方程为y 24－x 25＝1．迁移与应用 A 解析：设点P 为双曲线右支上的点， 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．活动与探究3 思路分析：建立直角坐标系，根据所给的三角函数式借助正弦定理得到边的关系式，然后根据双曲线的定义，得到其轨迹方程．解：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理得，2|CB |＋|AB |＝2|AC |， 从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |．由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去双曲线的右支与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6． 又A ，B ，C 三点不共线，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x ＞2)．迁移与应用 解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2， 所以||CF 2|－|CF 1||＝4＜|F 1F 2|＝25．∴圆心C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，且2a ＝4，2c ＝25． ∴a ＝2，c ＝5．∴b 2＝c 2－a 2＝1． ∴C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1．当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c =．3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或23答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8， 而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56 解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a R R AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y -上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)． 由两点间距离公式得 |MF |＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
苏教版数学高二-【优化课堂】数学苏教版选修1-1精练 2.3.2 双曲线的几何性质
1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程3x ±2y ＝0，则a 的值为________．解析：渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±32)2，解得a ＝±2，由题意知a >0，∴a ＝2.答案：22．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于________．解析：由x 2a 2－y 23＝1可知b ＝3，而e ＝ca ＝a 2＋3a＝2，所以a 2＋3＝4a 2，故a ＝1.答案：13．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点(4,0)到渐近线y ＝3x 的距离为d ＝|3×4－0|2＝2 3.答案：2 34．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为________．解析：由e ＝c a 及c 2＝a 2＋b 2得e ＝1＋b 2a2，故当双曲线焦点在x 轴上时，b a ＝34，∴e ＝1＋916＝54.当双曲线焦点在y 轴上时，a b ＝34，b a ＝43，∴e ＝1＋169＝53. 答案：54或53一、填空题 1．已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________. 解析：∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴ba ＝2， ∴b 2a2＝4.∵a 2＝1，∴b 2＝4. 又∵b >0，∴b ＝2.答案：22．若双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于________．解析：双曲线的方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，b 2＝－1m .由已知得b ＝2a ，解得m＝－14.答案：－143．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________．解析：依题意设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1.答案：x 23－y212＝14．如图所示，F 1和F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心、|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：|AF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，|AF 1|＝|F 1F 2|·sin30°＝c .由双曲线的定义得|AF 2|－|AF 1|＝2a .即2a ＝(3－1)c ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：3＋15．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x ，当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤－33，33. 答案：⎣⎡⎦⎤－33，336．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．解析：已知双曲线方程为x 29－y 24＝1，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．答案：37．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________．解析：由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及|PF 1|＝4|PF 2|得：|PF 2|＝2a3，又|PF 2≥c －a ，所以2a 3≥c －a ，c ≤5a 3，∴e ＝c a ≤53，即e 的最大值为53.答案：538．设一个圆的圆心在双曲线y 29－x 216＝1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________．解析：由已知得双曲线的上顶点为A (0,3)，上焦点为F (0,5)，设圆心为P (x 0，y 0)，则y 0＝3＋52＝4.代入双曲线方程得169－x 2016＝1，所以x 20＝7×169，故|PO |＝x 20＋y 20＝7×169＋16＝163. 答案：163二、解答题9．如图所示，已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过F 2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．解：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2|PF 2|.由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a .∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴2a 2＝b 2.∴ba ＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .10．如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1与双曲线的交点P 满足MP →＝3PF 1→，试求双曲线的离心率．解：连结PF 2，设|F 1F 2|＝2c ，由MP →＝3PF 1→知|PF 1|＝14|MF 1|. 又△MF 1F 2为正三角形，∴|PF 1|＝14×2c ＝12c ，∠PF 1F 2＝60°， 由余弦定理可得： |PF 2|＝(2c )2＋(12c )2－2·2c ·12c cos60°＝4c 2＋14c 2－c 2＝132c .根据双曲线定义有 2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝13－12c ， ∴离心率e ＝c a ＝413－1＝13＋13.11．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝1.∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)·x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线C 有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－6km )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)>0，解得m 2>3k 2－1.① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意知AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)，整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.∵3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－14.综上所述，－14<m<0或m>4.。
苏教版高中数学选修1-1高二月考(圆锥曲线).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作海安县实验中学高二数学月考（圆锥曲线）一、选择题：(50′)1、 方程223(1)3(1)|2|x y x y +++=+-表示的曲线是A 、 椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、不能确定 2、 若命题“曲线C 上的点都是方程f (x ,y )＝0的解”是正确的,以下命题 ①不是曲线C 上的点的坐标,一定不满足方程f (x ,y )＝0； ②坐标满足f (x ,y )＝0的点均在曲线上； ③曲线C 是方程f (x ,y )＝0的曲线；④坐标不适合方程f (x ,y )＝0的点必不在曲线C 上；⑤存在不在曲线C 上的点的坐标适合方程f (x ,y )＝0. 其中正确的有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个3、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A 、(1,2]B 、(1,2)C 、[2,)+∞D 、(2,)+∞4、若抛物线y 2=2px (p <0)上横坐标为－6的点到焦点的距离是10, 则焦点到准线的距离是A 、4B 、8C 、16D 、325、如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -的侧面1AB 内有一动点P 到直线11B A 和直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线形状为A 、B 、C 、D 、A B A 1 B 1 A B A 1 B 1 A B A 1 B 1 A BA 1B 1 ABCD A 1B 1C 1D 16、椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F . 数列｛|P n F |｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是A 、198B 、199C 、200D 、2017、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A 、(1,2]B 、(1,2)C 、[2,)+∞D 、(2,)+∞8、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 A 、2- B 、2 C 、4- D 、49、已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于A 、2B 、332 C 、2 D 、4 10、已知双曲线2221(2)2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 A 、233 B 、263C 、3D 、2二、填空题：(30′)11、椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，则P 点横坐标的范围为 ▲ .12、过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA OB = ▲ .13、设抛物线y 2=2px (p >0)上各点到直线3x +4y +12=0的距离的最小值为1，则p = ▲ ．14、①双曲线191622=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为 ▲ ；②双曲线191622=-y x 上有一点P 到左准线的距离为8，则P 点到右焦点的距离为 ▲ .15、方程23log (1)0x y x +-+-=表示的曲线是 ▲ .16、已知动圆M 与 y 轴相切，且与定圆C ：222(0)x y ax a +=>相内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ▲ .海安县实验中学高二数学月考（圆锥曲线）答题纸一、选择题(50′)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题(30′)三、解答题(70′)17、（14′）(1) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
【创新设计】高中数学(苏教版选修1-1)配套练习：2.3.2双曲线的几何性质(含答案解析)
2.3.2 双曲线的几何性质课时目标 了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．双曲线的几何性质一、填空题1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为______．2．下列曲线中离心率为62的是________．(填序号) ①x 22－y 24＝1； ②x 24－y 22＝1； ③x 24－y 26＝1； ④x 24－y 210＝1. 3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为______．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．6．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝______.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程为________________．8．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为_____________． 二、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.10.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的右焦点F 作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线l ，垂足为P ，设l 与双曲线的左、右两支相交于点A 、B. (1)求证：点P 在直线x ＝a 2c 上；(2)求双曲线的离心率e 的取值范围；能力提升11．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．12．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1 (a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（2）若设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．2．3.2 双曲线的几何性质知识梳理作业设计 1．2 3解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到y －3x ＝0的距离为432＝2 3. 2．②解析 ∵e ＝62，∴e 2＝32，即c 2a 2＝32. ∴a 2＋b 2a 2＝32.∴b 2a 2＝12.3．2y 2－4x 2＝1解析 由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1. 4. 5解析 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，其中一条渐近线方程为y ＝a b x ，∴a b ＝12＝ac 2－a 2，即4a 2＝c 2－a 2，∴5a 2＝c 2，∴e 2＝5，e ＝ 5. 5.53解析 |PF 1－PF 2|＝2a ，即3PF 2＝2a ，所以PF 2＝2a3≥c －a ，即2a≥3c －3a ，即5a≥3c ，则c a ≤53. 6.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3. 又a>b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.7.x 29－y 216＝1(x>3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而AB －AC ＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x>3)．8.x 294－y 24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y 216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.9．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上． 因为PF 1⊥PF 2，且OP ＝6， 所以2c ＝F 1F 2＝2OP ＝12，所以c ＝6. 又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝OP·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.10．(1)证明 设双曲线的右焦点为F(c,0)，斜率大于零的渐近线方程为y ＝ba x.则l 的方程为y ＝－a b (x －c)，从而点P 坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c .因此点P 在直线x ＝a 2c上．(2)解 由⎩⎨⎧y ＝－ab(x －c)，x 2a 2－y2b 2＝1，消去y 得(b 4－a 4)x 2＋2a 4cx －a 2(a 2c 2＋b 4)＝0.∵A 、B 两点分别在双曲线左、右两支上，设A 、B 两点横坐标分别为x A 、x B . 由b 4－a 4≠0且x A x B <0. 即－a 2(a 2c 2＋b 4)b 4－a 4<0，得b 2>a 2. 即b 2a2>1，∴e ＝ 1＋b 2a2> 2.故e 的取值范围为(2，＋∞)．11.5＋12解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝b a x ， 而k BF ＝－bc，∴b a ·(－b c)＝－1，整理得b 2＝ac. ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．12．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得－2<a<2且a≠±1. 又∵a>0，∴0<a<2且a≠1. ∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a<2，且a≠1，∴e>62且e≠ 2. ∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)．∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a>0，∴a ＝1713.。
2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质作业 苏教版选修1-1
2.3.2 双曲线的几何性质[基础达标]1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则b a＝2，即b ＝2a ，又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 22．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程是________．解析：由题意得2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又因为a ＝2，所以b ＝2c －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4＋b 2＝4＋(2c －2)2，即c 2－42c ＋8＝0，所以c ＝22，b ＝2，所求的双曲线的标准方程是y 24－x 24＝1.答案：y 24－x 24＝13．已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线C 的标准方程是________． 解析：设双曲线的方程为y 2－3x 2＝λ(λ≠0)，将点(1,1)代入可得λ＝－2，故双曲线C 的标准方程是x 223－y 22＝1.答案：x 223－y 22＝14．已知双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：由题意求出双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，不妨设直线BF 斜率为43，可求出直线BF 的方程为4x －3y －20＝0①，将①式代入双曲线方程解得y B ＝－3215，则S △AFB ＝12AF ·|y B |＝12(c －a )·3215＝3215.答案：32155．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．解析：双曲线的渐近线方程为bx ＋ay ＝0和bx －ay ＝0，圆心为(3,0)，半径r ＝2.由圆心到直线的距离为r ＝|3b |a 2＋b 2＝2，所以4a 2＝5b 2，又双曲线的右焦点为圆C 的圆心，所以c ＝3，即9＝a 2＋b 2，a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为x 25－y 24＝1.答案：x 25－y 24＝16．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析：(1)由题意可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.(2)设sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝cb 2＋c 2，S 1S 2＝2bc4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2·bc b 2＋c2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 答案：(1)1＋52 (2)2＋527．已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，试求该双曲线的离心率．解：由△ABF 2是正三角形，则在Rt △AF 1F 2中，有∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝12AF 2，又AF 2－AF 1＝2a ，∴AF 2＝4a ，AF 1＝2a ，又F 1F 2＝2c ，又在Rt △AF 1F 2中有AF 21＋F 1F 22＝AF 22，即4a 2＋4c 2＝16a 2，∴e ＝ 3.8．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 过(a,0)、(0，b )两点，得到直线方程为bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离为d 1＝a －1ba 2＋b2， 同理得到点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝a ＋1b a 2＋b2，由s ≥45c 得到2ab c ≥45c ①.将b 2＝c 2－a 2代入①式的平方，整理得4c 4－25a 2c 2＋25a 4≤0，两边同除以a 4后令c 2a2＝x ，得到4x 2－25x ＋25≤0，解得54≤x ≤5，又e ＝c a ＝x ，故52≤e ≤ 5.[能力提升]1．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故AB ＝2b 2a ， 依题意2b 2a ＝4a ，∴b2a2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 答案： 32．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝________.解析：C 2的一条渐近线为y ＝2x ，设渐近线与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的交点分别为C (x 1,2x 1)，D (x 2,2x 2)，则OC 2＝x 21＋4x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32，即x 21＝a 245，又由C (x 1,2x 1)在C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以有145＋4a 245b 2＝1，①又由椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点可得a 2－b 2＝5，②由①②可得b 2＝12.答案：123．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点M (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点N (3，m )在双曲线上，求证：NF 1→·NF 2→＝0； (3)求△F 1NF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，故可设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， ∵过点M (4，－10)，∴16－10＝λ，∴λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，a ＝b ＝6，∴c ＝2 3. ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴NF 1→＝(－23－3，－m )，NF 2→＝(23－3，－m )． ∴NF 1→·NF 2→＝[(－23－3)·(23－3)]＋m 2＝－3＋m 2.∵点N (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3. ∴NF 1→·NF 2→＝0.(3)∵△F 1NF 2的底F 1F 2＝43，高h ＝|m |＝3，∴△F 1NF 2的面积S ＝6.4．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.。
苏教版选修1-1《双曲线》讲学案(有答案)-(高二数学)
2.3双_曲_线2．3.1 双曲线的标准方程在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)．问题1：若动点M 满足|MA －MB |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：x 24－y 25＝1.问题2：若动点M 满足|MC －MD |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：y 24－x 25＝1.双曲线的标准方程1．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x ，y 项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a >0且b >0，但a 与b 的大小关系不确定．3．在双曲线中a 、b 、c 满足c 2＝a 2＋b 2，与椭圆不同．[对应学生用书P26][例1] 已知双曲线过点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点在双曲线上． ∴⎩⎨⎧()－22a2－(－3)2b 2＝1，⎝⎛⎭⎫1532a 2－(2)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝1，1b 2＝13，即a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2a 2－(－2)2b 2＝1，(2)2a 2－⎝⎛⎭⎫1532b 2＝1.解得⎩⎨⎧1a 2＝－13，1b 2＝－1，(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.法二：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为双曲线过两点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2， 得⎩⎪⎨⎪⎧m (－2)2＋n (－3)2＝1，m ⎝⎛⎭⎫1532＋n (2)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13， 所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为： 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝4，c ＝5，焦点在y 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解：(1)由题设知，a ＝4，c ＝5， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.[例2] 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 由双曲线的焦点在y 轴上，得关于m 的不等式组，进而解不等式组求m 的范围．[精解详析] 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0.解得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．[一点通] 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn <0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．3．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充要条件是(9－k )·(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4.因为k ＞9是k ＞9或k ＜4的充分不必要条件．即k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要4．若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0|m |－3<0⇒－3<m <2.②若该方程表示双曲线，则 (2－m )(|m |－3)<0. 解得－3<m <2或m >3.答案：(－3,2) (－3,2)∪(3，＋∞)[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F 1PF 2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF 1－PF 2|＝2a ，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF 1、PF 2、F 1F 2的方程，解方程组可求得PF 1、PF 2或PF 1·PF 2，再解决相关问题．5．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN －MO ＝________.解析：如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以MO ＝12PF ′，又FN ＝OF 2－ON 2＝5，由双曲线的定义知PF －PF ′＝8，故MN －MO ＝－12PF ′＋MF －FN ＝12(PF －PF ′)－FN＝12×8－5＝－1.答案：－16．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴F 1(－5,0)，半径r 1＝1；F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3＜F 1F 2＝10.∴动圆圆心M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝25－94＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29－4y 291＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32.1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．[对应课时跟踪训练(十)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45. 答案：453．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是________．解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF . ∴|1MF |2＋|2MF |2＝40. ∴(|1MF |－|2MF |)2＝|1MF |2－2|1MF |·|2MF |＋|2MF |2 ＝40－2×2＝36.∴||1MF |－|2MF ||＝6＝2a ，a ＝3. 又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝|(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2|＝|(414)2－ (94)2|＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5，由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120° 即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33.8.如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6. ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．2．3.2 双曲线的几何性质歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够坐在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点．问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？ 提示：坐标轴；原点．问题2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗？ 提示：有一个交点．双曲线的几何性质观察所给两个双曲线方程． (1)x 24－y 24＝1； (2)x 2－y 2＝9.问题1：两个双曲线方程有何共同特点？提示：所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等． 问题2：两个双曲线的离心率是多少？ 提示： 2.问题3：两双曲线的渐近线方程是什么？ 提示：渐近线方程y ＝±x .实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．1．离心率e 反映了双曲线开口的大小，e 越大，双曲线的开口就越大．2．双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线没有交点．渐近线方程用a ，b 表示时，受焦点所在坐标轴的影响．[对应学生用书P28][例1] 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [思路点拨] 先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a ，b ，c 即可得解，但要注意焦点在哪条坐标轴上．[精解详析] 由9y 2－4x 2＝－36得 x 29－y 24＝1， ∴a 2＝9，b 2＝4. c 2＝a 2＋b 2＝13. ∴c ＝13.∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长为2a ＝6，虚轴长为2b ＝4， 离心率为e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .[一点通] 求解双曲线的几何性质问题时，首先将方程化为标准方程，分清焦点所在的轴，写出a 与b 的值，进而求出c ，即可求得双曲线的性质．1．(湖北高考改编)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1，下列说法正确的个数为________．①实轴长相等；②虚轴长相等；③离心率相等；④焦距相等．解析：双曲线C 1和C 2的实轴长分别是2sin θ和2cos θ，虚轴长分别为2cos θ和2sin θ，则焦距都等于2，相等，离心率不相等，只有④正确．答案：12．(福建高考改编)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．解析：双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y ＝±x ，∴顶点到渐近线的距离为|1－0|2＝22.答案：223．求双曲线16x 2－9y 2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程． 解：把方程化为y 216－x 29＝1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝5.∴实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3， 焦点坐标(0，－5)，(0,5)，离心率e ＝c a ＝54，渐近线方程为y ＝±43x .[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．[思路点拨] 分析双曲线的几何性质，求出a ，b ，c 的值，再确定(讨论)焦点位置，写出双曲线的标准方程．[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴所求双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3，得b ＝92.∴所求双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3，得b ＝2.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入，得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[一点通]由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为： (1)判断：利用条件判断焦点的位置； (2)设：设出双曲线的标准方程；(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程； (4)求：解参数方程，进而得标准方程．4．(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率为32，则C 的方程是________．解析：由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝ c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案：x 24－y 25＝15．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是______________．解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝16．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M (3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程． 解：①若焦点在x 轴上，则双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵M (3,4)在双曲线上，∴9a 2－16b2＝1.又∵b ＝2a ，∴9×4－16＝4a 2，解得a 2＝5，b 2＝20， ∴双曲线方程为x 25－y 220＝1.②若焦点在y 轴上，则双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.∵M (3,4)在双曲线上，∴16a 2－9b2＝1，又∵b ＝2a ，∴16×4－9＝4a 2，解得a 2＝554，b 2＝55，∴双曲线方程为4y 255－x 255＝1.综上可知，双曲线方程为x 25－y 220＝1或4y 255－x 255＝1.[例3] (1)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系，求出离心率，对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有ba≥tan 60°. [精解详析] (1)由题意2c ＝AB ＝BC ， ∴AC ＝2×2c ×sin 60°＝2 3c ， 由双曲线的定义，有2a ＝AC －BC ＝2 3c －2c ⇒a ＝(3－1)c ， ∴e ＝c a ＝13－1＝1＋32.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a ，直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，故有ba≥ 3，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2， 所以所求离心率的取值范围是e ≥2. [答案] (1)1＋32 (2)e ≥2[一点通](1)求双曲线离心率的常见方法： ①依据条件求出a ，c ，利用e ＝ca ；②利用e ＝1＋(b a)2；③依据条件，建立关于a ，b ，c 的齐次关系式，消去b ，转化为离心率e 的方程求解． (2)求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a 、b 、c 的不等关系．7．(湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：如图，由已知可得，PF 1＝2c cos 30°＝3c ，PF 2＝2c sin 30°＝c ，由双曲线的定义，可得3c －c ＝2a ，则e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：3＋18．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：如图，设PF 2＝m ，∠F 1PF 2＝θ(0<θ ≤π)，当P 在右顶点处θ＝π， e ＝2c 2a＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θm 2＝5－4cos θ.∵－1≤cos θ<1，又∵e >1，∴e ∈(1,3]． 答案：(1,3]1．双曲线离心率及其范围的求法．(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法．(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法．在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式Δ>0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性．2．求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)避免焦点的讨论．[对应课时跟踪训练(十一)]1．(陕西高考)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54.则m ＝________.解析：∵a ＝4，b ＝m ，∴c 2＝16＋m ，e ＝ca ＝16＋m 4＝54，∴m ＝9.答案：92．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以结果为2或233. 答案：2或2333．焦点为(0,6)，且与双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．解析：由x 22－y 2＝1，得双曲线的渐近线为y ＝±22x .设双曲线方程为：x 22－y 2＝λ(λ<0)，∴x 22λ－y 2λ＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12. 故双曲线方程为y 212－x 224＝1.答案：y 212－x 224＝14．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．解析：∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12，∴y ＝±12x .答案：y ＝±12x5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率e 的取值范围是________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，由此解得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即c ≤2a ，e＝ca≤2.又e >1，∴离心率e 的取值范围是(1,2]． 答案：(1,2]6．根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点(154，3)，且一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0.(2)P (0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0， ∴可设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)．∵双曲线经过点(154，3)，∴19×15216－3216＝λ.即λ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x 轴上， ∵PF 1⊥PF 2，且OP ＝6， ∴2c ＝F 1F 2＝2OP ＝12，∴c ＝6. 又P 与两顶点连线夹角为π3，∴a ＝|OP |·tan π6＝2 3，∴b 2＝c 2－a 2＝24.故所求双曲线的标准方程为x 212－y 224＝1.7．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|， ∴b 2a ＝2c ，∴b 2＝2ac . 由a 2＋b 2＝c 2， 得c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×c a －1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵离心率e ＝2，∴设所求双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，知 λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)若点M (3，m )在双曲线上，则32－m 2＝6，∴m 2＝3. 由双曲线x 2－y 2＝6知，F 1(2 3，0)，F 2(－2 3，0)， ∴1MF ·2MF ＝(2 3－3，－m )·(－2 3－3，－m ) ＝9－(2 3)2＋m 2＝0.∴1MF ⊥2MF ，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝12×2c ×|m |＝c |m |＝2 3×3＝6.＝524.。
部编版2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质作业 苏教版选修1-1
2.3.2 双曲线的几何性质[基础达标]1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则b a＝2，即b ＝2a ，又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 22．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程是________．解析：由题意得2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又因为a ＝2，所以b ＝2c －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4＋b 2＝4＋(2c －2)2，即c 2－42c ＋8＝0，所以c ＝22，b ＝2，所求的双曲线的标准方程是y 24－x 24＝1.答案：y 24－x 24＝13．已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线C 的标准方程是________．解析：设双曲线的方程为y 2－3x 2＝λ(λ≠0)，将点(1,1)代入可得λ＝－2，故双曲线C 的标准方程是x 223－y 22＝1.答案：x 223－y 22＝14．已知双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：由题意求出双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，不妨设直线BF 斜率为43，可求出直线BF 的方程为4x －3y －20＝0①，将①式代入双曲线方程解得y B ＝－3215，则S △AFB ＝12AF ·|y B |＝12(c －a )·3215＝3215.答案：32155．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．解析：双曲线的渐近线方程为bx ＋ay ＝0和bx －ay ＝0，圆心为(3,0)，半径r ＝2.由圆心到直线的距离为r ＝|3b |a 2＋b2＝2，所以4a 2＝5b 2，又双曲线的右焦点为圆C 的圆心，所以c ＝3，即9＝a 2＋b 2，a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为x 25－y 24＝1.答案：x 25－y 24＝16．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析：(1)由题意可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52. (2)设sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝c b 2＋c 2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc 4a 2·bcb 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.答案：(1)1＋52 (2)2＋527．已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，试求该双曲线的离心率．解：由△ABF 2是正三角形，则在Rt △AF 1F 2中，有∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝12AF 2，又AF 2－AF 1＝2a ，∴AF 2＝4a ，AF 1＝2a ，又F 1F 2＝2c ，又在Rt △AF 1F 2中有AF 21＋F 1F 22＝AF 22，即4a 2＋4c 2＝16a 2，∴e ＝ 3.8．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 过(a,0)、(0，b )两点，得到直线方程为bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离为d 1＝a －ba 2＋b 2，同理得到点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝a ＋b a 2＋b 2，由s ≥45c 得到2ab c ≥45c ①.将b2＝c 2－a 2代入①式的平方，整理得4c 4－25a 2c 2＋25a 4≤0，两边同除以a 4后令c 2a2＝x ，得到4x 2－25x ＋25≤0，解得54≤x ≤5，又e ＝c a ＝x ，故52≤e ≤ 5.[能力提升]1．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故AB ＝2b 2a，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.答案： 32．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝________.解析：C 2的一条渐近线为y ＝2x ，设渐近线与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的交点分别为C (x 1,2x 1)，D (x 2,2x 2)，则OC 2＝x 21＋4x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32，即x 21＝a 245，又由C (x 1,2x 1)在C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以有145＋4a245b2＝1，①又由椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点可得a 2－b 2＝5，②由①②可得b 2＝12.答案：123．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点M (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点N (3，m )在双曲线上，求证：NF 1→·NF 2→＝0； (3)求△F 1NF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，故可设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， ∵过点M (4，－10)，∴16－10＝λ，∴λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，a ＝b ＝6，∴c ＝2 3. ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴NF 1→＝(－23－3，－m )，NF 2→＝(23－3，－m )． ∴NF 1→·NF 2→＝[(－23－3)·(23－3)]＋m 2＝－3＋m 2.∵点N (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3. ∴NF 1→·NF 2→＝0.(3)∵△F 1NF 2的底F 1F 2＝43，高h ＝|m |＝3，∴△F 1NF 2的面积S ＝6.4．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.。
最新整理高二文数 选修1-1 第2章 2.2 双曲线 Word版含解析.doc
第2章 2.2 双曲线看一看一、双曲线的有关概念(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线．(2)双曲线的焦点和焦距：双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.二、双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是2222=1(a>0,b>0)x y a b-,焦点F 1(,0)c －,F 2(),0c .双曲线中a 、b 、c 的关系是222c a b ＝＋．（2）双曲线方程有两种表达式,但总有0,0a b >>,判断双曲线所在的坐标轴要看2x 和2y 系数的符号,当2x 的系数为正时,焦点在x 轴,当2y 的系数为正时,焦点在y 轴.（3）在双曲线的标准方程里,a>b 不一定成立,要注意与椭圆中的,,a b c 的区别,在椭圆中有222a c b ＝＋,在双曲线中有222c a b ＝＋.三、双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0,b>0)y 2a 2－x2b 2＝1 (a>0,b>0)图形性质 焦点 ()12F (,0),0c F c －，12F (0)(0)c F c ，－，，焦距 12||2F F c ＝范围x a x a y ≥≤∈R 或－， y a y a x ≥≤∈R 或－，对称性x y 关于轴、轴和原点对称顶点 ()(,0),0a a －，(0)(0)a a ，－，，轴长实轴长＝2a ,虚轴长＝2b离心率e=(e>1)ca渐近线b y x a =±⋅a y x b=±⋅想一想1、理解双曲线的定义需要注意什么？2、如何用待定系数法求双曲线的方程？ 练一练 一、选择题1．【2017河南洛阳期末】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42．【2017河北唐山三模】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则C 的离心率为（ ） A.52 B. 52或5 C. 2 D. 53．【2017河北衡水押题卷】已知双曲线1C ： 2212x y -=与双曲线2C ： 2212x y -=-,给出下列说法,其中错误的是（ ） A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上 C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等4．【2017江西上饶二模】设点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的右焦点,点F 到渐近线的距离与双曲线的焦距之比为1:4,则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 30x y ±= B. 30x y ±= C. 150x y ±= D. 150x y ±=5．【2017山西运城4月模拟】已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的焦点到渐近线的距离为4,则双曲线C 的虚轴长为（ ）A. 4B. 8C. 45D. 256．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）A ． 221913x y -=B ．221139x y -=C ．2213x y -=D ． 2213y x -= 二、填空题7．【2017上海宝山区二模】已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =,则a =_______．8．【2017河北衡水摸底】已知点12,F F 分别是双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点, O 为坐标原点,点P 在双曲线C 的右支上,且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥,则双曲线C 的焦点的取值范围为__________．9．设P 是双曲线116922=-y x 上一点,M,N 分别是两圆：4)5(22=+-y x 和1)5(22=++y x 上的点,则||||PN PM -的最大值为____________．三、解答题10．已知双曲线的离心率等于2,且与椭圆221259x y +=有相同的焦点,求此双曲线方程．11．【2017安徽铜陵期中】已知双曲线22:14x C y -=, P 是C 上的任意点. （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A 的坐标为()5,0,求PA 的最小值.12．设,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线323y x =-与双曲线的右支交于,M N 两点,且在双曲线的右支上存在点D ,使OM ON tOD +=,求的值及点D 的坐标．乐一乐《悲伤的双曲线》如果我是双曲线,恩~你就是那渐近线 如果我是反比例函数,你就是那坐标轴 虽然我们有缘,能够生在同一个平面然而我们又无缘,恩~慢慢长路无交点为何看不见,等式成立要条件难到正如书上说的,无限接近不能达到注：如果我是双曲线---无限接近不能达到（重复一边）为何看不见,明月也有阴晴圆缺此事古难全,但愿千里共婵娟此事古难,但愿千里共婵娟。
苏教版数学高二选修1-1学案 2.3.2 双曲线的几何性质
2.3.2双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识点一双曲线的几何性质思考类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？答案范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.梳理标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)知识点二双曲线的离心率思考在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案双曲线x2a2－y2b2＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于b a 的值，设e ＝c a ，则ba ＝c 2－a 2a＝e 2－1. 当e 的值逐渐增大时，ba的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.梳理 定义：双曲线的焦距与实轴长的比e ＝ca ，叫做双曲线的离心率.性质：离心率e 的取值范围是(1，＋∞).e 越大，双曲线的张口越大. 知识点三 双曲线的相关概念实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程是y ＝±x ，离心率为 2.1.等轴双曲线的离心率是1.( × )2.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.( × )3.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.( × )4.方程y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .( × )类型一 已知双曲线的标准方程研究几何性质例1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4，∴双曲线的实轴长为2a ＝4，虚轴长为2b ＝43；焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)；顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)；渐近线方程为y ＝±33x ；离心率e ＝2.反思与感悟 已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 解 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)； 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)； 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4； 离心率e ＝c a ＝133；渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程. 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0).当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0).将点(2，－2)代入双曲线方程， 得λ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a ，b ，写出方程.(2)①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)；②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③渐近线方程为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0). 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (3)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3).考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故所求双曲线的标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .∴设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1，①或y 29k －x 2k＝1.② 将(3,92)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解； 将(3,92)代入②，得k ＝9.故所求双曲线的标准方程为y 281－x 29＝1.(3)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②联立①②，无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0).∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.类型三 求双曲线的离心率例3 分别求适合下列条件的双曲线的离心率： (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c . 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率解 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意得直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得aba 2＋b 2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0， ∴3⎝⎛⎭⎫b 2a 22－10×b 2a 2＋3＝0. 解得b 2a 2＝13或b 2a2＝3.又∵0<a <b ，∴b 2a2＝3，∴e ＝1＋b 2a2＝2. 反思与感悟 求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值.而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或ba 的方程，解方程求之，从而得到离心率的值.同时也要注意问题中条件对离心率的限制，以保证问题结果的准确性.跟踪训练3 (1)若双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为________.考点 双曲线的几何性质答案 54或53解析 若焦点在x 轴上，则b a ＝34，∴e ＝b 2a 2＋1＝54； 若焦点在y 轴上，则a b ＝34，即b a ＝43，∴e ＝b 2a 2＋1＝53. 综上可知，双曲线的离心率为54或53.(2)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点坐标为(3,0)，则该双曲线的离心率e ＝________.考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 32解析 因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)， 所以c ＝3，b 2＝5，则a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4， 所以a ＝2，所以e ＝c a ＝32.1.双曲线的一个顶点坐标为(－1,0)，一条渐近线方程为y ＝－2x ，则双曲线方程为____________.考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 答案x 2－y 24＝1 解析 由题意知a ＝1，又ba ＝2，∴b ＝2，∴双曲线方程为x 2－y 24＝1. 2.设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题 答案 －4解析 ∵方程表示双曲线， ∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ， ∴3－a＝32，解得a ＝－4. 3.如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为________.考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案2解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得 ba ×⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1， 即b 2a2＝1，所以e ＝1＋b 2a2＝ 2. 4.若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________.考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题 答案 (±7，0)解析 由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32， 得m ＝3，所以c ＝7，且焦点在x 轴上. 所以双曲线的焦点坐标为(±7，0).5.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 y ＝±22x 解析 ∵2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3， 则a ＝c 2－b 2＝2，∴b a ＝22.故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .1.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.一、填空题1.若双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为________. 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 答案 －14解析 双曲线的标准方程为y 2－x 2－1m＝1， ∴a 2＝1，b 2＝－1m.由题意得b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.2.双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 23解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点坐标为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F (4,0)到3x －y ＝0的距离为432＝2 3.3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程是________. 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 答案 y 24－x 24＝1解析 由题意得2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又因为a ＝2，所以b ＝2c －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4＋b 2＝4＋(2c －2)2，即c 2－42c ＋8＝0，所以c ＝22，b ＝2，所求的双曲线的标准方程是y 24－x 24＝1.4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为____________. 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 答案 x 24－y 243＝1解析 双曲线的右顶点为(a,0)，一条渐近线为x ＋3y ＝0， ∴1＝a1＋(3)2＝a2，∴a ＝2. 又b a ＝33，∴b ＝233， ∴双曲线的方程为x 24－y 243＝1.5.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________.考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率答案 53解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(3，－4)，∴3b ＝4a ， ∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53. 6.已知双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角为________.考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 90°解析 由c a ＝2，得c 2a 2＝2. 又c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴双曲线的两条渐近线的夹角为90°.7.与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________________. 考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程答案 x 23－y 212＝1 解析 设所求双曲线的标准方程为x 2－y 24＝λ. 将点(2,2)代入，可得λ＝3，∴双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1. 8.F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________. 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 7 解析 如图，由双曲线定义得，BF 1－BF 2＝AF 2－AF 1＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以BF 2＝AF 2＝AB ，因此AF 1＝2a ，AF 2＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.9.已知双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线位置关系答案 3215解析 由题意求出双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则双曲线渐近线方程为y ＝±43x ， 不妨设直线BF 斜率为43， 可求出直线BF 的方程为4x －3y －20＝0，(*)将(*)式代入双曲线方程解得y B ＝－3215， 则S △AFB ＝12AF ·|y B |＝12(c －a )·3215＝3215. 10.若在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为________.考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (2，＋∞)解析 由于到原点O 和右焦点F 距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，其方程为x ＝c 2.依题意，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x ＝c 2与右支有两个交点，故应满足c 2>a ，即c a>2，得e >2. 二、解答题 11.已知双曲线的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程解 由椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，b a ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36，b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1. ②当双曲线的焦点在y 轴上时， 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为 x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 12.点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，求a ＋b 的值.考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题解 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则|m －n |＝2a ，①又因为PF 1⊥PF 2，所以m 2＋n 2＝4c 2，②①2－②得－2mn ＝4a 2－4c 2，所以mn ＝－2a 2＋2c 2.又因为△F 1PF 2的面积是9，所以12mn ＝9， 所以c 2－a 2＝9.又因为双曲线的离心率e ＝c a ＝54， 所以c ＝5，a ＝4，所以b ＝3，所以a ＋b ＝7.13.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围. 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围解 直线l 过(a,0)，(0，b )两点，得到直线方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离为d 1＝(a －1)ba 2＋b 2，同理得到点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝(a ＋1)b a 2＋b 2，由s ≥45c 得到2ab c ≥45c .(*) 将b 2＝c 2－a 2代入(*)式的平方，整理得4c 4－25a 2c 2＋25a 4≤0， 两边同除以a 4后，令c 2a 2＝x ，得到4x 2－25x ＋25≤0， 解得54≤x ≤5， 又e ＝c a ＝x ，故52≤e ≤ 5. 即e 的取值范围为⎣⎡⎦⎤52，5. 三、探究与拓展14.F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|MF 1→|＝3|MF 2→|，则此双曲线的渐近线方程为________.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 y ＝±22x 解析 由双曲线的性质可得|MF 2→|＝b ，则|MF 1→|＝3b .在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF 1→|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－a c， 由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－a c， 又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝22， 故此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 15.设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B . (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值. 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中， 得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，(*)所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得0<a <2且a ≠1，又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝ 1a 2＋1， 所以e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).因为P 为直线与y 轴的交点，所以P (0,1).因为P A →＝512PB →， 所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1). 由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(*)的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960. 由a >0，解得a ＝1713.。
苏教版数学高二 选修1-1测评圆锥曲线的共同性质
学业分层测评(十二)圆锥曲线的共同性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.双曲线x 22－y 2＝1的右准线方程是________.【解析】 由方程可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，即c ＝ 3. 故双曲线的右准线方程是x ＝a 2c ＝233. 【答案】 x ＝2332.已知椭圆的离心率为12，准线方程为x ＝±4，则椭圆的长轴长为________. 【解析】 由c a ＝12，a 2c ＝4，得a ＝c a ×a 2c ＝12×4＝2，故长轴长为2a ＝4. 【答案】 43.方程x －2y 2＝0表示的曲线为________，焦点为________，准线方程为________.【解析】 化方程为标准形式y 2＝12x ，表示焦点在x 正半轴上的抛物线，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，准线x ＝－18.【答案】 抛物线 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 x ＝－184.已知椭圆的两条准线方程为y ＝±9，离心率为13，则此椭圆的标准方程为________.【导学号：24830056】【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝9c a ＝13⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝1.从而b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，∵椭圆的焦点在y 轴上，∴所求方程为y 29＋x 28＝1. 【答案】 y 29＋x 28＝15.已知椭圆两准线间的距离为8，虚轴长为23，焦点在x 轴上，则此椭圆标准方程为________.【解析】 依题得：a 2c ＝4，∴a 2＝4c . 又∵2b ＝23，∴b ＝3，b 2＝3.∴b 2＋c 2＝4c ，∴c 2－4c ＋3＝0，(c －3)(c －1)＝0， ∴c ＝3或c ＝1.当c ＝3时，a 2＝12.椭圆方程为x 212＋y 23＝1.当c ＝1时，a 2＝4，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 x 24＋y 23＝1或x 212＋y 23＝16.如果双曲线x 216－y 29＝1上的一点P 到左焦点的距离是10，那么P 到右准线的距离为________.【解析】 由双曲线方程知a 2＝16，b 2＝9，故c 2＝25，所以e ＝54，由双曲线定义知P 到右焦点的距离为10±8＝2或18，由圆锥曲线的统一定义知，P 到右准线的距离为2×45＝85或18×45＝725.【答案】 85或7257.椭圆x 29＋y 216＝1上一点M ，到焦点F (0，7)的距离为27，则M 到椭圆上方准线的距离是________.【解析】 ∵a 2＝16，a ＝4，b 2＝9，b ＝3，∴c 2＝7，c ＝7.∴e ＝c a ＝74，设所求距离为d ，则MF d ＝74， ∴d ＝2774＝8. 【答案】 88.已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)的一条准线与抛物线y 2＝－10x 的准线重合，则椭圆的离心率为________.【导学号：24830057】【解析】 抛物线y 2＝－10x 的准线方程是x ＝52.由题意知，椭圆x 2a 2＋y 2＝1的一条准线方程为x ＝52，即右准线方程为x ＝52，故a 2c ＝52，∴a 2＝52c ，∵b ＝1，∴c 2＋1＝52c ，解得c 1＝2，c 2＝12.当c ＝2时，a 2＝52c ＝5，a ＝5，∴e ＝255； 当c ＝12时，a 2＝52c ＝54，a ＝52，∴e ＝52. 【答案】 52或25 5 二、解答题9.已知椭圆x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上一点，F 1、F 2为左、右两个焦点，若PF 1∶PF 2＝2∶1，求点P 的坐标.【解】 设点P 的坐标为(x ，y ). ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴e ＝35，准线方程为x ＝±253.由圆锥曲线的统一定义知PF 1＝ed 1＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋253＝35x ＋5，PF 2＝ed 2＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫253－x ＝5－35x .∵PF 1∶PF 2＝2∶1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋5∶⎝ ⎛⎭⎪⎫5－35x ＝2∶1， 解得x ＝259，代入椭圆的方程得y ＝±8914. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫259，8914或⎝ ⎛⎭⎪⎫259，－8914.10.求中心在原点，长轴在x 轴上，一条准线方程得x ＝3，离心率为53的椭圆方程.【解】 方法一：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝3，c a ＝53，所以⎩⎨⎧a ＝5，c ＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝209.∴所求椭圆的方程为x 25＋9y 220＝1.方法二：设M 为椭圆上任意一点，其坐标为(x ，y ). 由法一知，准线x ＝3对应的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0.由圆锥曲线的统一定义得MF d ＝53.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2|3－x |＝53，化简得4x 2＋9y 2＝20.∴所求椭圆的方程为x 25＋9y 220＝1.[能力提升]1.已知点M (x ，y )满足(x －1)2＋y 2＝12|x －3|，则M 点的轨迹是________. 【解析】 由题意得(x －1)＋y 2|x －3|＝12，所以M 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之比为定值12，∴M 的轨迹是椭圆.【答案】 椭圆2.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m >1)上一点P 到左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为________.【解析】 由题意得2m ＝3＋1，m ＝2，故椭圆的方程是x 24＋y 23＝1，该椭圆的离心率是12，设点P 到右准线的距离等于d ，由圆锥曲线的统一定义得1d ＝12，d ＝2，即点P 到右准线的距离等于2.【答案】 23.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值为________.【解析】 ∵A (1,2)在椭圆上，∴1a 2＋4b 2＝1，∴b 2＝4a 2a 2－1，则中心到准线距离a 2c 的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝a4c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4a 2－4a 2a 2－1＝a 4－a 2a 2－5. 令a 2－5＝t ＞0，f (t )＝(t ＋5)2－(t ＋5)t ＝t ＋20t ＋9≥9＋4 5. 当且仅当t ＝20t 时取“＝”， ∴a 2c ≥9＋45＝5＋2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c min ＝5＋2. 【答案】5＋24.已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点. (1)求MA ＋MB 的最大值和最小值. (2)求MB ＋54MA 的最小值.【解】 (1)由x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4. ∴点A (4,0)为椭圆的右焦点，则其左焦点为F (－4,0). 又∵MA ＋MF ＝2a ＝10， ∴MA ＋MB ＝10－MF ＋MB . ∵|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210，∴－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210.即MA ＋MB 的最大值为10＋210，最小值为10－210.(2)由题意椭圆的右准线为x ＝254，设M 到右准线的距离为MN ，由椭圆的统一定义知MA MN ＝e ＝45，∴54MA ＝MN ，MB ＋54MA ＝MB ＋MN ，易知当B ，M ，N 共线时，MB ＋MN 最小，最小值为254－2＝174，此时M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2.。
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y o
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高二数学同步测试（10）—双曲线 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．到两定点0,31F、0,32F的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹 （ ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线
2．方程11122kykx表示双曲线，则k的取值范围是 （ ） A．11k B．0k C．0k D．1k或1k 3． 双曲线14122222mymx的焦距是 （ ） A．4 B．22 C．8 D．与m有关 4．已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可 能是 （ ）
A B C D 5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ）
A．23 B．3 C．34 D． 3
6．焦点为6,0，且与双曲线1222yx有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A．1241222yx B．1241222xy C．1122422xy D．1122422yx 7．若ak0，双曲线12222kbykax与双曲线12222byax有 （ ） A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D． 相同的焦点 精心制作仅供参考唐玲出品
8．过双曲线191622yx左焦点F1的弦AB长为6，则2ABF（F2为右焦点）的周长是（ ） A．28 B．22 C．14 D．12 9．已知双曲线方程为1422yx，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的
条数共有 （ ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
10．给出下列曲线：①4x+2y－1=0; ②x2+y2=3; ③1222yx ④1222yx，其中与直线 y=－2x－3有交点的所有曲线是 （ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
11．双曲线17922yx的右焦点到右准线的距离为__________________________．
12．与椭圆1251622yx有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________． 13．直线1xy与双曲线13222yx相交于BA,两点，则AB=__________________．
4．过点)1,3(M且被点M平分的双曲线1422yx的弦所在直线方程为 ． 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．求一条渐近线方程是043yx，一个焦点是0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）
16．双曲线0222aayx的两个焦点分别为21,FF，P为双曲线上任意一点，求证：21PFPOPF、、成等比数列（O为坐标原点）．（12分） 精心制作仅供参考唐玲出品
17．已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－13. （1）求动点P的轨迹方程； （2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．（12分）
18．已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线1222yx总有公共点，试求实数k的取值范围.（12分）
19．设双曲线C1的方程为)0,0(12222babyax，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲精心制作仅供参考唐玲出品
线C1上的任意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q. （1）求Q点的轨迹方程; （2）设（1）中所求轨迹为C2，C1、C2
的离心率分别为e1、e2，当21e时，e2的取值范围（14分）
20．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).（14分）
参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C B B D A B D 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 精心制作仅供参考唐玲出品
① ②
11．47 12．14522xy 13．64 14．0543yx 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：设双曲线方程为：22169yx，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0
双曲线方程化为：2548161691169222yx，
∴双曲线方程为：1251442525622yx ∴455164e． 16．（12分）[解析]：易知2,2,eacab，准线方程：2ax，设yxP,， 则)2(21axPF，)2(22axPF，22yxPO，2222212)2(2axaxPFPF 222222
)(POyxaxx 21PFPOPF、、成等比数列.
17．（12分） [解析]：(1)∵x2－y2＝1，∴c＝2.设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a＞0)，2a＞2c＝22，∴a＞2
由余弦定理有cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|＝2a2－4|PF1||PF2|－1
∵|PF1||PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2＝a2，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2. 此时cos∠F1PF2取得最小值2a2－4a2－1，由题意2a2－4a2－1＝－13，解得a2＝3，123222cab ∴P点的轨迹方程为x23＋y2＝1.
(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，mkxyyx1322 将②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0 (*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝x1＋x22＝－3km1＋3k2，y0＝kx0＋m＝m1＋3k2
即Q(－3km1＋3k2，m1＋3k2) ∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上，
∴klkAB＝k·m1＋3k2＋1－3km1＋3k2＝－1 ，解得m＝1＋3k22 …③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0， 即 (6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0 ④ ，将③代入④得 12[1＋3k2－(1＋3k22)2]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1).
18．（12分）[解析]：联立方程组1222yxbkxy消去y得(2k2－1)x2+4kbx+（2b2+1）=0, 当时，即22k,0212k若b=0，则k；若bbx22120b2，不合题意.
当时，即22k,0212k依题意有△=(4kb)2－4(2k2－1)(2b2+1)＞0，12222bk对所有实数b恒成立，min22)12(2bk∴2k2<1，得2222k. 19．（14分）[解析]：（1）解法一：设P(x0,y0), Q(x ,y )
Q 精心制作仅供参考唐玲出品
)2(1)1(1
,),0,(),0,(0000axyaxyaxyaxyPAQAPBQBaBaA
)3(1:)2()1(22222200axyaxy得由 2222222220000,1abaxybyax 4222242222,)3(aybxaaaxyb即得代入
经检验点)0,(),0,(aa不合,因此Q点的轨迹方程为:a2x2－b2y2=a4（除点（－a,0）,(a,0)外）. 解法二：设P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA
∴100axyaxy……（1）连接PQ，取PQ中点R,
))0,(),0,((,:0,,.1)(,1)3)(2()3(,1:)1()2(),2(,02|,||||,|21|||,|21||,,4222242222222222222220220220022000外除去点点轨迹方程为整理得不合题意时得代入把得代入把即轴上点在aaaybxaQaybxaaxaxbyaxaxbyaxyaxyxayyxxxxyRRBRAPQRBPQRAPBQBQAPA
11111 ,1)1(:)2(22222222422242222eacabaabaaebayaxC的方程为得由解
21 ,21)2(11 ,22221eee 20．（14分）[解析]：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020） 设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线12222byax上， 依题意得a=680, c=1020，
:,34056801020222222故双曲线方程为acb134056802222
yx
用y=－x代入上式，得5680x，∵|PB|>|PA|,,5680,5680yx 10680),5680,5680(POP故即,答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心m10680处.