概率统计试题及答案一份2016(仅供参考)

概率统计试题及答案一份（仅供参考2016）
一．填空题（每空3分，共24分）
1.设,,A B C 为三个随机事件，则事件“A ，B 发生同时C 不发生”可 表示为 __
AB C 。

2.设()0.3,()0.4P A P B ==，如果事件A ，B 互不相容，则()P A B ⋃ 0.7。

3.甲乙两人同时向同一目标射击，击中的概率分别为0.7,0.8，则该目标被击中的概率为 0.94。

4.设随机变量X 在区间（0,2）上服从均匀分布，则{1}P X = 0 。

5.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，分布密度分别为
2
2(1)()},,
82,
0,()0,
X y
Y x f x x e y f y y --=--∞<<∞⎧>=⎨
≤⎩
则2(32)Y
E X e -- 2 ，(32)Var X Y - 31 。

6.从某总体中抽取容量为5的一样本，其观测值分别为2,3,2,1,2，则样本均值为 2 ；具有无偏性质的样本方差为 0.5
二．简述题（每小题8分，共16分）
（1）概率的公理化定义及其概率的四种形式。

解：设F 为样本空间Ω的事件域，如果对任意A F ∈，都存在实数
()P A 与之对应，且满足
(1)()1;(2)0()1;P P A Ω=≤≤（3）如果12,,,,n A A A 两两互不相容，
有1
1
()()i i i i P A P A ∞∞
===∑ ，则称()P A 为事件A 的概率。

概率四种形式：统计概率；古典概率；几何概率；主观概率；条件概率。

（2）什么叫统计量？列举四种常用的统计量。

解：设12,,,n X X X 为总体X 的一样本，如果函数12(,,,)n g X X X 不包含任何未知参数，则称12(,,,)n g X X X 为统计量。

样本均值__
11n i i X X n ==∑，样本方差__
22
11()1n i i S X X n ==--∑，样本原点矩1
1n k k i i A X n ==∑，样本中心矩__
1
1()n
k k i i B X X n ==-∑。

三．（12分）设离散型随机变量X 的分布律为
1{}(1)
,1,2,,01,
k P X k A p p k p -==-=<< 求：①常数A ；②{}P X k >；③EX 。

解：①因为11
1
{}1(1)1(1)
k k k p
P X k A p p A
A p ∞∞
-=====-==--∑∑，所以1A =。

4分
②{}1
1
1
{}(1)
(1)j k j k j k P X k P X j p p p ∞∞
-=+=+>===-=-∑∑。

8分
③
1
'
''1
1
11
1
{}(1)
[(1)][(1)]()1k k k k k k k q EX kP X k kp p p p p p p q p ∞∞
∞∞
-=======-=-=-==-∑∑∑∑
四．（12分）设随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均与分布，D 为由,2,1y x y x x ===所围成有限区域，求(1)联合密度函数；(2)边际密度函数；③判断,X Y 的独立性。

解：(1) 区域D 的面积为
1
1
(2)2s x x dx =-=
⎰。

故所求联合密度函数为
2,01,2,
(,)0,x x y x f x y <<<<⎧=⎨
⎩
其它 4分
(2)所求边际密度函数为
222,01,
()(,)0,x x
X dy x x f x f x y dy ∞
-∞
⎧=<<⎪==⎨⎪⎩
⎰⎰
其它 7分 1/2/22212,()(,)2,01,0,y y
Y y dx y y f y f x y dx dx y y ∞
-∞
⎧=-≤<⎪⎪⎪===<<⎨⎪
⎪
⎪⎩
⎰⎰
⎰其它 10分
③因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以,X Y 不独立。

12分
五．（12分）设二维随机变量(,)X Y 密度函数为
1,01,01,
(,)0,
x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它 求,,EX EXY DX 。

解：由题意知
1
1
001
2EX dx xdy ==
⎰⎰ 3分
11001
4EXY dx xydy ==⎰⎰ 6分
112
20013EX dx x dy ==⎰⎰ 9分
111
3412DX =-= 12分
六.（12分）设总体X
的密度函数为1
(;,01p x x θ<<，
其中参数0θ>未知，12,,,n X X X 为总体一样本，求θ的矩估计和最大似然估计。

解：矩估计：
由题意知()EX xp x dx ∞-∞
===
⎰⎰ 2分
故由__
X =
得__
2
__
(
)1X
X
θ=-，
因此所求矩估计为__
2
__
(
)1X
X
θ∧
=-。

5分 最大似然估计：
似然函数为1/21
11
1
()(;)(...n
n
n i n i i L p x x x θθθ=====∏ 7分
对数似然函数
1
l n ()
l n 1)l n 2
n
i
i n
L x θθ==+
∑
9分 因为
21
1
ln ()ln 0(
)2ln n
i n
i i
i d L n n
x d x
θθθθ=====∑，，
故所求最大似然估计为21
(
)ln n
i
i n
X
θ∧
==∑ 12分
七．（12分）设12,,,n X X X 为来自正态总体(,1)N μ的样本，考虑如下
检验问题：01:1,:2H H μμ==。

若拒绝域_
{ 1.6}W x =≥，求检验犯两类错误的概率。

解：由题意知__
1
~(,)X N n
μ，故所求概率为 2分
__
00__
__
{|}{ 1.6|1}
11P H H P X P P αμ==≥==≥=-<=-Φ拒绝为真 7分
__
00__
{|}{ 1.6|2}
(1P H H P X P βμ==<==<=Φ-=-Φ接受不真 12分。