动态规划的建模与求解
4.3动态规划的建模与求解
5 5 13 5
k=2
f 2 s 2 max g 2 u 2 f 3 s3
0u 2 s 2
工厂 1 投资额 1 2 3 4.5 7 9
2 2 4.5 7.5
3 5 7 8
sk+1 = sk -uk
s3
u3
f 3 ( s3 )
u3
*
0 0 0
0
1 1 5 1
2 2 7 2
i k n
U k {uk | 0 uk sk }
最优值函数 f k sk ：第k阶段可分配的资金数为sk时， 第k至第n个项目的最大总收益 求f1 a
最优值函数 f k sk ：在第k阶段分配的资金数为sk时， 第k至第n个项目的最大总收益
建立递推公式：
f k s k
fk（ sk ） =在工厂k，可供分配的资金数为sk时， 投资工厂k至工厂3所得的最大总收益 求f1（ 5 ） 基本方程： f k s k max g k u k f k 1 s k 1 0u k sk k 3,2,1 f 4 s4 0 f 3 s3 max g 3 u3 k=3 0 u 3 s3 s3 0 4 1 2 3
0
0 0 0
0
4 5 2 3 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 5 2 7 7 4.5 8 9 9.5 7.5 10 10 11.512.511 13 12 12.514.5 16 15 12.5 16 5 7 9.5 3 2 4 0 0或1 1 5 3 4 5
解：设A---整个系统正常工作，Ai—部件i正常工作 A A1 A2 An ,
则P A P A1 P A2 P An pi xi
动态规划模型
动态规划模型动态规划（Dynamic Programming）是一种优化问题的求解方法，它将原问题划分为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划方法适用于满足最优子结构（optimal substructure）和重叠子问题（overlapping subproblems）的问题。
动态规划模型由三个基本要素组成：状态（state）、状态转移方程（state transition equation）和初始条件（initial conditions）。
首先，我们需要定义问题的状态，即将原问题划分为多个子问题，并将子问题的结果组合起来得到原问题的结果。
状态可以是一个整数、一个数组、一个矩阵或者一个串等等。
状态具有两个性质：最优子结构和无后效性。
其次，我们需要确定状态之间的转移关系，即状态转移方程。
状态转移方程描述了一个状态如何从其前一个状态转移到后一个状态。
状态转移方程是问题求解的核心，通过它可以得到问题的最优解。
最后，我们需要确定初始条件，即问题的边界条件或者初始状态。
初始条件提供了问题的起始状态，是递推过程的终止条件。
动态规划模型的求解过程通常包括以下几个步骤：1. 定义状态：确定问题的状态，即将原问题划分为多个子问题，并定义每个子问题的状态。
2. 确定状态转移方程：根据问题的最优子结构性质，确定状态之间的转移关系，即状态转移方程。
3. 确定初始条件：确定问题的边界条件或者初始状态，提供递推过程的终止条件。
4. 设计算法：根据状态转移方程和初始条件，设计算法求解问题。
5. 检验结果：检验算法的正确性和有效性，确保得到的结果是问题的最优解。
动态规划模型的求解过程通常采用自底向上（bottom-up）的方法，即从最小的子问题开始求解，逐步通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
在求解过程中，将子问题的最优解存储起来，避免重复计算，提高求解效率。
总之，动态规划模型是一种有效的求解优化问题的方法，通过将原问题划分为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
第五章 动态规划建模与求解作业题解答
2.（2）某公司从事某种商品的经营，现欲制定本年度10月至12月的进货及销售计划。
已知该种商品的初始库存量为2000件，公司库存最多可存放该种商品10000件。
公司拥有的经营资金为80万元，据预测，10月至12月的进货及销售价格如表5.29所示。
若每个月在1号进货1次，且要求年底时商品的库存量达到3000件。
在以上条件下，问如何安排进货及销售计划，使公司获得最大利润？解：（0）阶段划分：按月份划分阶段，阶段变量 k =1,2,3。
（1）条件1：状态及状态变量用k x 表示k 阶段的库存量，12000x =件, 43000x =，最大库存量M ＝10000件。
0≤k 阶段的库存量≤M, 所以状态可能集：0k x M ≤≤ （2）条件2：决策及决策变量设k u ，k v 是k 阶段的进货量和销售量， 全部流动资金＝800000＋上一阶段的盈利 ＝800000元＋2,111,11()k k k k P v P u ----- 其中1,1k P -，2,1k P -是k －1阶段的进货价格和销售价格；1k u -，1k v -是k －1阶段的进货量和销售量（000,0u v ==）； 1,k P ，2,k P 是k 阶段的进货价格和销售价格（见数据表）。
则：12,1,01,800000()0min{,}k m m m m m k k kP v P u u M x P -=+-≤≤-∑， 0k k k v x u ≤≤+。
（3）条件3：状态转移方程1k k k k x x u v +=+-（k 阶段的库存量＋k 阶段的进货量－k 阶段的销售量）（4）阶段效应和目标函数 2,1,k k k k k r P v P u =- 31kk R r==∑（5）动态规划的基本方程2,1,11,44()max{()}()0k kk k k k k k k k u v f x P v P u f x f x ++=-+⎧⎪⎨=⎪⎩2.（4）某公司计划用100万元对其三个分厂进行投资，三个分厂的投资方式各不相同，其投资和收。
动态规划建模实验报告
一、实验背景动态规划是一种重要的算法设计方法，它通过将复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并存储子问题的解，从而避免重复计算，有效地解决一系列优化问题。
本实验旨在通过具体案例，加深对动态规划算法的理解和应用。
二、实验目的1. 掌握动态规划的基本概念和原理。
2. 熟悉动态规划建模的过程和步骤。
3. 提高运用动态规划解决实际问题的能力。
三、实验内容本次实验选取了“背包问题”作为案例，旨在通过解决背包问题，加深对动态规划算法的理解。
四、实验步骤1. 问题分析背包问题是一个经典的组合优化问题，描述为：给定一个容量为C的背包和N件物品，每件物品有价值和重量两个属性，求如何将物品装入背包，使得背包中的物品总价值最大，且不超过背包的容量。
2. 模型建立（1）定义状态：设dp[i][j]表示在前i件物品中选择若干件装入容量为j的背包所能获得的最大价值。
（2）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i]] + values[i])，其中weights[i]表示第i件物品的重量，values[i]表示第i件物品的价值。
（3）边界条件：dp[0][j] = 0，表示没有物品时，背包价值为0。
3. 编程实现使用C语言编写动态规划程序，实现背包问题的求解。
4. 结果分析（1）运行程序，输入背包容量和物品信息。
（2）观察输出结果，包括物品选择的列表和最大价值。
（3）验证结果是否正确，与理论分析进行对比。
五、实验结果与分析1. 实验结果：通过编程实现，成功求解了背包问题，并得到了最大价值。
2. 结果分析：（1）动态规划算法在解决背包问题时，有效地避免了重复计算，提高了求解效率。
（2）实验结果表明，动态规划算法能够有效地解决背包问题，为实际应用提供了有力支持。
六、实验总结1. 动态规划是一种重要的算法设计方法，具有广泛的应用前景。
2. 动态规划建模过程中，关键在于正确地定义状态和状态转移方程。
建立动态规划数学模型的步骤
例2（带回收的资源分配问题）某厂新购某种机床125台。据估计，这种设备5年后将被其它设备所代替。此机床如在高负荷状态下工作，年损坏率为1/2，年利润为10万元；如在低负荷状态下工作，年损坏率为1/5，年利润为6万元。问应如何安排这些机床的生产负荷，才能使5年内获得的利润最大？
解：以年为阶段，k=1，2，3，4，5 取k年初完好的机床数为状态变量xk 以k年初投入高负荷运行的机床数为决策变量uk，则低负荷运行机床数是xk-uk，于是状态转移方程为： xk+1=1/2uk+4/5（xk-uk）=0.8xk-0.3uk 以利润为目标函数，则k年利润为： 10uk+6（xk-uk）=4uk+6xk 记fk（xk）为k年至5年末最大总利润，则动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝ 0≤uk≤xk f6（x6）=0 k=5,4,3,2,1
动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝
当k=2时 f2（x2）= max｛ 4u2+6x2+f3（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛ 4u2+6x2+18（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛-1.4u2+20.4x2｝=20.4x2 u2=0 0≤u2≤x2 当k=1时 f1（x1）= max｛ 4u1+6x1+f2（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ 4u1+6x1+20.4（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ -2.12u1+22.32x1｝=22.32x1 u1=0 0≤u1≤x1 =22.32×125=2790（万元）
8.4离散动态规划建模与求解
H ○ I ○
5
E ○
8 9 F 6 ○
G ○
河北
6 1
山西
8.3.3 离散动态规划举例—正向求解
第二步 求解
3. 求 f3 (s4 ) 即求 f3 ( H ), f2 ( I )
利用公式 f3 (s4 ) min f2 (s3 ) V3 (u3 , s3 )
当s4 I时,从s3到s4有三条路径, 即 E I , F I 和G I 当u3 E I时,V3 (u3 , s3 ) 8 当u3 F I时,V3 (u3 , s3 ) 6 当u G I时,V (u , s ) 6 3 3 3 3 则 f3 ( I ) min{ f 2 ( E ) 8, f 2 ( F ) 6, f 2 (G ) 6} min{8 8, 6 6,9 6} 12
利用公式 f1 (s2 ) min V1 (u1, s1 )
故f1 ( s2 B) 4 故f1 ( s2 C ) 2 故f1 ( s2 D) 3
数学建模中的动态规划问题
数学建模中的动态规划问题动态规划是一种常见且重要的数学建模技术，它在解决许多实际问题中发挥着关键作用。
本文将介绍动态规划问题的基本概念和解题方法，并通过几个实例来说明其在数学建模中的应用。
一、动态规划的基本概念动态规划是解决多阶段决策问题的一种方法。
一般来说，动态规划问题可以分为以下几个步骤：1. 确定阶段：将问题划分为若干个阶段，每个阶段对应一个决策。
2. 确定状态：将每个阶段的可能状态列出，并定义对应的决策集合。
3. 确定状态转移方程：根据当前阶段的状态和上一个阶段的决策，确定状态的转移关系。
4. 确定初始条件：确定问题的初始状态。
5. 确定决策的评价标准：根据问题的具体要求，确定决策的评价标准。
6. 使用递推或递归公式求解：根据状态转移方程，使用递推或递归公式求解问题。
二、动态规划问题的解题方法在解决动态规划问题时，一般可以使用自顶向下和自底向上两种方法。
自顶向下的方法，也称为记忆化搜索，是指从问题的最优解出发，逐步向下求解子问题的最优解。
该方法通常使用递归来实现，并通过记忆化技术来避免重复计算。
自底向上的方法，也称为动态规划的迭代求解法，是指从问题的初始状态出发，逐步向上求解各个阶段的最优解。
该方法通常使用迭代循环来实现，并通过存储中间结果来避免重复计算。
三、动态规划在数学建模中的应用1. 01背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有对应的价值和重量，要求选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大，而且总重量不超过背包的容量。
这是一个经典的动态规划问题，在数学建模中经常遇到。
2. 最短路径问题：在给定的有向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
该问题可以使用动态规划的思想对其进行求解，其中每个阶段表示到达某个顶点的最短路径。
3. 最长公共子序列问题：给定两个序列，求解它们最长的公共子序列的长度。
该问题可以使用动态规划的方法解决，其中每个阶段表示两个序列的某个子序列。
四、实例分析以01背包问题为例进行具体分析。
数学建模Lingo求解动态规划二
11
4. Lingo函数求解分配问题
给n个人分配n项工作以获得某个最高总效果的问题 第i个人完成第j项工作需要平均时间为 c ij . 数学模型：
min
m
c x
i1 j1
m
n
ij ij
s . t .
x 1 ,
x 1 ,
j 1 ij
i 1 m
ij
j 1 ,..., m
这是一个函数方程，用LINGO可以方便的解决。 编制程序如下：
model: sets: p/1..6/:f; r(p,p)/1,2 1,3 2,3 2,4 3,4 3,5 4,5 4,6 5,6/: d; Endsets data: d=7 9 1 7 6 6 2 7 6; Enddata f(@size(p))=0; @for(p(i)|i#lt# (@size(p):f(i)=@min(r(i,j):d(i,j)+f(j))); end 若左边的运算符严格小于右边的运算符
x a,i 1 ,..., m
j 1 ij i
i 1 n
ij
j
x 0 , i 1 ,..., m , j 1 ,..., n ij
例2 计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单 位运价如下表。
单位 运价 销地 产地
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
产量
A1 A2 A3 A4 A5 A6 销量
2.运用Lingo软件求解最短路问题
例1 求下图的最短路.
7
2 7
4 7
1 9
1
6
2 6 3 6
6
5
用动态规划方法求解。
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件的备用元件数，使整个系统的工作可靠性最大？
解： n个部件=n个阶段 决策变量uk = 部件k上所装的备用元件数xk 状态变量：
f n1 sn1 0
k n, n 1, ,2,1
例 复合系统工作可靠性问题
某种机器的工作系统由n个部件串联组成，只要有 一个部件失灵，整个系统就不能正常工作。为提
高系统工作的可靠性，在每一个部件上均装有主
要元件的备用件，并设计了备用元件自动投入装
置。显然，备用元件越多，整个系统的可靠性越
要求：经验 、技巧、灵活
一、离散变量的分段穷举法
例（资源分配问题）某有色金 属公司拟拨出50万元对所属三 家冶炼厂进行技术改造，若以 十万元为最少分割单位，各厂 收益与投资的关系如下表：
工厂 1
2
3
投资额
1
4.5
2
5
2
7
4.5
7
3
9
7.5
8
4
10.5 11
10
5
12
15
13
问：对三个工厂如何分配， 才能使总收益达到最大？
求f1 C,W
复合系统工作可靠性的动态规划基本方程为：
fk f n1
sk , yk sn1 , yn1
max
uk UK
1
pk
uk
f k 1 sk 1 , yk 1
k n,n 1, ,2,1
与问
题无
关
动态规划基本方程：
fk sk optgk uk fk1 sk1
4.3.1 建摸
1、理论依据 -----最优化原理
最优化原理： 一个过程的最优策略具有这样的性质， 即无论初始状态及初始决策如何，对于 先前决策所形成的状态而言，其以后的 所有决策必构成最优策略
2、动态规划模型的几个要素：
1)阶段数k
2)状态变量sk 3)决策变量uk （ sk ）
状态转移方程 sk1 T sk , uk
解：设A---整个系统正常工作，Ai—部件i正常工作
A A1 A2 An ,
n
则PA
PA1 PA2
PAn
i 1
pi xi
n
数学模型为：求max
P
i 1
pi
xi
n
满足： ci xi C
i 1
n
wi xi W
i 1
xi 0且为整数
非线性规 划问题
例 复合系统工作可靠性问题
系统由n个部件串联组成，每一个部件上装有备用件，部
3)具有明确的指标函数，且阶段指标值可以计算
4)能正确列出最优值函数的递推公式和边界条件
例 （资源分配问题）某公司有资金a万元，拟投资于 n个项目，已知对第i个项目投资xi万元，收益为 g i (xi)，问应如何分配资金可使总收益最大？
解：阶段k=1,2, …,n
状态变量sk ：在第k阶段时可以用于投资 第k到第n个项目的资金数
大，但备用元件增多也会导致系统的成本、重量
相应增大。设部件i(i=1,2, …,n)上装有xi个备用元 件时，正常工作的概率为pi （ xi ）。设装一个i部 件的设备元件费用为ci ，重量wi为，要求整个系 统所装备用元件的总费用不超过C，总重量不超过 W，问如何选择个部件的备用元件数，使整个系 统的工作可靠性最大？
投资工厂k至工厂3所得的最大总收益
0
maxg
uuk k
sk
k
u k
f k 1 sk 1
求f1（ 5 ）
工厂 1
2
3
基本方程：
投资额
1
4.5 2
5
fk sk
max 0uk sk
f4 s4 0
sk =第k个到第n个部件可使用的总费用 yk =第k个到第n个部件容许的总重量
状态转移方程：sykk11
sk ckuk yk wk uk
指标函数Vk,n
n
ik
pi
ui
最优指标函数fk(sk， yk ）= 在部件k，可使用 的总费用为sk，总重量为yk 时，从部件k 到部件n的系统工作可靠性的最大值
4)指标函数Vk,n 5)最优值函数fk(sk)
3、建立动态规划模型的基本要求：
1）所研究的问题必须能够分成几个相互联系的 阶段，而且在每一个阶段都具有需要进行决策的 问题。
2）在每一阶段都必须有若干个与该阶段相关的状态
建模时总是从与决策有关的条件中，或是从问 题的约束条件中去选择状态变量。
一般情况下，状态是所研究系统在该阶段可能处 于的情况或条件
决策变量uk ：第k个项= sk -uk
U k {uk | 0 uk sk }
指标函数Vk,n
n
： gi ui
ik
最优值函数f k sk ：第k阶段可分配的资金数为sk时，
求f1 a
第k至第n个项目的最大总收益
最优值函数f k sk ：在第k阶段分配的资金数为sk时，
状态的选取必须注意以下几个要点：
（a）在所研究问题的各阶段，都能直接或间 接确定状态变量的取值
（b）能通过现阶段的决策，使当前状态转移 成下一阶段的状态
即 能够给出状态转移方程 sk1 T sk ,uk
（c）状态的无后效性
即以第k阶段的状态sk为出发点的后部子过程的 最优策略应与sk 之前的过程无关
阶段k=1，2，3
决策变量uk： 给工厂k的投资额
0 uk sk
状态变量sk：
在第k阶段时可供工 厂k到工厂3分配的 资金数
状态转移方程：
sk+1 = sk -uk
g k (uk)=给工厂k投资 uk（十万元）的收益
3
指标函数Vk,n gi ui ik
fk（ sk ）=在工厂k，可供分配的资金数为sk时，
第k至第n个项目的最大总收益
建立递推公式：
f k sk
max 0uk sk
g k u k f k 1 sk 1
k=n,n-1, …,2,1
边界条件： f n1 sn1 0
资源分配问题的动态规划基本方程：
fk sk
max 0uk sk
gk
uk
f k1 sk1
uk
f n1 sn1 0
k n, n 1, ,2,1
或
fk sk optgk
uk
f n1 sn1 1
uk
f k1 sk1
k n, n 1, ,2,1
4.4.2 动态规划模型的求解
解法
离散型
：分段穷举法
连续型 ：利用解析方法或线性规划方法
难！ 没有固定的方法 具体模型具体分析