中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划

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中级宏观经济学(第5章)-戴蒙德模型

上式中C1t与C2t+1的一阶条件是：
C t
( )
( )
C t rt
把式（5-32）代入式（5-33）得：
C C t t rt ( )
将式(5-34)整理后也就可以得到式(5-30)相同结果。
b
kt
第四节戴蒙德模型的动态分析
kt 1
图5-4c表明如果k的初始值是
充分低的，k收敛于零，但如果k 的初姑值充分高，k收敛于一个严
格为正的水平。如果k0< k1*，那
么k趋于零，如果k0> k1*，则k收敛于k2* 。
k1
c
k2
kt
第四节戴蒙德模型的动态分析
' f ( k ) k f ( kt ) 1 ' t t k t 1 s( f (kt 1 )) f ( kt ) (1 n)(1 g ) f ( kt )
这个函数是为了平衡增长所需要的。由于生命是有限的，不再
假设ρ>n+(1-θ)g以确保终生效用不再发散。ρ代表权重【分析上的意
义相当于贴现率】，如果ρ>0，则个人给第一时期的权重大于第二消费
时期，如果ρ<0，则情形相反。同时需要假设ρ>-1 ，以确保第二
消费时期的权数为正。
第三节代际交叠中的两期寿命
弹性意味着偏好于跨期替代】在两个时期进行消费替代以利用报酬率（上升）
的激励(即θ低)，替代效应相对占优。当个人对两个时期内的相似消费水平有强有力的偏好时(即θ高) ，收人效应相对占优。θ＝1是对数效用的特殊情况【即边际效用递减速率与θ无关】，储蓄率是常数，仅取决于贴现率或权重。

三期动态模型中级宏观经济学ppt课件

12
第三期 max u(c3 )
(4.7)
s.t. c3 k3 f (k2 )
(4.6)
这里，k2 是在第二期已经决定了的变量。这个最
ห้องสมุดไป่ตู้
优解是明显的，为：
k3 g(k2 ) 0
（4.8）
c3 f (k2 ) g(k2 ) f (k2 )
(4.9)
13
这里，方程（4.9）称为政策函数（Policy function），它反映的是如下这样一个事，即消费者准备为第下一期预留的资本数量实际取决于本期已有的资本数量，具体到我们这个三期模型里来，也即消费者准备为第四期预留的资本数量 k3 是本期资本数量 k2 的函数，即 k3 g(k2 ) 。当然，因为在我们这个模型里，经济活动仅进行三期，因而不会为第四期预留资本，也即也即， k3 0 。
max
c2 ,k2
u(c2
)

V3
(k2
)
(4.12)
s.t.
c2 k2 f (k1 )
(4.5)
16
因为消费者在第二期选择的 k2 将被作为第三期的资本使用，因此，第二期选择的 k2 将会对第三期的效用产生影响，所以，在第二期作决策时，当然需要把这种影响考虑进去。在上面的最大化问题中，我们借助值函数V3 来表示了这种经由 k2 而产生的效用。
（4.14）
现在，有了这个政策函数，我们可以定义第二
期的值函数了，它是：
V2
(k1 )

u
(c
2
)

V3
(k
2
)
(4.15)
18
显然，我们的最优选择依赖于 k1 ，因而，上述值函

中级宏观经济学(第5章)-拉姆齐模型

第一节拉姆齐问题
家庭效用函数（续）
瞬时效用函数可以采取如下的形式：
C t u C t 0, n 1 g 0 （5-2） 1
1
这个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险 Cu '' C 厌恶系数(它被定义为 )是θ，它独立于C。 ' u C
为家庭数量]。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储
蓄之间进行分配，以服从其终生效用最大化的目标。
第一节拉姆齐问题
家庭效用函数
设家庭具有以下效用函数：
U e
0

t
Lt u C t dt（5-1） H
上式中，C(t)是在t时刻家庭每个成员的消费。U(· )是瞬时效用函数。L(t)是经济的总人口，L(t)／H是每个家庭的成员人员。 u C t L t 是t时刻家庭的总瞬时效用。ρ是贴现率， H ρ越大，则家庭对未来消费的估价就越小。
第一节拉姆齐问题
家庭效用函数（续）
由于在这个模型中不存在不确定性，因此与家庭的风险态度并不直接相关，其实θ也决定了家庭将消费在不同时期的转移意愿：θ越小，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢，导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果θ接近于
零，这样，效用对于C来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意
H

0
e
R t
cte
n g t
dt k 0 e Rt w t e n g t dt （5-14）
0

第一节拉姆齐问题
家庭行为－目标函数（续）

宏观经济学(第十版)课件：一个经济波动的动态模型

●
15.1
模型的要素
在考察动态AD—AS模型的成分之前,我们需要引入一个符号:在本章,变量
的下标t代表时间。例如,正如本书到目前为止通篇所采用的,Y用于表示总产
出和国民收入。但是,现在它的形式是Yt,它代表时期t的国民收入。类似地,Yt1代表时期t-1的国民收入,Yt+1代表时期t+1的国民收入。这一新的符号使得我
到方程中的四个外生变量以及前一时期的通货膨胀率的影响。滞后的通货
膨胀率πt-1叫做前定变量(predetermined variable)。也就是说,它是一
个以过去值为内生的变量;由于它在我们到达时期t之前已经固定,对于找到
现期均衡这一目的来说,它在本质上是外生的。
我们几乎已经做好准备要将这些部分放在一起,分析各种对经济的冲击如
同样的假设适用于每个时期。因此,当观察到t-1期的通货膨胀时,人们预期该比
率会持续。这意味着
Et-1πt=πt-1。
2024/4/27
五、名义利率:货币政策规则
本模型的最后一个部分是货币政策方程。我们假设中央银行采用下面的规
则基于通货膨胀和产出来确定名义利率目标:
it=πt+ρ+θπ − ∗ +θY −
可以为负。这个变量刻画了除通货膨胀预期(由第一项Et-1πt刻画)和短期经济
条件[由第二项ϕ − 刻画]以外的所有影响通货膨胀的因素。
2024/4/27
四、预期的通货膨胀:适应性预期
正如我们已经看到的,预期通货膨胀在通货膨胀的菲利普斯曲线和联系名义与实
际利率的费雪方程中起着关键作用。为了使动态AD—AS模型变得简单,我们假设人
标,那么,通货膨胀率、预期的通货膨胀率和名义利率都增加相等的数量。实

无限期界模型ramsay模型

无限期界模型（拉姆齐模型）一、问题的提出在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率的变动将影s?s 时，与最优储响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。

当gold蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无s?s 时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡效的。

当gold参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。

图示：s的变动对稳态和动态的人均消费的影响c*c golds s s s 高低goldc c 动态无效区c golds上升s下降t那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分1 析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。

二、模型假定1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质4．忽略资本的折旧5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：租让资本，获取利息提供劳动，赚取工资购买产品，进行消费厂商家庭相互拥有销售产品，获得利润雇佣劳动，支付工资租用资本，支付利息三、厂商行为2Y?F(K,AL)沿用新古典生产函数?Y?YK??ALY根据欧拉定理，?K?(AL)?Y?f'(k)?r（真实利率）其中，资本的边际产品为：?K?Y?f(k)?kf'(k)?w（工资率）有效劳动的边际产品为：?(AL)四、家庭行为1.一些假定和符号nt)0L(L(t)?；总人口为L，以速率n增长，e家庭的个数为H，每个家庭有L/H个人；每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H。

2. 家庭效用函数和即期效用函数定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：L(t)L(0)?????n(?)tt?ee u[C(tdt?C?Uu[(t)])]dt??o??ott HH?)?u(为为即期效用函数，C(t)为每个家庭成员的消费，其中，?越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。

宏观教材讨论个人关于动态规划及高级宏观学习的

宏观教材讨论个人关于动态规划及高级宏观学习的本坛网友鲁峰发表了一篇不错的高宏学习的帖子，名为："个人关于动态规划及高级宏观学习的意见"地址见：作为一名学了N年宏观的经济学工作者，我非常有兴趣和同道中人进行讨论。

同时，也可以为各位致力于宏观学习的童鞋提供一些(可能不完全正确)的建议。

我的研究领域与鲁峰网友近似，为：经济周期理论(按照惯例，也应包括经验研究)、货币理论与政策。

首先，想商议的第一个话题是，"你对宏观经济研究的偏向"。

在讨论这个话题之前，我假设大家都知道，所谓"经验"，是指empirical这个词。

为了避免与positive弄混淆，我用经验，而非"实证"来表示empirical。

按照惯例，如果有人说自己做宏观经济学，我们一般知道他主要是做理论研究的。

但是，宏观理论中，除了其基础--一般均衡理论外，基本上是找不到一处不能验证的理论的。

换言之，宏观理论直接来自于经验事实，同时，任何宏观理论一定要接受实验(经验)的检验，当然，只能用自然实验，而无法进行可控的实验。

我的看法是，宏观经济学不存在理论研究和经验研究之分，这两者都是由宏观经济学理论研究者完成。

如果有人说他用时间序列之类的方法在检验宏观经济理论，那么，按照惯例，这类研究领域应该叫做"应用时间序列研究"，最多叫做"应用计量经济学"，而绝对不能成为"经验宏观经济研究"，更不能叫做"应用宏观经济理论"。

举个例子，鲁克波尔与克莱茨希的一本教材，叫"应用时间序列计量经济学"。

(这两个人是德国人，名字不好记，所以就把中文名字记住了)这本书是SVAR课程的重要参考教材，整本书的内容就是宏观经济学的经验研究。

大家不妨看看书的名字。

另外一个例子，DeJong and Dave将其著作叫做《结构宏观计量经济学》、Canova将其著作叫《应用宏观经济研究方法》。

高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案

高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数，()Y F K AL=，，或者采用紧凑形式.假设。

假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本,并且所有厂商的A值都相同。

(a)考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题.证明使成本最小化的k值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值.（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。

证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。

这是一个典型的最优化问题.构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。

很明显，k的选择独立于Y。

上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。

(b）因为每个厂商拥有同样的k和A,则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择.因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。

这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。

2。

2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性.设想某个人只活两期,其效用函数由方程（2.43）给定。

令和分别表示消费品在这两期中的价格,W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？(b）两期消费之间的替代弹性为，或。

证明,若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为.答：(a）这是一个效用最大化的优化问题。

（1）（2) 求解约束条件：(3)将方程(3）代入（1)中,可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。

在方程(4）两边对求一阶条件可得:解得：（5）将方程（5)代入（3），则有：解得：（6) 将方程(6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5)可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8) 对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。

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＝
max k1 s.t.0k1 f (k0 k0给定
yt F (kt , nt )
（4.39）
其中，yt 是产出，kt 是资本投入，nt 是劳动投入。
生产函数 F(,) 是一个对两个变量均连续可微，严
格递增的、一次齐次、严格准凹的函数。并假设
也满足稻田条件，即
lim
k 0
F1
(k,1)
，lim k
F1
(k,1)
0
。
2022/3/23
第四讲三期动态模型
8
资本根据如下规则得以积累：
kt1 (1 )kt it
（4.40）
其中， it 是投资， 0 1是折旧率。
因此，经济的资源约束条件就为：
ct it yt
和
（4.41）
nt 1
2022/3/23
第四讲三期动态模型
（4.42）
9
在介绍了基本决策环境以后，按照我们以前的分析思路，接下去我们应该分析行为人的最优化行为，然后进行均衡分析，最终得到每期均衡的数量解和价格解或者分析计划最优的情形，求出每期的均衡数量解。但是，现在，我们面临的是一个无限期模型，用传统的方法求解均衡解几近不可能，所以，在这里，我们首先插入一部分，介绍一下动态规划的基本知识，然后，直接利用动态规划的知识去处理无限期的问题。
2022/3/23
第四讲三期动态模型
14
现在，用（4.40）式替代掉（4.41）式中的it ，并定义 f (k) F(k,1) (1 )k ，这样，函数 f (k) 就代表了所
有可以用来消费和投资的总产品数量（提醒一下，资
本存量也是可以用于消费的，即消费品与资本品是可
以一对一进行转换的）。因为在任何一期，都有 nt 1，
留下这些东西作为明天的资本，从而使明天能消
费更多的东西。
2022/3/23
第四讲三期动态模型
16
我们定义
k• t 1
为计划者实现了最优时的资本
t0
存量序列。现在我们面临的问题是如何去求得这
个序列。答案是：动态规划。上面的这个最优化
问题实际上是一个无限维度的最优化问题，也即
为了求解上面这个问题，我们不得不寻找到一个
（4.43） (4.41) (4.40) (4.42) (4.44)
13
（4.41）式与(4.42)式就是资源约束条件，因为 u(c) 是 c 的严格增函数，因而，（4.41）式将取等号。而因为劳动并不会带来负效用，假如（4.42）式没有取等号，则意味着 nt 还可以增加，而 nt 的增加会增加 ct 从而增加效用，因此，在最优时（4.42）式一定会取等号。（4.40）式资本积累方程。（4.44）式是我们对消费和资本强加的非负约束。
最优的无限序列的资本存量（ k1, k2 ,）。
2022/3/23
第四讲三期动态模型
17
动态规划的基本思想是试图通过对决策环境的探讨而发现一种更简单的求解这一最大化问题的方法，但是这个最大化问题的解又是与我们原始的最大化问题的解是相同的。
为了使上面所讲的这一点更明白、更具体，我们可以再一次看看我们的原始的这个计划者的最优化问题：
2022/3/23
第四讲三期动态模型
18
w(k ) max 0
kt1
t0
s.t.0kt1 f (kt
),
t
0
tu f (kt ) kt1
k0给定
＝
max
kt1
t0
u
s.t.0k0k给t1定 f (kt ),
f (k0 ) k1
t1u
t 1
f
(kt ) kt1
c0
c
2022/3/23
第四讲三期动态模型
6
在每一期，消费者拥有一单位的时间禀赋，它可
以用作劳动提供到劳动市场上去。同时，消费者
也拥有 k0 单位的初始资本，这些资本即可以用于生产也可以用于消费，即消费品与资本品是可以
一对一进行转换的。
2022/3/23
第四讲三期动态模型
7
生产技术由下式给出：
2022/3/23
第四讲三期动态模型
10
二、动态规划简介
2022/3/23
第四讲三期动态模型
11
2.1序列形式表述的社会计划者问题
因为我们在前面已经证明了竞争均衡解也是帕雷托最优解。因此，我们可以通过求解社会计划者问题来获得竞争均衡的有关数量解，这样，上面这个无限期模型中的社会计划者最优化问题可以正规地描述如下：
《中级宏观经济学》
主讲:何樟勇博士
个人主页：
web/hezhangyong
浙江大学经济学院
2006年夏
2022/3/23
பைடு நூலகம்
第四讲三期动态模型
1
第四讲三期及无限期动态模型
2022/3/23
第四讲三期动态模型
2
第二节无限期动态模型与动态规划
2022/3/23
第四讲三期动态模型
3
在本节，我们将介绍一个简单的无限期模型，借助这个模型，我们一方面看看那些在两期、三期模型中被运用的宏观经济分析的基本思路是如何在无限期模型中被得到继续运用的；另一方面，我们也要简单介绍并展示一下离散时间的动态规划怎样被运用的，这种运用对于求解许多动态问题是非常有帮助的。
因此，现在，社会计划问题能更简洁地表述为：
2022/3/23
第四讲三期动态模型
15
w(k0 )
max
kt 1
t 0
t 0
tu
f (kt ) kt1
（4.45）
s.t.
0 kt1 f (kt )
k0 0, 给定
现在，计划者面临的唯一决策是：究竟是应该让
行为人今天多消费一些呢还是今天少消费一些，
2022/3/23
第四讲三期动态模型
12
max
ct
,nt
,it
,kt
1 t 0
t 0
t u(ct )
s.t. ct it F (kt , nt )
kt1 (1 )kt it
nt 1
ct 0, kt 0, k0 0, 给定
其中， k 0 外生给定。
2022/3/23
第四讲三期动态模型
2022/3/23
第四讲三期动态模型
4
一、偏好，禀赋和技术
2022/3/23
第四讲三期动态模型
5
有一个生活无限期的代表性消费者，他（她）的
偏好如下：
tu(ct )
t0
（4.38）
其中，0 1，ct 是消费。期效用函数u()是一个连
续可微，严格递增，严格凹的函数。它满足稻田条件，
即 lim u(c) ，lim u(c) 0 。贴现因子满足 (0,1) 。