数学模型10：动态规划模型
十大经典数学模型
1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）元胞自动机7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）以上为各类算法的大致介绍，下面的内容是详细讲解，原文措辞详略得当，虽然不是面面俱到，但是已经阐述了主要内容，简略之处还望大家多多讨论。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
数学模型分类
数学模型分类
数学模型是现代科学研究的重要工具，它通过数学表达式和算法来描述现实世界中的问题，帮助人们更好地理解和解决各种复杂的现象和现实问题。
根据其应用领域和研究对象不同，数学模型可以分为多种类型。
其中，常见的数学模型分类如下：
1. 统计模型：通过搜集数据并建立数学概率分布函数，分析和预测随机事件的结果。
2. 线性规划模型：建立线性方程组，通过最小化或最大化目标函数，优化决策变量。
3. 非线性规划模型：建立非线性方程组，通过最小化或最大化目标函数，优化决策变量。
4. 动态规划模型：建立动态方程组，通过确定状态和决策变量，优化决策结果。
5. 系统动力学模型：通过建立动态方程组，模拟复杂系统的行为和演化过程。
6. 模拟模型：通过建立数学模型，模拟实际系统的运行过程，预测其未来的行为和变化。
7. 优化模型：通过建立目标函数和约束条件，寻找最优解或次优解。
8. 控制模型：通过建立反馈控制系统，实现对复杂系统的控制和调节。
总之，不同类型的数学模型有不同的应用场景和解决问题的方
法。
在实际应用中，需要根据具体的问题和目标选择合适的数学模型，并采用有效的算法和工具进行求解和分析。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模中常见的十大模型
数学建模中常见的十大模型集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#数学建模常用的十大算法==转(2011-07-24 16:13:14)1. 蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。
两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
运筹学模型的分类和类型
运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。
运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。
根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。
在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。
一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。
它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。
通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。
某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。
二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。
在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。
某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。
它通常用于求解多阶段决策问题。
动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。
在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。
四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。
它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。
网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。
通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。
在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。
五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。
它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。
数学建模常用模型及代码
数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。
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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。
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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。
n个人指派n项工作的问题。
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４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。
传送门
５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。
把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。
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6.动态规划
运筹学的一个分支。
求解决策过程最优化的过程。
传送门
二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。
传送门
三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。
传送门。
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例2 运输问题
运输公司: 计划时间:
500辆卡车 5 年 年利润 损坏率 0.3 % 0.1 %
解
超负荷 低负荷
25 (万元/辆) 16 (万元/辆)
每年年初分配卡车 问:
怎样分配(超, 低)负荷
使总利润最大
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分析: 例1 最短路问题
四个阶段
3
B1
4
A
2 1
初始状态
d (C1 , D1 ) f ( D1 ) 8 6 mind (C1 , D2 ) f ( D2 ) min3 7 10, u * (C1 ) D2 d (C , D ) f ( D ) 6 7 1 3 3 f (C2 ) min{d (C2 , u (C2 )) f (u (C2 ))}
D2→E:4(D2)=1
D3→E:f4(D3)=5
D1 D2 D3
C1→E: f3(C1)=
3 1 5 E C1 3 1 C2 2 5 4 2 D3 D1 D2
min(d3(C1,Di)+f4(Di))=5
3 1 5
E
不考虑→E 怎样实现
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主讲人：孙云龙
继续
k=3, { C1,C2}
3 F 6
状态变量：选取每一步所处的位置为状态变量，记为xi； 决策变量：取处于状态xi时，下一步所要到达的位置，记为ui(S)； 目标函数：设f(xi)为位置xi到F点最短路程，目标求 f(A)； 状态转移方程：f(xi)=min{d(xi,u(xi))+f(xi+1)}，u(xi)=xi+1 其中d(xi,u(xi))=d(xi,xi+1)为xi到可直接到达点xi+1的路程。
k=1
f1(x1)
xk 状态变量 fk(xk) f2(x2) 最优值函数
xn+1
fn(xn)
策略 p1,n(x1)={u1(x1), u2(x2),.., un(xn)}
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主讲人：孙云龙
再看例1 最短路问题
A
走到F的最短路径
C1 6 A 7 B2 B1 3 4 7 2 4 8 C3 8 6 3 C2 4 7 D2 8 D1 2 4 3 4 D3 1 E2 3 E1
d ( B2 , C2 ) f (C2 ) 2 10 min min 12, u * ( B2 ) C2 d ( B2 , C3 ) f (C3 ) 4 15 f ( A) min{d ( A, u( A)) f (u( A))}
d ( D2 , E1 ) f ( E1 ) 4 3 min min 7, u * ( D2 ) E1 3 6 d ( D2 , E2 ) f ( E2 ) f ( D3 ) min{d ( D3 , u ( D3 )) f (u ( D3 ))}
d (C2 , D1 ) f ( D1 ) 4 6 min min 10, u * (C2 ) D1 7 7 d (C2 , D3 ) f ( D3 ) f (C3 ) min{d (C3 , u (C3 )) f (u (C3 ))} d (C3 , D2 ) f ( D2 ) D2 8 7 * min min 15, u (C3 ) 8 7 D3 d (C3 , D3 ) f ( D3 )
3 B1 4 7 2 B2 4
C1 8 6 3 C24 7 8 C3 8
D1 3 主讲人：孙云龙 2 4 D2 3 4 1 D3 E1 3 F E2 6
d ( D1 , E1 ) f ( E1 ) 3 3 min min 6, u * ( D1 ) E1 2 6 d ( D1 , E2 ) f ( E2 ) f ( D2 ) min{d ( D2 , u ( D2 )) f (u ( D2 ))}
递推
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基本理论
A
3 2
B1
4
主讲人：孙云龙 C1 1 5 D
(一)基本概念
1.阶段、阶段变量 2.状态、状态变量
1
k xk uk(xk)
3 B2 1 3 3 B3 5
第k阶段始
C2
可达状态集 Xk
3.决策、决策变量
→ 终止状态 (子过程) 决策序列
允许决策集 Uk
4.策略、最优策略
k=2, { B1,B2,B3}
C1→E: f3(C1)= 5
C2→E: f3(C2) =min(d3(C2,Di)+f4(Di)) =min(4,5,7)=4
2 5 3 1 C2 4 2 D3 D1 D2
B1→E: f2(B1)= 7 B2→E: f2(B2)= 6 B3→E: f2(B3)= 8
A B1C1D2E1F
V(A)=19 。
C1 8 6 3 4 7 D1
A B2C2D1E1F
3 E1 3 F E2 1 6
6 A 7
3 B1 4 7 2 B2 4
C2
8 C3 8
2 4 D2 3 4
D3
不管该最优策略上某状态以前的状态和决策如何，对 该状态而言，余下的诸决策必构成最优子策略。“ ——Bellman 1957
B1 3 1 5
4 C1 3 1 C2
C1
E
3 B2 1 3 3 B3 5
2 5 4 2
D1 D2 D3
3 1 5
E
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主讲人：孙云龙
继续
k=1, { A }
f1(A)=min(d(A,Bi)+f2(Bi))=min(10,8,9)=8
A→E:
最短路径:A → B2 → C1 → D1 → E 距离:
= opt Vk,n（xk ,uk ,..,xn+1):最优值函数
指标函数 Vk,n 例1:距离
xk+1 =
Tk(xk ,uk): 状态转移方程
: 终端条件
fn+1(xn+1)=h
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主讲人：孙云龙
(四)图示
阶段变量k u1 x1 u2 x2 k=2 决策变量 uk k xn
un
k=n
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数学模型
A
6 7
3 B1 4 7 2 B2 4
C1 8 6 3 C24 7
8 C3 8
D1 3 主讲人：孙云龙 2 4 D2 3 4 1 D3 E1 3 F E2 6
f ( xi ) min{d ( xi , u ( xi )) f (u ( xi ))}
u ( A) {B1 , B2 }, u ( B1 ) {C1 , C2 , C3 }, u ( B2 ) {C2 , C3} u (C1 ) {D1 , D2 , D3}, u (C1 ) {D1 , D3 }, u (C1 ) {D2 , D3 } u ( D1 ) {E1 , E2 }, u ( D2 ) {E1 , E2 }, u ( D3 ) {E1 , E2 } u ( E1 ) {F }, u ( E2 ) {F }
子策略 pk,n(xk)={uk(xk), uk+1(xk+1), .., un(xn)} 策略 p1,n(x1) → 最优p1,n*(x1)?
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主讲人：孙云龙
(二)最优性原理
“作为整个过程的最优策略具有这样的性质：
不管该最优策略上某状态以前的状态和决策如何， 对该状态而言，余下的诸决策必构成最优子策略。 ——Bellman 1957
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应用
解:
例2:
5 年 500辆 卡车 超负荷 低负荷
决策 状态
决策
1
2
n 状态
时间
空间
创始人:R.E.Bellman
20世纪50年代
数学建模课件
主讲人：孙云龙
例1 最短路问题
A
→D
问应选择什么样的路线，可使总路线最短？
3
A 2 1
B1 B2 B3 3 1 3 3
4 C1 3 1 C2 5
2 5
D1 D2
3 1 5
E
4 2
D3
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主讲人：孙云龙
d ( D3 , E1 ) f ( E1 ) E1 4 3 * min min 7, u ( D3 ) 1 6 E2 d ( D3 , E2 ) f ( E2 )
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f (C1 ) min{d (C1 , u (C1 )) f
3 A 2
8
B1
4 C1 3 1
1
3 B2 1 3 3 B3 5
2 5
D1 D2
3 1 5 E
f2(B1)= 7 f2(B2)= 6 f2(B3)= 8
C2
4 2 D3
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主讲人：孙云龙
特点
无后效性 局部最优决策过程与全过程
每阶段最优决策:
直接效果:阶段内 间接效果:后阶段
A Bi Cj Dk E
×3 ×1=18条
最佳线路
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主讲人：孙云龙
多阶段决策过程: 逆序法
四个阶段: fk(xk) 最优值函数(xk→E 最短路长)
k=4
,{ D1,D2,D3}
k=3,
{ C1,C2}
D1→E:f4(D1)=3
C1→D1→E:d3(C1,D1)+f4(D1)=5 C1→D2→E:d3(C1,D2)+f4(D2)=6 C1→D2→E:d3(C1,D3)+f4(D3)=8