809.勾股定理-奥数精讲与测试8年级

例1．如图46，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 边上一点，求

证：BD 2+DC 2=2AD 2。

例2．如图47，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=

，BC=5

CD=6，求AD 的长。

例3．如图48，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ，求证：BD 2=AB 2+BC 2。

例4．如图49，已知△ABC 中，D 是BC 中点，E 为AB 上一点，F 为AC

上一点，若∠EDF=90°，且BE 2+FC 2=EF 2，求证：∠BAC=90°。

例5．如图50，正方形ABCD 中，点M 为AB 的中点，AE=AD ，点N 1

4

是EC 的中点，求证：MN=

EC 。1

2

例6．求证：2n

2

+

2n

，

2n +1，2n 2+2n +1 (n 是正整数)是一组勾股数。

例7．证明勾股数组x、y、z必有6︱xy。

A卷一、填空题

01

的等边三角形的面积为_________。

02．从边长为4的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离和是_________。

03．在Rt△ABC的斜边AB上，再作一个Rt△ABD，AB是斜边。若BC=2，AC=a，AD=3，则BD=_________。

04．已知一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边之和为

1_________。05．已知正方形ABCD的边长为4，M为AD的中点，连结CM，过B作BE⊥CM，垂足为E，则BE=_________。

06．已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_________。

07．正方形ABCD内取一点P，使PA=BP=PH=h，且PH⊥CD，正方形的边长为1，则h=_________。

08．如图51，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB∙PC=_________。

09．如图52，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于

D

，且BD=5

，CD=3，则AC=_________。

10．如图53，△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠BAC=60°，∠DAC=45°，BD=a，则AB=_________。

二、解答题

11．如图54，已知△ABC中AB=AC，DE∥BC，求证：

BE 2=EC 2+BC ∙DE 。

12．如图55，已知△ABC 中，∠BAC=90°，E 、D 是BC 的三等分点。求证： 2

2

25

9

AE AD BC +

=

B 卷

一、填空题

01．如图56，已知梯形两底分别为11和25，两腰长分别为15和13，则BD=_________，AC=_________，AG=_________。

02．在Rt △ABC 中，∠A=90°，BE 和CF 为△ABC 的中线，则(BE 2+CF 2) ： BC 2=_________

。

03．如图57，∠ABC 中，AB=AC=20，BC=32，AD ⊥AC ，AD ⊥B C 于D ，则BD=_________。

04．如图58，在△ABC 中，AB=AC=8，∠A=

∠B ，则2

5

BC=_________。

05．如图59，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1

，则

BC=_________，AD=_________。

06．如图60，已知△ABC 中，BC=28，AC=25，AB=17，则S △ABC =_________。

07．△ABC 周长是24，M 是AB 中点，MC=MA=5，则S △ABC =_________。

08．如图61，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，且P 点到CD 边的距离也等于10，则S 正方形ABCD =_________。

09．如图62，已知∠XOY=60°，M 是∠XOY 内的一点，它到OX 的距离MA=2，到OY 的距离MB=11，则OM=_________。

10．如图63，在△AB C

中，∠C=90°。若三角形内有一点O ，使得△

AOB、△OAC和△OB C的面积相等，则(OA2+OB2) ：OC2=_________

。

二、解答题

11．在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，D点在AC延长线上，且

CD，求∠DBC的度数。

12．如图64，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，P、Q在斜边AB上，且∠PCQ=45°，求证：PQ2=AP2+BQ2。

C卷

解答题

01．如图65，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的

点P1、P2、…、P10。记M i=AP i2+P i B∙P i C(i=1、2、…、10)，求

M1+ M2+⋯+M10的值。

02．已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，求这个三角形三边的长。

03．已知Rt△ABC中，M是斜边BC的中点，D、E分别在AB、AC上，且DM⊥ME，BD=3，CE=4，求线段DE长。

04．如图66，△ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内点P向△ABC三边作垂线PD、PE、PF，且

BD+

CE+AF=27，求BD+BF的值。