八年级奥数精讲与测试 相似三角形(无答案)
相似三角形精讲精练
课时六：相似三角形 【基础知识】知识点1：相似图形形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段．注意:（1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．（2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为:ad cb =．知识点3 ：比例的性质 基本性质：（1）bc ad d c b a =⇔=::;(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::． 注意：由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 更比性质(交换比例的内项或外项）:()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质（把比的前项、后项交换):cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1）此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b a f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 ：比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：(1)平行于三角形一边直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例．（2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点5 ：黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈0。
初二数学 相似三角形 知识精讲精练
初二数学 相似三角形 知识精讲精练【学习目标】1．知道相似形的定义及相似比的概念，能找出相似三角形的对应边和对应角．2．能说出“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”．【主体知识归纳】1．相似三角形:对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似三角形的本质特征是“形状相同”但大小不一定相等．2．相似比:相似三角形对应边的比是k ，叫做相似比（或相似系数）．3．若△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是k 1，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为k 2，则k 1＝21k ．4．相似三角形的判定定理:平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．5．相似三角形的传递性:由△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2可得△ABC ∽△A 2B 2C 2．【基础知识精讲】相似三角形判定的预备定理，可用来证明两个三角形相似，但是当图中有“平行线”而又需证明比例线段时，一般不用这个定理先判定两个三角形相似，而直接用“三角形一边的平行线”的性质定理．【例题精讲】［例1］如图5－25，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到点E ，使BE ＝2AB ，连结EC 并延长交AD 的延长线于F ，求AF 的长．图5－25剖析：考虑菱形的性质,得出平行线，从而得出相似三角形．用相似比即可求出AF 的． 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BC ∥A D ． ∴BE ＝2AB ＝6，△BCE ∽△AFE ． ∴69==BE AE BC AF ．∴AF ＝69BC ＝4.5．［例2］如图5－26，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 边上的点，连结DE 并延长交AC 的延长线于F ，若BD ∶DE ＝AB ∶AC ．求证：△CEF 是等腰三角形．图5－26剖析：由已知AB ∶AC ＝BD ∶DE 并结合图形容易看出，若过点D 作DG ∥AF ，交BC 于G ，则AB ∶AC ＝BD ∶DG ，所以DG ＝DE ，从而可证CF ＝EF ．证明：过点D 作DG ∥AF 交BC 于G ，则DGBDAC AB =,∵DEBDAC AB =， ∴DE ＝DG∵DG ∥CF ，∴△CFE ∽△GDE ． ∴DG CF ＝EDEF． ∴CF ＝EF ．∴△CEF 是等腰三角形．【同步达纲练习】 1．填空题（1）如图5－27所示，已知△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝∠C ．则相似三角形的对应边的比例式是_____．图5—27（2）如图5－28所示，△ABC 中，DE ∥BC ，DC 和BE 交于O ，则图中相似三角形有________________________________．图5—28（3）DE 为△ABC 的中位线，则△ADE ∽_____，它们的相似比是_____．（4）△ABC ∽△A 1B 1C 1，其相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2．其相似比为45，则△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比是_____．（5）已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，则与△ABC 相似的三角形有_____个，它们是______________________．（6）△ABC 的三边分别是6 cm ，8 cm ，10 cm ，与其相似的△A ′B ′C ′的最大边的长是30 cm ，则△ABC 的面积是_____．2．如图5－29，已知：D ，E 分别在△ABC 的边BC ，AC 上，AD 、BE 交于点G ，点F 在AD 上，且△EFG ∽△BDG ．求证：△AEF ∽△AC D ．图5－293．如图5－30，矩形ABCD 中，AD ＝3AB ，E 、F 三等分BC ，G 、H 三等分A D ．求证： △BGH ∽△DG B ．图5－304．已知，如图5－31，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，F 是BC 的延长线上一点，且BE ＝CF ，BD 与AE 相交于G ．求证：（1）△ABE ≌△DCE ；（2）CF ·AE ＝BF ·GE ．图5－31 5．请阅读下列材料，并回答所得出的问题．已知：如图5－32，BE 、CF 分别是△ABC 的中线，且相交于G ．求证：GFGCGE GB ＝2．图5－32证明过程如下．证明：连结EF ．∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点． ∴EF ∥BC ，BC ＝2EF ．∴△BGC ∽△EGF ．∴GFGCGE GB =＝2．由此可知：三角形的三条中线相交于一点，并且这点与顶点的距离等于它与对边中点距离的2倍，这点叫三角形的重心，这一结论叫做三角形的重心定理．（1）上述证明过程中用到了哪些定理（只写两个）？（2）利用三角形重心定理解答问题：已知，如图5－33，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BE 是AC 边上的中线且AD 、BE 交于G ．求S △BDG ∶S △AB C ．图5－33参考答案【同步达纲练习】 1．（1）CB DE AB AE AC AD == （2）△ADE ∽△ABC 及△DEO ∽△CBO （3）△ABC 21 （4）65（5）4 △ADF,△BDE,△CFE,△EFD（6）216 cm 22．略3．设AD ＝3a ，则AB ＝a ，BG ＝2a ，GH ＝a ，GD ＝2a ，可证出△BGH 与△DGB 的三边成比例，再证角相等由相似形的定义即可得出结论．4．（1）略 （2）△BEG ∽△BFD 5．（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半；平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．等等（2）1∶6．。
竞赛中的相似三角形精讲
相似三角形精讲(一)1.如图:△ABC 中，∠ABC=60°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA ，且PA=8，PC=6，则PB= ．2. 如图:△ABC 和△A l B l C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ． 求证：AA 1⊥CC 1．3．如图:梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，对角线AC ⊥BD 于P ，若43 BCAD ，则ACBD 的值是（ ） (A)23 (B)32 (C)33 (D)434. 如图:在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD ＝32，则△ABC 的边长为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 65.如图:在梯形ABCD中，AB∥CD，AB<CD，一直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，DC．交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I，已知EF=FG=GH=HI=IJ，则AB6. 如图:已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则FG的长是．7.如图:设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC 于M、N两点，求证：BP×PC=BM×CN．8．如图:正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC．9．如图:梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＞CD ，K 、M 分别是AD 、BC 上的点，已知∠DAM=∠CBK ，求证：∠DMA=∠CKB ．10．已知:△ABC 中，∠ACB=2∠ABC ，求证：AB 2=AC 2+AC ×BC ．11．如图，等边△ABC 的边长为a ，D 是BC 边上的一点，且BD ∶DC=2∶3，把△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处． （1）设折痕为MN ，求A M A N ； （2）如果B D n DC m，求A M A N．NMDCBA12．如图，AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，P 是AC 的中点，连结BP 并延长交AC 于E ．若AC ∶AB=k ．求AE ∶EC ．PE DCBA13．如图，在矩形ABCD 中，点M 是AD 的中点，N 是BC 的中点，P 是CD 延长线上的一点，PM 交AC 于Q ．求证：∠QNM=∠MNP ．14．如图，P 为△ABC 内一点，过P 点作线段DE 、FG 、HI ，分别平行于AB 、BC 和CA ，且DE=FG=HI=d ，AB=510，BC=450，CA=425，求d ．HI PGFE D CBA15．已知，如图，正方形DEMN 内接于ABC ，若A DEC E M S S ∆∆=，4D E M N S =正方形，3B D N S ∆=，求BC 的长．N MEDCBA16．已知，如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，DF ⊥AB 交AC 于F ，DE ⊥AC ，垂足为E ，若EF ∶CF=2∶1，DE=2，BD=65．求BC 的长．F EDC BA17．如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC 于H ， 求证：QH ⊥DH ．NMQPODCB A。
【初中】初中数学奥赛专题复习 知识梳理例题精讲 第七讲 相似三角形(提高篇,适合八年级使用,无答案)
相似三角形【知识梳理】1、通过寻找或构造相似三角形，计算线段长度，比例线段的证明，角相等的证明等。
2、利用相似三角形的性质解决实际问题。
3、做平行线构造相似三角形是常用的辅助线。
3、几何变换中的函数问题，利用相似三角形构造线段的比或面积的比是常用的方法。
【例题精讲】【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E 。
求证：OC 2＝OA·OE点拨：把OC 2＝OA·OE 化成比例形式【例2】如图，ABC △中，D E 、分别是边BC AB 、的中点，AD CE 、相交于G ． 求证：13GE GD CE AD ==．【巩固】D 是△ABC 中BC 边上的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝6，BE ＝4，连ED 并延长交AC 的延长线于F ，求AF :CF 的值。
B C D G E ACF【例3】如图，ABC ∆是一块锐角三角形余料，边长120BC =毫米，高80AD =毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【巩固】△ABC 中的内接矩形EFGH ，EF :FG ＝5:9，高AD ＝16cm ，BC ＝48cm ，求矩形EFGH 的面积。
【例3】正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．M Q N P D C B AK D H G C B A FEQ P C B A【巩固】如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒4cm 的速度向点B运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动的时间为x 。
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
初二第二学期相似三角形试题1
八年级第二学期相似三角形试题 姓名一、填空：⑴ 6∶x = (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5x -)∶x 中的x = ；⑵ 若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x ； ⑶ 若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ；⑷ 已知x ∶y ∶z = 3∶4∶ 5 , 且12=++z y x , 那么_________,____,===z y x ；⑸ 若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a ； ⑹ 已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② )(y x +∶____)(=+z y ；⑺ 若322=-y y x , 则_____=y x ； ⑻ 图纸上画出的某个零件的长是 32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 ；⑼ 如图，已知 AB ∶DB = AE ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm ,AC = 28 cm , 则 AE = ；⑽ 已知，线段a = 2 cm , )12(-=b cm , )32(-=c cm,则线段b 的比例中项是 ;⑾ 若 ΔABC 的三内角之比为1∶2∶3⑿ 在菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BC 相交于点O 则 BD ∶AC = ； ⒀ 如图，已知，D 是 BC 的中点，E 是 AD ⒁ 判断对错： ① 所有的等边三角形都相似-----------------------------------------------------------------------（ ）② 所有的等腰三角形都相似-----------------------------------------------------------------------（ ）③ 有一个角等于 48 0的等腰三角形都相似--------------------------------------------------（ ）④ 有一个角对应相等的直角三角形相似---------------------------------------------------------（ ）⒂ 判断对错① 含︒30的角的直角三角形都相似---------------------------------------------------------------（ ）② 顶角相等的两个等腰三角形相似--------------------------------------------------------------（ ）③ ΔABC 和ΔA ′B ′C ′中，AB ∶A ′B ′= AC ∶A ′C ′，且 ∠B = ∠B ′，则ΔABC ∽ΔA ′B ′C ′--------------------------------------------------------------------------------（ ）④ 两边分别对应成比例的两个直角三角形一定相似A D E A------------------------------------------（ ）⒃判断对错① 一个三角形的三边分别与另一个三角形的三边平行，这两个三角形一定相似-------（ ）② 有两组对应边成比例，那么这两个三角形相似---------------------------------------------（ ）③ 所有矩形都相似------------------------------------------------------------------------------------（ ）④ 所有圆都相似---------------------------------------------------------------------------------------（ ）⒄如图，若ΔABC 的中线是 AM ，O 是重心， 则ABC ABM AOB S S S ∆∆∆==_______ ⒅ 在 ABC 中， D 为 AB 的中点，AB = 4 ，AC = 7 ，若 AC 上有一点E ，且 ΔADE 与原三角形相似，则 AE = ；⒆ 如图，DE ∥BC ，AD ∶DB= 2 ∶3 ，则ΔADE 与ΔABC的周长之比为 ；面积之比为 ； ⒇ 两个相似三角形对应高的比为 1∶3 为 ；对应角平分线的比为 ；周长比为 ；面积比为 ；二、证明题：⒈ 如图，已知，AB ∥FG ，AC ∥EH ，BG = CH ，求证：EF ∥BC⒉ 如图，已知，ΔABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：BF DE DF AE DB AD ==A C D BO C A C B E FG H A C D B E。
相似三角形习题精讲及答案(最新整理)
每个学生都应该用的“超级学习笔记”相似三角形习题精讲及答案相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。
再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。
评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、A D ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABCཁB ཁཁཁཁG ཁཁཁཁཁཁཁཁ每个学生都应该用的“超级学习笔记”分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE ，∠DBC 公用。
八年级数学相似三角形 (2)
相似三角形性质定理２:相似三角形周长之比等于相似比.
相似三角形性质定理３: 相似三角形面积之比等于相似比
的平方.
我们挑好椰子放到案板上，瘦弱的女摊主挥刀劈砍，刀刃碰撞椰肉，发出沉重“咔咔”的声，旁边的男人则躺在吊床上悠哉悠哉，心安理得的喝茶抽烟，看着女人忙活，丝毫没有过来帮忙的意思。 我心里为女人鸣不平，就问经理，他说，海南有些地方的风俗是女人干活，男人在家带孩子做饭。嗨，原来如此，这风俗可真不怎么样！星悦国际
一、相似三角形的定义
对应角相等ꢀ、对应边成比例＿ 的两个三角形，叫做相似三角 形。
二、相似三角形的判定
三、相似三角形的性质
相似三角形的判定：
的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两
，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理１:两角对应相等,两三角形相似。 相似三角形判定定理２:两边对应成比例且夹角相等,两三角
相似三角形判定与性质的应用
1.判一判:
（1）两个等腰三角形一定相似吗
不一定 （2）两个等边三角形一定相似吗
一定 （3）两个直角三角形一定相似吗
不一定
引申：增加什 么条件能使两 个等腰三角形
相似
引申：增加什么 条件能使两个直 角三角形相似
2.找一找:
(1) 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, DE⊥AB,则图中有没有 三角形相似?
截△ABC所得的新三角形与原三角形相似（点P在AB上
固定不动）． A
A
P Q
P Q
B
C
B
A
C A
P
P
B
QC
B
Q
C
挑战自我
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例1．如图，等腰△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F 为DE的中点，AF、BE交于H，求证：AF⊥BE。
例2．如图，△ABC中，∠C=90°，D、E是BC边上的点，且∠ABC=1 2
∠ADC=1
3
∠AEC。
若BD=11，DE=5，求AC。
例3．如图，等腰Rt△ABC中，B=90，AD是BC边的中线，BE⊥AD交AC于E，EF⊥BC。
若AB=BC=a，求EF。
例4．如图，在锐角三角形ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，
DE=B到AC的距离。
例5．如图，△ABC中，DE∥BC，已知S△OBC=n2，S△BOD=mn(n>m)，其中O为BE和CD的交点，求S BCED和S ADE 。
例6．如图，D为等边△ABC的边BC上一点。
已知BD=1，CD=2，CH⊥AD于点H，连结BH。
试证：∠BHD=60°。
A卷
一、填空题
01．如图191，△ABC中，DE∥BC，∠ACD=∠B，则图中共有_______对相似三角形。
02．如图192，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM=EC，垂足为M，则BM的长为_______。
03．在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2。
如果在AB
上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE=_______。
04．如图193，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O。
若AB=2，
BC=3，AF=1，则AE=_______。
05．在△ABC中，BC=15cm，DE、FG均平行于BC，且将△ABC的面积
分成相等的三部分，则FG=_______。
06．如图194，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3。
如果边AB
上有一点P，以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相
似，那么这样的P有_______个。
07．如图195，∠ACB=90°，D是AB的中点，DF⊥AB，CD=6，∠E=4，
则DF=_______。
08．如图196，已知四边形ABCD是一张矩形纸片，E在AB上，且BE : EA=
5 : 3，
EC=BCE沿EC对折，点B恰好落在AD边上的F点，
则AB=_______。
09．如图197，在△ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，且AD
为12，S△EBD : S△ABC=1 : 4，则BD=_______。
10．如图198，四边形ABCD是平行四边形、若∠BDC=∠ACB，则AC :
AB=_______。
二、解答题
11．如图，过线段AB的两端作线段AC、BD，使AC⊥AB，BD⊥AB，
AD与BC交于N，作MN⊥AB于M，求证：△ACM∽△BDM。
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，CD⊥AB，DE
⊥BC，DF⊥AC，求S△BEF : S△AEF 。
B卷
一、填空题
01．如图201，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD >AB。
设E、F分别是AC，BD的中点，AC、BD交于O点，△OEF是边长为1的等边三角形，
S△BOC
S梯形ABCD=________。
02．面积为16cm2的三角形的三条中线所构成的三角形的面积为________。
03．如图202，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC。
若AB=5，AC=3，则AD=________。
04．如图203，正方形ABCD及正方形AEFG，连结BE、CF、DG，则BE :
CF : DG=________。
05．等腰△ABC的顶角∠A=108°，BC=m，AB=AC=n，x=
m n
m n
+
-
，
y=
()2
m n
mn
+
，z=
2
3
m
n
，则x、y、z之间的大小关系是________。
06．如图204，梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高
为4，则梯形的面积为________。
07．如图205，已知点P是面积为12cm2的平行四边形所在平面上一点，且
△PAB的面积为2cm2，则△PCD与平行四边形ABCD的公共部分的面积
最大值为________。
08．如图206，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，
BP交AC于E，EF⊥BC于F。
若AE=3，EC=12，则EF=________。
09．如图207，正△ABC和正△A1B1C1，点O既是AC的中点又是A1C1
的中点，则AA1: BB1=________。
10．如图208，边长为1的等边△ABC，BC上有一点D，BD=
1
3
，AC上
有一点E，∠ADE=60°，则EC=________，S△ADE=________。
二、解答题
11．已知△ABC中，AB=AC=2，AB边上的高CH
DEFG
的DE边在BC上，F、G分别在AC、AB上，求DE的长。
12．如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC边上的点，且BP=BQ，
过B作PC的垂线BH，垂足为H，求证：DH⊥HQ。
C
卷
解答题
01．如图，平行四边形ABCD 的面积是60，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 与DE 、DB 分别交于G 、H ，求四边形EBHG 的面积。
02．如图，在等边△ABC 的BC 边上有一点D ，BD : DC=1 : 2，作CH ⊥AD ，H 为垂足，连结BH ，求证：△ADB ∽△BDH 。
03．如图，△ABC 中，BC=2AC ，D 、E 分别是BC 、AB 上的点，且∠1=
∠2=∠3。
如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长为m 、m 1、m 2，求1
2
m m m
+的值。
04．如图，在直线l 的同侧有三个相邻的等边三角形△ABC 、△ADE 、△AFG ，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形边长分别为a 、b 、c ，连结GD 交AE 于N ，连BN 交AC 于L ，求AL 的长。
05．如图，△PQR 与△P'Q'R'是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：a 12+a 12+a 12= b 12+b 12+b 12
06．如图，设P 、Q 是线段BC 上的两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？证明你的结论。
07．如图，△ABC 的面积是其内接矩形△QRS 面积的三倍，并且边BC 与高AD 的值是有理数，问矩形PQRS 周长的值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？
08．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ACB=45°⑴求这个三角形三边之比AB : BC : AC ；⑵设P 为△ABC 内一点，且
PA=
PB=
PC=，求∠APB 、∠BPC 、∠CPA 。
09．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，∠B 的平分线分别与AD 、AC 交于E 、F ，H 为EF 中点，⑴求证：AH ⊥EF ；⑵设△AHF 、△BDE 、△BAF 的周长分别为C 1、C 2、C 3，试证明：123
C C C +≤9
8，并求出当等号成立时
AF
BF
的值。
10．如图，在任意△ABC 的外部作△BPC 、△CQA 和△ARB ，使∠PBC=∠CAQ=45°，∠BCP=∠QCA=30°，∠ABR=∠BAR=15°，求证⑴RP=RQ ；⑵∠PRQ=90°。