因式分解-奥数精讲与测试8年级
专题4.18 因式分解(常考知识点分类专题)(基础篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.18因式分解（常考知识点分类专题）（基础篇）（专项练习）一、单选题【考点一】因式分解➽➼➵因式分解的判定✮✮因式分解中的参数1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．()255x x x x+=+B ．()()2111x x x ++=-C ．()22442x x x -+=-D ．()222413x x x ++=++2．多项式2771330x x --可因式分解成()()7x a bx c ++，其中a ，b ，c 均为整数，b ac +的值为（）A ．0B ．10C ．22D ．19-3．已知关于x 的二次三项式22x bx a ++分解因式的结果是()()123x x +-，则代数式ba 的值为（）A ．－3B ．－1C ．－13D ．13【考点二】因式分解➽➼➵提公因式法✮✮公因式4．下列各组多项式中，没有公因式的是（）A ．ax ﹣by 和by 2﹣axyB ．3x ﹣9xy 和6y 2﹣2yC ．x 2﹣y 2和x ﹣yD ．a +b 和a 2﹣2ab +b 25．已知230x x --=，则代数式()()()323210x x x x +-+-的值为（）A ．34B ．C ．26D ．6．220052005-一定能被（）整除A ．2004B ．2006C ．2008D ．2009【考点三】因式分解➽➼➵判断能否用公式法进行因式分解7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是()A ．221x x --B ．221x x +-C ．244x x +-D ．244x x ++8．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．229x y -+B ．229x y +C ．2221x y -+D ．229x y --9．下列各式中，不能用公式法分解因式的是（）A ．2249a b -B ．222a ab b -+-C ．21a --D ．2114b -+【考点四】因式分解➽➼➵平方差公式✮✮完全平方公式10．因式分解()2216x --的结果是（）A ．()()26x x -+B ．()()1418x x +-C ．()()26+-x x D ．()()1418x x -+11．小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式2a -□2b 中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（）A ．aB ．9-C ．25D ．2a 12．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．244x x +-B ．222x x ++C ．29x -D ．2816x x ++【考点五】因式分解➽➼➵十字相乘法13．多项式212x ax ++分解因式为()()x m x n ++，其中a ，m ，n 为整数，则a 的取值有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个14．甲、乙两人在因式分解2x ax b ++时，甲看错了a 的值，分解的结果是()()62x x +-，乙看错了b 的值，分解的结果为()()84x x -+，那么b a -的值为（）A ．8-B ．6-C ．4-D ．215．若二次三项式()()21122ax bx c a x c a x c ++=++，则当0a >，0b <，0c >时，1c ，2c 的符号为（）A ．10c >，10c >B ．10c <，20c <C ．10c >，20c <D ．1c ，2c 同号【考点六】因式分解➽➼➵分组分解法16．用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（）A ．()()222a b b bc ---B ．()2222a b c ab--+C ．()()2222a b c bc ---D ．()2222a b c bc -+-17．将多项式2233x y x y --+分解因式的结果为（）A ．()()3x y x y ++-B ．()()3x y x y ---C ．()()3x y x y +--D ．()()3x y x y -+-18．把2212a b ab ---分解因式，正确的分组为（）A ．()2212a b ab -++B ．()()2212a b ab ---C ．()()2212ab a b -+--D ．()2212a b ab---【考点七】因式分解➽➼➵综合公式法进行因式分解19．下列分解因式错误的是（）A ．21555(31)a a a a +=+B ．()2222()()x y x y x y x y --=--=-+-C ．()(1)()k x y x y k x y +++=++D ．2()()a ab ac bc a b a c -+-=-+20．把多项式424a a -分解因式，结果正确的是（）A ．()()2222a a a a -+B ．()224a a -C ．()()222a a a +-D ．()222a a -21．下列因式分解正确的是（）A ．()222x xy y x y ++=+B ．()()25623x x x x --=--C ．()3244x x x x -=-D ．()()22943232m n m n m n -=+-【考点八】因式分解的应用➽➼➵用因式分解在有理数运算的应用22．计算()()2022202122-+-所得的结果是（）A ．－2B ．2C ．－20212D ．2021223．20152-2015一定能被（）整除A ．2010B ．2012C ．2013D ．201424．计算：752-252=（）A ．50B ．500C ．5000D ．7100【考点九】因式分解的综合应用25．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长为b 的正方形卡片4张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A ．2+a bB ．4a b +C ．2a b +D ．3a b+26．已知120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，那么，代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（）A ．2022-B ．2022C ．3-D ．327．小华是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中记录着下面的信息．现将()()222288m a b n a b ---分解因式，结果呈现的密码信息可能是（）a b -m n -8a b +22a b +m爱大兴文美好A ．大爱兴文B ．美好兴文C ．大美兴文D ．大好兴文二、填空题【考点一】因式分解➽➼➵因式分解的判定✮✮因式分解中的参数28．若215x kx +-能分解成()()53x x +-，则k 的值为______．29．已知二次三项式22x x m -+有一个因式是5x +，则m 的值为______．30．若两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若225x -与()2x b +为关联多项式，则b 为______．【考点二】因式分解➽➼➵提公因式法✮✮公因式31．边长为a 、b 的长方形的周长为16，面积为10，则a 2b +ab 2=__．32．分解因式：()()22m a a +=--___．33．若3x y -=，2xy =-，则代数式2233x y xy -的值是_____．【考点三】因式分解➽➼➵判断能否用公式法进行因式分解34．在多项式①﹣m 2+9；②﹣m 2﹣9；③2ab ﹣a 2﹣b 2；④a 2﹣b 2+2ab ；⑤（a+b ）2﹣10（a+b ）+25中，能用平方差公式因式分解的有__；能用完全平方公式因式分解的有__（填序号）．35．给出下列多项式：①22x y +；②22x y -；③22x xy y ++；④222x xy y ++；⑤41x -；⑥2214m mn n -+．其中能够因式分解的是：_____________（填上序号）．36．多项式a(a －b －c)＋b(c －a ＋b)＋c(b ＋c －a)提出公因式a －b －c 后，另外一个因式为__________．【考点四】因式分解➽➼➵平方差公式✮✮完全平方公式37．分解因式：2525()a a --=_______．38．已知0.5x y -=，5 3.5x y +=，则代数式2244x xy y ++的值为_________．39．已知2440m m m n -++-=，那么nm -=_____．【考点五】因式分解➽➼➵十字相乘法40．已知：2(5)(Δ)235x x x x -+=+-其中∆代表一个常数，则∆的值为___________．41．因式分解：21024--=x x ______．42．已知多项式2312A x =-，21016B x x =-+，则A 、B 的公因式是______．【考点六】因式分解➽➼➵分组分解法43．分解因式：2x xy ax ay -+-=_________．44．分解因式：22224x x y y xy --+-=___________．45．因式分解：m 2-n 2-2m +1=___．【考点七】因式分解➽➼➵综合公式法进行因式分解46．已知100a b +=，3a b -=，则代数式2222a b -的值为______．47．已知4,6x y x y +=-=，则2222x y -=__________．48．已知27a b ab -=-=，，则代数式32232a b a b ab -+的值为___．【考点八】因式分解的应用➽➼➵用因式分解在有理数运算的应用49．小明将()220212022x +展开后得到2111a x b x c ++，小李将()220222021x +展开后得到2222a x b x c ++，若两人计算过程无误，则12a a -的值为______．50．利用因式分解计算：22111021198⨯-⨯的结果是______．51．计算：2021×512−2021×492的结果是_______________．【考点九】因式分解的综合应用52．已知x 、y 满足321xy x y =⎧⎨-=-⎩，则3223882x y x y xy -+=__．53．若2310x x x +++=，则23201920201x x x x x ++++⋯++的值________．54．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号a b c d 的意义是a bad bc c d=-，例如：121423234=⨯-⨯=-，按照这个规定请你计算：当2440x x -+=时，12123x xx x +--的值是__________．三、解答题55．分解因式(1)()(4)a b a b ab --+．(2)2()4a b ab -+．56．因式分解：(1)32639x x x --+；(2)()()()22332a b a b a a b +--+．57．把下列各题因式分解：(1)2244xy x y ---；(2)()()()426x x a y a x x a -----．58．因式分解：(1)2242mx mx m-+(2)268x x -+59．因式分解：(1)22916x y -；(2)2224129a b bc c -+-；(3)2215x x --；(4)22465x y x y -+--．60．阅读理解：（1）特例运算：①（x +1）（x +2）＝；②（x +3）（x ﹣1）＝；（2）归纳结论：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（）x +；（3）尝试运用：直接写出计算结果（m +99）（m ﹣100）＝；（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2﹣5x +6＝；②x 2﹣3x ﹣10＝．（5）拓展延伸：若x 2+px ﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是．参考答案1．C【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：C ．【点拨】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．2．D【分析】根据已知可得()()27713307x x x a bx c --=++，然后利用多项式乘多项式的法则进行计算，从而可得777b =，713ab c +=-，30ac =-，进而求出b 的值，进行计算即可解答．解：()()27713307x x x a bx c --=++ ，2277133077x x bx abx cx ac∴--=+++()2277133077x x bx ab c x ac ∴--=+++，777b ∴=，713ab c +=-，30ac =-，11b ∴=，113019b ac ∴+=-=-，故选：D ．【点拨】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．3．C【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，可求得a 与b 的值，从而可求得结果的值．解：()()22123223323x x x x x x x +-=+--=--则3a =-，1b =-∴11(3)3b a -=-=-故选：C【点拨】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，负整数指数幂的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是本题的关键．4．D【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．解：A 、by −axy ＝−y （ax −by ），故两多项式的公因式为：ax −by ，故此选项不合题意；B 、3x −9xy ＝3x （1−3y ）和6y 2−2y ＝−2y （1−3y ），故两多项式的公因式为：1−3y ，故此选项不合题意；C 、x 2−y 2＝（x −y ）（x ＋y ）和x −y ，故两多项式的公因式为：x −y ，故此选项不合题意；D 、a ＋b 和a 2−2ab ＋b 2＝（a −b ）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；故选：D ．【点拨】此题主要考查了公因式，掌握确定公因式的方法是解题关键．5．C【分析】先化简代数式，再整体代入求值即可．解：()()()323210x x x x +-+-229410x x x =-+-210104x x =--()2104x x =--，∵230x x --=∴23-=x x ∴原式=10×3－4=26故选C ．【点拨】本题考查了代数式的化简求值、平方差公式、提取公因式、整体代入等知识点，掌握整体代入是解答本题的关键．6．A【分析】提出公因式2005，原式变形为20052004⨯，即可求解．解：()22005200520052005120052004-=⨯-=⨯，所以220052005-一定能被2004整除．故选：A【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．7．D【分析】根据完全平方式()222a ab b ±+的结构逐项分析判断即可解：A.221x x --，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；B.221x x +-，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；C.244x x +-，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；D.244x x ++()22x =+，能用完全平方公式因式分解，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方式的结构熟练掌握是解题的关键．8．A【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．解：A.229x y -+是x 与3y 的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；B.229x y +两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；C.2221x y -+是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；D.229x y --两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．9．C【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解．解：A 选项，22(243)(23)9a b a b a b =+--是平方差公式因式分解，不符合题意；B 选项，222222(2)()a ab b a ab b a b -+-=--+=--是完全平方因式分解，不符合题意；C 选项，221(1)a a --=-+不可以用公式法因式分解，符合题意；D 选项，22111111114422b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--=-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是平方差公式因式分解，不符合题意．故选：C ．【点拨】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是解题的关键．10．C【分析】利用平方差公式对多项式()2216x --进行分解因式即可得到答案．解：()2216x --()()2424x x =---+()()62x x =-+，故选C ．【点拨】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．11．B【分析】直接利用公式法以及提公因式法分解因式得出答案．解：A 、222)(a ab a a b =--，故此选项不符合题意；B 、229a b +不能分解因式，故此选项符合题意；C 、22255)(5()a y a b a b =--+，故此选项不符合题意；D 、222)()(a a b a ab a ab -+-=，故此选项不符合题意．故选：B ．【点拨】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，熟练掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键．12．D【分析】直接根据完全平方公式逐项排查即可．解：A 、244x x +-，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；B 、222x x ++，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；C 、29x -，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；D 、()228164x x x ++=+，可以用完全平方公式进行因式分解，符合题意；故选D ．【点拨】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式的特点是解题的关键：()222a b a b ab ±=±+．13．D【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a 等于这两个整数的和．解：12112=⨯时，11213a =+=；()12112=-⨯-时，()11213-+-=-；1226=⨯时，268a =+=；()1226=-⨯-时，()268-+-=-；1234=⨯时，347a =+=；()1234=-⨯-时，()347-+-=-；∴a 的取值有6个．故选：D ．【点拨】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m 、n 之积为12，m 、n 之和为a 是解题的关键．14．A【分析】根据甲分解的结果求出b ，根据乙分解的结果求出a ，然后代入b a -求解即可．解：∵()()226412x x x x =+--+，∴12b =-，又∵()()284432x x x x -+=--，∴4a =-，∴()1248b a -=---=-，故选：A ．【点拨】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．15．D【分析】首先整式的乘法展开()()1122a x c a x c ++为()212122112a a x a c a c x c c +++，然后根据0c >求解即可．解：∵()()21122ax bx c a x c a x c ++=++212122112a a x a c x a c x c c =+++，()212122112a a x a c a c x c c =+++，∵0a >，0b <，0c >，∴120a a >，12210a c a c +<，120c c >，∴1c ，2c 同号．故选：D ．【点拨】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解和整式乘法的关系．16．D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．解：2222a b c bc--+()2222a b c bc =-+-()22a b c =--()()a b c a b c =+--+．故选：D ．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．17．A【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解．解：2233x y x y--+()()()3x y x y x y =+-+-()()3x y x y =++-，故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．18．A【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．解：2212a b ab---()2212a b ab=-++()21a b =-+()()11a b a b =++--．故选：A ．【点拨】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．19．B【分析】利用因式分解的方法判断即可．解：A.()2155531a a a a +=+，正确；B.()2222x y x y --=-+，错误，所以此选项符合题意；C.()()()1k x y x y k x y +++=++，正确；D.()()2()()a bc ab ac a a b c a b a b a c --+=-+-=-+，正确故选B.【点拨】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．C【分析】先提公因式2a ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．解：()()()422224422a a a a a a a -=-=+-，故选：C ．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．21．D【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．解：A 、22x xy y ++不能进行因式分解，不符合题意；B 、()()25661x x x x --=-+，原因式分解错误，不符合题意；C 、()()()324422x x x x x x x -=-=+-，原因式分解错误，不符合题意；D 、()()22943232m n m n m n -=+-，因式分解正确，符合题意；故选D ．【点拨】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．22．D【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．解：(-2)2022+(-2)2021=(-2)2021×(-2+1)()20212=--20212=，故D 正确．故选：D ．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．23．D解：解析：20152-2015=2015×（2015-1）=2015×2014，所以一定能被2014整除.故选D.24．C解：原式=（75+25）×（75-25）=100×50=5000，故选C ．考点：因式分解的运用．25．A【分析】计算大正方形的面积，因式分解即可得到边长．解：大正方形的面积为()222442a b ab a b ++=+，∴大正方形的边长为2+a b ，故选：A ．【点拨】此题考查了因式分解的应用，正确理解题意列得面积进行因式分解是解题的关键．26．D【分析】先求解1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦，再代入求值即可．解：∵120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，∴1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，∴222a b c ab bc ac++---()=++---22212222222a b c ab bc ac ()()()22212a b b c a c =-+-+-⎡⎤⎣⎦()11142=++3=；故选D ．【点拨】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．27．A【分析】先提取公因式228()a b -，然后再利用平方差公式分解因式即可得出密码信息．解：22228()8()m a b n a b ---228()()a b m n =--8()()()a b a b m n =+--，∴密码信息是兴、文、爱、大四字组成．故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解的运用，掌握综合运用提公因式与平方差公式分解因式是解题的关键．28．2【分析】根据多项式215x kx +-分解成()()53x x +-，所以整式乘法()()53x x +-得出的多项式与215x kx +-相同，由此得出一次项系数k 的值．解：()()53x x +-25315x x x =+--2215x x =+-，∵()()53x x +-是由215x kx +-分解成的，∴一次项系数2k =．故答案为：2．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握整式乘法与因式分解为互逆的运算过程是解题的关键．29．35-【分析】设另一个因式为()x n +，根据因式分解的定义以及多项式乘以多项式的运算法则求解即可．解：设另一个因式为()x n +，根据题意，得()()225x x m x x n -+=++，即()22255x x m x n x n -+=+++，∴52n +=-，5m n =，解得7n =-，35m =-，故答案为：35-．【点拨】本题考查因式分解的应用、多项式乘以多项式，理解因式分解和整式乘法是互逆运算是解答的关键．30．5±【分析】将多项式因式分解，根据公因式的定义即可得出答案．解：根据题意，则225x -=（x +5）（x -5），∵225x -与()2x b +为关联多项式，∴b =±5．故答案为：±5．【点拨】本题考查了公因式，掌握多项式ma +mb +mc 中，各项都含有一个公共的因式m ，因式m 叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键．31．80【分析】根据题意，知识()216,10a b ab +== ，将a 2b +ab 2进行因式分解，代入即可求解．解：由题目，有：()216,10a b ab +== 8,10a b ab +==a 2b +ab 2=()10880ab a b +=⨯=故本题答案为：80．【点拨】本题考查代数式的因式分解，将已知条件代入求值即可，关键在于因式分解的掌握和应用．32．()()21a m --【分析】直接提取公因式()2a -，进而分解因式得出答案．解：原式()()22m a a -=--()()21a m =--．故答案为：()()21a m --．【点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．33．18-【分析】原式提取公因式后，将已知等式代入计算即可求出值．解：∵3x y -=，2xy =-，∴原式()318xy x y =-=-，故答案为：18-【点拨】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．34．①③⑤试题分析：根据平方差公式的特点：有两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后求解．根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，对各选项验证即可．解：①﹣m 2+9可直接应用平方差公式分解；②﹣m 2﹣9是两数的平方和的相反数，不能因式分解；③2ab ﹣a 2﹣b 2符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解；④a 2﹣b 2+2ab 不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解；⑤将（a+b ）看作一个整体，（a+b ）2﹣10（a+b ）+25符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解．故能用平方差公式因式分解的有①；能用完全平方公式因式分解的有③⑤（填序号）．故答案为①；③⑤．考点：因式分解-运用公式法．点评：本题考查了用平方差公式和完全平方公式分解因式，熟记平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键．35．②④⑤⑥【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.解：①22x y +，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；②()()22x y x y x y -=+-，故可以因式分解；③22x xy y ++，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；④()2222x xy y x y ++=+，故可以因式分解；⑤()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-，故可以因式分解；⑥2221142m mn n m n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故可以因式分解；综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，故答案为：②④⑤⑥.【点拨】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.36．a －b －c解：试题解析：原式()()(),a abc b a b c c a b c =--------()().a b c a b c =----故答案为.a b c --37．()25a -/()25a -【分析】先去括号，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．解：2525()a a --=()2210255a a a -+=-，故答案为：2(5)a -．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．38．4【分析】根据已知等式得出22x y +=，将代数式因式分解即可求解．解：∵0.5x y -=，5 3.5x y +=，∴244x y +=∴22x y +=∴2244x xy y ++()22x y =+22=4=，故答案为：4．【点拨】本题考查了已知式子的值求代数式的值，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．39．4-【分析】根据完全平方公式将2440m m m n -++-=转化为：()220m m n -+-=，再利用绝对值和偶数次幂的非负性，求出m ，n 的值，进而即可求解．解：2440m m m n -++-= ，()220m m n ∴-+-=，20,0m m n ∴-=-=，2m n ∴==，224nm ∴-=-⨯=-．故答案是：4-．【点拨】本题主要考查代数式求值，完全平方公式，掌握绝对值和偶数次幂的非负性，是解题的关键．40．7【分析】将2235x x +-因式分解即可解答．解：将2235x x +-因式分解，得：2235(5)(7)x x x x +-=-+，故∆7=，故答案为：7．【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的十字相乘法．41．()()122x x -+【分析】直接利用十字相乘法分解因式即可．解：21024--=x x ()()122x x -+，故答案为：()()122x x -+．【点拨】题目主要考查利用十字相乘法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．42．2x -/2x-+【分析】把A 、B 进行因式分解，即可求解．解：()()()2231234322A x x x x =-=-=+-，()()2101628B x x x x =-+=--，所以A 、B 的公因式是2x -．故答案为：2x -【点拨】本题考查多项式的公因式，将各多项式因式分解是求解本题的关键．43．()()x a x y +-【分析】前两项一组，提取公因式x ，后两项一组，提取公因式a ，然后两组之间再提取公因式()x y -整理即可．解：2x xy ax ay-+-()()2x xy ax ay =-+-()()x x y a x y =-+-()()x a x y =+-故答案为：()()x a x y +-【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．44．()()22x y x y -+-【分析】先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，然后提出公因式，即可求解．解：原式()()22224x xy y x y =--+-+，()()22(2)x y x y x y =-+--，()()22x y x y =-+-．故答案为：()()22x y x y -+-．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．45．（m -1+n ）（m -1-n ）【分析】先分组，得到m 2-2m +1-n 2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可．解：原式=m 2-2m +1-n 2=（m -1）2-n 2=（m -1+n ）（m -1-n ）．故答案为（m -1+n ）（m-1-n ）．【点拨】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键．46．600【分析】代数式()()22222a b a b a b -=+-，将100a b +=，3a b -=，代入求解即可．解：()()22222a b a b a b -=+-，将100a b +=，3a b -=，代入原式21003600=⨯⨯=，故答案为：600．【点拨】本题考查了平方差公式，代数式求值等知识．解题的关键在于正确的运算．47．48【分析】先因式分解得出()()22222x y x y x y -=+-，再把4,6x y x y +=-=代入即可得出答案解：∵()()()22222x 2y 2x y 2x y x y -=-=+-，∵4,6x y x y +=-=，∴原式=24648⨯⨯=故答案为：48【点拨】本题考查了利用平方差公式分解因式和求代数式的值，掌握整体代入的方法是解题的关键48．28【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，最后代值求解即可．解：∵27a b ab -=-=，，()()322222322a b a b ab a ab b b a a b a b -+=+=--，∴()3232272228a b a b ab =⨯-=+-，故答案为：28．【点拨】本题考查了代数式求值，综合提公因式与公式法进行因式分解等知识，解题的关键在于正确的运算．49．4043-【分析】根据完全平方公式可得212021a =，222022,a =再利用平方差公式进行简便运算即可．解：()220212022x +展开可得：212021,a =()220222021x +展开可得：222022,a =∴()()22122021202220212022202120224043.a a -=-=+-=-故答案为：4043-．【点拨】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键．50．8800【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．解：原式=2211(10298)⨯-=11(10298)(10298)⨯+⨯-=112004⨯⨯=8800．故答案为：8800．【点拨】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即22()()a b a b a b -=+-．51．404200【分析】先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可简便计算．解：2021×512−2021×492=2021×(512-492)=2021×(51+49)×(51-49)=2021×100×2=404200．故答案为：404200．【点拨】本题考查因式分解的应用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．52．6【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．解：3xy = ，21x y -=-，3223882x y x y xy -+222(44)xy x xy y =-+22(2)xy x y =-223(1)=⨯⨯-61=⨯6=，故答案为：6．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．53．1【分析】对所求代数式每相邻四项为一组提取公因式，然后代入已知条件式进行求解即可．解：2310x x x +++= ，∴原式()()()234567820172018201920201x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++()()()235232017231111x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++1000=+++⋯+1=．故答案为：1．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式，此题难度不大．54．1-【分析】根据：2440x x -+=时，可得：2(2)0x -=，据此求出x 的值是多少，进而求出12123x xx x +--的值是多少即可．解：2440x x -+= 时，2(2)0x ∴-=，20x ∴-=，解得2x =，∴12123x x x x +--3411=3141=⨯-⨯34=-1=-故答案为：1-．【点拨】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．55．(1)（2(2)a b -；(2)2()a b +【分析】（1）整理后用完全平方公式分解即可；（2）整理后用完全平方公式分解即可．解：（1）原式222224444(2)a ab ab b ab a ab b a b =--++=-+=-．（2）原式22222242()a ab b ab a ab b a b =-++=++=+．【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．56．(1)()()3231x x x -+-；(2)()()23a b a b -++【分析】（1）先提取公因式3x -，再根据十字相乘法分解因式即可；（2）提取公因式()2a b +即可分解因式．（1）解：32639x x x--+()2332x x x -+-=()()3231x x x =-+-；（2）解：()()()22332a b a b a a b +--+()()2233a b a b a +--⎡⎤⎣⎦=()()23a b a b +--=()()23a b a b ++=-【点拨】本题考查因式分解．掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解题关键．57．(1)()22x y -+；(2)()()223x a x y -+-【分析】（1）用完全平方公式分解因式即可；（2）用提公因式法分解因式即可．（1）解：2244xy x y ---()2244xy x y +=-+()22x y =-+；（2）解：()()()426x x a y a x x a -----()()()426x x a y x a x a -+---=()()223x a x y -+-=．【点拨】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法，准确计算．58．(1)()221m x -；；(2)()()42x x --【分析】（1）首先提取公因式2m ，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）用十字相乘法分解即可．（1）解：原式()2221m x x =-+()221m x =-．（2）解：原式()()42x x =--．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，能根据多项式的特点，灵活选择方法是关键．59．(1)()()3434x y x y +-；(2)()()2323a b c a b c +--+；(3)()()53x x -+；(4)()()51x y x y +--+【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；（2）先利用完全平方公式将原式变形为()2223a b c --，再利用平方差公式进行因式分解；（3）利用十字相乘法进行因式分解；（4）利用分组分解法将原式变形为()()2223x y --+，再利用平方差公式进行因式分解．（1）解：22916x y -()()2234x y =-()()3434x y x y =+-；（2）解：2224129a b bc c -+-()2224129a b bc c =--+()2223a b c =--()()2323a b c a b c =+--+；（3）解：2215x x --(5)(3)x x =-+；（4）解：22465x y x y -+--()()224469x x y y =++--+()()2223x y =--+()()51x y x y =+--+．【点拨】本题考查因式分解，掌握分组分解法、十字相乘法、公式法等常用的因式分解方法是解题的关键．60．（1）①x 2+3x +2；②x 2+2x ﹣3；（2）a +b ；ab ；（3）m 2﹣m ﹣9900；（4）①（x ﹣2）（x ﹣3）；②（x ﹣5）（x +2）；（5）﹣7，﹣2，2，7【分析】（1）各式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用得出的规律计算即可求出值；（4）利用十字相乘法分解即可；（5）根据十字相乘法求出p 的所有可能值即可．解：（1）特例运算：①（x +1）（x +2）＝x 2+3x +2；②（x +3）（x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3；（2）归纳结论：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +ab ；（3）尝试运用：直接写出计算结果（m +99）（m ﹣100）＝m 2﹣m ﹣9900；（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2﹣5x +6＝（x ﹣2）（x ﹣3）；②x 2﹣3x ﹣10＝（x ﹣5）（x +2）；（5）拓展延伸：若x 2+px ﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是﹣7，﹣2，2，7，故答案为（1）①x 2+3x +2；②x 2+2x ﹣3；（2）a +b ；ab ；（3）m 2﹣m ﹣9900；（4）①（x﹣2）（x﹣3）；②（x﹣5）（x+2）；（5）﹣7，﹣2，2，7【点拨】考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．。
初二奥数之和差化积因式分解
2020年数学竞赛初二奥数之和差化积因式分解专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等． 2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l 】分解因式()()=-++++122122x x x x ___________．（浙江省中考题）解题思路：把()x x +2看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442-+-；原式＝()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ；（2）bc c b a 2222+--．原式＝()()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-222222．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式． 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）bc ac ab a -+-2；（西宁市中考试题）（2）yz z y x 44222+--．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）1999)11999(199922---x x ；（重庆市竞赛题）（2）()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）()()()33322y x y x -----．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中y x +、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式34222----y x y x 因式分解后，正确的结果是（ ）．A ．()()13--++y x y xB ．()()31+--+y x y xC ．()()13+--+y x y xD ．()()31--++y x y x（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式： （1）15++x x ；（扬州市竞赛题）（2）893+-x x ；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）1232234++++a a a a ．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：611623+++x x x ．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式： （1）2341x x x -+＝___________________________． （泰安市中考试题）（2）33164mn n m -＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）xy y y x x 2)1()1(-++-＝_________________________； （2）8)3(2)3(222-+-+x x x x ＝_____________________________． 3．分解因式：32422+++-b a b a ＝____________________________． 4．多项式a ax 83-与多项式442+-x x 的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有_______个． 6．将多项式yz z y x 1294222---分解因式的积，结果是（）．A ．)32)(32(z y x z y x ---+B ．)32)(32(z y x z y x +---C ．)32)(32(z y x z y x -+++D ．)32)(32(z y x z y x --++ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A ．2727923-+-x x x B ．272723-+-x x x C ．272734-+-x x x D ．279323-+-x x x（“希望杯”邀请赛试题）8．把44+a 分解因式，其中一个因式是（ ）．A ．1+aB ．22+a C ．42+a D ．222+-a a 9．多项式abc c b a 3333++-有因式（ ）．A ．b a c -+B ．c b a ++C ．ab ac bc c b a -+-++222D ．ab ac bc +-（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式10212-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A ．a 一定是奇数B ．a 一定是偶数C ．a 可为奇数也可为偶数D ．a 一定是负数 11．分解因式：（1）13322)132(222-+-+-x x x x ； （2）90)384)(23(22-++++x x x x ；（3）1724+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）65223--+x x x ； （重庆市竞赛试题） （5）444)(y x y x +++；（6）2)1)(13)(12)(16(x x x x x +----．12．先化简，在求值：2)()(2b a b a a +-+，其中 2008=a ，2007=b ．B 级1．分解因式：344422-+--y y x x ＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x ＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：15-+x x ＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将145++x x 因式分解得（）．A ．)1)(1(32++++x x x x B ．)1)(1(32+++-x x x xC ．)1)(1(32+-+-x x x xD ．)1)(1(32+-++x x x x（陕西省竞赛试题）6．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，则此三角形是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．613223+-+x x x 的因式是（ ）．A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+x E. 12+x（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+； （湖北省黄冈市竞赛试题） （2）19991998199924+++x x x ； （江苏省竞赛试题） （3）22212)16)(1(a a a a a ++-++； （陕西省中考试题） （4）153143+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （5）333)(125)23()32(y x y x y x ---+-； （“五羊杯”竞赛试题） （6）6121444234++--x x x x ． （太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式： （1）x x x 27623-+； （2）123--+a a a ；（3）xy y x x y x ++--)7()2(822．11．对方程20042222=++b a b a ，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC 中，),,(010616222是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--， 求证：b c a 2=+．（天津市竞赛试题）专题03 和差化积-------因式分解的方法(1)例1. 22(5)(2)x x x x +++-例2. (1) 原式2()()()()()()a ab ac bc a a b c a b a b a c =-+-=-+-=-+ (2) 原式22222(44)(2)(2)(2)x y yz z x y z x y z x y z =--+=--=+--+ 例3.(1) (19991)(1999)x x +- (2) (1)(1)(1)x y xy x y ++++- (3) 3(2)(2)()x y x y --- 例4. D例5.(1) 232(1)(1)x x x x ++-+ 提示: 原式522()(1)x x x x =-+++ (2) 2(1)(8)x x x -+- 提示: 原式339988x x x =--+(3) 22(1)a a ++ 提示: 原式432322()()(1)a a a a a a a a =++++++++例6. 解法1 原式3222()(55)(66)(1)5(1)6(1)x x x x x x x x x x =+++++=+++++ 2(1)(56)(1)(2)(3)x x x x x x =+++=+++解法2 原式3222(2)(48)(36)(2)4(2)3(2)x x x x x x x x x x =+++++=+++++ 2(2)(43)(1)(2)(3)x x x x x x =+++=+++A 级1. (1) 21()2x x -(2) 4(2)(2)mn m n m n +- 2. (1) ()(1)x y x y ---(2) (1)(4)(1)(2)x x x x -+++ 3. (1)(3)a b a b ++-+ 4. 2x - 5. 9 6. D 7. A 8. D 9. A 10. A11. (1)(23)(3)(23)x x x x --+ 提示: 令 223x x y -= (2)2(2512)(27)(1)x x x x +++- (3) 22(31)(31)x x x x ++-+\(4) (1)(3)(2)x x x ++- 提示: 原式322()()(66)x x x x x =+++-+ (5) 2222()x y xy ++ 提示: 原式222224()2()x y x y x y =+-++ (6) 22(661)x x -+12. 原式22()(2)a b a a b a b =+--=-当a b ==原式22200820071=-=-=B 组1. (1) (23)(23)x y x y +--+ (2) 22(53)(58)x x x x ++++ 3. 22(43)(41)x x x x +-++ 5. D 6. B7. A 提示: 原式32(216)(1322)x x x =-+-+ 8. (1) 22(1)(1)a b --(2) 22(1)(1999)x x x x ++-+ 提示: 令1999a = (3) 22(1)(31)a a a --+(4) (21)(25)(3)x x x --+ 提示: 原式343015x x x =--+ (5) 15()(23)(32)x y x y x y ---- (6) 222(3)(221)x x x ---9. 由公式有 10286421(1)(1)x x x x x x -=-++++1055864243243221111(1)(1)111x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+∴++++===++++-+-+--+ 10. (1) (9)(3)x x x +-(2) 2(1)(1)a a +- (3) (4)(4)x y x y +-11. 22(1)(1)2005540112005a b ++==⨯=⨯ 有22151401a b ⎧+=⎨+=⎩或22140115a b ⎧+=⎨+=⎩解得 220a b =⎧⎨=⎩或202a b =⎧⎨=⎩12. 222222222--++=++--+=+--a b c ab bc a ab b b bc c a b b c6610(69)(2510)(3)(5)=++-+--=+--+[(3)(5)][(3)(5)](8)(2)a b b c a b b c a b c a b c∴+->+-=+-+>a b c a b c a b c b,,a b c是三角形三边长, 0,8()70由条件只有20+=a c ba b c-+=,故2专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（天津市竞赛试题）（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）11．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．16 D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题） 8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）专题04 和差化积-------因式分解的方法(2)例1. A 提示: 将原式重新整理成关于x 的二次三项式例2. (1) (23)()a b c a b c ++++ 提示: 原式222(34)(352)a b c a c bc b =+++++ (2) 2()(2)x y x z -- 提示: 原式2232(2)(24)(2)x z y xz x y x x z =-+-+-例3. 原式223222(1)(22)(1)(1)(2(1)(1)(1)x a x x a x x x x a x x a x x =+++++--=+++++- 22(1)(21)(1)(1)(1)x a ax x x x a x a =+++-=++++-例4. 12k = 提示: 222(2)()x xy y x y x y +-=+- ∴可设原式(22)()x y x y n =++-+展开比较对应项系数得28,2210,2,n n k n +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得k ＝12．例5 原式＝()2221x x -+．例6 设x 2－（a ＋5）x ＋5a －1＝（x ＋b ）（x ＋c ）＝x 2＋（b ＋c ）x ＋bc ． ∴()5,5 1.b c a bc a +=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩①②①×5＋2得bc ＋5（b ＋c ）＝－26，bc ＋5（b ＋c ）＋25＝－1，（b ＋5）（c ＋5）＝－1． ∴51,51b c +=⎧⎨+=-⎩或51,5 1.b c +=-⎧⎨+=⎩∴4,6b c =-⎧⎨=-⎩或6,4.b c =-⎧⎨=-⎩故a ＝5．A 级1．（3a ＋2b －c ）（3a －2b ＋c ） 2．（x ＋3y ）（x ＋2y ＋1） 3．（x ＋y ＋1）（x －y ＋3） 4．－18 5．C 6．D 7．D 8．D9．（1）（2a ＋b ）（a －b ＋c ）； （2）（a ＋c －2b ）2； （3）（x －2）（x 2－x ＋a ）； （4）（x －2y ＋3）（2x －3y －4）； （5）（x ＋1）（y ＋1）（x －1）（y －1）．10．提示：由题意得4,4 1.b c abc a+=--⎧⎨=-⎩①②①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得3,5bc=-⎧⎨=-⎩或5,3,bc=-⎧⎨=-⎩故a＝4．11．∵x2－3xy－4y＝（x＋y）（x－4y），∴可设原式＝（x＋y＋m）（x－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．B级1．k＝－52．－2提示：原式＝x（x2＋3x－k）－2y（x＋2），令x＝－2．3．5提示：令原式＝（x－y＋4）·A，取一组x，y的值代入上式．4．－35．C提示：x＝－1，x＝－2是方程x3＋ax2＋bx＋8＝0的解．6．C提示：原式＝（x－2y）2＋（2x＋3）2＋167．A提示：原式＝2（x－2y）2＋（x－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M＞0．8．C9．k＝－3提示：因x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2），故可令原式＝（x＋my＋1）·（x十ny＋2），展开比较对应项系数求出k．10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2＝右边．11．将原等式展开x2＋（a＋b＋c）x＋ab－l0c＝x2－10x－11．∴10,1011.a b cab c++=-⎧⎨-=-⎩①②①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴101,1011.ab+=⎧⎨+=-⎩或101,1011.ab+=-⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=-⎧⎨+=⎩∴9,21ab=-⎧⎨=-⎩或11,1ab=-⎧⎨=⎩或1,11ab=⎧⎨=-⎩或21,9.ab=-⎧⎨=-⎩代入①得c＝0或20．12．原式＝（x5＋3x4y）－（5x3y＋15x2y3）＋（4xy4＋12y5）＝x4（x＋3y）－5x2y2（x＋3y）＋4y4（x＋3y）＝（x＋3y）（x4－5x2y2＋4y2）＝（x＋3y）（x2－4y2）＝（x＋3y）（x＋y）（x－y）（x＋2y）（x－2y）．当y＝0时，原式＝x5≠33;当y≠0时，x＋3y，x－y，x－2y，x＋2y，x＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当x取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．。
初二年级奥数轴对称及因式分解测试题及答案
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是⽆忧考为⼤家带来的初⼆年级奥数轴对称及因式分解测试题及答案，欢迎⼤家阅读。
⼀、选择题(共10⼩题，每⼩题3分，共30分)1.下列图形不是轴对称图形的是( )2.已知三⾓形两边的长分别是4和10，则此三⾓形第三边的长可能是( )A.5B.6C.11D.163.已知am=5，an=6，则am+n的值为( )A.11B.30C.D.4.下列计算错误的是( )A.(﹣2x)3=﹣2x3B.﹣a2•a=﹣a3C.(﹣x)9+(﹣x)9=﹣2x9D.(﹣2a3)2=4a65.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点 O连在⼀起，使AA′、BB′能绕着点O⾃由转动，就做成了⼀个测量⼯具，由三⾓形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )A.SASB.ASAC.SSSD.AAS6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是( )A.8x2﹣8y2B.8y2﹣8x2C.8(x+y)2D.8(x﹣y)27.如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘⽶，AB=10厘⽶，则△EBC的周长为( )厘⽶.A.16B.18C.26D.288.计算(﹣2x+1)(﹣3x2)的结果为( )A.6x3+1B.6x3﹣3C.6x3﹣3x2D.6x3+3x29.分解因式：x2﹣4y2的结果是( )A.(x+4y)(x﹣4y)B.(x+2y)(x﹣2y)C.(x﹣4y)2D.(x﹣2y)210.如图，AD是⾓平分线，E是AB上⼀点，AE=AC，EF∥BC交AC于F.下列结论①△ADC≌△ADE;②CE平分∠DEF;③AD垂直平分CE.其中正确的是( )A①②③ B、① C、② D、③⼆、填空题(共6⼩题，每⼩题3分，共18分)11.计算：20130﹣2﹣1=__________12.化简(1- )(m+1)的结果是 .13.如图，这是由边长为1的等边三⾓形摆出的⼀系列图形，按这种⽅式摆下去，则第n个图形的周长是 .14.如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的⼤⼩是 度.15.如图，已知△ABC是等边三⾓形，点B、C、D、E在同⼀直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度.16.已知⼀个多边形的内⾓和与外⾓和的差是1260°，则这个多边形边数是 .三、解答题(共8题，共72分)17.(本题8分)计算：(1)(3a﹣2b)(9a+6b); (2)(﹣2m﹣1)2;18.(本题8分)分解因式：4m2﹣9n219.(本题8分)解分式⽅程 =20.(本题8分)已知：如图，AB=CD，AB∥CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂⾜，AF=5，求CE的长.21.(本题10分)如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线l是第⼀、三象限的⾓平分线.实验与探究：(1)由图观察易知A(0，2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5，3)、C(﹣2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ;归纳与发现：(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平⾯内任⼀点P(a，b)关于第⼀、三象限的⾓平分线l的对称点P′的坐标为 ;运⽤与拓⼴：22.(本题8分)2015年12⽉28⽇“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的⾼铁⾥程⽐普快⾥程缩短了81千⽶，运⾏时间减少了9⼩时，已知烟台到北京的普快列车⾥程约为1026千⽶，⾼铁平均时速为普快平均时速的2.5倍.(1)求⾼铁列车的平均时速;(2)某⽇王⽼师要去距离烟台⼤约630千⽶的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当⽇8：40从烟台⾄城市的⾼铁票，⽽且从该市⽕车站到会议地点最多需要1.5⼩时，试问在⾼铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗?23.(本题10分)如图，点E是∠AOB的平分线上⼀点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂⾜分别为C、D.求证：(1)∠ECD=∠EDC;(2)OC=OD;(3)OE是线段CD的垂直平分线.24.(本题12分)如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘⽶，BC=6厘⽶，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒2厘⽶的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘⽶的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).(1)⽤的代数式表⽰PC的长度;(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由;(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?参考答案⼀、选择题1. B.2. C.3. B.4. A.5. A.6. B.7. B.8. C.9. B. 10. A⼆、填空题11. 12. m. 13. 2+n. 14. 60 15. 15 16.⼗⼀.三、解答题17.解：(1)原式=3(3a﹣2b)(3a+2b)=3(9a2﹣4b2)=27a2﹣12b2;(2)原式=4m2+4m+1;18.解：4m2﹣9n2=(2m+3n)(2m﹣3n).19.解：去分母得：3x=2x+2，解得：x=2，经检验x=2是分式⽅程的解.故答案为：x=2.20.解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，∵AB∥CD，在△DEC和△BFA中，∠DEC=∠AFB，∠ C=∠A，DC=BA，∴△DEC≌△BFA，∴CE=AF，∴CE=5.21.解：(1)如图：B′(3，5)，C′(5，﹣2);(2)(b，a);22.解：(1)设普快的平均时速为x千⽶/⼩时，⾼铁列车的平均时速为2.5x千⽶/⼩时，由题意得，，解得：x=72，经检验，x=72是原分式⽅程的解，且符合题意，则2.5x=180，答：⾼铁列车的平均时速为180千⽶/⼩时;(2)630÷180=3.5，则坐车共需要3.5+1.5=5(⼩时)，王⽼师到达会议地点的时间为1点40.故他能在开会之前到达.23.解：(1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三⾓形，∴∠ECD=∠EDC;(2)∵点E是∠AOB的平分线上⼀点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC(AAS)，∴OC=OD;(3)在△DOE和△COE中，OC=OD，∠EUC=∠BOE，OE=OE，∴△DOE≌△COE，∴DE=CE，∴OE是线段CD的垂直平分线.24.解：(1)BP=2t，则PC=BC﹣BP=6﹣2t;(2)△BPD和△CQP全等理由：∵t=1秒∴BP=CQ=2×1=2厘⽶，∴CP=BC﹣BP=6﹣2=4厘⽶，∵AB=8厘⽶，点D为AB的中点，∴BD=4厘⽶，∴PC=BD，在△BPD和△CQP中，BD=PC，∠B=∠C，BP=CQ，∴△BPD≌△CQP(SAS);(3)∵点P、Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ⼜∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，∴点P，点Q运动的时间t= = 秒，∴VQ= = 厘⽶/秒.。
八年级奥数-第九讲：因式分解
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将一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解是一种重要的恒等 变形，在数学中有广泛的应用。 因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分 解法外，我们还要掌握换元法,主元法,配方法, 待定系数法等。 1．换元法. 在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来 代替，从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法. 在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换，对称代换，倒数代换，平均代换等. 2．主元法 在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素，将其他字 母看作常数，然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫做主元法。用主元法 往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来。 3．配方法 通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形 技巧，以便利用公式来分解因式。 4．待定系数法 在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根 据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方 程组，求出未知系数的值，从而解决问题的方法。
• 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提， 也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项 都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组， 后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
• 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分 为一组，虽然可以提公因式， • 但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
• 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积， 且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
（三）二次项系数为1的齐次多项式
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
初二年级奥数因式分解测试题及答案
初二年级奥数因式分解测试题及答案1．下列式子是因式分解的是(C)A．x(x－1)＝x2－1B．x2－x＝x(x＋1)C．x2＋x＝x(x＋1)D．x2－x＝(x＋1)(x－1)2．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)则a，b的值分别是(B)A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3知识点2 提公因式法因式分解3．多项式8m2n＋2mn的公因式是(A)A．2mn B．mn C．2 D．8m2n4．多项式a2－4a分解因式，结果准确的是(A)A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2)C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－45．把多项式m2(a－2)＋m(2－a)因式分解，结果准确的是(C)A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m＋1)C．m(a－2)(m－1) D．m(2－a)(m－1)6．用提公因式法因式分解：(1)3x3＋6x4；解：原式＝3x3(1＋2x)．(2)4a3b2－10ab3c；解：原式＝2ab2(2a2－5bc)．(3)－3ma3＋6ma2－12ma；解：原式＝－3ma(a2－2a＋4)．(4)6p(p＋q)－4q(p＋q)．解：原式＝2(p＋q)(3p－2q)．7．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(A)A．3 B．2 C．1 D．－18．小玉同学在计算34.3×17.1＋82.5×17.1－26.8×17.1＋10×17.1＝17.1×(34.3＋82.5－26.8＋10)＝1_710．9．把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝6，n＝1．10．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解成(x－2)(x－4)，则这个二次三项式为x2－6x＋9．11．将下列各式分解因式：(1)x4＋x3＋x；解：原式＝x(x3＋x2＋1)．(2)x(x－y)＋y(y－x)；解：原式＝x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)(x－y)＝(x－y)2.(3)6x(a－b)＋4y(b－a)；解：原式＝6x(a－b)－4y(a－b)＝2(a－b)(3x－2y)．(4)(a2－ab)＋c(a－b)；解：原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a＋c)(a－b)．(5)4q(1－p)3＋2(p－1)2.解：原式＝4q(1－p)3＋2(1－p)2＝2(1－p)2(2q－2pq＋1)．12．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？说明理由．解：△ABC是等腰三角形，理由：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴(a－c)＋2b(a－c)＝0.∴(a－c)(1＋2b)＝0.故a＝c或1＋2b＝0.显然b≠－12，故a＝c.∴此三角形为等腰三角形．。
八年级因式分解奥数专题
八年级奥数专题第一讲：勾股定理及应用----李第二讲：实数的性质-------李第三讲：二次根式（1）第四讲：二次根式（2）第五讲：一次函数的图像和性质第六讲：待定系数法------李第七讲：一次函数的应用-第八讲：二元一次方程组和不定方程第九讲：三元一次方程组与不定方程组第十讲：二元一次方程组的应用第十一讲：等腰三角形与等边三角形-------张琼方第十二讲：线段的垂直平分线第十三讲：角平分线第十四讲：一元一次不等式与一元一次不等式组第十五讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（1）第十六讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（2）------方案设计------罗第十七讲：因式分解（1）第十八讲：因式分解（2）第十九讲：因式分解（3）第二十讲：因式分解（4）第二十一讲：因式分解（5）-----刘第二十二讲：分式第二十三讲：分式的运算第二十四讲：含字母系数的方程和分式方程第二十五讲：分式方程的应用第二十六讲：平行四边形性质与判定---杨洁第二十七讲：矩形第二十八讲：菱形第二十九讲：正方形第三十讲：三角形的中位线第三十一讲：梯形第三十二讲：梯形的中位线------张皓第一讲 勾股定理及应用1、勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 22、勾股定理及逆定理的应用① 作已知线段a 的2，3， 5……倍② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。
3勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数. 4勾股数的推算公式a) 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
b) 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。
c) 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。
802.因式分解(二)-奥数精讲与测试8年级
例1．分解因式：(x2＋x＋1)(x2＋x＋2)−12.例2．分解因式：(x2＋3x＋2)(4x2＋8x＋3)−90. 例3．分解因式：6 x4＋7 x3−36 x2−7x＋6. 例4．分解因式：(xy−1) 2＋(x＋y−2) (x＋y−2xy)．例5．分解因式：⑴x2−3xy−10y2＋x＋9y−2；⑵xy＋y2＋x−y−2. 例6．求证：x2−2xy＋y2＋x＋y−4不能分解为两个一次因式的乘积。
A卷解答题01.分解因式a3＋3a2＋3a＋2.02．已知二次三项式x2−mx−8(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，求m的可能取值。
03.分解因式(x＋1) (x＋2) (x＋3) (x＋4)−24.04.分解因式(x＋1) (x＋2) (x十3) (x＋6)−3x2．05.分解因式x5＋x＋1. 06.若(x−a) (x−b)−k中含有因式x＋b，求用a、b表示k的代数式。
07.分解因式x4＋4.08.已知x2＋2x＋5是x4＋a x2＋b的一个因式，求a＋b的值。
09.若多项式8x2−2xy−3y2可写成两个整系数多项式的平方差M2−N2，求用x、y表示M、N的一种形式。
10.已知n为正整数，求证：n3−n的值必是6的倍数。
B卷解答题01.分解因式6x2−13xy＋6 y2＋22x−23y＋20.02.分解因式(x2＋4x＋8)2＋3x(x2＋4x＋8)＋2x2．03.分解因式2x2＋7xy＋3y2−5y−2.04.分解因式x5n＋x n＋1.05.分解因式(x＋1)4＋(x2−1)2＋(x−1) 4. 06.已知n是正整数，且n4−16n2＋100是质数，求n的值。
07．分解因式x3＋(2a＋1)x2＋(a2＋2a−1)x＋a2−1.08.分解因式x3(y−z)＋y3 (z−x)＋z3 (x−y).09．求证：(n＋2002)(n＋2003)(n＋2004)(n＋2005)＋1是一个完全平方数(这里n为正整数)。
因式分解-奥数精讲与测试8年级
例1．分解因式：⑴a6-b6；⑵a2＋b2＋c2-2bc＋2ca-2ab；⑶a7-a5b2＋a2b5-b7例2．分解因式：⑴a3＋b3＋c3-3abc；⑵x3＋y3＋3xy-1. 例3．分解因式：(x-1)3＋(x-2) 3＋(3-2x) 3例4．分解因式：x3-5x＋4.例5．分解因式：x5n＋x n＋1.例6．分解因式：(x＋1)4＋(x2-1)2十(x-1) 4．例7．分解因式：a4＋b4＋c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2A卷一、填空题01.分解因式(a＋b)2＋(a-b) 2＋c(a2+b2)＝_________。
02．计算2222002200120032002200220012001的结果等于_________。
03.已知x3＋x2＋x＋1=0，那么x2008十2x2000＋5x1996的值是_________。
04.分解因式（x2＋3x-3)(x2十3x＋4)-8=_________。
05.将多项式x2-4y2-9z2-12yz分解成因式的积，结果是_________。
06.把(1- x2)(1- y2)＋4xy因式分解，结果是_________。
07．已知x-1是多项式x3-3x+k的一个因式，那么这个多项式的其它因式有_________。
08.分解因式(x2-1)(x4＋x2＋1)- (x3＋1)2 =_________。
09.分解因式a3b＋ab＋30b的结果是_________。
10.分解因式(x-2y)x3-(y-2x) y3=_________。
二、解答题11．分解因式a3＋b3＋c3-3abc.12.已知x y，且x3-x=7，y3-y=7，那么x2＋xy＋y2的值是多少？B卷一、填空题01．分解因式ab(c2-d2)-cd(a2-b2)＝_________。
02. 若x2＋y2＋54=2x＋y，那么x y＋y x= _________。
03.分解因式x4＋x3＋6x2＋5x＋5=_________。
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例1．分解因式：
⑴a6−b6；
⑵a2＋b2＋c2−2bc＋2ca−2ab；
⑶a7−a5b2＋a2b5−b7
例2．分解因式：
⑴a3＋b3＋c3−3abc；⑵x3＋y3＋3xy−1. 例3．分解因式：(x−1)3＋(x−2) 3＋(3−2x) 3例4．分解因式：x3−5x＋4.
例5．分解因式：x5n＋x n＋1.
例6．分解因式：(x＋1)4＋(x2−1)2十(x−1) 4．例7．分解因式：a4＋b4＋c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2
A卷
一、填空题
01.分解因式(a＋b)2＋(a−b) 2＋c(a2+b2)＝_________。
02 ．计算
()
2
22
200220012003 2002200220012001
-⨯
-⨯+
的结果等于_________。
03.已知x3＋x2＋x＋1=0，那么x2008十2x2000＋5x1996的值是_________。
04.分解因式（x2＋3x−3)(x2十3x＋4)−8=_________。
05.将多项式x2−4y2−9z2−12yz分解成因式的积，结果是_________。
06.把(1− x2)(1− y2)＋4xy因式分解，结果是_________。
07．已知x−1是多项式x3−3x+k的一个因式，那么这个多项式的其它因式有_________。
08.分解因式(x2−1)(x4＋x2＋1)− (x3＋1)2 =_________。
09.分解因式a3b＋ab＋30b的结果是_________。
10.分解因式(x−2y)x3−(y−2x) y3=_________。
二、解答题
11．分解因式a3＋b3＋c3−3abc.
12.已知x y
≠，且x3−x=7，y3−y=7，那么x2＋xy＋y2的值是多少？
B卷
一、填空题
01．分解因式ab(c2−d2)−cd(a2−b2)＝_________。
02. 若x2＋y2＋5
4
=2x＋y，那么x y＋y x= _________。
03.分解因式x4＋x3＋6x2＋5x＋5=_________。
04.分解因式x2(y−z)十y2 (z−x)＋z2 (x−y) =_________。
05.已知a为正数，且a[a(a＋b)＋b]＋b=1，则a+b的值是_________。
06．若x＋1
x
=t，则x3＋
3
1
x
=_________。
07.若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1)，则A−2002的末位数字是_________。
08.分解因式(c2−b2＋d2−a2)2−4(ab−cd)2=_________。
09.若两个不等实数m、n满足：m2＋2m=a，n2＋2n=a，m2＋n2=3，那么实数a的绝对值是_________。
10．分解因式(x−1) 3＋(x−2)3＋(3−2x) 3=_________。
二、解答题
11.分解因式ab2＋bc2＋ca2＋a2b＋b2c＋c2a＋2abc.
12.是否存在两个正整数m和n，能使m2−n2= 2002
C卷
解答题
01.分解因式(x＋y) (x＋y＋2xy)＋(xy＋1) (xy−1).
02.分解因式(xy−1)2−(x+y−2xy) (2−x−y)．
03.分解因式(a＋b−2x)3− (a−x) 3− (b−x) 3．
04.设a、b、c、d都是整数，且m=a2＋b2，n=c2＋d2，则mn也可表示成两个整数的平方和，其形式是什么？
05.若a、b、c满足a2＋b2＋c2＝9，那么代数式(a−b)2＋(b−c) 2＋(c−a) 2的最大值是多少？
06.已知x3＋y3−z3=96，xyz=4，x2＋y2＋z2−xy＋xz＋yz=12：则x＋y−z的值是多少？07.立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对两个面所写两数之和都相等，若18的对面写的是a，14的对面是b，35的对面写的是c，试求a2＋b2＋c2−ab−bc−ca的值。
08.已知a≠0，且14(a2＋b2＋c2)＝(a＋2b＋3c) 2，求a ：b ：c.
09.已知
1
x a
a
=+，x3−2x2−3x＋6=0，求2
2
1
2
a
a
++的值。
10，若m、n是整数，且n2＋3m2n2＝30m 2＋517，求3m2n2的值。