瓶子分油问题的数学建模1
楚雄师范学院《数学建模》预赛
预赛论文
题目：瓶子分油问题的数学模型
专业：数学与应用数学
班级：2008 级（2）班
学号：***********
学生姓名：董自英
完成日期：2011 年 5 月
瓶子分油问题的数学模型
一．摘要
本题建立了一个关于用瓶子分油问题的数学模型，再用这个数学模型求解了用3个瓶子把10斤油分成两份各为5斤的油。
对分油问题的猜测、分析和研究，体现了数学在我们实际生活中的具体应用。
针对分油问题建立动态规划模型求解，利用图表法求出决策方案，用递推的思想和逆向思维考虑如何分配，每一步倒油的过程都要对瓶子B,C中的油作出决策，在有限步用3个瓶子把10斤油分成两份各为5斤的油，用状态表示某一次倒油时瓶子B,C中的油量，决策表示某一次倒油时瓶子B,C中油的改变量，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态允许的范围内，确定每一步的决策，最终达到分油的目标。
二．问题重述
有一个人用装10斤油的瓶装了一瓶油拿到市场上去卖，正好来了两个买油的，每人要买5斤，但没有称，只有两只空瓶，一个能装7斤油，另一个能装3斤油，如何用这3个空瓶把10斤油分成两份各为5斤的油。
从上面的例子出发，讨论如下问题：
（1）建立数学模型分析如何用这3个瓶把10斤油分成两份各为5斤的油；
（2）三个瓶子上是否有刻度；
（3）如何分油的图表过程。
三．模型假设
（1）由于分油过程要用到两只空瓶，所以假设三个瓶子除大小外，其它都相同，分布均匀且都是细口瓶；
（2）在同一地点且不受环境因素的干扰；
（3）两只空瓶里无任何东西（水，灰尘，沙粒等）；
（4）每只瓶子上都没有刻度；
（5）倒油过程中不受其它因素的影响；
（6）分油时没有不小心泼洒出来的油；
（7）每分一次油后，总油量都保持不变（还是10斤）。
四．符号说明
A→装10斤油的瓶子；
B→装7斤油的瓶子；
C→装3斤油的瓶子；
xi →倒了i 次油，每次倒油后10斤油瓶里的油量； yi →倒了i 次油，每次倒油后7斤油瓶里的油量； zi →倒了i 次油，每次倒油后3斤油瓶里的油量; x →最后一次倒油后10斤油瓶里的油量； y →最后一次倒油后7斤油瓶里的油量; z →最后一次倒油后3斤油瓶里的油量； ui →7斤油瓶里油的改变量； vi →3斤油瓶里油的改变量; di=(ui , vi)→决策； si=(yi , zi)→状态。
五． 模型的建立和求解
分油问题可看做一个多步决策过程。
记第i 次倒油时，B 容器内的油量为y i , C 容器内的油量为zi , 将二维向量si= (yi , zi ) 定义为状态. 我们用有序用有序数组(y,z)的变化来表示整个倒油过程，集合
}30,70|),{('≤≤≤≤=z y z y s 称为状态集合。
由于每次倒油都把把瓶子灌满或掏空，则允许状态集合为
}7,0,2;7,0,1;70,3;70,0|),{(====≤≤=≤≤==y z y z y z y z z y S
记第i 次倒油时，B 容器内的油的改变量为u i , C 容器内的油的改变量为vi , 将二维向量di=(ui , vi)定义为决策，则允许决策集合D=}33,77|),{(≤≤-≤≤-v u v u ，则状态随决策变化的规律是s(i+1)=si+di(状态转移律)，这样制订分油方案归结为如下的多步决策
模型：
求决策di ∈D ，使状态si ∈S,再按照s(i+1)=si+di(状态转移律)，由初始状态s0=(0,0)经有限步n 到状态sn=(5,0)
以下是此题的模型求解，编写一段程序用计算机求解上述多步决策问题是可行的，不过对于用这3个瓶把10斤油分成两份各为5斤的油的简单状况，用图解法来处理这个问题更为方便。
用线性规划方法画出可行域，找出最终目标；再用逆向思维推测，猜想，探索，实践得出合理的分配办法。
画可行域：由例子可知⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=++≤≤≤≤≤≤10
307010
0zi yi xi zi yi xi
由xi+yi+zi=0⇒zi=10-xi-yi; 由0≤zi ≤3⇒0≤10-xi-yi ≤3即⎩⎨⎧≤--≥--3
100
10yi xi yi xi
从而画出可行域如下图：
x
结合题意和图形我们可以分析出最终结果为x=y=5,z=0；图形为:
因为开始只有A瓶里装满10斤油，B瓶和C瓶都是空的，所以第一步只能由A瓶向B瓶或C瓶里倒油。
为了提高精确度，我们分配的时候都是把瓶子灌满或掏空。
具体分配方法如下表：
方法一，A向B,B向C,C向A,B向C,C向A, B向C, A向B, B 向C, C向A瓶倒油，分油图表如下：
倒油方向含油量
A→B x1=3,y1=7,z1=0
B→C x2=3,y2=4,z2=3
C→A x3=6,y3=4,z3=0
B→C x4=6,y4=1,z4=3
C→A x5=9,y5=1,z5=0
B→C x6=9,y6=0,z6=1
A→B x7=2,y7=7,z7=1
B→C x8=2,y8=5,z8=3
C→A x9=5,y9=5,z9=0
方法一的结果可以用下图来表示：
所有的操作应该在矩形OABC 的边界上进行。
决策变量d i沿方格线左右平移7格表示由B 向A 倒空油或A 向B 倒满油; di 沿方格线上下平移3 格, 表示由A向C 倒满油或C 向A 倒空油; di沿方格线左上方135°移过i行, 表示B 向C 倒i升油; d i 沿方格线右下方-45°移过i行, 表示C 向B 倒i升油. 寻求决策方案的过程即是在上述规定下, 将坐标点从(0, 0) 移至(5, 0) 的过程. 根据这个模型, 我们还可以很快地找到问题的另外一组解。
方法二，A向C,C向B,A向C, C向B, A向C, C向B,B向A, C 向B, A向C, C向B瓶倒油，分油图表如下：
方法二的结果可以用下图来表示：
六．模型评价与推广
这里介绍的是一种规格化的方法，所建立的多步决策模型可以用计算机求解，具有一定的应用价值和推广的意义，这里推算出了用这3个瓶子把10斤油分成两份各5斤的油，在实际生活中是一种很好的分配方法，比如说可以推广到能装b升油和c升油的瓶子把a升油分成两份相等的油，靠逻辑思维方法是很难求解的，而用这种模型仍可方便地求解。
七．参考文献
姜启源，谢金星，叶俊·数学模型第三版，北京：高等教育出版社，2003
梁炼·数学建模【M】，广州：华南理工大学出版社，2003
王向东，戎海武，文翰·数学实验.北京：高等教育出版社，2004 王文平，候合银，来向红·运筹学【M】，北京科学出版社，2007 朱道元·数学建模案例精选【M】,北京：科学出版社，2003
陈理荣·数学建模导论北京【M】,北京：邮电大学出版社，1999 沈继红·数学建模【M】,哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1998 八．附录
应用MATLAB软件画图：
clear;close;
x=0:0.01:10;
y1=10-x;y2=7-x;y3=x;
plot(x,y1,x,y2,x,y3)。
趣味数学游戏教育价值的初步挖掘——以分油问题为例
２ ． １ ． ２问题分析与求解 上述 问题 都是实际生活 中的问题 ，为 了便于将 它们转化为数学问题 ，我们需要做以下假设 ： （ １ ）假 设在 每 次倒“ 油” 时都没 有“ 油” 遗失 ；
（ ２ ）假设 三个容 器 是干 净没 有污秽 的 ；
韩信分 油：传说有一天 ，韩信骑着 马外出 ，在 城外 看 到 两个 人 吵 架 ，一 问 之 下才 知道 他 们 为平 分
１ Ｏ公 升 油而争 吵 ，他们 只有 盛 ３公升 和 ７的容器 ，
④小容器倒 油的次数 ， ｙ 是整 数 ，最后需要 得到 的油 也是正整数 ． ⑤在小容器里得到数量较少的油，如容器 』 Ｖ 得
（ ３ ）假设 ， Ｂ， Ｃ 三个容 器没 有破 损 ； （ ４ ）假 设在 进行 上 述活动 时没 有意 外 发生 ．
２趣味数学游戏教育价值 的挖掘 趣 味数 学 游 戏可 以从 益智 小 游戏 ，相 关数 学 背
景 知识 ，数 学 思想 方 法 ，作 为现 行 中小 学数 学教 材 内容 辅 助教 学情 境 材 料 ，算 法与 程 序教 学和 数 学建 模教 学 六 个 角度 剖 析挖 掘 其 中 的教 育价 值 ．下面 以 分 油 问题 为例 阐 明如何 从 这 六个 角 度对 于 趣 味数 学 游戏 的教 育价 值进 行挖 掘 ．
１ ． ２ 数学教学中加强态度与价值观教育的对策
全 日制 义 务 教 育 数 学 课 程 标准 （ 实验稿） 指 出 ：“ 教 师应 充分 利 用学 生 的生活经 验 ，设计 生动 有
趣、直观形象 的数学教学活动 ，如运 用讲故事、做 游戏 、直 观 演示 、 模拟 表 演 等 ，激 发学 生 的学 习兴 趣 ，让学 生在 生动具体 的情境中认识和理解数学知 识． ” “ 教材可以在适当的地方介绍些有关数学家的故 事、数学趣闻与数学史料 ，使 学生了解数学知识的 产 生与 发 展 首先 源 于 人类 生 活 的需 要 ，体 会 数学 在
2010年数学建模B题(储油罐问题)
1由于温度的变化影响油的体积变化较小，我们将其忽略不计。
2由于油对罐面具有一定的粘度，但是在实际情况中罐壁上的粘度与底座是不同的，并且它还受温度的影响，在这里我们将其忽略，进行简化。
3油罐倾斜时，在倾斜脚出有一定的体积用油标记是无法测到的，我们也将其简化，求出最大限度的体积看作该处的体积。
无变位出油：观察无变位进油与无变位出油的实验采样时间，不难发现它是先进油，进油完成后，过了一个很短的时间（约1小时），又立马开始出油，我们认为这之间的时间间隔内，油面高度，与罐内油的体积不变，仍保持在无变位进油结束时的状态。但理论公式还是上面推导出来的那个 函数。
为了直观看出此模型与实际的吻合情况，我们利用Matlab的强大的数据可视化功能，分别绘制了如下体积-液高（进油/出油）关系图
此时做出椭圆直油罐轴向切面的示意图如右边所示（已在图上标注出关键尺寸和相关假设的长度）由图3可知， 即为倾斜直油罐，纵变位角为 ，图中蓝色区域即为纵变位后，油的情况。
令纵变位后油液面的高端液高为 。实测出来的显示高度即为图上的 。等效成水平状态下后的油高为
用图3中所示的两条水平虚线把油罐划分为三个区域，对这三个区域展开讨论
4因为油浮子，进出口管都是有一定体积的，我们利用积分法求油的体积的时候是没有考虑的，如果考虑比较复杂，我们将其忽略不计，最后进行修正。
5由于油罐可看作是一刚体，所以其形状不发生改变。
四 符号说明
在没有标明情况下，长度单位默认为（ ），体积单位默认为立方米（ ），角度单位默认为弧度（rad）
………………油面高度测量值
带入上式可得
在本实例中已知了 ，再代入上式，即得
从上式看出还有一个待定系数 ，我们拟通过实验实测的 数据，反解出一系列的 值，再利用统计学的方法，从而能很轻松地确定系数 。
分油问题
实验五分油问题●实验所属系列：离散数学课程实验●实验对象：本科●相关课程及专业：离散数学，计算机科学与技术●实验类型：综合型实验●实验时数（学分）：4学时实验目的通过编写程序来解决有趣的逻辑问题，锻炼逻辑分析能力，熟悉离散数学知识的综合运用，提高程序设计水平。
实验内容与要求两个小孩去打油，一人带了一个一斤的空瓶，另一个带了一个七两和一个三两的空瓶。
原计划各打一斤油，可是由于所带的钱不够，只好合打了一斤油，在回家的路上，二人想平分这一斤油，可是又没有其它工具。
现只用这三个瓶子(一斤、七两、三两)精确地分出两个半斤油来。
实验的软硬件环境PC机一台，装有C/C++/JA VA语言集成开发环境。
实验过程和方法1）对分油问题进行逻辑分析。
分油问题的初始状态可表示为(10,0,0)，然后经过一系列的循环倒油，直到所求的目标状态(5,5,0)由于没有其它工具，因此这里只有两种基本倒油操作：倒空源瓶或倒满目标瓶。
倒油过程中，若目标瓶已达到容量极限或倒油操作导致的状态之前曾经出现过，则此次倒油是没有必要的。
可见，这个问题的实质在于对所有倒油状态进行搜索。
搜索的方法可以是深入优先或者广度优先。
2）设计主要的搜索算法。
搜索就是用问题的所有可能去试探，按照一定的顺序、规则，不断去试探，直到找到问题的解，试完了也没有找到解，那就是无解，试探时一定要试探完所有的情况。
对于问题的第一个状态，叫初始状态，要求的状态叫目标状态。
搜索就是把规则应用于实始状态，在其产生的状态中，直到得到一个目标状态为止。
产生新的状态的过程称为扩展（即由一个状态，通过应用规则，产生新状态的过程）。
搜索的要点是：A．初始状态；B．重复产生新状态；C．检查新状态是否为目标，是结束，否转B；如果搜索是以接近起始状态的程序依次扩展状态的，叫广度优先搜索。
如果扩展是首先扩展新产生的状态，则叫深度优先搜索。
利用程序实现深度优先搜索时，可用一个数组存放产生的所有状态。
数学建模A题油罐问题思路
数学建模A题油罐问题思路————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2010油罐问题思路问题一：解题的总思路是采用微元法求体积。
（1）罐体无变位时的罐容体积模型：当油罐无变位时，取小椭圆油罐截面椭圆，建立适当的坐标系如右图所示：利用椭圆曲线方程，沿右半椭圆曲线对y (0,)h ∈积分,从而 求出小椭圆油截面积为()S h ,由此得出罐体体积()()V h L S h =*。
为验证模型的准确合理性：取附录一数据中的高度h 代入体积公式算出对应的剩余油量理论值，将其与实际剩余值进行曲线拟合。
（2）纵向变位倾斜角04.1α=时的罐容表标定模型： 同样利用积分思想求变位后的体积，对油罐正面示意图建立相应的坐标系，如下图所示：其中120.4, 2.05,3L m L m M m ===根据上图可求得横坐标油面的高度为：1()*tan y h L x α=+- 根据罐油量的多少，可以将它分为三种类型讨论：① 当20tan h L α≤≤，如右下图所示：可求得油罐量的体积为：1tan 10()(()*tan )h L V h S h L x dx αα+=+-⎰②当21tan tan L h M L αα<<-时，如下图所示： 可求得油罐量的体积为：1210()(()*tan )L L V h S h L x dx α+=+-⎰③当1tan M L h M α-≤≤时，如图所示： 可求得油罐量的体积为：1tan 10(()*tan )hL m V V S h L x dx αα+=-+-⎰然后进行模型的验证：由附件1实验数据中的各高度得到储油量中的理论油量V ，将理论油量与实际的相比较找出它的变化规律，作出误差分析，判断模型建立的合理性。
根据上述得到的储油罐发生变位时体积关于h 的公式，则可以算出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的灌容表标定值。
分油问题
实验五分油问题●实验所属系列：离散数学课程实验●实验对象：本科●相关课程及专业：离散数学，计算机科学与技术●实验类型：综合型实验●实验时数（学分）：4学时实验目的通过编写程序来解决有趣的逻辑问题，锻炼逻辑分析能力，熟悉离散数学知识的综合运用，提高程序设计水平。
实验内容与要求两个小孩去打油，一人带了一个一斤的空瓶，另一个带了一个七两和一个三两的空瓶。
原计划各打一斤油，可是由于所带的钱不够，只好合打了一斤油，在回家的路上，二人想平分这一斤油，可是又没有其它工具。
现只用这三个瓶子(一斤、七两、三两)精确地分出两个半斤油来。
实验的软硬件环境PC机一台，装有C/C++/JA VA语言集成开发环境。
实验过程和方法1）对分油问题进行逻辑分析。
分油问题的初始状态可表示为(10,0,0)，然后经过一系列的循环倒油，直到所求的目标状态(5,5,0)由于没有其它工具，因此这里只有两种基本倒油操作：倒空源瓶或倒满目标瓶。
倒油过程中，若目标瓶已达到容量极限或倒油操作导致的状态之前曾经出现过，则此次倒油是没有必要的。
可见，这个问题的实质在于对所有倒油状态进行搜索。
搜索的方法可以是深入优先或者广度优先。
2）设计主要的搜索算法。
搜索就是用问题的所有可能去试探，按照一定的顺序、规则，不断去试探，直到找到问题的解，试完了也没有找到解，那就是无解，试探时一定要试探完所有的情况。
对于问题的第一个状态，叫初始状态，要求的状态叫目标状态。
搜索就是把规则应用于实始状态，在其产生的状态中，直到得到一个目标状态为止。
产生新的状态的过程称为扩展（即由一个状态，通过应用规则，产生新状态的过程）。
搜索的要点是：A．初始状态；B．重复产生新状态；C．检查新状态是否为目标，是结束，否转B；如果搜索是以接近起始状态的程序依次扩展状态的，叫广度优先搜索。
如果扩展是首先扩展新产生的状态，则叫深度优先搜索。
利用程序实现深度优先搜索时，可用一个数组存放产生的所有状态。
数学建模全国一等奖作品
2010年全国大学生数学建模竞赛储油罐的变位识别与罐容表标定2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则．我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题．我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出．我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性．如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理．我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要加油站储油罐罐容表的精确度直接关系到加油站的经济利益，然而由于地基变形等原因，罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变，影响其精度．本文要解决的就是储油罐的变位识别与罐容表标定的问题．其中罐容表的标定，就是建立罐内油位高度与储油量的关系．对此，我们应用微积分及空间解析几何理论的相关知识，建立油罐体积函数模型()V H ．对于储油罐的变位识别问题，我们借助已建立的函数模型()V H ，用实际的油位高度确定理论储油量和变位参数值，并将理论储油量与实际测出的储油量采用最小二乘法进行拟合，然后通过拟合系数来判断模型的准确性．对问题(1)，储油罐有无变位和纵向变位这两种情况，均要建立油罐体积积分函数模型，并运用matlab 软件求解模型，且将求解结果采用最小二乘法拟合，分析结果表明理论结果与数据模拟结果相吻合．最小二乘法拟合分析时也表明了模型求解中存在误差，从而以此为基础对模型进行修正，并得出罐容标定值表(见表一) ．对问题(2)，同样建立建立油罐体积积分函数模型，采用离差平方和的算法并运用matlab 软件确定了变位参数αβ、的值为002 4.9αβ==、．以此为基础给出罐体变位后罐容表标定值表(见表三)．对问题一和二的模型做误差分析和修正后所得的结果显示，我们所建立的模型能很好的与实际情况相吻合，其吻合系数达到0.9996．最后我们还对模型进行了正确性验证与方法可靠性检验，并结合实际情况和应用价值对模型进行了改进与推广．关键词 微积分；变位识别；小二乘拟合；误差；标定值一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表(即罐内油位高度与储油量的对应关系)进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况．许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位)，从而导致罐容表发生改变．按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定．一种典型的储油罐其主体为圆柱体，两端为球冠体．现需要用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题．（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐(两端平头的椭圆柱体)，分别对罐体无变位和倾斜角为α=4．10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附录一所示．现需要建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值．（2）对于主体为圆柱体，两端为球冠体的储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数(纵向倾斜角度α和横向偏转角度β )之间的一般关系．利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据附录二，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值．进一步利用附录二中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性．二、问题分析2.1 问题一的分析通常情况下，我们都可以通过油位计管理系统来标定罐容表，即通过测量进/出油量与罐内油位高度得到储油量的变化情况．但是储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转，导致罐容表测量值发生改变，这就需要我们定期对罐容表进行重新标定.对罐容表进行重新标定前，首先我们必须判定油罐是否发生变位，即将测量的进出口油量实际值与罐体位置未发生变位时的理论值进行差分拟合，当读数误差达到一定值时，就可以判定罐体的位置是发生了变位．而对罐体无变位时罐容表的识别，可以通过对罐体已知的几何结构进行分析计算，确定罐体无变位时储油量V 与可测油位高度H 之间的函数关系()V f H =．其次必须解决变位后罐容表如何重新标定的问题．要解决上述问题，我们必须先建立(),V H α的函数模型.在建立(),V H α的函数模型过程中,我们参照了高等数学微积分[1]的相关知识,采用微元的思想得出模型.2.2 问题二的分析实际情况中，储油罐不单单只发生纵向倾斜，纵向和横向倾斜也应考虑，所以该问题中的情形比问题一更具有实际意义.该问题是在问题一的基础之上增加了对横向倾角β的考虑，也就是要求我们同时考虑三个变量对储油量的影响，建立(),,V H αβ.根据事物的变化规律，针对该倾斜问题，我们发现:在两种倾斜同时发生时的结果与分步依次发生的结果是相同的，这就启发了我们可以通过分步考虑来简化模型的建立.接着我们又考虑到，该问题中储油罐是圆柱体和球冠体这样两个特殊的对称体的组合体.分析其几何特征可知:罐内液体不管怎么横向倾斜，其横截面均为垂直于水平面、左右对称的薄片,也就是说横向变位对纵向变位储油量无影响.所以为了易于模型的建立，我们假设油罐每次倾斜的完成顺序均如下图:这样该问题中模型的建立又可以直接参照问题一中模型的建立，最后得(),,V H αβ函数模型.模型建立的基本思路如下:模型建立完后，得出储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度与横向倾斜角度）之间的关系模型. 我们就可以开始确定变位参数αβ、的值．再将确定了变位参数αβ、的值后代入模型来给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值．最后可以再提出用实际检测数据对模型分析检验与建模方法的可靠性验证的方法．三、模型假设及符号定义与说明3.1模型假设1．罐内储油不受温度压强等的影响，即储油量的体积大小只与油位高度有关；2．油浮子为一质点，其大小可忽略不计；3．储油罐壁的厚度很薄，可以忽略不计；4．外界因素的改变不会影响储油罐的形状，即不会发生形变；5．储油罐内部罐壁为理想、对称的几何图形，忽略其制造工艺带来的误差；6．储油罐内部一系列小构建对储油量的影响忽略不计；7．油的自身性质和蒸发损耗对储油量的影响忽略不计；8．对油浮子与油接触时带来不可避免的仪器误差忽略不计．3.2符号定义与说明α:储油罐的纵向倾角；β:储油罐的横向倾角；l :储油罐的罐长；V :储油量；a :小椭圆油罐截面中椭圆的长半轴；b :小椭圆油罐截面中椭圆的短半轴；H :油浮子所在油面处的油位高度；h :储油罐中任一油面位置处的油位高度；()V H C :测量出的储油量与油位高度关系函数；()V H L :实际的储油量与油位高度关系函数．四、关于小椭圆型储油罐的模型建立与求解为了层次清楚，我们先交待本节的结构．根据储油量的多少，以及油浮子位置的限制，对于近油位探针端下倾这种情形，分成如下几种情况进行考虑:情形I 0tan H m α≤≤，储油情况如图1-4所示，并建立模型Ⅱ；情形II tan 2tan m H b n αα≤≤-，储油情况如图1-1所示，并建立模型Ⅰ； 情形III 2tan 2b n H b α-≤≤ 储油情况如图1-5所示，并建立模型Ⅲ．4.1 情形I 时，罐容与油面高度关系的模型建立通常状况下，α在较小的情况下就会被工作人员所发现，并重新摆放储油罐，所以tan 2tan m H b n αα≤≤-时，比较常见，据此我们对此种情景在此做重点介绍．如图1-1所示，取椭球圆柱体的中心轴为z 轴，并设该立体在过点0z =、z l =且垂直于z 轴的两平面之间．以1()S y 表示过z 且垂直与x 轴的截面面积．这时，取z 为积分变量，它的变化区间为[]0,l ；相应于[]0,l 上任一小区间[],z z dz +的一薄片的体积近似于底面积为1()S y ，高为dz 的扁柱体的体积，即体积元素11()dV S y dz =．图1-1以1()S y dz 为被积分表达式，在闭区间[]0,l 上作定积分，便得所求立体的体积()110()lV y S y dz =⎰． (1) 接下来我们建立1()S h 函数关系．如图1-2所示，以图中椭圆柱体最左端椭球截面中心点为原点，以平行水平面和垂直水平面的方向分别为x 、y 轴建立直角坐标系，其中每片截面投影到xoy 坐标轴上的如图所示．图1-2图中椭圆面积公式为22221x y a b +=x ⇒=． 现在，取纵坐标y 为积分变量，它的变化区间为[],b y -．相应于[],b y -上任一小区间[],y y dy +的窄条面积近似于高为dy 、底为积元素1dS dy ⎛= ⎝， 从而得()1y b S y -=⎰， 由图1-2有y h b =-，代入得h b b S --=⎰．接下来以为被积分表达式，运用MATLAB 程序，在区间[],b h b --上作定积分，得所求的1()S h 函数表达式为(程序见附录一)()(1arcsin 2h bb b h b S h h b ab ab a b π---==-+⎰． (2) 进而，我们通过建立H 与h 的函数关系，将H 引入到1()S h 中，建立()1V H 函数模型．选取yoz 坐标面上的截面如图1-3所示，油浮子所在处油位高度为H ，对应在y 轴上的投影点为C 点， 在z 轴上的投影长度为n ；油面上任一点的油位高度为h ，对应在y 轴上的投影为点B ，在z 轴上的投影长度为z ，即为该点的纵坐标大小；D 点为油面在y 轴上的交点．图1-3很明显的有线段长度关系AB BD AC CD +=+,而,tan ,,tan AB h BD z AC H CD n αα====,所以()tan tan tan h z H n h H n z ααα+=+⇒=+-. （3） 对上述定积分公式(2)计算时，先不考虑积分限，直接对()1S h 做不定积分，即 ()1S h dh ⎰()1cot arcsin 2h b ab ab h b C b απ⎫-=--+⎪⎭． 联立(1)，(2)和(3)式，因为所得结果比较复杂，为了简便起见，我们在此令tan k H n b α=+-，tan j H m b α=--，所以积分后的式子为()()tan 11tan ,H m b H n b V H S h dh ααα--+-=⎰cot arcsin ()tan 2j ab m n b παα⎫=-⎪⎭cot arcsink ab b α-． 4.2 情形II 时，罐容与油面高度关系的模型建立如图1-4所示，即为0tan H m α≤≤时的储油情形．图1-4此种情形下模型的建立与模型Ⅰ的建立基本相同，唯一不同的是z 轴方向上的积分上限:模型Ⅰ中的上限为罐长l ，而此处模型中油面边缘最右端与罐下壁有交界，投影到z 轴上的交点即为()0,0,cot H n α+，所以该模型上限为cot H n α+．即有()220()Hcot n V y S y dz α+=⎰． (4) 所求的2()S h 函数表达式与模型Ⅰ中完全相同，即为()(2arcsin 2h b b b h b S h h b ab ab a b π---==-+⎰． (5) H 与h 的函数关系也为()tan h H n z α=+- ． (6)同样联立(4)(5)(6)三式求解，为简便起见，我们也在此令tan k H n b α=+-，同理得函数模型()()022tan ,H l b V H S h dh αα+-=⎰()0tan 1cot arcsin 2H l b h b ab h b b ααπ+-⎫-=--⎪⎭()1cot arcsin 12k ab k b b απ⎫=--++⎪⎭． 4.3 情形Ⅲ时，罐容与油面高度关系的模型建立模型如图1-5所示， 即为2tan 2b n H b α-≤≤时的储油情形．图1-5此种情形下模型的建立也与模型Ⅰ的建立基本相同，与模型Ⅰ相比，该模型相当于是模型Ⅰ中储油油体形状的立体图与一椭圆柱体的组合，所以该模型体积的求解分两部分完成，具体如下：33132=V V V --+．其中31V -为椭圆柱体的体积，32V -为似模型Ⅰ的体积．在求解31V -的函数关系式时，利用椭圆柱体的体积公式：=⨯体积底高． 求解时，为解释更加清楚，我们将yoz 坐标面上的图形截出平放如图1-6所示．图1-6观察图形可得如下线段关系式,cot ,AB AC BC BC EF EF BF BE α=-=⨯=-，而,AC n BE CG H ===．所以最终可得椭圆柱体的高为()2cot n b H α--．在求解底面时，我们直接取用椭圆的面积公式，得面积为ab π，所以有()()312cot V ab n b H πα-=-- ． (7)在求解32V -的函数关系式时，我们参照模型Ⅰ的求解过程，抓住其本质的不同之处，仅将其积分下限换为()2cot n b H α--即得()()332()ln b H V y S y dz --=⎰．所求的3()S h 函数表达式也与模型Ⅰ中完全相同，即为()(3a r c s i n 2h b b b h b S h h b ab ab ab π---==-+⎰． (8) H 与h 的函数关系也为()tan h H n z α=+-． (9)同样联立(7)(8)(9)三式求解，为简便起见，我们也在此令tan k H n b α=+-，同理得函数模型()()()()tan 33,2cot H m b H b V H S h dh ab n b H ααπα---=+--⎰1cot arcsin tan 2j ab m b απα⎫=⎪⎭cot arcsin H b ab b α--- ()()2cot ab n b H πα+--．4.4情形Ⅳ时，罐容与油面高度关系的模型建立模型如图1-7所示,即为0α=时的情形.图1-7很明显，影响储油量V 的只有油面高度H ，所以我们直接建立V 与H 的函数表达式()V H ,以下即为函数()V H 的建立：此种情形下模型的建立与模型Ⅰ的建立基本相同,则有()440()lV y S y dz =⎰． (10) 所求的4()S h 函数表达式与模型Ⅰ中完全相同,即为(2arcsin 2h b b b h b S h b ab ab a b π---==-+⎰． （11) 由于0α=，所以液面各处H 与h 均相等，即有h H =． (12)同样联立(10)(11)(12)三式求解得()(4arcsin 2bl H b V H H b abl abl a b π-=-+．4.5 一些补充说明1、除了以上所建立的三种模型外，我们也考虑到了其他可能会有的情况，如图所示图1-8和图1-9，但是考虑到油浮子的测量局限性，这两种情况油浮子无法测量，所以我们在此也不做考虑．图1-8图1-92、发生纵向倾斜时，可能为近油位探针端下倾，也可能为远油位探针端下倾，以上考虑的仅为近油位探针端下倾的情形．若出现远油位探针端下倾这一情形，对可测得油面高度H 的储油量函数可采用如下方法进行计算．对于小椭圆柱体型储油罐这样的对称体，如图1-10所示，假设储油罐内有两个油浮子，分别位列储油罐内两对称的位置．并假设仅远油位探针端的油浮子可读，为H ，则另一油浮子，即近油位探针端油浮子油位高度为2a H -，即对应的储油量函数直接套用以上模型即为：()(2)V H f a H =-．但因远离油位探针端下倾时，微小的油位变化就会引起储油量发生很大的变化，实际工作中会很快被相关工作人员所发现，并重新放置．即远离油位探针端下倾没有太大的实际意义，所以我们在此不做进一步讨论．图1-104.6 罐容与油面高度关系模型的求解4.6.1、罐体变位后对罐容表的影响的求解所谓罐体变位后对罐容表的影响，即考虑当的油位高度H 固定，为常数时，纵向倾角α对罐体储油体积(),V H α的影响．可以通过理论值与实测值之间的差(),V H α∆来判断()()()2,,,C V H V H V H ααα∆=-．对上式拟合分析得，(),V H α是关于纵向倾角α的增函数，即α值增大时，(),V H α值增大．4.6.2、给出04.1α=时油高间隔为1cm 所对应的一系列的罐容标定值在使用已建立出的模型做标定之前，为确保结果的精确度，我们先采用差值拟合的方法对模型进行修正．即对油罐储油体积()V H 理论值与实际测量值的差做拟合曲线，也就是建立实测值与模型值的误差函数．又因为采用数据拟合的方法可以反映函数曲线（面）()V f H =反映对象整体的变化趋势，且使()f H 在某种准则下与所有实际测量值最为接近，即曲线拟合得最好．于是我们将实际测量值的数据点用matlab 拟合，在用三次拟合时，三次相前系数几乎为0，且做二次拟合时，相关系数r=0．9996，精度较高，说明拟合效果较好，故这里我们只采用中二次拟合．现在计算误差函数．油罐储油体积无论是理论值还是实际测量值都与油位高度H 有关，所以误差函数也是H 的函数． 拟合时因进油表数值和出油表数值均为外部仪器测量，其数值较为精确，故采用进油表数值或采用出油表数值不会影响拟合效果．用matlab [2]做二次曲线拟合[3](程序见附录二、三)得出误差函数曲线方程为：（1）未发生变位时，实测值与模型值的误差函数为：()()()521.6827100.1569317.9826V H V H V H H H -∆=-=⨯-+C L ．故进行修正以后模型的函数为:()()()V H V H V H =-∆C ．用matlab 编程有修正前后拟合曲线如下图1-11所示图1-11（2）发生变位时实测值与模型值的误差函数：()()()20.000397390.58342124.2537V H V H V H H H ∆=-=-+C L ．修正以后的模型的函数为:()()()V H V H V H =-∆C ．修正前后拟合曲线如下图1-12所示:图1-12 现在采用相位分析法对修正后模型相似度进行检验，即用1212cos V V V V δθ== 计算得0.99δ=，这也就证明了模型的准确性.从上可知修正后函数模型与实际情况吻合系数较高，符合实际情况，现利用matlab 编程给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值定标[4]表如下表一:五、关于实际储油罐的模型建立与求解5.1实际储油罐的模型建立5.1.1 建立'(,)H H 关系式如图2-1所示，取出油浮子所在处的截面，并以其下端点为原心，该处切线方向为x轴，垂直x轴方向为y轴，建立直角坐标系．其中平行与x轴的直线为油面所在水平线，所以B点为油浮子在y轴上的投影点，同时我们设其在y轴正半轴上的投影高度为'H ．油浮子的测量高度仍然设为H ．图2-1由图可得如下线段关系,cos ,OB OA AB AB AC AC CD AD β=+==-，而,CD H AD r ==，最后可得()'(,)cos H H H r r ββ=-+． (13)5.1.2 建立()',,V H S α关系式接下来考虑纵向倾斜时，我们只需利用'H ，结合微元积分的思想，建立函数关系式()',,V H αβ，最终通过(13)式将H 引入即得我们所需要的(),,V H αβ函数模型．与问题一的思路相同，首先，我们根据储油量的多少，以及油浮子位置的限制，对于近油位探针端下倾这种情形，分成如下几种情况进行考虑:'06tan H α≤<，'6tan 7tan 1.5H αα≤<+，'7tan 1.53H α+≤<．我们以储油罐最下端切线方向为y 轴，以过储油罐最左端点且垂直于y 轴，并切于该点的指向上的直线为z 轴， 以y 轴与z 轴交点为原点，以过原点且垂直于y 轴和z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图2-2所示．同时设油面与储油罐的罐壁交点分别为点E 和点D ，观察图形得积分方向y 轴的五个区域:0E y y ≤≤，1E y y ≤≤，19y ≤≤，9D y y ≤≤，10D y y ≤≤．图2-2我们先考虑 1.5E y >，即左端处一直存在一个由过点E 且垂直于y 轴的面所截出小球冠体，而对于0 1.5E y ≤≤这种情况我们将在后面单独做以交代．（1）当'06tan H α≤<时，其油面位置在如图2-2所示临界面1和临界面2之间，即为模型Ⅰ．'13cot 12301E E y H y V S dy S dy S dy α+=++⎰⎰⎰． (14)（2）当'6tan 7tan 1.5H αα≤<+时， 其油面位置在如图2-2所示临界面2和临界面3之间，即为模型Ⅱ．191234019E D E y y y V S dy S dy S dy S dy =+++⎰⎰⎰⎰． (15) （3）当'7tan 1.532tan H αα+≤<-时， 其油面位置在如图2-2所示临界面3和临界面4之间，即为模型Ⅲ．191012345019E D E D y y y y V S dy S dy S dy S dy S dy =++++⎰⎰⎰⎰⎰． (16) （4）当'32tan 3H α-≤<时， 其油面位置在如图2-2所示临界面3和临界面4之间，即为模型ⅠⅡⅢ Ⅳ．，观察图可得在积分上下限为1到9的立体中有一部分组成是高为()'23cot H α--的圆柱体，所以在上式的基础上我们有如下表达式: ()()''133cot 910123450133cot 9E D E D y H y y H y V S dy S dy S dy S dy S dy S dy αα----=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰圆． (17) 现需要解决的就是求解D 、E 点的坐标,来确定各模型表达式中积分上下限． 很明显点D y 和E y 是直线DE 与两个部分球面体的交点，根据初等数学的相关知识，我们分别建立直线以及球面方程，最终联立求解得D 、E 坐标．（一）直线方程的建立如图2-2所示，有如下的线段关系:OC OA AB CB =++，而'1,2,cot OA AB CB H α===，所以得'3cot OC H α=+．即C 点的坐标为()'0,3cot ,0H α+．又已知ECA α∠=，可得其斜率为tan α-，再根据点斜式方法，可得该直线的方程为：'tan 3tan z y H αα=-++ ． (18)（二）球面方程的建立如图2-3所示，设球体半径为R ．图2-3由图可得如下线段关系式'22'2'',O N NF O F O N O P NP +==-，由于'',1O P O F R NP ===，得()2221 1.5 1.625R R R -+=⇒=．则左半边球冠体球心'O 的坐标为()0,1.625,1.5，同理可求得右半边球冠体球心的坐标为()0,8.375,1.5．左半边球冠体所在球的方程：()()2221.625 1.5 1.625y z -+-=． (19)右半边球冠体所在球的方程：()()2228.375 1.5 1.625y z -+-=． (20)点(),E E E y z 既在左半边球冠体横截面圆的曲线上，同时也过直线CE ，为求E 点的坐标E y ，则可以联立方程(18)和(19)求解得：()'23.252tan 3tan 1.52sec E H y ααα++-=同理可联立方程(18)和(20)求解得：()'216.752tan 3tan 1.52sec D H y ααα++-=．5.1.3建立()',S H α关系式由于弓形面积公式以及()L y 将会在以下多次用到，所以在此，我们单独将两式列出，后面就不再重复了．设弓高为h ，则弓形的面积为：(2arccos h r S r h r r π-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭如图2-2所示，有关系式()()tan L y L y OC OMOC yα==--()()()()''tan cot 3tan tan 3tan L y OC y H y H y ααααα⇒=-=+-=+-．（1）当0E y y ≤≤时，体积可看成一连串圆面该区间范围内的积分，此时记圆的面积：()()()()22222211 1.625 1.625 3.25S y r R R y y y y ππππ⎡⎤⎡⎤==--=--=-⎣⎦⎣⎦． (21)（2）当1E y y ≤≤时，体积可看成一连串弓形面在该区间范围内的积分，设弓高为2h ，()2 1.5h L y ⎡=--⎢⎣()3tan 1.5H y α⎡'=+--⎢⎣ ． (22)结合弓形面积公式得()()222 1.51.625 1.625L y S y y π⎛⎫- ⎡⎤=---⎣⎦ ⎝()(.6251.1.5L y L y +---⎡⎤⎣⎦． (23)（3）当19y ≤≤时，体积可看成一连串弓形面在该区间范围内的积分，设弓高为3h，()3 1.5h L y ⎡=-⎢⎣()'3tan 1.5H y α⎡=+--⎢⎣，得()()()23 1.5arccos 1.5 1.51.5L y S y L y π-⎛⎫=-+-⎡ ⎪⎣⎝⎭(24) （4）当9D y y ≤≤时，体积可看成一连串弓形面在该区间范围内的积分，设弓高为4h，()()'4 1.53tan 1.5h L y H y α⎡⎡=-=+--⎢⎢⎣⎣得()4 1.5L y S y π⎛⎫- =- ⎝() 1.5L y +-⎡⎣ (25) （5）当10D y y ≤≤时，体积可看成一连串圆面在一定区间范围内的积分，此时记圆的面积：()()(){}()22222255 1.625 1.6251067.516.75S y r R R y y y y ππππ⎡⎤==--=---=-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦． (26)最终联立(13)、(14)～(17)和(21)～(26)这10个公式即得(程序见附录四)()()()()()()()()()()()()()()()13tan 123011912340191910123450192333,06tan ,6tan 7tan 1.5,7tan 1.532tan 1.523cot E E E DEED E Dy h y y y y yy y y S y dy S y dy S y dy h S y dy S y dy S y dy S y dy h V H S y dy S y dy S y dy S y dy S y dy h h S y dy ααααααπα+--++≤<+++≤<+=+++++≤<---+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()91045cot 9,32tan 3D D y h y S y dy S y dy h αα⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪++-≤<⎪⎩⎰⎰⎰ 5.2 变位参数αβ、值的确定上面我们建立了罐内储油量与油位高度H 及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的关系一般．现在我们需要用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据确定模型中的变位参数αβ、．对于给定的油面高度H ，当αβ、值不同时，理论计算出的罐内储油量不同，为与实际情况相吻合，采用如下算法来确定αβ、的值：第一步，取00010α<<、00010β<<，且αβ、均以00.1为步长．第二步，对100100⨯组αβ、值，在理论模型下计算出每一组值在不同油面高度H 时罐内储油量()V H ．第三步，计算每一组αβ、值对应罐内储油量理论值与实际值的离差平方和，将对应100100⨯组离差平方和值比较取出平方差值最小时的αβ、值，即:()()()21,min nC i V H V αβ==-∑．另在问题A 附件2：实际采集数据表．xls 中，前一次显示油量容积值减去出油量后与下一次显示油量容积值不相等，即显示油量容积值存在误差，故程序调用数据前，必须对出油表数据做修正，现用流水号201205 数据来说明数据修正的方法如：积60311．43L ， 出油后理论剩油量60299．79L ，显示油量容积与出油后理论剩油量差为11．64L ，故流水号201出油后，显示油量容积修正为60448．88+11．64=60460．52L ，故任一流水号η的修正数据为：11V V V ηηη++=+显（）出（）修．据此得用excel [5]修正后的数据见问题A 附件2：实际采集数据表．xls 中K2---K603；对算法用matlab 编程（程序见附录五）得0000αβ==、，此时为不发生变位的情况．故将算法修正为第一步，取00010α<<、00010β<<，且αβ、均以00.1为步长． 第二步，对100100⨯组αβ、值，在理论模型下计算出出油量的值即:()()1C V V H V H ηη+=-．第三步，计算每一组αβ、值对应罐内出油量理论值与实际值的离差平方和，将对应100100⨯组离差平方和值比较取出平方差值最小时的αβ、值，即()()()21,min nC i V H V αβ==-∑．同理，对算法用matlab 编程（程序见附录五）得002 4.9αβ==、．将αβ、值代入模型，再用matlab 编程（附录）给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值表如下：5.3 正确性验证与方法可靠性检验在对αβ、值确定过程中，我们计算得到了0000αβ==、时储油量理论值数据（附录），将其与实际值做差()()S V H V -得差值拟合的百分差为0.23%，这就验证了模型的正确性．据此我们提出一种正确性验证方法：令0000αβ==、，代入储油体积函数()V H 中计算出理论的储油体积值，并与实际储油体积做离差平方和()()21nC i V H V =-∑，或对理论计算值与实际测量值用最小二乘法拟合，从而确定误差的大小，即模型的正确性．六、误差分析虽然我们建立了模型，得出了H 与V 的一一对应关系，但是模型的建立是在理想的假设基础之上的，实际上:油浮子是有一定的体积，而不是质点，如图3-1所示，其测量会有一定的误差；储油罐的厚度是存在的，所以罐内液体的长度一定比所给出的罐长要小．所以实际与理论之间必定存在一定的误差．现在我们选择其中之一，即考虑油浮子对油位高度的测量的影响而带来的误差．根据实际情况，油位探针上的油浮子的机械外形各式各样，但我们可以将油浮子分为两类:1．储油罐无油时，油浮子与罐底接触相切（如图3-1右图）；2．储油罐无油时，油浮子与罐底有间隙，与罐壁相割（如图3-1左图）．不考虑油的性质，无变位时，分别对上述两类进行分析，当为第一种类型时，油浮子可以检测到无油的状态，则此时的油浮子对油位高度的测量几乎无影响；当为第二种类型时，油浮子与储油罐总有一定间隙，则该间隙中的油位高度是无法测量到的，所以会对测量油位高度产生一定影响．图3-1七、模型的优缺点分析本文建立的模型比较多，都是基于不同形状的储油的正截面面积在不同范围内的积分而建立起来的，有比较强的理论性及实用性，可以通过这些模型对储油罐的油位高度进行更为准确地测量，以便对储油罐内储油量进行估计，有利于油位计量管理系统的完善，其实际价值十分明显，并且对于储油罐的设计有一定指导意义．但是在建立模型时，我们忽略了一些客观因素，例如:温度、气压、罐体本身机械结构等对油浮子测量油位高度的影响，是在非常理想的状况下建立的模型，所以通过这些模型得到的理论值与实际测量值仍有一定差距．于是我们便将理论与实际的数据进行比较，求解出无变位/变位时的误差分析函数，对模型进行修正，尽量将理论值与实际测量值之间的差距减小到最小程度．八、模型改进与推广随着我国石油工业的发展需要，测量对于油库计量的重要性与日俱增，对测量方法和精度提出了更高的要求．在对问题的模型建立及求解过中，我们单纯地从有无变位而。
瓶子建模练习题
瓶子建模练习题在计算机图形学中，建模是指通过数学公式或计算机算法将虚拟对象的形状和属性表示出来的过程。
瓶子作为一种常见的物体，经常被用来作为建模的练习题。
本文将介绍一种基于三维建模软件的瓶子建模方法。
1. 瓶子的整体形状瓶子通常由颈部、肩部、腹部和底部四个部分组成。
我们可以利用三维建模软件中的曲线工具，如贝塞尔曲线或样条曲线等来绘制瓶子的整体形状。
通过调整曲线的节点和控制点，使其符合瓶子的外轮廓。
2. 颈部的建模瓶子的颈部通常是较细长的一段，可以使用建模软件中的旋转工具来生成。
首先，绘制一条横截面曲线，该曲线的形状即为颈部截面的形状。
然后，选择该曲线作为旋转轴，通过旋转命令生成颈部的三维模型。
3. 肩部的建模瓶子的肩部位于颈部与腹部之间，可以利用建模软件中的拉伸工具来生成。
首先，绘制一个符合肩部外形的横截面曲线。
然后，选择该曲线，并使用拉伸命令将其拉伸成为肩部的三维模型。
4. 腹部的建模瓶子的腹部是瓶子最宽的部分，通常为一个圆柱形或椭圆柱形。
可以使用建模软件中的拉伸工具或旋转工具来生成。
首先，绘制一个符合腹部外形的横截面曲线。
然后，选择该曲线，并使用拉伸工具将其拉伸成为腹部的三维模型，或者使用旋转工具沿着垂直方向旋转该曲线来生成腹部的三维模型。
5. 底部的建模瓶子的底部通常为一个圆形盖子或平底。
可以使用建模软件中的拉伸工具、旋转工具或模型编辑工具来生成。
对于圆形盖子，可以使用拉伸工具将一个圆形或椭圆形曲线拉伸成为底部的三维模型。
对于平底，可以使用建模软件中的模型编辑工具将腹部的底部部分进行调整，使其形成平底的形状。
6. 材质和纹理完成瓶子的建模后，可以为其添加材质和纹理来增加真实感。
建模软件通常提供了丰富的材质库和纹理库供选择。
可以根据瓶子的实际特征选择适合的材质和纹理，并将其应用到瓶子的不同部分上。
总结：通过合理运用三维建模软件的工具和功能，我们可以较为准确地建立起一个瓶子的三维模型。
从整体形状到细节部分的建模，每个步骤都需要仔细调整和处理，以确保模型能够准确地反映瓶子的形态和特征。
2010年全国高教杯数学建模——关于油罐问题解析
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：云南大学滇池学院参赛队员(打印并签名) ：1. 文可鑫2. 李翔3. 何宝林指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张懋洵日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是储油罐的变位识别与罐容表标定问题，针对问题一和问题二所提的不同要求，分别建立了可靠、有效的数学模型。
针对问题一中的椭圆柱体形的储油罐纵向变位对H V -的影响，建立了两个模型来进行求解：模型一，针对题中给定的实验数据建立了数据拟合模型，比较直观的拟合了面的高度可以分为两种特殊情况即max H H =和0=H ，和另外三种一般情况得出H V -的关系()()()) 180 4.1 tan(l -h 2 tan ) 180 4.1 tan(l -h ) 180 4.1 (tan l)-(L 2 ) 180 4.1 tan(l)-(L H 0 2)( tan tan )( 0 2222 0 tan tan 0 2222tan 0 2222tan tan 0⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧**>--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+**≤<**--**≤≤--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-++-+L h H l z l H L z l H H l z l H H dydz b y b a a h H l ab H dydz b y b a a dydz b y b a a H V αααααααπαππππ并用附录给定数据和matlab 验证了该数学积分容积模型的正确性。
数学智力题：平均分配瓶子里的油
数学智力题：平均分配瓶子里的油智力题涵盖数学天地、侦探谜题、逻辑思维、猜谜大全、趣味益智、图形视觉等等。
你知道有哪些经典智力题吗?下面小编为你整理经典数学智力题，希望能帮到你。
数学智力题：平均分配瓶子里的油平均分配瓶子里的油有两个大小、形状、重量相等的瓶子，在一只瓶子里装了很多油，另外一只瓶子里没装油。
请问：在不借用任何称量工具的情况下，要如何均分这些油?提示：只要不借助称量工具即可，可借助其他东西。
答案：让这两只瓶子浮在水面上，将油倒来倒去，直到两只瓶子浮在水面上的高度相等时，这些油就被均分了。
数学智力题：计算鱼的条数计算鱼的条数小明、小华、小红三个人去钓鱼，别人问他们今天钓了多少条鱼?小明说一共22条;小华比我多钓两条;小红比小华多钓3条。
你知道他们三人各钓多少条吗?答案：设我为X则小华为X+2小红为X+5 X+X+2+X+5=22解得X等于5则我有5条小华有7条小红有10条数学智力题：计算酒鬼在第三家酒吧的几率计算酒鬼在第三家酒吧的几率已知某酒鬼有90%的日子都会出去喝酒，喝酒只去固定的三家酒吧，今天警察找了其中两家酒吧都没有找到酒鬼。
问：酒鬼在第三家酒吧的几率是多少?答案：90%数学智力题：过桥的时间过桥的时间小明一家过一座桥，过桥时候是黑夜，所以必须有灯。
现在小明过桥要1秒，小明的弟弟要3秒，小明的爸爸要6秒，小明的妈妈要8秒，小明的爷爷要12秒。
每次此桥最多可过两人，而过桥的速度依过桥最慢者而定，而且灯在点燃后30秒就会熄灭。
请问小明一家过桥至少需要多少秒?答案：29秒数学智力题：计算自行车最多能骑多少KM计算自行车最多能骑多少KM相同的轮胎，放在一辆自行车的前轮能骑5000KM，放在后轮只能骑3000KM，为延长使用寿命，可以骑过一段路程后，前后轮胎对换使用。
问：采用这种方法，一辆自行车两个轮胎最多能骑多少KM?答案：3750KM。
经典趣味数学题—分油问题的一般性求解
（）
（）
（）
（）
（）
（）
共步完成分油问题
注意，在大容器等于两小容器且均分地案例中，分油步骤等于绝对值与绝对值之和地倍减.
这可以判断出实际操作中你是否完成了最简地分油步骤.
（）别莱利曼问题地不定方程为（）
（）
共步完成分油问题
（三）分油拓展
二元一次不定方程地解法也比较多，我基本上采用尝试方法.不过尝试地时候也有些基本诀窍.
版本：别莱利曼在《趣味几何学》中表述：一只水桶，可装杓水，还有两只空桶，容量分别为杓和杓，如何把大水桶地水分成两半？文档来自于网络搜索
解决这类问题通常有尝试法、几何坐标法和不定方程法.
这里将详细讨论用不定方程来解这类题地基本思路和步骤拆分.
（一）分析思路
我们注意到这类题有几个共同地特点：
（）三个容器!，，按容积由小到大排列，分别为自然数；得到地油是小于地自然数.文档来自于网络搜索
比如，从系数大地未知数开始取值，根据系数地奇偶性取值，根据倍数关系取值，根据末位数性质取值，这样就会比较快地得到答案.文档来自于网络搜索
现在，根据以上不定方程地解和具体地方法，会比较容易地解决分油问题.
要求最终要用较小容器来装较小量值地油，如在日本分油问题中，分出地升油最后只能有升容器而不能用胜容器来装.文档来自于网络搜索
也就是从最大容器倒满升容器次，升容器装满后倒出次进入最大地容器，就会得到来两个升.
步数品脱容器品脱容器品脱容器
（）
（）
（）
（）
由此，步解决分油问题.
（）韩信分油地不定方程是：;解为：
步数斤油¨斤油¨斤油¨
（）
（）
（）
（）
（）
步完成韩信分油问题.