中考数学考前冲刺专题
中考数学考前冲刺综合复习(三)
中考数学考前冲刺综合复习（三）1、在平面直角坐标系中，点P （－3，2）所在象限为 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、如图，在平面直角坐标系中，点P(-2，3)向右平移2个单位长度后的坐标是( ) A ．（-4,3）B ．（0,3）C ．（-2,5）D ．（-2,1）3、在平面直角坐标系中，点A （2,3）与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为( ) A.（3,2） B.（－2，－3） C.（－2,3） D.(2,－3)4、已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数xy 2-=的图象上的两点，若x 1<0<x 2，则有( ) A. y 1<0<y 2 B. y 2<0<y 1 C. y 1<y 2<0 D. y 2<y 1<05、抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为（ ）A ．(3，－4)B ．(3，4)C ．(－3，－4)D ．(－3，4) 6、函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ） A .向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 B .向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 C .向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 D .向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 7、（11·永州）由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大 8、下列函数中，当x>0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ）A.2x y = B. 1-=x y C. x y 43=D. xy 1= 9、（11·永州）如图所示，在矩形ABCD 中，垂直于对角线BD 的直线l ，从点B 开始沿着线段BD 匀速平移到D ．设直线l 被矩形所截线段EF 的长度为y ，运动时间为t ，则y 关于t 的函数的大致图象是（ ）DCB AytytyttyFE A DCB10、函数2y x =与函数1y x=-在同一坐标系中的大致图象是（ ）11、在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2的图像可能是（ ）12、 如图所示是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过A 点（3，0），二次函数图象对称轴为x=1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②bc ＜0；③2a+b=0；④a+b+c=0，其中正确结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14、（2011湖南衡阳，6，3分）函数31x y x +=-中自变量x 的取值范围是 15、直线l 过A 、B 两点，A （0，1-），B （1，0），则直线l 的解析式为 ． 16、一次函数y = 3 x - 2的图象不经过第 象限. 17、已知反比例函数ky x=的图象经过点（－2，4），则这个函数的解析式为_____ _____．。
初三数学中考冲刺
实数一、考点回顾1、实数的分类2、实数的运算（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用；（2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行．3、实数大小的比较（1）正数大于零，负数小于零，两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小．（2）作差法比较大小设a，b是任意两个实数．若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b．4、数轴数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数一一对应．5、相反数、倒数、绝对值①实数a、b互为相反数a＋b＝0；②实数a、b互为倒数ab＝1；③6、近似数、有效数字对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始到最末一个数字止，都是这个近似数的有效数字．7、数的平方与开方①正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根；②若b3＝a，则b叫a的立方根；③二、考点精讲精练例1、①光的速度大约是300 000 000米/秒，把300 000 000用科学记数法表示为__________；②某细小颗粒物的直径为0.000 0025m，用科学记数法表示为__________．答案：①3×108；②2.5×10－6变式练习1：用科学记数法表示下列各数：1、567 000；2、0.000 0205答案：1、5.67×105；2、2.05×10－5例2、用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到百分位）C．0.05（精确到千分位）D．0.050（精确到0.001）答案：C变式练习2：用四舍五入法把0.00205取近似值，结果保留两个有效数字为__________．答案：0.0021例3、计算．答案：．变式练习3：计算：①；②．答案：①原式＝＝3－1－4＋3＝1；②原式＝＝3＋1－2－1＝1．例4、①的平方根为__________；②－（－3）的相反数为__________．答案：①；②－3变式练习4：①的平方根为__________．②的倒数的相反数为__________．答案：①，的平方根为；②2例5、实数a、b在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为________．解：变式练习5：①写出一个比－3大的负无理数__________；②已知m，n是两个连续的整数，且，则m＋n＝__________；③在1，－3，，0，π中，最小的数为__________．答案：①；②11；③－3例6、已知α为锐角，且，计算的值．答案：，∴α＋15°＝60°，∴α＝45°，．变式练习6：已知α为锐角，且，求的值．答案：，，∵α为锐角，∴α＝30°，.备考模拟一、选择题1、的倒数为（）A．B．3 C．－3 D．2、计算2－2的结果为（）A．B． C． D．43、12的负的平方根介于（）A．－2与－1之间B．－3与－2之间 C．－4与－3之间D．－5与－4之间4、已知，则（）A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－55、已知实数x，y满足，则x－y＝（）A．－3 B．3 C．－1 D．16、下列各数中，无理数为（）A． B．0 C．0.202002 D．7、的平方根为（）A．4 B．2 C．±4 D．±28、下列式子中结果是负数的是（）A．－（－3） B．－|－3| C．－（－3）3D．3－2二、填空题9、计算＝__________． 10、的倒数为__________．11、化简＝__________． 12、|－2|的相反数为__________．13、把1370536用科学记数法表示出来且保留三个有效数字为__________．14、0.00000102用科学记数法表示为__________．15、若m是2的算术平方根，则__________．三、计算题16、；17、；18、；19、；20、．代数式一、考点回顾1、用字母可以表示任意一个数．2、用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，如0，，－x等．3、一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫代数式的值．4、体会字母表示数的意义及用代数式表示规律．二、考点精讲精练例1、一列数a1，a2，a3，…，其中，（n为不小于2的整数），则a4的值为（）A．B．C．D．答案：A变式练习1：（1）给定一列按规律排列的数：1，，，，，…，它的第10个数是（）A．B．C．D．答案：C（2）按一定规律排列的一列数依次为，，，，，，…，按此规律，第7个数为__________．答案：3、已知，记b1＝2（1－a1），b2＝2（1－a1）（1－a2），…，b n＝2（1－a1）（1－a2）·…·（1－a n），则通过计算推测出b n的表达式为b n＝__________（用含n的代数式表示）．答案：，，例2、如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答：（1）表中第8行的最后一个数是__________，它是自然数__________的平方，第8行共有__________个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是__________，最后一个数是__________，第n 行共有__________个数；（3）求第n行各数之和．答案：（1）64，8，15；（2）n2－2n＋2，n2，2n－1；（3）变式练习2：1、观察下列等式：．（1）猜想并写出第n个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．答案：（1）猜想：；（2）证明：，即．2、观察下列各式：，，根据观察计算：（n为正整数）．答案：例3、正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3、…按如图放置，其中点A1、A2、A3、…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3、…在直线y＝－x＋2上，依次类推，则点A n的坐标为__________．答案：设B1（y1，y1），代入y＝－x＋2得y1＝1，∴B1（1，1），A1（1，0），设B2（y2＋1，y2），代入y＝－x＋2可得，，．同样可求，．变式练习3：如图所示，直线y＝x＋1与y轴交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，然后延长C1B1与直线y ＝x＋1交于点A2，得到第一个梯形A1OC1A2；再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，同样延长C2B2与直线y ＝x＋1交于点A3得到第二个梯形A2C1C2A3；再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，延长C3B3，得到第三个梯形；…；则第二个梯形A2C1C2A3的面积是__________；第n（n是正整数）个梯形的面积是__________（用含n的式子表示）．答案：6，解析：依题意OA1＝1，C1A2＝2，…，C n－1A n＝2n－1，∴第二个梯形A2C1C2A3的面积为6，第n个梯形的面积为.例4、如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，……，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒__________根（用含有n的代数式表示）．答案：图（1）四根，图（2）4×3－2根，图（3）4×5－4根，图（4）4×7－6根，…图（n）4×（2n－1）－2（n－1）根，故填6n－2．变式练习4：如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是__________．答案：n＋2例5、已知，则的值为__________．解：由得a－b＝－4ab，．变式练习5：已知a－2b＝3，则6－2a＋4b的值为__________．答案：6－2a＋4b＝6－2（a－2b）＝6－2×3＝0．备考模拟一、选择题1、在直线坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…．则边长为8的正方形内部的整点的个数为（）A．64 B．49 C．36 D．252、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）A．（13，13）B．（－13，－13） C．（14，14）D．（－14，－14）3、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋314、一列数a1，a2，a3，…，其中，（n为不小于2的整数），则a4的值为（）A．B． C． D．5、将代数式x2＋6x＋2化成（x＋p）2＋q的形式为（）A．（x－3）2＋11 B．（x＋3）2－7 C．（x＋3）2－11 D．（x＋2）2＋46、某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%．则5月份的产值是（）A．（a－10%）（a＋15%）万元 B．a（1－10%）（1＋15%）万元C．（a－10%＋15%）万元 D．a（1－10%＋15%）万元7、小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．2010 B．2012 C．2014 D．2016二、填空题8、观察下列等式：第一行3＝4－1 第二行5＝9－4第三行7＝16－9 第四行9＝25－16……按照上述规律，第n行的等式为__________．9、某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是__________元（结果用含m的代数式表示）．10、如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：所剪次数 1 2 3 4 …n正三角形个数 4 7 10 13 …a n则a n＝__________（用含n的代数式表示）．11、如图①，②，③，④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是__________，第n个“广”字中的棋子个数是__________．12、已知当x＝1时，2ax2＋bx的值为3，则当x＝2时，ax2＋bx的值为__________．13、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报，第2位同学报，第3位同学报……这样得到的20个数的积为__________．14、有一组多项式：a＋b2，a2－b4，a3＋b6，a4－b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为__________．15、如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数得__________（用含有n的代数式表示）．16、用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①．用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为__________．17、图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝__________．（用n表示，n是正整数）三、解答题18、用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．整式一、考点回顾1、代数式的分类2、同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项，合并同类项时，只把系数相加，所含字母和字母的指数不变．3、整式的运算（1）整式的加减——先去括号或添括号，再合并同类项．（2）整式的乘除①幂的运算性质：a m·a n＝a m＋n（m，n为整数，a≠0）；（a m）n＝a mn（m，n为整数，a≠0）；（ab）n＝a n b n（n为整数，a≠0，b≠0）；a m÷a n＝a m－n（m，n均为整数，且a≠0）；②a0＝1（a≠0）；；③单项式乘单项式，单项式乘多项式，单项式除以单项式，多项式除以单项式．④乘法公式：平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2；完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2．（3）因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫多项式的因式分解．因式分解的基本方法：①提公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法．因式分解常用公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）a2±2ab＋b2＝（a±b）2二、考点精讲精练例1、若单项式与－2x3y a＋b是同类项，则这两个单项式的积为_______．解：依题意解得．变式练习1：若－2a m b2m＋3n与的和仍为一个单项式，则m与n的值分别为（）A．1，2 B．2，1 C．1，1 D．1，3解：依题意，－2a m b2m＋3n与是同类项，∴ m＝2n－3且 2m＋3n＝8,得 m＝1，n＝2选A．例2、下列计算正确的是（）A．（－p2q）3＝－p5q3 B．（12a2b3c）÷（6ab2）＝2abC．3m2÷（3m－1）＝m－3m2 D．（x2－4x）·x－1＝x－4答案：D变式练习2：（1）下列计算正确的是（）A．a＋a＝a2 B．（2a）3＝6a3 C．（a－1）2＝a2－1 D．a3÷a＝a2（2）下列计算中正确的是（）A．（a＋b）2＝a2＋b2 B．a3＋a2＝2a5 C．（－2x3）2＝4x6D．（－1）－1＝1 答案：（1）D （2）C例3、已知实数a、b满足（a＋b）2＝1和（a－b）2＝25，求a2＋b2＋ab的值．解：由（a＋b）2＝1得，①由（a－b）2＝25得，②①＋②得．①－②得 ab＝－6,∴a2＋b2＋ab＝13－6＝7．变式练习3：若x＝a2＋b2＋5a＋1，y＝10a2＋b2－7a＋6，则x，y的大小关系为（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．不能确定解：∴ x＜y．答案：B例4、已知x2＋3x＝10，求代数式（x－2）2＋x（x＋10）－5的值．解：（x－2）2＋x（x＋10）－5＝x2－4x＋4＋x2＋10x－5＝2x2＋6x－1＝2(x2＋3x)－1＝2×10－1＝19变式练习4：已知整式的值为6，则2x2－5x＋6的值为__________．解：＝6，．∴2x2－5x＋6＝12＋6＝18．例5、若a，b，c是三角形三边的长，则代数式a2＋b2－c2－2ab的值（）A．大于0 B．小于0 C．大于或等于0 D．小于或等于0 解：a2＋b2－c2－2ab＝（a－b）2－c2＝(a－b＋c)(a－b－c)若a，b，c是三角形三边的长,则a－b＋c＞0，a－b－c＜0，∴(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即a2＋b2－c2－2ab＜0．选B．变式练习5：（1）多项式ac－bc＋a2－b2分解因式的结果为（）A．（a－b）（a＋b＋c）B．（a－b）（a＋b－c）C．（a＋b）（a＋b－c）D．（a＋b）（a－b＋c）（2）分解因式①2x2－4xy＋2y2 ②（2x＋1）2－x2③（a＋b）（a－b）＋4（b－1）④x2－y2－3x－3y答案：（1）ac－bc＋a2－b2＝c(a－b)＋(a＋b)(a－b) ＝(a－b)(a＋b＋c), 选A．（2）①2x2－4xy＋2y2＝2（x2－2xy＋y2）＝2（x－y）2②（2x＋1）2－x2＝(3x＋1)(x＋1)③（a＋b）（a－b）＋4（b－1）＝a2－b2＋4b－4＝a2－(b2－4b＋4)＝a2－(b－2)2＝(a＋b－2)(a－b＋2)④x2－y2－3x－3y＝(x＋y)(x－y)－3(x＋y)＝(x＋y)(x－y－3)备考模拟一、填空题1、若a＝3，a＋b＝2，则a2＋ab＝__________．2、已知（x－y）2＝8，（x＋y）2＝2，则x2＋y2＝__________．3、分解因式xy2＋6xy＋9x＝__________．4、计算9a3÷（－3a2）＝__________．5、若－3x2m＋n y5和2x4y m＋2n的差是单项式，则m＋n＝__________．二、选择题6、计算（a2）3÷（a2）2的结果为（）A．a B．a2 C．a3D．a47、若5×25m×125m＝521，则m的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68、分解因式（a－1）2－2（a－1）＋1的结果为（）A．（a－1）（a－2）B．a2 C．（a＋1）2 D．（a－2）29、下列运算正确的是（）A．－3（x－1）＝－3x－1 B．－3（x－1）＝－3x＋1C．－3（x－1）＝－3x－3 D．－3（x－1）＝－3x＋310、把代数式x2＋4x－1化为（x＋p）2＋q的形式为（）A．（x－2）2＋3 B．（x＋2）2－4 C．（x＋2）2－5 D．（x＋2）2＋4 三、解答题11、先化简，再求值：（x＋3）2＋（2＋x）（2－x），其中x＝－2．12、已知a2＋2ab－2b2＝0，求代数式a（a＋4b）＋（a＋2b）（a－2b）的值．13、先化简，再求值：2a（a＋b）－（a＋b）2，其中．14、已知x（x－1）－（x2－y）＝－3，求x2＋y2－2xy的值．15、因式分解．①a3－4a2＋4a；②1－a2＋2ab－b2；③b4－16.分式一、考点回顾1、分式若A、B是整式，将A÷B写成的形式，如果B中含有字母，式子叫分式．分式的分母B ≠0，若分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零．2、分式的基本性质：，（其中M为非零整式）3、分式的运算（1）分式的加减：（2）分式的乘除：（3）分式的乘方：；（4）符号法则：．4、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫约分．5、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫通分．二、考点精讲精练例1、下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C． D．答案：A变式练习1：下列变形正确的是（）A．B．C．D．答案：C例2、若分式无意义，则x＝__________；若分式的值为0，则x的值为__________．答案：3或－2；2变式练习2：若分式有意义，则x的取值范围是__________；若的值为0，则x的值为__________．答案：x≠3；－2例3、化简．解：原式变式练习3：化简．解：原式＝例4、先化简，再求值：，其中．解：原式＝∵，∴．∴原式＝．变式练习4：有这样一道题：计算的值，其中x＝2013．某同学把“x＝2013”错抄成“x＝2031”，但它的结果也正确，请你说说这是怎么回事．解：∵∴结果与x无关．故把“x＝2013”错抄成“x＝2031”，不影响它的结果．变式练习5：1、若，则__________．2、已知实数x满足，则的值为__________．答案：1、法1：由得，法2：由得，2、由得，．备考模拟1、化简的结果为（）A．x＋1 B．x－1 C．－x D．x2、化简的结果是（）A．B．a C．a－1 D．3、若分式有意义，则x的取值范围为（）A．x≠2 B．x＞2 C．x＜2 D．x＝2 4、若分式的值为0，则x＝（）A．1 B．－1 C．±1 D．05、已知abc≠0，且，则k的值为（）A．B．1 C．或－1 D．不确定6、化简得__________．7、若分式有意义，则x的取值范围为__________．8、已知，则式子的值为__________．9、已知ab＝－2，a＋b＝3，则式子的值为__________．10、化简为__________．11、化简：．12、化简：．13、先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．14、先化简，再选取一个恰当的数值代入求值．15、已知a是一元二次方程x2＋3x－2＝0的实数根，求代数式的值．整式方程一、考点回顾1、等式的基本性质．2、一元一次方程的解法：①解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及将未知数的系数化为1；②最简方程ax＝b的解有以下三种情况：当a≠0时，方程有且仅有一个解；当a＝0，b≠0时，方程无解；当a＝0，b＝0时，方程有无数个解．3、一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其解法主要有：直接开平方法，配方法，因式分解法，求根公式法．4、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为（b2－2ac≥0）5、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2－4ac．△＞0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根；△＜0方程没有实数根．二、考点精讲精练例1、方程2x（x－3）＝5（x－3）的解为（）A．B．x＝3 C．x1＝3，D．解析：2x（x－3）＝5（x－3）2x（x－3）－5（x－3）＝0（x－3）（2x－5）＝0∴x1＝3，．答案：C变式练习1：若代数式2x2－x与4x－2的值相等，则x的值为（）A．2 B．C．2，或D．1解：2x2－x＝4x－2x(2x－1)－2(2x－1)＝0(2x－1)(x－2)＝0∴2x－1＝0 或x－2＝0∴答案：C例2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一根为1，且满足，则c＝__________．解：依题意a＋b＋c＝0．∵，,∴a－2＝0，b－3＝0∴a＝2，b＝3∴2＋3＋c＝0，c＝－5．答案：－5变式练习2：已知α是方程x2＋x－1＝0的根，则代数式的值为__________．解：依题意α2＋α－1＝0，α2＋α＝1．．答案：14例3、关于x的方程k2x2＋（2k－1）x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．解：当k＝0时，原方程为一元一次方程－x＋1＝0, x＝1，有实根.若k≠0时，原方程为一元二次方程，，得 k≤．∴．综合得，故选A．答案：A变式练习3：关于x的方程2kx2＋（8k＋1）x＝－9k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．解：依题意，2k≠0, k≠0．2kx2＋（8k＋1）x＋9k＝0△＝(8k＋1)2－4×2k×9k＞0,∴k＞∴答案：D例4、某纪念品原价为168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（）A．168（1＋a%）2＝128 B．168（1－a%）2＝128C．168（1－2a%）＝128 D．168（1－a2%）＝128答案：B变式练习4：甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，那么顾客在哪家超市购买这种商品更合算（）A．甲B．乙 C．丙D．都一样解：设这种商品原价为a元．甲超市；乙超市；丙超市．∵ 0.64a＞0.63a＞0.6a,∴在乙超市购买这种商品更合算．答案：B例5、某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件．批发商为了增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需要化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？答案：（1）80－x；200＋10x；800－200－（200＋10x）；（2）依题意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（200＋10x）]－50×800＝9000．∴x2－20x＋100＝0，解此方程得x1＝x2＝10，且x＝10时，80－x＝70＞50．故第二个月的单价为70元．变式练习5：某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元，当同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？答案：设每盆至多植x株，依题意（3＋x）（4－0.5x）＝14，x1＝1，x2＝4，因要尽可能地减少成本，∴x＝4舍去．∴取x＝1，x＋3＝4．即每盆植4株时，每盆的盈利为14元．分式方程一、考点回顾1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程．2、解分式方程的基本思想方法：分式方程整式方程．3、解分式方程要验根．二、考点精讲精练例1、若分式方程有增根，则m的值为（）A．2 B．1 C．－1 D．以上都不对答：去分母x－3＝m，把x＝2代入得m＝－1，故选C．变式练习：若分式方程有增根，则它的增根为（）A．0 B．1 C．－1 D．1和－1 解：两边同乘（x＋1）（x－1），得x2＋m（x＋1）－7＝0，当x＝1时，m＝3；当x＝－1时，m不存在，∴x＝1是增根，故选B．例2、解分式方程．解：方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得5（x＋1）＝3(x－1)解得x＝－4．经检验知 x＝－4是原方程的根．∴原方程的根为x＝－4．变式练习：解分式方程．解：，x－4＋2(x－3)＝－43x＝6x＝2经检验，x＝2是原方程的根．∴原方程的根是x＝2．例3、用换元法解方程，若设x2－3x＋1＝y，则原方程可化为（）A．y2－6y＋8＝0 B．y2－6y－8＝0C．y2＋6y＋8＝0 D．y2＋6y－8＝0解：，∵x2－3x＋1＝y,∴．答案：A变式练习：已知方程的两根分别是，，则方程的根是（）A．B．C．D．解：，，x－1＝a－1，或．得 x＝a，或．答案：A例4、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%．问原计划完成这项工程用多少个月？分析：相等关系是实际施工效率＝原计划施工效率×（1＋12%）．解：设原计划完工用x个月，则，解得x＝28，经检验，x＝28是方程的根．答：原计划完成这项工程用28个月．变式练习：甲、乙两人共同打印文件，甲共打1800个字，乙共打2000个字，已知乙的工作效率比甲高25%，完成任务的时间比甲少5分钟，问甲、乙二人各花了多少时间完成任务？解：设甲所用时间为x分钟，则，x＝45．检验知，x＝45是原分式方程的根．答：甲花了45分钟完成任务，乙花了40分钟完成任务．例5、在社会主义新农村建设中，某乡决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做（1）需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，依题意，得x＝60．检验知，x＝60是原方程的解．答：乙工程队单独完成这项工程需要60天．（2）答：两队合做完成这项工程需要24天．变式练习：一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需超过规定日期4天才能完成．如果两组合做3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？解：设规定日期为x天，则，解得x＝12．经检验知，x＝12是原方程的解．答：规定日期为12天．备考模拟一、填空题1、分式方程的解为__________．2、已知x＝3是方程的一个解，则k＝__________．3、若分式的值为0，则x的值为__________．4、若分式的值为，则y＝__________．5、若关于x的方程无解，则a的值为__________．二、选择题6、解分式方程，去分母后的结果为（）A．x＝2＋3 B．x＝2（x－2）＋3C．x（x－2）＝2＋3（x－2） D．x＝3（x－2）＋27、当x＝__________时，与互为相反数（）A．B． C．D．8、若关于x的方程有增根，则m的值为（）A．3 B．2 C．1 D．－19、分式方程的解为（）A．x＝4 B．x＝3 C．x＝0 D．无解10、若xy＝x－y≠0，则（）A．B．y－x C．1 D．－1三、综合题11、解分式方程．12、若关于x的方程有增根，试求k的值．13、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车速度的，求步行和骑自行车的速度各是多少？14、去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？15、随着江宁的快速发展，地铁1号线南延线将于今年5月28日通车，而连接江宁和南京的地铁2号线和3号线即将开工，某工程队（有甲、乙两组）承包天元路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天．如果甲、乙两组先合做20天，剩下的由甲单独做，则要误期2天完成，那么规定的时间是多少天？（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为留下哪一组最好？请说明理由？方程组一、考点回顾1、二元一次方程组的解法①代入法解二元一次方程组；②加减法解二元一次方程组．2、列方程组解应用题运用二元一次方程组解决简单的实际问题．二、考点精讲精练例1、解方程组：解：两方程相加得 4a＝20a＝5将a＝5代入a－b＝8得 5－b＝8所以 b＝－3方程组的解是变式练习1、解方程组：解：由（2）得y＝2x－1将y＝2x－1代入（1）得3x＋5(2x－1)＝8解得x＝1把x＝1代入（2）得y＝1∴例2、已知a、b满足方程组求（a＋b）－2013的值．解：两式相加得a＋b＝1，∴（a＋b）－2013＝1－2013＝1．变式练习2、已知是方程组的解，求代数式4m（m－n）＋n（4m－n）＋5的值．答：原式＝4m2－n2＋5，由已知有两式相乘得4m2－n2＝3，∴原式＝3＋5＝8．例3、若关于x、y的方程组的解满足方程2x＋3y＝6，则k的值为（）A．B． C．D．解：将方程组中的k当作常数，解得∴2×5k＋3×（－2k）＝6，，选B．变式练习3、若点P（a＋b，－5）与（1，3a－b）关于x轴对称，则a＝__________，b＝__________．解：依题意解得例4、某校2009年初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2010年秋季初一年级招生人数增加20%，高一年级招生人数增加25%，这样2010年秋季初一年级、高一年级招生总数比2009年将增加21%，求2010年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少？解：设2009年初一年级招x人，高一年级招y人，则(1＋20%)x＝480，(1＋25%)y＝125．答：初一年级招480人，高一年级招125人．变式练习4、在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？答：设胜x场，平y场，则例5、某酒店客房有三人间、双人间的客房，收费数据如下表：普通（元/间·天）豪华（元/间·天）三人间150 300双人间140 400为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？解：设三人普通间和双人普通间各住了x，y间，则答：旅游团住了三人普通间客房8间，双人普通间客房13间．变式练习5、我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？解：（1）设购买甲种树苗x株，乙种树苗y株，列方程组得解得答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株．（2）设购买甲种树苗z株，乙种树苗（800－z）株，则列不等式85%z＋90%（800－z）≥88%×800，解得z≤320．答：甲种树苗至多购买320株．备考模拟一、选择题1、下列方程组的解中是二元一次方程组的解的是（）A．B． C． D．2、为保护生态环境，我省某山区响应国家“退耕还林”号召，将该县某地一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，为求改变后林地面积和耕地面积各为多少平方千米，设耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（）A． B． C．D．3、某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（）A．B． C．D．4、已知2x b＋5y3a与－4x2a y2－4b是同类项，则b a的值为（）A．2 B．－2 C．1 D．－15、若方程组的解x、y的值相等，则a的值为（）A．－4 B．4 C．2 D．1二、填空题6、若是关于x，y的二元一次方程ax－3y＝1的解，则a的值为__________．7、方程组的解为__________．8、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了__________朵．9、请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为__________只、树为__________棵．10、若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．三、综合题11、解方程组：12、解方程组：13、（贵州贵阳）童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A 种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．（1）小李生产1件A产品需要__________分钟，生产1件B产品需要__________分钟；（2）求小李每月的工资收入范围．。
中考数学冲刺计划高效备考与模拟试题
中考数学冲刺计划高效备考与模拟试题近年来，中考在学生的升学道路上扮演着至关重要的角色。
数学作为中考科目之一，不仅考察了学生的数学基础，更重要的是考察了学生的逻辑思维能力和解题能力。
为了帮助学生高效备考数学，本文将介绍中考数学冲刺计划以及提供一些实用的模拟试题。
第一阶段：复习基础知识在备考数学之前，学生需要复习数学的基础知识，确保自己对基础概念和公式的掌握。
本阶段的复习可以从课本开始，将重点放在重要章节和知识点上。
同时，可以结合习题册进行练习，巩固对知识点的理解和应用能力。
模拟试题一：1. 请计算：3.2 × 5.7 +2.15 × 4.3。
第二阶段：掌握解题技巧在基础知识的掌握之后，学生还需要熟悉和掌握解题技巧。
不同类型的数学题目有着不同的解题思路和方法，学生需要通过大量的练习，熟悉各种解题技巧。
同时，学生还可以通过学习一些解题方法和技巧来提高解题速度和准确性。
模拟试题二：2. 已知等比数列的首项为3，公比为2/3，求前5项的和。
第三阶段：模拟考试训练在前两个阶段的复习和训练之后，学生需要进行一些模拟考试训练，以熟悉中考数学试卷的题型和难度。
通过模拟考试，学生可以对自己的备考情况有一个准确的评估，并发现自己在不同题型上的不足之处，有针对性地进行强化训练。
模拟试题三：3. 甲乙两人共有80元，乙比甲少10元，甲比乙少的钱数的一半与乙现有的钱数之和相等。
请问甲有多少钱？第四阶段：查漏补缺在模拟考试训练过程中，学生可以发现自己在某些知识点或题型上存在的一些薄弱环节。
针对这些问题，学生需要辅以老师的指导或自主查阅资料，进行有针对性的查漏补缺。
通过理解和掌握这些薄弱环节，学生可以有效提高自己的数学水平。
模拟试题四：4. 若数列{an}满足a1 = 3，an+1 = 2an + 1，(n ≥ 1)，则a5的值为多少？第五阶段：综合复习和总结在备考即将结束之际，学生需要进行一次全面的复习，并总结备考过程中的经验和方法。
备战2025年中考数学(全国)抢分秘籍08 反比例函数和几何图形综合问题(压轴通关5题型)(解析版)
抢分秘籍08反比例函数和几何图形综合问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）反比例函数和几何图形综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，反比例函数中的K 值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！题型一反比例函数与三角形的综合问题【例1】（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，OAB 是边长为4的等边三角形，反比例函数(0)k y k x=>的图象经过边OA 的中点C ．（1）k =．（2）若反比例函数k y x=的图象与边AB 交于点D ，则tan DOB ∠=．∵OAB 是边长为4的等边三角形，∴4AO BO AB ===，A ∠=∠∵C 为AO 中点，CE x ⊥轴，∴在Rt COE △中，30OCE ∠=∴1OE =，∴22CE OC OE =-=同理可求点()2,23A ，而(4,0B 设():0AB l y kx b k =+≠，代入22340k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，3k ⎧=-⎪本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数交点的求解，以及锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解题的关键．【例2】（2024·河南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()6,0A ，()2,2B ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点B ．(1)求反比例函数的表达式．(2)将OAB 绕点B 逆时针旋转得到O A B ''△，点O '恰好落在OA 上，请求出图中阴影部分的面积．∵()2,2B ∴2CO BC ==∵将OAB 绕点B 逆时针旋转得到∴90OBO ABA ''∠=∠=︒222222OB O B '==+=1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky x x=>的图象和ABC 都在第一象限内，5,AB AC BC x ==∥轴，且8BC =，点A 的坐标为()6,10．(1)若反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点B ，求此反比例函数的解析式；(2)若将ABC 向下平移(0)m m >个单位长度，,A C 两点的对应点恰好同时落在反比例函数(0)k y x x =>图象上，求m 的值．5AB AC == ，8BC =，点142BD CD BC ∴===，ADB ∠3AD ∴=，∵BC x ∥，∴AD x⊥于点D ，反比例函数()0k y x x =>，的图象经过点A ．(1)若14BD AB =，求直线AB 和反比例函数的表达式；(2)若8k =，将AB 边沿AC 边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E ，交x 轴于点F ，求点E 的坐标．【详解】（1）Rt ABC 中，AC AC OD ∴ ，14BD BO AB BC ==，144BO ∴=，1BO ∴=，题型二反比例函数与平行四边形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在y 轴上，AC x ∥轴，点C 的坐标为()4,6,3AB =，将ABC 向下方平移，得到DEF ，且点A 的对应点D 落在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点B 的对应点E 落在x 轴上，连接,OD ∥OD BC ．(1)求证：四边形ODFE 为平行四边形；(2)求反比例函数(0)k y x x=>的表达式；(3)求ABC 平移的距离及线段BC 扫过的面积．（2）连接CD ，易证四边形BCDO 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出CD AB ∥，结合DE AB ∥，可得出C D E ，，三点共线，易证四边形ACEO 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出OE 的长，结合3DE AB ==，可得出点D 的坐标，再利用反比例函数系数k 的几何意义，可求出k 的值，进而可得出反比例函数的表达式；（3）连接BE CF ，，在Rt BOE 中，利用勾股定理，可求出BE 的长，由此可得出ABC 平移的距离为5，由,BC EF BC EF =∥，可得出四边形BCFE 是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式，即可求出线段BC 扫过的面积．【详解】（1）证明：由平移的性质，得：,,BC EF AC DF AB DE ∥∥∥，AC x ∥轴，且OE 在x 轴上，AC OE ∴∥，DF OE ∴∥．,OD BC BC EF ∥∥ ，OD EF ∴∥，∴四边形ODFE 为平行四边形；（2）解：连接CD ，如图1所示．四边形ODFE 为平行四边形，OD EF BC ∴==，又OD BC ∥，∴四边形BCDO 是平行四边形，,CD OB CD AB ∴=∥，DE AB ∥，C D E ∴，，三点共线．AC x ∥轴，OE 在x 轴上，CE AO ，∴四边形ACEO 是平行四边形，OE AC ∴=．点C 的坐标为()4,6,3AB =，在Rt BOE △中，OB OA AB =-=2222345BE OB OE ∴=+=+=ABC ∴ 平移的距离为5．,BC EF BC EF =∥ ，∴四边形BCFE 是平行四边形，1222BCFE BCE S S CE OE ∴==⨯⋅= 本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反比例函数系数k 的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：1（）由平移的性质及平行线的性质，找出DF OE ∥及OD EF ∥；（2）利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点D 的坐标；（3）利用勾股定理及平行四边形的性质，求出BE 的长及平行四边形BCFE 的面积．【例2】（2024·山东济南·一模）如图，一次函数112y x =-+的图象与反比例函数()0k y x x=<的图象交于点(),2P a ，与y 轴交于点Q ．(1)求a、k的值；(2)直线AB过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，AP PB=，连接AQ．△的面积；①求APQ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标．∵AP PB =，()22P -，，∴4h =，把()4A t ，代入y =∴点()14A -，，∵一次函数112y x =-+的图象与∴Q 的坐标为()0,1，过点A 作AH y ∥轴，交PQ ∴52AH =，∴12APQ APH AHQ S S S =+=△△△②设点4,M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,0N n ∵()2,2P -，()0,1Q ，点M 当MN 和PQ 为对角线时，如下图：Q点可看做是将N点先向右平移故M点也是相应关系，即P故M点的纵坐标为P点纵坐标加即43m-=，43m=-M的坐标为4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；当MQ和NP为对角线时，N点可看做是将Q点先再向下平移故M点也是相应关系，即M故M 点的纵坐标为211-=，4m =-，故此时M 点坐标为：(4,1)-综上，M 点的坐标为：⎛- ⎝【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A 和BC 的中点D ，6AB =，四边形OABC 的面积是48．(1)求点A ，D 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点M 是四边形OABC 内部反比例函数()0k y x x =>图象上一动点(不含边界)，当直线y x m =+经过点M 时，请直接写出m 的取值范围．【分析】本题考查求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数交点问题：（1）根据6AB =得到点(6,0)C ，平行四边形面积48得到高，表示出A 点，从而得到B 点，得到中点D 代入解析式即可得到答案；（2）求出点M 在A ，D 两点得到m 的值即可得到答案；【详解】（1）解：∵6AB =，∴(6,0)C ，设点(,k A a a ，则(6,)k B a a+，2．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线y x =与直线2y x =交于点A 、点B ，点C 为双曲线上点A 右侧的一点，过点B 作BD AC ∥，交y 轴于点D ，连接BC CD 、．(1)如图1，求点A、B的坐标；(2)如图2，若四边形ABDC是平行四边形，求BD长；(3)如图1，当四边形ABDC的面积为4时，求直线AC的解析式．则运用中点法列式，则x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∵点C为双曲线上点A右侧的一点，∴2 CC yx=∵BD AC∥1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数2kyx=交于两点(6)E m，和F．且点()3C n，在反比例函数图象上．(1)求反比例函数的解析式以及点F的坐标；(2)点P在反比例函数第一象限的图象上，连接CE，CF和CP，若415ECP ECFS S=V V，求点P的横坐标；(3)点M在x轴上运动，点N在反比例函数2kyx=的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．则四边形HIFG 为矩形，∴EFC EIF HIFG S S S =-- 矩形∴272545422EFC S =---=∵(16)E ，，)(23F --，，EFM 又∵点M 在x 轴上，∴点F 向上平移3个单位，∴点E 向上平移3个单位，∴点N 纵坐标为9，把y =∴12,93N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点E 向上平移3个单位，向左平移把3y =代入6y x =，得2x =，∴()32,3N ∵33122M N x x +=-，∴32122M x +=-∴33M x =-∴()33,0M -综上，点E ，F ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为0 73M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或703 M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(30)M -，．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型．题型三反比例函数与矩形的综合问题【例1】（2024·贵州·一模）如图，在矩形ABOC 中，46AB AC ==，，D 是边AB 的中点，反比例函数()10k y x x=<的图象经过点D ，交边AC 于点E ，直线DE 的表达式为：()20y mx n m =+≠(1)求反比例函数的表达式和直线DE 的表达式；(2)根据图象直接写出当12y y >时，x 的取值范围．【答案】(1)反比例函数解析式为112y x =-，2263y x =+(2)6x <-或30x -<<【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：（1）先由矩形的性质得到6OB AC AB OB ==，⊥，进而求出()62D -，，利用待定系数法求出反比例函数解本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：先由矩形的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．【例2】（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数()0k y x x=>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，且点D 为AB 的中点．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数()0k y x x=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），直接写出m 的取值范围．部分时（点M 可与点,D E 重合），∴30m -≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数()0y kx k =>与反比例函数3y x=的图象分别交于A 、C 两点，已知点B 与点D 关于坐标原点O 成中心对称，且点B 的坐标为()0m ，．其中0m >．(1)四边形ABCD 是____．(填写四边形ABCD 的形状)(2)当点A 的坐标为()3n ，时，四边形ABCD 是矩形，求mn 的值．(3)试探究：随着k 与m 的变化，四边形ABCD 能不能成为菱形？若能，请直接写出k 的值；若不能，请说明理由．2．如图1，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，反比例函数y x=（0,0k x ≠>）在第一象限内的图象经过点D 、E ，(1)点F 为对角线OB 上一点，满足2OF BF =，点()6,E m 在边BC 上，且1tan 2BOC ∠=，求反比例函数解析式；(2)在（1）的条件下，反比例函数上是否存在点Q ，满足:2:1OBC OBQ S S = ，若存在，求点Q 的横坐标；(3)我们把有一个内角为45︒的三角形称为“美好三角形”，这个45︒的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图2，若点B 的坐标为()2,1，则当ODE 为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中k 的值．∵四边形OABC 是矩形，∴90BCO FHO ∠=∠=︒，∴FH BC ∥，∴OHF OCB ∽，∴OF OH OB OC=，由（1）得：()4,2F ，∴直线OB 解析式为：12y x =，∵()6,B m ，∴()6,0C ，则点()3,0P ，同（1）理：直线OB 解析式为：y =∵()6,B m ，∴3m =，∴点()0,3A ，∴OEM △是等腰直角三角形，∴=OE EM ，∵90OEC EOC ∠+∠=︒，OEC ∠+∠∴EOC MEN ∠=∠，同理①可证：GHO OCE ≌，∴OH EC =，GH OC =，∴,22k G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线DE 的解析式为y sx t =+，k ⎧题型四反比例函数与菱形的综合问题【例1】（2024·河南信阳·一模）如图，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，且()2,0A ，(B ，点C 在反比例函数k y x =的图象上．(1)求反比例函数k y x =的表达式；(2)当菱形OABC 绕点O 逆时针旋转150︒时，判断点C 的对应点C '是否在k y x =的图象上；并直接写出CC '所在的直线解析式．在Rt OCM ∆中，1,OM CM ==∴2OC =，∴tan 3COM ∠=，∴60COM ∠=︒，∵菱形OABC 绕点O 逆时针旋转∴2OC OC '==，150AOA '∠=︒题目主要考查反比例函数与特殊四边形的性质，解三角形的应用，旋转的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.【例2】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为(6,，点C在反比例函数的图象上，以点O为圆心，OC长为半径画 AC．(1)求反比例函数的表达式；(2)阴影部分的面积为______．（用含π的式子表示）∵菱形OABC 的边OA 在∴23CD =，OC BC =在Rt CDO △中，由勾股定理，得：∴()(22236DO OD +=-1．（2024·河南开封·一模）如图，ABC 的顶点坐标分别为(A ，()1,0B ，(C ，反比例函数()0k y x x =>的图象经过点C ．(1)求k 的值．(2)点D 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，且BD AC ⊥于点E ，DE BE =，请说明四边形ABCD 是菱形．(3)是否存在除点D 外可与A ，B ，C 三点共同组成菱形的点P ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．∵点P 与A ，B ，C 三点共同组成菱形，点A 和点C 纵坐标相等，∴可设点(),0P x ，当菱形ABPC 以AB 为对角线，则12x =+，解得=1x -，当菱形ABCP 以CB 为对角线，则012x +=+，解得3x =，则()11,0P -，()23,0P ．2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，扇形AOB 上的点()1,3A 在反比例函数k y x =的图象上，点()3,1B -在第四象限，菱形OCDE 的顶点D 在x 轴的负半轴上，顶点E 在反比例函数k y x =的图象上．(1)k 的值为；(2)求AOB ∠的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．AOF OBG ∠=∠，根据90BOG OBG ∠+∠=︒即可求解；（3）根据扇形面积的计算，几何图形面积与反比例函数系数的关系即可求解．【详解】（1）解：已知扇形AOB 上的点()1,3A 在反比例函数k y x=的图象上，∴13k =，则3k =，故答案为：3；（2）解：如图,分别过点,A B 作AF x ⊥轴于点F ，BG x ⊥轴于点G ，∵()(1,3)3,1A B -，，∴13OF BG AF OG ====，，∵OA OB =,∴()SSS OAF BOG ≌，∴AOF OBG ∠=∠，∵90BOG OBG ∠+∠=︒，∴90BOG AOF ∠+∠=︒，∴90AOB ∠=︒；（3）解：由（2）可知，13OF AF ==，，∴OA OB ===90AOB ∠=︒，∴22115442OAB S OA πππ=⨯=⨯=扇形，11522AOB S OA OB === △，由（1）可知反比例函数解析式为3y x=，∵点E 在反比例函数图象上，且OCDE 是菱形，如图所示，连接CE 交x 轴于点H ，∴1322OEH S k == ，∴23ODE OEH S S ==△△，∴阴影部分的面积为：5553222OAB ODE OAB S S S S ππ=-+=-+=- 阴影扇形，∴阴影部分的面积和为：522π-．3．（2023·河南新乡·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为反比例函数k y x =图象上一点，AB y ⊥轴于点B ，且8AOB S =△，点M 为反比例函数k y x=图象上第四象限内一动点，过点M 作MC x ⊥轴于点C ，取x 轴上一点D ，使得OD OC =，连接DM 交y 轴于点E ，点F 是点E 关于直线MC 的对称点．(1)求反比例函数的表达式；(2)试判断点F 是否在反比例函数k y x =的图象上，并说明四边形EMFC 的形状．题型五反比例函数与正方形形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点B 与原点重合，点A ，C 分别在y 轴正半轴和x 轴正半轴上，将正方形ABCD 沿x 轴正方向平移4个单位长度后得到正方形A B C D ''''，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为A B ''的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象恰好经过点E ．(1)求反比例函数的表达式．(2)若反比例函数()0k y x x =>的图象与正方形A B C D ''''的边C D ''交于点F ，连接D E '，EF ，求D EF ' 的面积．(3)连接C D '，判断点E 是否在线段C D '上，并说明理由．本题考查了正方形的性质，平移的性质，反比例函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数表达式及一次函数表达式．【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个22⨯的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x 轴、y 轴平行，每个小正方形的边长为1．点N 的坐标为(3,3)．（1）点M 的坐标为．（2）若双曲线:(0)k L y x x =>与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k 的值有个．∴符合题意的正数k 有6，2，∵经过点E 、F 时，6k =；经过点N 时，9k =，∴在这两个临界状态之间，还有两个符合题意的正数7,8k k ==，∴共有4个，故答案为：4．1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A -，(0,2)B -，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．解：(1,0)A - ，(0,2)B -，E 为AD 中点，1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴-，24t t ∴=-，4t ∴=，4k ∴=；（2）则102x -+=，解得1x =，则122x -=，解得=1x -，此时2(1,4)P --，2(0,Q ②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥∴122x -=，解得=1x -，3(1,4)P ∴--，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(P （3）解：结论：MN HT的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=，三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.。
中考数学考前冲刺试题(含答案)
第十五讲 综合复习时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：一、 兴趣导入二、 学前测试一、选择题(10×3=30）1、-（—2）的相反数是（ ）A 、2B 、—2C 、1/2D 、-1/22、近年来,随着交通网络的不断完善，我市近郊游持续升温。
据统计，在今年“五一"期间,某风景区接待游览的人数约为20。
3万人，这一数据用科学记数法表示为A 、420.310⨯人B 、52.0310⨯人C 、42.0310⨯人D 、32.0310⨯人 3、 在函数12y x -自变量x 的取值范围是 （A)12x ≤(B) 12x < (C ） 12x ≥ （D ） 12x > 4、抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ）．A 、（2，－3)B 、（－2，3）C 、(2，3）D 、（－2，－3) 5．下列计算正确的是（A ）2x x x += （B ） 2x x x ⋅= （C ）235()x x =（D ）32x x x ÷=6．已知关于x 的一元二次方程20(0)mx nx k m ++=≠有两个实数根，则下列关于判别式 24n mk -的判断正确的是(A) 240n mk -< （B ）240n mk -= (C ）240n mk -> (D)240n mk -≥y xMP12017、 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况,某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这50人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是（A ）6小时、6小时 （B) 6小时、4小时 (C ） 4小时、4小时 (D ）4小时、6小时8、如图.以点P(2。
0）为圆心，，3为半径作圆，点M （a ，b ）是0P 上的一点，则错误!的最大值是【 】 A 。
I B. 错误! C 。
2 D 。
1.59、小明从二次函数y=ax2+bx+c 的图象（如图）中观察得出了下面五条信息:①c ＜0；②abc ＞0；③a-b+c ＞0；④c —4b ＞0；⑤2a —3b=0．你认为其中正确的信息是A 、①③④⑤ B 、①②③⑤ C 、①②③④ D 、②③④⑤10. 如图， 已知AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O 上一点， CD ⊥ AB 于D ，AD = 9 、BD = 4, 以C 为圆心、CD 为半径的圆与⊙O 相交于P 、Q 两点, 弦PQ 交CD 于E ， 则PE ⋅EQ 的值是（ ) A. 24 B. 9 C 。
中考数学考前冲刺综合复习(四)
1 B OA C O A CB 第8题图 中考数学考前冲刺综合复习（四）1、已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm2、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是A ．3、4、5B ．6、8、10C ．3、2、5D ．5、12、133、一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为A ．6B ．7C ．8D ．94、如图，ΔABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，DE=1，BC=3，AB=6，则AD 的长为（ ）A 1B 1.5C 2D 2.55、下列说法正确的是（ ）A ．有两个角为直角的四边形是矩形B ．矩形的对角线互相垂直C ．等腰梯形的对角线相等D ．对角线互相垂直的四边形是菱形6、如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 C ． AC BC= D ．∠BAC =30°7、如图，BD 是⊙O 的直径，弦AC 与BD 相交于点E ，下列结论一定成立的是（ ）A ∠ABD=∠ACDB ∠ABD=∠AODC ∠AOD=∠AED D ∠ABD=∠BDC8、已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89、如图，已知O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，则AOB ∠所对的弧AB 的长为（ ）A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π10、如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sin ∠APO 等于（ ） A 、54 B 、53 C 、34 D 、43 11、△ABC 中，∠A=55︒，∠B=25︒，则∠C= .12、单独使用正三角形、正方形、正六边形、正八边形四种地砖，不能镶嵌（密铺）地面的是 ．13、等腰梯形的上底是4cm ，下底是10 cm ，一个底角是60︒，则等腰梯形的腰长是 cm ．14、菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，则菱形的面积是__________cm 2．15、如图，AB ∥CD ，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠1=700，则∠2= 度.16、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90︒，AB=10cm ，D 为AB 的中点，则CD = cm .第4题 第7题 PO A · O B A 第9题 ABCD217、如图：OA 是⊙O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD= .18、如图，A 、B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A 、B 间的距离，但绳子不够长.一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接达到A 、B 的点C ，找到AC 、BC 的中点D 、E ，并且测得DE 的长为15米，则A 、B 两点间的距离为米.19、已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于 度．20、为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．21、（本题满分8分）如图，Rt ABC △中，90C =∠，O 为直角边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与斜边AB 相切于点D ，与BC 交于另一点E ．（1）求证：AOC AOD △≌△；（2）若1BE =，3BD =，求O 的半径及图中阴影部分的面积S ．A C BD E O第20题图。
浙江省宁波市2023年中考数学考前冲刺试题(一)
浙江省宁波市2023年中考数学考前冲刺试题（一）一、单选题(共10题；共40分)1．（4分）下列哪一个数是﹣3的相反数的绝对值的倒数（ ）A．3B．﹣3C．13D．−132．（4分）下列运算正确的是（ ）A．a4+a2＝a6B．（﹣2a2）3＝﹣6a8C．6a﹣a＝5D．a2•a3＝a53．（4分）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大约是 2.1亿人一年的口粮，将2.1亿用科学记数法表示为（ ）A．2.1×109B．0.21×1010C．2.1×108D．21×1094．（4分）如图，是放置在北京冬奥会场馆内水平地面上的领奖台，其几何体左视图是（ ）A．B．C．D．5．（4分）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ）A．乙的最好成绩比甲高B．乙的成绩的平均数比甲小C．乙的成绩的中位数比甲小D．乙的成绩比甲稳定6．（4分）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动.如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB ＝8 cm ，圆柱的高BC ＝6 cm ，圆锥的高CD ＝3 cm ，则这个陀螺的表面积是( )A ．68π cm 2B ．74π cm 2C ．84π cm 2D ．100π cm 27．（4分）某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＝0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示：x …01234…y…﹣3﹣1﹣3…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）A ．{x =0y =−3B ．{x =2y =−1C ．{x =3y =0D ．{x =4y =38．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何？”其大意为：“现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．问绳索和竿子各多少尺？”设绳索长x 尺，竿子长y 尺，下列所列方程组正确的是( ) A ．{y−x =5y−12x =5B ．{y−x =512x−y =5C ．{x−y =512x−y =5D ．{x−y =5y−12x =59．（4分）如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD=2OA=6，AD ：AB=3：1，则点C 的坐标是（ ）A ．（2，7）B ．（3，7）C ．（3，8）D ．（4，8）10．（4分）如图：Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为BC 边中点，CF⊥AD 交AD 于E，交AB 于F，BE交AC 于G，连DF，下列结论：①AC＝AF，②CD ＋DF＝AD，③∠ADC＝∠BDF，④CE＝BE，⑤∠ BED＝45°，其中正确的有（ ）A．5 个B．4 个C．3 个D．2 个二、填空题(共6题；共30分)11．（5分）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，则a+b b-a。
规律问题-2022年中考数学考前冲刺高分突破(全国通用)
第01讲：规律问题【考点精讲】题型一：周期型1．（2022·广东阳江·）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形OA 2020B 2020C 2020，如果点A 的坐标为(1，0)，那么点B 2020的坐标为（ ）A．(﹣1，1)B ．(0)C ．(﹣1，﹣1)D ．(02．（2022·山东淄博·期末）用符号()f x 表示关于自然数x 的代数式，我们规定：当x 为偶数时，()2f x x=；当x 为奇数时，()31f x x =+．例如：()3114f x =⨯+=，()8842f ==．设18x =，()21x f x =，()32x f x =，…，()1n n x f x −=．以此规律，得到一列数1x ，2x ，3x ，…，2022x ，则这2022个数之和12320212022x x x x x +++⋅⋅⋅++等于（ ） A ．3631B ．4719C ．4723D ．47253．（2022·四川省内江市第六中学二模）如图，在平面直角坐标系中，存在动点P 按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P 的坐标是（ ）A ．(2022，1)B ．(2021，0)C ．(2021，1)D ．(2021，2)题型二：递推型4．（2022·山东泰安·九年级期末）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为90°的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是1cm ，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为（ ）A ．4πB ．212π C ．17π D ．552π 5．（2021·广东广州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt AOB V ，∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，直角边OB 在y 轴正半轴上，点A 在第一象限，且OA ＝1，将Rt AOB V 绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA 1＝2OA ）．得到11Rt OA B V ，同理，将11Rt OA B V 绕原点O 逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到22Rt OA B △，…，依此规律，得到20212021Rt OA B △，则2021OB 的长度为（ ）A ．2B 2020C 2021D 20196．（2021·河南平顶山·九年级期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在V ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，V ABC 看作第一个黄金三角形；作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点D ，V BCD 看作第二个黄金三角形；作∠BCD 的平分线CE ，交BD 于点E ，V CDE 看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（ ）A 2018B ）2019C 2018D 2019题型三：固定累加型7．（2021·山东潍坊·九年级期中）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，…按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（）A．2020352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B．2021352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C．4040352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D．4042352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭8．（2021·全国·九年级专题练习）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，⋯依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（）A．504B．505C．506D．5079．（2021·四川省德阳市第二中学校七年级阶段练习）已知2021个整数a1，a2，a3，…，a2020满足下列条件：a1＝1，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，……a2020＝﹣|a2019+1|，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（）A．0B．﹣1009C．﹣1011D．﹣2021题型四：渐变累加型10．（2021·重庆实验外国语学校）下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（）A ．38B ．52C ．68D ．8611．（2020·福建·三明市列东中学）如图所示，直线33y x =+与y 轴相交于点D ，点A 1在直线33y x =+上，点B 1在x 轴，且∆OA 1B 1是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B 1作B 1A 2∥OA 1与直线y =于点A 2，点B 2在x 轴上，再以B 1A 2为边作等边三角形A 2B 2B 1，记作第二个等边三角形；同样过B 2作B 2A 3∥OA 1与直线y x =A 3，点B 3在x 轴上，再以B 2A 3为边作等边三角形A 3B 3B 2，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n 个等边三角形的顶点A 纵坐标为（ ）A ．12n −B ．22n −C ．12n −D ．22n −12．（2021·全国·）在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．（12）2014B ．（12）2015C 2015D 2014 【专题精练】一、单选题13．（2021·福建莆田·一模）求23201312222+++++L 的值，可令220131222S =++++L ，则23201422222S =++++L ，因此2014221S S −=−．仿照以上推理，计算出23201315555+++++L 的值为（ ） A ．201451− B ．201351−C ．2014514−D ．2013514−14．（2022·广东·塘厦初中一模）观察规律111111111,,,12223233434=−=−=−⋅⋅⋅⨯⨯⨯，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点()(),012n P n n =L 、、作x 轴的垂线，交()20y ax a =>的图象于点n A ，交直线y ax =−于点n B ．则1122111n nA B A B A B ++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．()1na n −B ．()21a n −C ．()21an n +D ．()1na n +15．（2022·四川·珙县孝儿镇初级中学校一模）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第9幅图中正方形正的个数为（ ）A ．180B ．204C ．285D ．38516．（2020·浙江金华·模拟预测）如图，在一单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7……，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1(2，0)，A 2(1，﹣1)，A 3(0，0)，则依图中所示规律，A 2020的坐标为（ ）A ．(1010，0)B ．(1012，0)C ．(2，1012)D ．(2，1010)17．（2020·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和（a＋b）n的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究（a＋b）20的展开式中第三项的系数为()A．2017B．2016C．191D．19018．（2020·四川达州·中考真题）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．10B．89C．165D．29419．（2021·全国·二模）求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（）A．2020202012020−B．2021202012020−C．2021202012019−D．2020202012019−20．（2020·浙江绍兴·二模）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图：当表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹可表示为（）A ．B ．C ．D ．21．（2021·全国·九年级专题练习）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在234111112222+++++…中，“…”代表按规律不断求和，设234111112222x +++++⋅⋅⋅=．则有112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地2461111333++++⋅⋅⋅的结果为（ ）A ．43B ．98C ．65D ．222．（2020·湖北·阳新县陶港镇初级中学模拟预测）将正偶数按下表排成5列：根据上面规律，2020应在（ ）A ．125行，3列 B ．125行，2列 C ．253行，2列 D ．253行，3列23．（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）我们知道，一元二次方程x 2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2＝﹣1（即方程x 2＝﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1＝i ，i 2＝﹣1，i 3＝i 2×i ＝（﹣1）×i ＝﹣i ，i 4＝（i 2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n ，我们可以得到i 4n+1＝i 4n ×i ＝（i 4）n ×i ＝i ，i 4n+2＝﹣1，i 4n+3＝﹣i ，i 4n ＝1．那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013+…+i 2019的值为（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．i24．（2019·浙江金华·中考模拟）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为1a ，第2幅图形中“•”的个数为2a ，第3幅图形中“•”的个数为3a ，…，以此类推，则123191111a a a a ++++…的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．43176025．（2019·广东广州·一模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为（ ）个．A ．1835B ．1836C ．1838D ．184226．（2018·湖北随州·中考模拟）如图所示，图（1）中含“○”的矩形有1个，图（2）中含“○”的矩形有7个，图（3）中含“○”的矩形有17个，按此规律，图（6）中含“○”的矩形有（ ）A ．70B ．71C ．72D ．7327．（2017·山东济南·二模）我们知道，一元二次方程21x =−没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为i )，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对任意正整数n ，我们可得到同理可得那么，23420162017••••••i i i i i i ++++++．的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．i28．（2018·山东临沂·中考模拟）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为（ ）A ．（12）6B ．（12）7C ）6D 7 29．（2015·浙江金华·中考真题）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…．则第6次应拿走的是（ ）A ．②号棒B ．⑦号棒C ．⑧号棒D ．⑩号棒30．（2013·湖南永州·中考真题）我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2=﹣1（即方程x 2=﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i=i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1．那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为【 】 A ．0 B ．1C ．﹣1D ．i二、填空题31．（2022·贵州·玉屏侗族自治县教研室一模）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的1B 处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为1h ；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点1D 的直线折叠，使点B 落在DE 边上的2B 处，称为第二次操作，折痕11D E 到AC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去…经过第n 次操作后得到折痕11n n D E −−到AC 的距离记为n h ，若11h =，则n h 的值为______．32．（2022·山东青岛·一模）例．求1＋2＋22＋23＋…＋22008的值． 解：可设S ＝1＋2＋22＋23＋…＋22008，则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋22009 因此2S ﹣S ＝22009﹣1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22008＝22009﹣1． 请仿照以上过程计算出：1＋3＋32＋33＋…＋32022＝_____．33．（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a 的值为____________．34．（2022·湖北随州·一模）中国古代十进位制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．算筹计数的方法：如图，将个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出，将十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出．图1和图2都是借用算筹进行减法运算，例如：图1所示的图形表示的等式为542331−=，34331−=，则图2所示的图形表示的等式为____________________．（写出一个即可）35．（2021·广东佛山·九年级阶段练习）如图，四边形11OAA B 是边长为1的正方形，以对角线1OA 为边作第二个正方形122OA A B ，连接2AA ，得到12AA A ∆；再以对角线2OA 为边作第三个正方形233OA A B ，连接13A A ，得到123A A A ∆，再以对角线3OA ，为边作第四个正方形344OA A B ，连接24A A ，得到234A A A ∆，…，设12AA A ∆，123A A A ∆，234A A A ∆，…，的面积分别记为1S ，2S ，3S ，…，如此下去，则2021S 的值为_______．36．（2021·安徽宣城·一模）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为__．37．（2021·安徽芜湖·二模）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：3333123n ++++=L 【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出3333123n ++++=L ______=______（用含n 的代数式表示）； 【拓展应用】根据以上结论，计算：3333246(2)n ++++L 的结果为________．38．（2020·广东汕头·模拟预测）如图，圆心都在x 轴正半轴上的半圆1O ，半圆2O ，…，半圆n O 与直线y =相切．设半圆1O ，半圆2O ，…，半圆n O 的半径分别是1r ，2r ，…，n r ，则当11r =时，2020r =_________．参考答案：1．C【解析】【分析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求解．【详解】解：连接OB，∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0），∴OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°，∴B（1，1），由勾股定理得：OB=由旋转性质得：OB=OB1=OB2=OB3∵将正方形OABC绕点O逆时针连续旋转45°，相当于将OB绕点O逆时针连续旋转45°，∴依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（0B2（－1，1），B2(0)，B4（－1，－1），B5（0），B6（1，－1），B70），B8（1，1），……，发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，∵2020=8×252+4，∴点B2020与点B4重合，∴点B2020的坐标为（－1，－1），故选：C．【点睛】本题考查坐标与旋转规律问题、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转性质，正确得出变化规律是解答的关键．2．D【解析】【分析】根据题意分别求出x2=4，x3=2，x4=1，x5=4，…，由此可得从x2开始，每三个数循环一次，进而继续求解即可．【详解】解：∵x1=8，∴x2=f（8）=4，x3=f（4）=2，x 4=f （2）=1， x 5=f （1）=4， …，从x 2开始，每三个数循环一次， ∴（2022-1）÷3=673L 2， ∵x 2+x 3+x 4=7，∴12320212022x x x x x +++⋅⋅⋅++=8+673×7+4+2=4725. 故选：D ． 【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，通过计算找到数的循环规律是解题的关键． 3．C 【解析】 【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P 的坐标． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点（1，1）， 第2次接着运动到点（2，0）， 第3次接着运动到点（3，2）， 第4次接着运动到点（4，0）， 第5次接着运动到点（5，1）， …按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与次数相等， 纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环， 所以2021÷4＝505…1， 所以经过第2021次运动后， 动点P 的坐标是（2021，1）． 故选：C ． 【点睛】本题考查了规律型−点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律． 4．B 【解析】【分析】根据题意找出半径的变化规律，进而求出第8步所画扇形的半径，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，… 第6步半径为3+5=8（cm ）； 第7步半径为5+8=13（cm ）； 第8步半径为8+13=21（cm ）；由题意得：第8步所画扇形的半径21cm ， ∴第8步所画扇形的弧长＝9021211802ππ⨯=（cm ）， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是弧长的计算、数字的变化规律，根据题意找出半径的变化规律是解题的关键． 5．B 【解析】 【分析】根据余弦的定义求出OB ，根据题意求出OBn ，根据题意找出规律，根据规律解答即可． 【详解】解：在Rt AOB V 中，30AOB ∠=︒，1OA =，∴•OB OA cos AOB =∠=由题意得，122OB OB ==，22122OB OB ==，332222OB OB ==， ……11222nn n n OB OB −==﹣，∴202020212OB ． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是坐标与旋转规律问题、锐角三角函数，正确得到图形的变化规律是解题的关键．6．B 【解析】 【分析】由黄金三角形的定义得BC ==，同理：△BCD 是第二个黄金三角形，△CDE看作第三个黄金三角形，则CD 12=BC ＝（12）2，得出规律，即可得出结论．【详解】解：∵AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，△ABC 是第一个黄金三角形，即BC AB =∴BC = 同理：△BCD 是第二个黄金三角形，△CDE 是第三个黄金三角形，则CD =）2，即第一个黄金三角形的腰长为1＝0，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角）1）2，…，∴第2020个黄金三角形的腰长是（12）2020﹣1，）2019， 故选：B ． 【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键． 7．C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出AB =BC =AD ，再用三角形相似得出1223()2A B A B =找出规律202120213()2A B =2021个正方形的面积．【详解】解：∵点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）， ∴OA =1，OD =2，BC =AB =AD∵正方形ABCD ，正方形A 1B 1C 1C ，∴∠OAD +∠A 1AB =90°，∠ADO +∠OAD =90°， ∴∠A 1AB =∠ADO ， ∵∠AOD =∠A 1BA =90°， ∴△AOD ∽△A 1BA ， ∴1AO ODA B AB=，∴11A B =∴1A B =∴1111A B A C A B BC ==+=同理可得，223()2A B ==同理可得，333()2A B =同理可得，202020203()2A B = ∴第2021个正方形的面积=220211404033522−⎡⎛⎫⎛⎫=⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣． 故选：C ． 【点睛】此题考查正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，解题关键在于找到规律． 8．B 【解析】 【分析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第n 个图案有31n +个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有41n +个，进而可求得当412021n +=时n 的值． 【详解】解：∵第①个图案有4个三角形和1个正方形，正三角形和正方形的个数共有5个； 第②个图案有7个三角形和2个正方形，正三角形和正方形的个数共有9个；第③个图案有10个三角形和3个正方形，正三角形和正方形的个数共有13个； 第④个图案有13个三角形和4个正方形，正三角形和正方形的个数共有17个；L L∴第n 个图案有()43131n n +−=+个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有3141n n n ++=+个∵第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个 ∴412021n += ∴505n =． 故选择：B 【点睛】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 9．C 【解析】 【分析】根据题意，可以分别求得这列数的各项的数值，从而可以求得从a 3开始2个一循环，本题即可求解． 【详解】解：∵a 1＝1，a 2＝﹣|a 1+1|，a 3＝﹣|a 2+1|，……a 2020＝﹣|a 2019+1|， ∴a 2=-2，a 3=-1，a 4=0，a 5=-1，a 6=0，a 7=-1，……，a 2020=0，a 2021=-1， ∴从a 3开始2个一循环，∴a 1+a 2+a 3+…+a 2021=（1-2）+（-1+0）×1009+（-1）=-1011． 故选：C ． 【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是得到这列数从a 3开始2个一循环的规律． 10．C 【解析】 【分析】由题意易知第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1，第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2，第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3；…..，由此问题可求解． 【详解】 解：由题意知，第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1， 第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2， 第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3； ……；∴第⑦幅图小圆的个数为7×8+2×6=68（个）； 故选C ． 【点睛】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找到图形规律即可． 11．D 【解析】 【分析】可设直线与x 轴相交于C 点．通过求交点C 、D 的坐标可求∠DCO =30°．根据题意得△COA 1、△CB 1A 2、△CB 2A 3…都是等腰三角形，且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解． 【详解】解：设直线与x 轴相交于C 点．令x =0，则y y =0，则x =-1．∴OC =1，OD ．∵tan ∠DCO =OD OC =∴∠DCO =30°． ∵△OA 1B 1是正三角形， ∴∠A 1OB 1=60°． ∴∠CA 1O =∠A 1CO =30°， ∴OA 1=OC =1．∴第一个正三角形的高=1×sin60°=2； 同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2，高第三个正三角形的边长=1+1+2=4，高第四个正三角形的边长=1+1+2+4=8，高 …第n 个正三角形的边长=2n -1，高=2n -2∴第n 个正三角形顶点An 的纵坐标是2n -2故选：D ． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征． 12．D 【解析】 【详解】试题分析：方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3… ∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°=12，则B 2C 2=1，同理可得：B 3C 3=13=2，故正方形A n B n C n D n n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015）2014． 故选D ． 方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，∴D 1E 1=B 2E 2=12，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2=60°，∴B 2C 2=3，同理：B 3C 3=13…∴a 1=1，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长=1×201512014−=． 考点：正方形的性质． 13．C【分析】类比题目中所给的解题方法解答即可． 【详解】解：设a =1+5+52+53+ (52013)则5a =5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+52014，∴5a -a =（5+52+53+…+52013+52014）-（1+5+52+53+…+52013）=52014-1，即a =2014514−．故选：C ． 【点睛】本题是阅读理解题，类比题目中所给的解题方法是解决问题的基本思路． 14．D 【解析】 【分析】由()(),012n P n n =L 、、可得：2n n A P an = ，n n B P an =，则可得2n n A B an an =+ ，则可得211()n n A B a n n =+ ，再利用111(1)1n n n n =−++ ，进行计算即可． 【详解】∵过点()(),012n P n n =L 、、的垂线，交()20y ax a =>的图象于点n A ，交直线y ax =−于点n B ；∴令x =n ，可得∶n A 纵坐标为2an ，n B 纵坐标为an - ， 2n n A P an \= ，n n B P an =，2n n A B an an \=+．21111111()()(1)1n n A B a n n a n n a n n ===-+++g ， 1122111n nA B A B A B ∴++⋅⋅⋅+ 11111111(1)223341a n n =-+-+-++-+L11(1)1a n =-+11n a n =+g (1)na n =+ ．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键．15．C【解析】【分析】从特殊情况开始，先算出前几幅图中正方形的个数，找出其中的规律，归纳得出一般情况，第n幅图中正方形个数的规律，于是可算出当n=9时的正方形的个数．【详解】第１幅图中有１个正方形；第2幅图中有1+4=12+22=5个正方形；第3幅图中有1+4+9=11+22+32=14个正方形；第4幅图中有1+4+9+16=12+22+32+42=30个正方形；…第n幅图中有12+22+32+42+…+n2个正方形．于是，当n=9时，正方形的个数为：12+22+32+42+52+62+72+82+92=30+25+36+49+64+81=285（个）故选：C【点睛】本题考查了图形的变化规律，利用图形间的联系，得出数字间的运算规律，从而问题解决，体现了由特殊到一般的数学思想．16．D【解析】【分析】根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出第2020个点的坐标即可．【详解】解：观察点的坐标变化发现：当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，因为2020能被4整除，所以横坐标为2，纵坐标为1010， 故选：D ． 【点睛】本题考查点坐标的变化规律，根据所要求的点坐标确定类似点的变化规律是解题关键． 17．D 【解析】 【分析】根据图形中的规律可得()n a b +的第三项系数为123(2)(1)n n +++⋯+−+−，即可求出20()a b +的展开式中第三项的系数． 【详解】解：找规律发现3()a b +的第三项系数为312=+；4()a b +的第三项系数为6123=++； 5()a b +的第三项系数为101234=+++；不难发现()n a b +的第三项系数为123(2)(1)n n +++⋯+−+−，20()a b ∴+第三项系数为12319190+++⋯+=，故选：D ． 【点睛】此题考查了通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 18．D 【解析】 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是：2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D ． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算． 19．C 【解析】 【分析】由题意可知S ＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S ＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S 的值． 【详解】解：设S ＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020① 则2020S ＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021② 由②－①得： 2019S ＝20202021－1∴2021202012019S −=．故答案为：C ． 【点晴】本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算． 20．D 【解析】 【分析】根据题中的介绍，掌握0-9这十个数字的表达形式及数的表达方法，即可表示出5288这个数． 【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位数字用纵式表示，十位，千位数字用横式表示，则5288用算筹可表示为，故选：D ． 【点睛】本题是一道阅读理解题，解题中要注意读懂题意，掌握算筹表示数的方法，利用数形结合的思想进行分析是解题的关键． 21．B 【解析】 【分析】 设2461111333x ++++⋅⋅⋅=，仿照例题进行求解． 【详解】 设2461111333x ++++⋅⋅⋅=，则246224611111111113333333⎛⎫++++⋅⋅⋅=+++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 2113x x ∴=+， 解得，98x =， 故选B ． 【点睛】本题考查类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． 22．D 【解析】 【分析】找规律题型，发现规律：（1）每行4个数字，从小到大依次排列，且这一行的第一个空不填写； （2）2行一个循环，一个循环中，顺序按照先从左到右，再从右到左； （3）数字都是偶数 【详解】正偶数依次排列，2020是第1010个数根据分析中的规律，每个循环是8个数字，则1010÷8=1262L因此，第1010个数（即2020）是完成126个循环后，再往后数2个数的位置 一个循环是2行，故126个循环是第252行再往后2个数字，故是253行，第3列数字（第一个数字空缺） 故选D 【点睛】找规律的题型，难度不大，但需要细心，在解题过程中，特别是“+1”、“－1”的位置，需要额外注意. 23．C 【解析】 【分析】根据已知的式子找出规律，发现4次一循环，一个循环内的和为0，从而得出2019内的循环次数． 【详解】解：由题意得，i 1＝i ，i 2＝﹣1，i 3＝i 2•i ＝(﹣1)•i ＝﹣i ，i 4＝(i 2)2＝(﹣1)2＝1，i 5＝i 4•i ＝i ，i 6＝i 5•i ＝﹣1，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，∵20194＝504…3， ∴i+i 2+i 3+i 4+…+i 2018+i 2019＝i ﹣1﹣i ＝﹣1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法中的新定义问题，解题的关键是理解运算法则，通过计算找出规律． 24．C 【解析】 【分析】根据给定几幅图形中黑点数量的变化可找出其中的变化规律“()2n a n n =+（n 为正整数）”，进而可求出111122n a n n ⎛⎫=− ⎪+⎝⎭，将其代入123191111a a a a ++++…中即可求得结论． 【详解】解：∵第一幅图中“•”有1133a =⨯=个； 第二幅图中“•”有2248a =⨯=个； 第三幅图中“•”有33515a =⨯=个；L L∴第n 幅图中“•”有()2n a n n =+（n 为正整数）个 ∴111122n a n n ⎛⎫=− ⎪+⎝⎭∴当19n =时123191111a a a a ++++… 11113815399=++++L L 11111324351921=++++⨯⨯⨯⨯L L 1111111111112322423521921⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−+⨯−+⨯−++⨯− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111111112324351921⎛⎫=⨯−+−+−++− ⎪⎝⎭L L 11111222021⎛⎫=⨯+−− ⎪⎝⎭ 589840=．故选：C 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 25．C 【解析】 【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为2、 06⨯ 、366⨯⨯ 、2666⨯⨯⨯ 、16666⨯⨯⨯⨯ ，然后把它们相加即可．【详解】解：2063662666166661838+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＝， 故选C ． 【点睛】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 26．B 【解析】 【详解】图（6）中，单个矩形有：62=36个， 含“○”的矩形个数： 1个矩形：1×2=2个， 2个矩形：1×2：2个， 2×1：2个， 3个矩形：1×3：2个 3×1：2个4个矩形：1×4：2个 4×1：2个 2×2：2个5个矩形：1×5：2个 5×1：2个6个矩形：1×6：2个 6×1：2个 2×3：2个 3×2：2个8个矩形：2×4：2个4×2：2个9个矩形：3×3：2个10个矩形：2×5：2个5×2：2个12个矩形：2×6：2个6×2：2个3×4：2个4×3：2个15个矩形：3×5：2个5×3：2个16个矩形：4×4：2个18个矩形；3×6：2个6×3：2个20个矩形：4×5：2个5×4：2个24个矩形：4×6：2个6×4：2个25个矩形：5×5：2个30个矩形：5×6：2个6×5：2个36个矩形：6×6：1个，总计和为71个，故选B．27．D【解析】【详解】∵根据i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，∴原式=（i-1-i+1）+…+（i-1-i+1）+i=i；故选D．【点睛】此题运用直接开平方法解一元二次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．28．A【解析】【分析】【详解】试题分析：如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2=12S1=2，S3=12S2=1，S4=12S3=12，…，由此可得S n=（12）n﹣3．当n=9时，S9=（12）9﹣3=（12）6，故选A．考点：勾股定理．29．D【解析】【详解】试题分析：仔细观察图形，找到拿走后图形下面的游戏棒，从而确定正确的选项．解：仔细观察图形发现：第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D．考点：规律型：图形的变化类．30．D【解析】【详解】由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，可发现4次一循环，一个循环内的和为0， ∵2013÷4=503…1，∴i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013=i ． 故选D ． 31．1122n −−【解析】 【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得1BD DC DB ==，从而可得12BDB C ∠=∠，结合折叠的性质可得12BDB BDE ∠=∠，可得C BDE ∠=∠，进而判断//DE AC ，得出DE 是△ABC 的中位线，证得1BB AC ⊥，得到12BB =，求出2122h =−；同理，23122h =−，……，经过第n 次操作后得到的折痕11n n D E −−到BC 的距离1122n n h −=−． 【详解】解：如图，连接1BB ，由折叠性质可知，1BB DE ⊥，1BD B D =， 又∵D 是BC 中点， ∴BD DC =， ∴1CD B D =， ∴1CB D C ∠=∠， ∴12BDB C ∠=∠， 又∵12BDB BDE ∠=∠， ∴C BDE ∠=∠， ∴//DE AC ， ∴1BB AC ⊥， ∵11h =， ∴1122BB h ==， ∴2121122h =+=−， 同理，32211112222h =++=−， ……∴经过第n 次操作后得到的折痕11n n D E −−到BC 的距离2111111122222n n n h −−=+++⋅⋅⋅+=−，。
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中考数学考前冲刺专题——方程和不等式
一、中考考查知识点：
1、一元一次方程的解和解法
2、二元一次方程组的解法
3、三元一次方程组的解法
4、分式方程的解法
5、不等式的性质
6、不等式的解法和解集
7、不等式组的解法和解集
二、中考试题回顾：
1、请写出一个解为x ＝2的一元一次方程：
2、二元一次方程21-=x y 有无数多个解，下列四组值中不是．．该方程的解的是（
）． A ．0
12x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ B ．11x y =⎧⎨=⎩ C ．10x y =⎧⎨=⎩ D ．1
1x y =-⎧
⎨=-⎩
3、如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）．
(A) a ＋c ＞b ＋c ； (B) c －a ＞c －b ； (C) ac ＞bc ； (D) a
b
c c > ．
4、不等式x x +<-353的解集是（ ）．
A 、4≤x
B 、4≥x
C 、4<x
D 、4>x
5、若|x -3|=x -3，则下列不等式成立的是（ ）．
A. x -3>0
B. x -3<0
C. x -3≥0
D. x -3≤0
6、不等式312->+x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）．
7、不等式组⎩⎨⎧≤>
21x x 的解集在数轴上表示为（ ）．
8、分式方程23
1-=x x 的解为 ．
9、解方程组：⎩⎨⎧=+=②13y 2x ①
113y -4x 10、已知不等式组：36
280x x ≥⎧⎨-≤⎩
．
B 2 1 0
C 2 1 0
D 2 1 0 A 2 1 0 0 -0
--0 0 -A B C D
三、中考专题冲刺训练
1、一元一次方程240
x+=解是_________
2、方程
21
11
x x
-=
+-
的解是_________
3、不等式10
x->的解集是．
4、不等式组
24
348
x
x
+>
⎧
⎨
-≤
⎩
，
的解集是.
5、解方程组：
38 534 x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
．
6、解分式方程：
23
2 11
x
x x
+= +-
7、解不等式：()
4156
x x
->-。
8、解不等式组
21 1 46 1
x x
x x
->+
⎧
⎨
-<+
⎩
①
②
9、(湖南湘西)解不等式组：
12
12
x
x
-<
⎧
⎨
+>
⎩
并把它的解集在数轴上表示出来。
10、（2011湖南衡阳，20，6分）解不等式组()()30312211x x x ⎧-⎪⎨
---<⎪⎩≤，①②，并把解集在数轴上表示出来．。