整式的加减法
整式加减探究整式的加减运算
整式加减探究整式的加减运算整式是数学中的一种常见表达形式，由若干个代数式通过加法或减法运算得到。
在代数运算中，整式的加减运算是十分常见的，本文就对整式的加减运算进行探究。
一、整式的定义与基本概念整式是由常数和字母的乘积通过加法或减法连接而成的代数式。
其中，常数就是数字，字母代表未知数或变量。
整式是代数表达式中的一种，它由于其简练的表达形式而在数学推理中得到了广泛应用。
以n为整数, 比如3n^2-5n+2或者4p^3-2p^2+7p-3，都可以被称为整式。
整式通常会通过加减法连接，例如3n^2-5n+2+4p^3-2p^2+7p-3，这是一个由两个整式相加而得到的整式。
整式的符号在加减运算中发挥着重要的作用。
下面我们将详细探讨整式的加减运算。
二、整式的加法运算规则整式的加法运算遵循以下规则：1. 相同字母的项可以合并，即系数相加；2. 不同字母的项不能合并，保持原样；3. 加法运算仅仅是把同类项的系数相加，不改变字母部分。
例如，对于整式的加法运算 (3n^2 - 5n + 2) + (4n^2 + 7n - 3)：相同字母的项属于同类项，可以合并，结果为：(3n^2 + 4n^2) + (-5n + 7n) + (2 - 3)；合并同类项后，最终结果为：7n^2 + 2n - 1。
三、整式的减法运算规则整式的减法运算与加法运算类似，也遵循相同的规则：1. 相同字母的项可以合并，即系数相减；2. 不同字母的项不能合并，保持原样；3. 减法运算仅仅是把同类项的系数相减，不改变字母部分。
例如，对于整式的减法运算 (3n^2 - 5n + 2) - (4n^2 + 7n - 3)：相同字母的项属于同类项，可以合并，结果为：(3n^2 - 4n^2) + (-5n - 7n) + (2 + 3)；合并同类项后，最终结果为：-1n^2 - 12n + 5。
四、整式的加减混合运算在进行整式的加减混合运算时，需要按照加法和减法运算的规则逐项进行处理，保持字母部分不变，相同字母的项进行合并。
《整式》整式的加减
合并同类项
在处理函数表达式时，需要合并同 类项，以简化表达式。
化简二次根式
对于包含二次根式的函数表达式， 需要利用化简二次根式的方法，将 表达式转化为更简单的形式。
03
整式加减的注意事项
确定符号
确定符号
01
在进行整式加减时，首先要确定每个项的符号，以便正确进行
运算。
括号内的项要一起加减
02
在处理括号时，需要将括号内的每一项都按照运算顺序进行加
减。
先化简，再加减
03
为了使运算更加简便，可以先对每个项进行化简，例如合并同
类项、提取公因式等，然后再进行加减运算。
符号运算规则
同号相加
同号是指相同的符号，如两个正 数或两个负数相加。同号相加时
，只需要将系数相加即可。
异号相加
异号是指不同的符号，如一个正 数和一个负数相加。异号相加时 ，需要先取绝对值较大的数的符 号作为结果的符号，然后将绝对
掌握有理数的加减法规则
有理数的加减法包括同号有理数相加、异号有理数相加、有理数的减法等，相加时需要将 绝对值相加，符号相同的数相加结果仍为同号有理数，异号有理数相加时需要取绝对值较 大的有理数的符号。
运用有理数的加减法解决实际问题
有理数的加减法可以用于解决一些实际问题，例如计算数值、解方程等。
THANK YOU
抽象思维
整式的加减涉及到抽象的数学概念，教师需要培养学生的抽象思维 能力，让学生能够将具体问题抽象成数学模型。
批判性思维
教师需要引导学生对解题方法和答案进行批判性思考，鼓励学生提 出疑问和不同的观点，培养学生的批判性思维能力。
06
整式加减的进一步学习建议
学习因式分解
整式的运算法则
整式的运算法则整式的加减法：〔1〕去括号；〔2〕合并同类项。
整式的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=•),(都是正整数）（n m aa mnn m =)()(都是正整数n b a ab nn n =22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=-整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m aa a nm n m 都是正整数【注意】〔1〕单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
〔2〕单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。
〔3〕计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。
〔4〕多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
〔5〕公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
〔6〕),0(1);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=-〔7〕多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得 的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
一、选择〔每题2分，共24分〕1．以下计算正确的选项是〔〕．A．2x2·3x3=6x3B．2x2+3x3=5x5C．〔－3x2〕·〔－3x2〕=9x5D．54x n·25x m=12x m+n2．一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为〔〕．A．5y3+3y2+2y－1 B．5y3－3y2－2y－6C．5y3+3y2－2y－1 D．5y3－3y2－2y－13．以下运算正确的选项是〔〕．A．a2·a3=a5B．〔a2〕3=a5C．a6÷a2=a3D．a6－a2=a44．以下运算中正确的选项是〔〕．A．12a+13a=15a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0二、填空〔每题2分，共28分〕6．－xy2的系数是______，次数是_______．8．x_______=x n+1；〔m+n〕〔______〕=n2－m2；〔a2〕3·〔a3〕2=______．9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时， 假设坐飞机飞行这么远的距离需_________．10．a2+b2+________=〔a+b〕2a2+b2+_______=〔a－b〕2〔a－b〕2+______=〔a+b〕211．假设x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．三、计算〔每题3分，共24分〕13．〔2x2y－3xy2〕－〔6x2y－3xy2〕14．〔－32ax4y3〕÷〔－65ax2y2〕·8a2y17．〔x－2〕〔x+2〕－〔x+1〕〔x－3〕18．〔1－3y〕〔1+3y〕〔1+9y2〕19．〔ab+1〕2－〔ab－1〕2四、运用乘法公式简便计算〔每题2分，共4分〕20．〔998〕221．197×203五、先化简，再求值〔每题4分，共8分〕22．〔x+4〕〔x－2〕〔x－4〕，其中x=－1．23．[〔xy+2〕〔xy－2〕－2x2y2+4]，其中x=10，y=－1 25．六、解答题〔每题4分，共12分〕24．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．25．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．幂的运算一、同底数幂的乘法〔重点〕1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
整式的加减法运算
整式的加减法运算整式是指由数字、字母和加减乘除符号组成的表达式，其中字母表示数，整式的加减法运算主要是对整式中的相同项进行合并和整理。
下面将分为两个部分，分别介绍整式的加法运算和减法运算。
一、整式的加法运算整式的加法运算是指将两个或多个整式相加得到一个简化的整式。
在加法运算中，我们首先需要对整式中的相同项进行合并。
相同项是指具有相同字母和相同幂次的项。
具体的步骤如下：1. 将所有的整式按照相同的字母和幂次进行分类，将相同的项放在一起。
2. 对于每一组相同项，将系数相加得到合并后的系数，并保留相同的字母和幂次。
3. 将合并后的每一组项按照字母和幂次的顺序排列。
4. 最后将合并后的项按照加号连接起来并进行简化。
举例说明：假设有两个整式：3a^2b-2ab^2和2ab^2+5a^2b-4ab。
我们按照上述步骤进行计算。
首先，按照相同的字母和幂次进行分类：3a^2b、5a^2b：系数3和5相加得到8；字母和幂次不变，为a^2b。
-2ab^2、2ab^2：系数-2和2相加得到0；字母和幂次不变，为ab^2。
-4ab：和其他项没有相同的字母和幂次，无需合并。
然后，将合并后的每一组项按照字母和幂次的顺序排列：8a^2b、0ab^2、-4ab。
最后，将合并后的项按照加号连接起来并进行简化：8a^2b+0ab^2-4ab。
因为0ab^2的系数为0，所以可以省略该项，简化后的结果为：8a^2b-4ab。
二、整式的减法运算整式的减法运算是指将一个整式减去另一个整式得到一个简化的整式。
在减法运算中，我们可以通过将减数取相反数，再进行整式的加法运算，从而将减法运算转化为加法运算。
具体的步骤如下：1. 将减数的每一项取相反数，得到相反数式。
2. 将相反数式与被减数进行整式的加法运算。
3. 对加法运算得到的整式进行简化。
举例说明：假设有两个整式：4x^2-3xy和2x^2+xy+3ab。
我们按照上述步骤进行计算。
首先，将减数的每一项取相反数：相反数式为：-2x^2-xy-3ab。
整式加减法的运算法则
整式加减法的运算法则
整式加减法的运算法则主要包括以下几个规则：
1.同类项的合并：在整式加减法中，首先要将具有相同字母
部分的项合并在一起。
对于同类项，将它们的系数相加
（或相减），字母部分不变。
例如，2x + 3x 可以合并为5x；
4y^2 - 2y^2 可以合并为 2y^2。
2.常数项的合并：将整式中的常数项合并在一起，将它们的
数值相加（或相减）。
例如，3 + 5 可以合并为 8。
3.加减法的结合律：整式的加减法满足结合律，即可以通过
改变加减法的顺序来进行计算。
例如，(2x + 3y) - z = 2x +
(3y - z)。
4.减法的运算：减法可以转化为加法运算，即将减数取相反
数，然后按照加法的规则进行计算。
例如，a - b 可以转化
为 a + (-b)。
需要注意的是，在整式加减法中，根据计算规则，待加减的整式必须具有相同的字母部分，才能进行合并运算。
字母部分不同的项无法进行合并运算，需要保持原样。
此外，还需要注意符号的运用，正负号的配对和运算符的正确使用，以确保运算结果正确无误。
综上所述，整式加减法的运算法则主要包括同类项的合并、常数项的合并、加减法的结合律以及减法的运算规则。
掌握这些规则可以帮助我们进行整式的正确运算和简化。
整式的加减法
整式的加减法 一、整式的有关概念回顾（1）单项式：表示数与字母的乘积的代数式，叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，如、 2πr 、 a ， 0 ……都是单项式。
（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式（3）整式：单项式和多项式统称为整式，如：－2ab ，……是整式（4）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
如 c b a 232的次数是 6 ，它是 6 次单项式。
（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
如 5y x 2－2xy －1 是三次多项式。
（6）升幂排列与降幂排列：例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1，这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列。
若按x 的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3，这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列。
这两种排列有一个共同点，那就是x 的指数是逐渐变小(或变大)的。
我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。
例1：判断下列各代数式是否是单项式。
如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。
①x ＋1； ②x1； ③πr 2； ④－23a 2b 。
例2：下面各题的判断是否正确？①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2； ④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥31πr 2h 的系数是31。
通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x 2，－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关。
例3：判断：①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3，次数为12； ②多项式3n 4－2n 2＋1的次数为4，常数项为1。
整式的加减法教案
整式的加减法教案教案标题：整式的加减法教案教案目标：1. 学生能够理解整式的概念和特点；2. 学生能够掌握整式的加法和减法运算规则；3. 学生能够运用整式的加减法解决实际问题。
教学重点：1. 整式的概念和特点；2. 整式的加法和减法运算规则。
教学难点：1. 整式的加减法运算规则的灵活运用。
教学准备：1. 教师准备整式的加减法运算的示例和练习题；2. 学生准备纸和铅笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入整式的概念，解释整式是由常数项、变量项和它们的系数通过加法和减法运算得到的表达式；2. 提问学生：你们对整式有什么了解？整式和多项式有什么区别？二、讲解整式的加法和减法运算规则（15分钟）1. 教师介绍整式的加法和减法运算规则，包括同类项的合并和系数的运算；2. 通过示例演示整式的加法和减法运算步骤；3. 强调整式中变量的指数和字母要保持一致，才能进行加减运算。
三、练习与讨论（20分钟）1. 学生进行练习，计算给定的整式加减法运算；2. 学生互相交流讨论解题思路和答案；3. 教师巡视课堂，解答学生疑惑。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用整式的加减法解决；2. 学生独立或小组合作解答问题；3. 学生展示解题过程和答案，进行讨论。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师总结整个教学内容，强调整式的加减法运算规则；2. 学生回顾学习的重点和难点，提出问题和建议；3. 教师给予学生反馈和指导。
教学延伸：1. 学生可以通过更多的练习巩固整式的加减法运算规则；2. 学生可以尝试解决更复杂的实际问题，提高应用能力。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成的练习和解答实际问题的能力；3. 学生对整式的加减法运算规则的理解程度。
教学反思：在整式的加减法教学中，教师应注重培养学生的实际运用能力，引导学生将所学知识应用到解决实际问题中。
同时，要给予学生充分的练习和讨论机会，加强对整式的加减法运算规则的理解和灵活运用。
整式的加减全章知识点总结
整式的加减全章知识点总结整式的加减是代数中的基本运算之一，也是代数学习中的基础内容。
下面是整式的加减全章知识点总结，包括定义、规律、方法等详细内容。
1.定义整式是指由常数和未知量的系数与幂的乘积相加或相减得到的代数式。
其中，未知量的幂必须是非负整数。
例如，3x² - 5x + 2和4y³ - 2y² + y - 1都是整式。
2.规律(1) 同类项相加或相减同类项指未知量的幂和次数相同的项。
将同类项的系数相加或相减，然后将同类项的系数与该项的幂相乘，得到新的同类项。
例如，3x² - 5x + 2和2x² + 4x - 1是同类项，将它们相加，得到5x² - x + 1。
(2) 加减法的性质加减法有以下性质：加减法的顺序可以随意交换，不影响结果。
相同的式子相加减，结果为0。
例如，(3x² - 5x + 2) + (2x² + 4x - 1) = 5x² - x + 1，(3x² - 5x + 2) - (3x² - 2x + 1) = -3x + 1。
3.方法(1) 垂直加减法将同类项对齐，按照加减法的规则逐项计算，然后将结果写在下面，得到新的整式。
例如：3x² - 5x + 22x² + 4x - 15x² - x + 1(2) 括号展开法将括号内的每一项与另一个括号内的每一项相乘，然后将所得的每一项相加或相减，得到新的整式。
例如，将(3x - 2)(2x + 5)展开得到6x² + 11x - 10。
(3) 合并同类项将给定的整式中同类项合并，并按照同类项的系数大小进行排序，得到新的整式。
例如，将3x² + 2x + 4 + 2x² - 3x - 1合并同类项，得到5x² - x + 3。
4.注意事项(1) 一定要注意每一项的系数和幂，判断是否为同类项。
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教学内容
课本第63页至第66页.
教学目标
1.知识与技能
(1) 了解同类项、合并同类项的概念,掌握合并同类项法则,能正确合并同类项.
(2)能先合并同类项化简后求值。
2.过程与方法
经历类比有理数的运算律,探究合并同类项法则,培养学生观察、探索、分类、归纳等能力.
3.情感态度与价值观
掌握规范解题步骤,养成良好的学习习惯。
重、难点与关键
1.重点:掌握合并同类项法则,熟练地合并同类项.
2.难点:多字母同类项的合并.
3.关键:正确理解同类项概念和合并同类项法则.
教具准备
投影仪.
教学过程
一、创设问题情境, 引入新课
1.运用有理数的运算律计算:
100×2+252×2= 100×(-2)+252×(-2)=
我们来看本章引言中的问题(2).
青藏铁路线上,列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时,在非冻土地段的行驶速度可
以达到120千米/时,在西宁到拉萨路段,列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍,如果通过冻土地段需要t小时,则这段铁路的全长是多少? (单位:千米) 解:这段铁路的全长是:
100t+120×2.1t
即100t+252t
2. 类比数的运算,如何化简100t+252t,并说明你的道理。
思路点拨:教师引导,启发学生类比数的运算,逆用乘法分配律。
对比:100×2+252×2 100t+252t
=(100+252) ×2 =(100+252)t
=704 =352t
这就是我们这节课要学习的内容:2.2.1整式的加减
二、探究新知
事实上,100t+252t与100×2+252×2和100×(-2)+252×(-2)有相同的结构,都是两个数分别与同一个数相乘的和,这里t表示同一个因数,因此根据分配律也应该有:100t+252t=(100+252)t=352t.
1.填空
(1)100t-252t=( )t (2)3x2+2x2=( )x2 (3)3ab2-4ab2=( )ab2
小组讨论:上述运算有什么共同特点,你能从中得出什么规律?(鼓励学生用自己语言表述) 对于上面的(1)、(2)、(3),都逆用乘法对加法的分配律
100t-252t=(100-252)t=-152t 3x2+2x2=(3+2)x2=5x2 3ab2-4ab2=(3-4) ab2=-ab2
这就是说,上面的三个多项式都可以合并为一个单项式。
讨论:具备什么特点的多项式可以合并呢?
教师引导学生总结:1.所含字母相同。
2.相同的字母的指数也相同。
像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
2.判断下列各组中的两项是否是同类项:
(1) -5ab3与3a3b ( ) (2)3xy与3x ( ) (3) -5m2n3与2n3m2( )
(4)53与35 ( ) (5) x3与53 ( )
因为多项式中的字母表示的是数,所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并。
例如:
4x2+2x+7+3x-8x2-2 (找出多项式中的同类项)
=4x2-8x2+2x+3x+7-2 (交换律)
=(4x2-8x2 )+(2x+3x)+(7-2) (结合律)
=(4-8)x2 +(2+3)x+(7-2) (分配律)
=-4x2+5x+5
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
问题:合并同类项后,所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系?
学生交流,教师归纳:
合并同类项法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变。
注意:1.若两个同类项的系数互为相反数,则两项的和等于零,如:-3ab2+3ab2=(-3+3)ab2=0×ab2=0。
2.多项式中只有同类项才能合并,不是同类项不能合并。
3.通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列, 如:-4x2+5x+5或写5+5x-4x2。
三、巩固新知
例1:合并下列各式的同类项:
(2) (3)
(师生互动,共同完成。
)
例2: (1)求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值,其中x= .
(1)求多项式3a+abc- c2-3a+ c2的值,其中a=- ,b=2,c=-3.
(1)题先让学生直接代入求值,然后采用先化简后代入的方法。
四、巩固练习,拓展推广
1.下列各对不是同类项的是( )
A -3x2y与2x2y
B -2xy2与3x2y
C -5x2y与3yx2
D 3mn2与2mn2
2.合并同类项正确的是( )
A 4a+b=5ab
B 6xy2-6y2x=0
C 6x2-4x2=2
D 3x2+2x3=5x5
3.课本第66页,练习第1题
4.例3.(1)水库中水位第一天连续下降了a小时,每小时平均下降2cm;第二天连续上升了a小时,每小时平均上升0.5cm,这两天水位总的变化情况如何?
(2)某商店原有5袋大米,每袋大米为x千克,上午卖出3袋,下午又购进同样包装的大米4袋,进货后这个商店有大米多少千克?
解:(1)把下降的水位变化量记为负,上升的水位变化量记为正,第一天水位的变化量为-2a cm,第二天水位的变化量为0.5a cm.
两天水位的总变化量为
-2a+0.5a=(-2+0.5)a=-1.5a(cm)
这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm。