2021-2022年高三12月四校联考数学(理)试题含答案

2021-2022年高三12月四校联考数学（理）试题含答案

高三联考试卷 数学

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1.设集合，，则= ▲ ．

2.已知复数满足，其中为虚数单位，则 ▲ ．

3.已知点和向量，若，则点B 的坐标为 ▲ ．

4.已知函数]4,32[,3)3()(2a a x x b ax x f --∈+-+=是偶函数,则 ▲ ．

5.已知，那么的 ▲ 条件(“充要”，“充分不必要”，“必要不充分” “既不充分又不必要”)

6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移 ▲ 个单位长度

7.若存在实数满足，则实数的取值范围是 ▲ ．

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ ．

9.已知的值为，则⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 3sin 65sin 416sin 2πππ ▲ ．

10.定义为中的最小值，设}35,1,42m in{)(2

x x x x f -++=，则 的最大值是 ▲ ． 11.在直角三角形中，1

,1,,2

AB AC AB AC BD DC AD CD ⊥===

⋅则的值等 于 ▲ ． 12.若5

5

ln ,33ln ,22ln ===

c b a ，则a,b,c 的大小关系是 ▲ ． 13.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是 ▲ ．

14.已知函数321,,1,1

2()111,0,.

3

62x x x f x x x ⎧⎛⎤

∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦

=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+>，若存

在，使得成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

二．解答题：(本大题共6个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分14分）

已知221

{|0}{|0}2

x A x B x x ax b x -=>=++≤+，，且，，求：（1） （2）实数的值.

16．（本小题满分14分）

如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC ， 侧面是菱形，，E 、F 分别是、AB 的中点． 求证：（1）EF ∥平面；

（2）平面CEF ⊥平面ABC ．

1

17．（本小题满分14分）

若a 、b 、c 是△ABC 三个内角A 、B 、C

所对边，且2

sin sin cos a A B b A +=， （1）求；（2）当时，求的值。

18. (本题满分16分)

如图，开发商欲对边长为的正方形地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路（点分别在上），根据规划要求的周长为． （1）设，求证：；

（2）欲使的面积最小，试确定点的位置．

F

E

D

C

B

A

19．（本小题满分16分）

已知椭圆的离心率为，一条准线． （1）求椭圆的方程；

（2）设O 为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于两点．

①若，求圆的方程；

②若是l 上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程．

20．（本小题满分16分）

已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(2

3

=++-=， （1）若在上的最大值为，求实数的值；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。

xx------xx第一学期

高三联考试卷数学参考答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．；2．；3．（5，7）；4． 25．必要不充分； 6．； 7．；

8. ；9．；10． 2；11．；12. b>a>c；13． 3 ；14.

二．解答题：本大题共6个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.解：（1）依题意

1

(2)()

2

A=-∞-+∞

，，……………4分

（2）由

1

{|3}

2

A B R A B x x

==<≤

，得∴……8分，

即方程的解是 9分

于是，，…… 12分

∴…… 14分16．证明：（1）取BC中点M，连结FM，．

在△ABC中，因为F，M分别为BA，BC的中点，

所以FM AC．………………………………2分因为E为的中点，AC，

所以FM．从而四边形为平行四边形，

又因为平面，平面，

所以EF∥平

面．………………………6分

（2）在平面内，作，O为垂足．

因为∠，所以

，

从而O为AC的中点．……8分

所以，

因而．…………………10分

1 A

因为侧面⊥底面ABC ，交线为AC ，，所以底面ABC ．

所以底面ABC ． …………………………………………12分 又因为平面EFC ，

所以平面CEF ⊥平面ABC ． …………………………………………14分

17．解：由正弦定理得22

sin sin sin cos A B B A A += …………2分

即22

sin (sin cos )B A A A +=

故，∴ …………7分 （2）由余弦定理，得 …………9分

∴B= …………11分

∴cos()sin cos 3

B A A

C -===

…………14分