直线与椭圆的弦长公式 (2) ppt课件
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直线与椭圆的弦长公式
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
3
3
当- 6 k< 6 时没有交点
3
3
练习3.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
交点情况满足( D )
x2 y2 1
94
A.没有公共点
B.一个公共点
C.两个公共点
D.有公共点
教学目标
通过本节课的教学，要求掌握直线和 椭圆相交的弦长公式，以及能够用点差法 解决弦中点问题。
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
解后反思
中点弦问题 求解关键在 于充分利用 “中点”这 一条件，灵 活运用中点 坐标公式及 韦达定理
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
练习
如果椭圆被 x2 y2 1的弦被点（4，2）平分，
36 9
求这条弦所在直线方程。
小结
1、弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
y2
（适用于任何曲线）
2、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的 斜率。
y2 b2
1(a
b
0)
的
交点为 A(x1, y1), B(x2 , y2 )则|AB|叫做弦长。
直线和椭圆的位置关系公开课课件
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法： 弦长公式： |AB|= = （适用于任何二次曲线）
与椭圆
相交、相切、相离？
解：联立方程组
消去y
相切
相离
相交
l
m
m
o
x
y
思考：最大的距离是多少？
o
x
y
例1.已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。
x2+4y2=2
解：联立方程组
消去y
∆=36>0，
因为
所以方程（１）有两个根，
变式1：交点坐标是什么？
弦长公式：
小 结
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 相离
△= 0 相切
△> 0 相交
则原方程组有两组解.
----- (1)
所以该直线与椭圆相交.
变式2：相交所得的弦的弦长是多少？
由韦达定理
k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标
考点二：弦长公式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
弦长公式： 设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点， 直线AB的斜率为k．
例1：已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
直线与椭圆的位置关系
202X
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演讲人姓名
一：直线和椭圆的位置关系
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
Ax+By+C=0
<0
方程组无解
无交点
=0
>0
方程组有两解
高中数学课件-椭圆的几何性质-弦长
弦长公式：
如图示，若直线l与椭圆交于A, B两点，将直线方程与椭圆方程联立消
元，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后运用两点间距离公式及根与系
数的关系，即可求弦长，具体公式为：
|AB| ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
1 k 2 | x1 x2|
1
1 k2
|
y1
y2
|
y
x r cos
为了表示椭圆上的点，类比圆心在原点的圆的参数方程，
y
r
sin
我们可以得到其所对应的的参数方程：xy
a b
cos s in
法一：设椭圆上点A的坐标
x a cos
y
b
sin
，椭圆中心O坐标（0，0）
，根据平面上两点之间的距离公式，可得：
| OA | (a cos 0）2 (b sin 0)2
F• 1 O B
l
A
F•2
x
1 k2
( x1 x2 )2 4 x1 x2
1
1 k2
( y1 y2 )2 4 y1 y2 .
1 k2 |a|
1 1 k2 |a | .
其中k为直线l的斜率, a是方程组消元后的一元二次方程的二次项系数, ∆是判别式.
Exploration
1
探究1. 椭圆上的点到中 心的最短（最长）距离
2
探究2. 椭圆第二定义 的相关结论
3 探究3. 中点弦问题
探究1. 椭圆上的点到中心的最短（最长）距离
对于圆，我们知道圆上的点到中心 的距离相等，那么对于椭圆，会有什么 类似的结论？
猜想：椭圆上的顶点到中心可能会出现 最值.
对于焦点在x轴上的椭圆方程
椭圆和直线的弦长公式
椭圆和直线的弦长公式
椭圆和直线弦长公式：
I、椭圆弦长公式
1. 直线弦长公式
(1) 直线弦长：L=∣x2-x1∣
(2) 水平线弦长：L=纵坐标差值；
(3) 竖线弦长：L=横坐标差值；
II、椭圆弦长公式
(1) 椭圆弦长公式：L=2√ (a*E-b*F)
其中：a=∣x2-x1∣/2 ；E=(x2-x1)^2 / (x2-x1)^2
b=∣y2-y1∣/2 ；F=(y2-y1)^2 / (y2-y1)^2
(2) 椭圆周长公式：C=4aE(1-b²/(a²))^1/2
其中：a=∣x2-x1∣/2 ；
b=∣y2-y1∣/2 ；
E=(x2-x1)^2 / (x2-x1)^2
F=(y2-y1)^2 / (y2-y1)^2
III、注意事项
(1) 弦长公式只适用于有起点和终点坐标的圆或者椭圆；
(2) 直线两点坐标不同，求直线弦长时可以使用上述公式；
(3) 椭圆起点和终点坐标如果相等，无论对弦长还是周长的求解公式均不适用；
(4) 由于公式中有按quadrature计算，所以计算结果可能会存在误差，应留有余量。
直线与椭圆的位置关系弦长公式
9b2 10
9
| AB |
2
18b 2 10
4 9b2 9 10
92 5
解得 : b 1,直线AB的方程为y x 1
10 x2 18bx 9b2 9 0,
所以切线方程为 : y x 10
36(10 b2 ),则
所以椭圆上存在一点,
当 0,即 10 b 10时,相交; 即切线y x 10上的切点,
当 0,即b 10时,相切;
它到直线y x 4的距离最小,
当 0,即b 10或b 10时,相离; d | 4 10 | 2 2 5 2
练习: 若斜率为1的直线与椭圆x2 9 y2 9交于
A, B两点,且 | AB | 9 2,求直线l的方程. 5
解 : 设直线为 : y x b,代入椭圆方程并整理得
10 x2 18bx 9b2 9 0,
设A( x1,
y1), B( x2 ,
y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,则x1
x2
18b 10
,
x1 x2
解 :由已知可得,右焦点C(2 2,0),直线AB为 : y 3 ( x 2 2), 3
代入椭圆方程并整理得 : 4x2 12 2x 15 0,
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ),则x1 x2 3
15 2, x1x2 4
2
| AB |
1
3 3
(3 2 )2 4 15 2 4
例1.倾斜角为450的直线何时与椭圆x2 9 y2 9 相交, 相切, 相离 ?
练习: 椭圆x2 9y2 9上是否存在一点,它到直线 l : x y 4 0的距离最小,最小距离是多少?
例1,解 : 设直线为 : y x b,
直线与椭圆的弦长公式
直线与椭圆的弦长公式
1.椭圆与直线的关系
椭圆是一种闭合曲线，可以由一组参数来表示。
椭圆与一般的直线是可以关联的，可以根据一定的关系，通过椭圆的参数来求解椭圆与直线的弦长。
2.根据给定参数公式求解椭圆与直线的弦长
当椭圆的参数为$(h,k),a,b$时，其与直线的交点可以求得。
而这条直线与椭圆相切时对应的弦长，可以用下面的公式来计算：
\begin{equation}
S=2a\pi \cdot \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{\frac{1+(2hx+b^2-a^2)^2}{4a^2(x-h)^2+b^2}} \, \mathrm{d}x
\end{equation}
其中，$x_{0}$和$x_{1}$是椭圆最高点$(-h,k+b)$和最低点$(-h,k-b)$的横坐标，即$x |_{0}=-h+\frac{a^2-b^2}{2h}$，$x |_{1}=-h-\frac{a^2-
b^2}{2h}$。
3.应用
椭圆与直线的弦长公式，可以应用在多种场景中，其中最常见的就是利用椭圆与直线的弦长关系来求解数学问题。
比如，根据已知的线段长度得出直线与椭圆的弦长，从而可以解决许多古代测地学、运动学和结构学中的问题。
椭圆与直线的弦长公式，也可以用来解决有关扇形、正多边形、椭圆形和抛物线的许多问题。
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
本节课,我们来学习几个有关直线与椭圆的综合问题.
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
高考理数复习---弦长及中点弦问题考点与例题PPT课件
ax22＋by22＝0，② 由①－②得a(x21－x22)＝－b(y21－y22)，整理得xy11＋＋xy22·xy11－－xy22＝－ ab，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝yx00＝22yx00＝xy11＋＋xy22＝－ 23，又知 kAB＝－1，∴－ 23×(－1)＝－ab，∴ab＝－ 23，故选A.]
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0， 设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)， B(x2，y2)，
6
由题意知y1＋2 y2＝1， ∴y1＋y2＝14（10bb22＋＋44）＝2，解得b2＝8. ∴所求椭圆方程为x82＋1y22 ＝1. 法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设 椭圆的方程为b2y＋2 4＋bx22＝1(b>0)．
高考理数复习---弦长及中点弦问题考点与例题 PPT课件
弦长及中点弦问题 中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
2
(1)过椭圆1x62 ＋y42＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦
所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0
D．3x－4y＋5＝0
因为k≠0，所以－12<xG<0， 即点G横坐标的取值范围为(－12，0)．]
16
弦长问题 求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把 直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系 建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝ 1＋k12[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)．
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0， 设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)， B(x2，y2)，
6
由题意知y1＋2 y2＝1， ∴y1＋y2＝14（10bb22＋＋44）＝2，解得b2＝8. ∴所求椭圆方程为x82＋1y22 ＝1. 法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设 椭圆的方程为b2y＋2 4＋bx22＝1(b>0)．
高考理数复习---弦长及中点弦问题考点与例题 PPT课件
弦长及中点弦问题 中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
2
(1)过椭圆1x62 ＋y42＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦
所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0
D．3x－4y＋5＝0
因为k≠0，所以－12<xG<0， 即点G横坐标的取值范围为(－12，0)．]
16
弦长问题 求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把 直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系 建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝ 1＋k12[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)．
〖2021年整理〗《直线与椭圆》完整版教学课件PPT
＝8 7 3|AB|＝8 7 3×
2×
2－m2，解得
m2＝13＜7，得
m＝±
3 3.
即存在符合条件的直线
l，其方程为
y＝－x±1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不 同的点，则弦长|AB|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12·|y1－y2|(k≠0)．
已知点 A(－2，0)，B(0，1)在椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上，则椭圆 C 的方程为________；若直线 y＝12x 交椭圆 C 于 M，N 两点，则|MN|＝________．
解析：由题意可知，椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的焦点在 x 轴上，由点 A(－2，0)，B(0， 1)在椭圆上，则 a＝2，b＝1，所以椭圆的标准方程为x42＋y2＝1. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则yx4＝2＋12yx2，＝1，消去 y，整理得 2x2＝4，则 x1＝ 2，x2＝－ 2，
利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的方法
[注意] 对于椭圆方程，在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为 0，故一定为一 元二次方程．
考点二 弦长问题(综合型) 复习指导 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 坐 标 为 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 |AB| ＝
(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2].
(1)已知椭圆x22＋y2＝1，则斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程为________． (2)焦点是 F(0，5 2)，并截直线 y＝2x－1 所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程 为________．
直线与椭圆的位置关系弦长公式
则弦长 |AB|= _______ , 5
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法： 弦长公式：
2 2 |AB|= 1 k · （ x x ） 4 x x 1 2 1 2
=
1 1 2· （ y y ） 4 y y 1 2 1 2 （适用于任何曲线） k
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条 解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
练习：
1、如果椭圆被
A、x-2y=0
的弦被（4，2）平分，那 么这弦所在直线方程为（ D ）
x2 y2 1 36 9
B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 2 2 x y 2、y=kx+1与椭圆 5 m 1 恰有公共点，则m的范围
（C ）
A、（0，1）
B、（0，5 ） D、（1，+ ∞ ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
0的直线， 3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为 30 16
2 2 12 12 2 12 2 12 1 2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
2 2 |AB|= 1 k · （ x x ） 4 x x 1 2 1 2
=
1 1 2· （ y y ） 4 y y 1 2 1 2 （适用于任何曲线） k
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1 k2
·（y1
y2）
4 y1
y2
（适用于任何曲线）
2、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的 斜率。
ppt课件
13
课后作业
1、已知椭圆 x2 +y2 =1，过左焦点F作倾斜角为 的直线
9
6
交椭圆于A，B两点，求弦AB的长
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造
出中点坐标和斜率．ppt课件
11
练习
如果椭圆被 x2 y2 1的弦被点（4，2）平分，
36 9
求这条弦所在直线方程。
ppt课件
12
小结
1、弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
通法
>0
方程组有两解
=0
方程组有一解
两个交点 一个交点
<0
方程组无解 ppt课件
无交点
相交 相切 相离
3
练习
当m为何值时，直线y=x+m与椭圆 x2 + y2 =1相交？ 16 9
相切？相离？
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4
教学目标
通过本节课的教学，要求掌握直线和 椭圆相交的弦长公式，以及能够用点差法 解决弦中点问题。
2
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9
知识点2：弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率ppt课件
10
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
解后反思
中点弦问题 求解关键在 于充分利用 “中点”这 一条件，灵 活运用中点 坐标公式及 韦达定理
| AB |
1 1 k2
( y1 y2 )2
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1 1 k 2 | y1 y2 |
6
例1：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
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方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
识点1：弦长问题
若直线 l
:
y
kx
m与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的
交点为 A(x1, y1), B(x2 , y2 )则|AB|叫做弦长。
弦长公式：
| AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
| AB | 1 k 2 (x1 x2 )2 1 k 2 | x1 x2 |
2、已知椭圆 x2 +y2 =1及点B（0， 2），过椭圆的左焦 2
点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为F2， 求CDF2的面积。 3、已知椭圆 x2 + y2 =1某一条弦AB被P（1,1）平分，
94
求直线AB所在的直线方程。
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14
谢谢！
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15
7
变式1：已知椭圆 x2 y2 1,过椭圆右焦点的直线l交 4
椭圆于A, B两点，且 AB = 8，求直线l方程。 5
ppt课件
8
练习
已知椭圆ax2 by2 1于直线x y 1 0交于A, B两点， 且 AB 2 2，若AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 为 2 ，求a,b的值。
直线和椭圆的位置关系 （2）
江苏省射阳中等专业学校 王茜
ppt课件
1
回顾：直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(p两pt课件个交点)
2
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0
由方程组：
x2
y2
a2
b2
1
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp