2018年高三最新 高考数学仿真试题(三) 精品
2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(三)理
理科数学（三）
本试题卷共 2 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
★祝考试顺利★
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
A．x | 1 x 1
B．x | 1 x 2
C．x | 0 x 2
D．x | 0 x 1
2．设复数 z 1 2i （是虚数单位），则在复平面内，复数 z2 对应的点的坐标为（ ）
A． 3, 4
B． 5, 4
C． 3, 2
D． 3, 4
3． 2 x2x 16 的展开式中 x4 的系数为（ ）
的体积的最大值为 4 ，则球 O 的表面积为__________． 3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列an 是等差数列， a1 t 2 t ， a2 4 ， a3 t2 t ． （1）求数列an 的通项公式；
（2）若数列an 为递增数列，数列bn 满足 log2bn an ，求数列 an 1 bn 的前项和 Sn ．
A．-160
B．320
C．480
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
D．640 ）
A． 5 2
B． 4 2
C． 4 4
D． 5 4
5．过双曲线
x2 9
y2 16
1的右支上一点
P
，分别向圆 C1 ： x
52
y2
4 和圆C2 ： x
52
y2
r2
（ r 0 ）作切线，切点分别为 M ， N ，若 PM 2 PN 2 的最小值为 58 ，则 r （ ）欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，
普通高等学校招生全国统一考试2018年高中数学仿真模拟试题(三)理
普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(三)理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2017·郑州一模）设全集{}4U x Nx *=∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，则()UAB =( ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}1,3,4D ．{}2,3,42。
(2017·保定市一模)设z 为复数12z i =-的共轭复数，则()2016z z -=（ ）A ．20162 B ．20162- C ．20162i D ．i -3。
（2017·河南八市质检）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ )A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间是(),1-∞-C ．()f x 是奇函数，递增区间是(),1-∞-D ．()f x 是奇函数，递增区间是()1,1-4。
(2017·太原一模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =,它的一个焦点坐标为()2,0，则双曲线方程为（ ）A ．22126x y -=B ．22162x y -=C 。
2213y x -=D ．2213x y -=5.（2017·咸阳市二模）如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ )A ．21π- B ．2π C 。
22π D ．221π-6.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示,且()1f α=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ )A ．13B ．223± C.23D ．23-7。
高三数学-2018年高考数学仿真试题(三)02018 精品
2018年高考数学仿真试题(三)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：P n (k)=C k n P k(1－P)n －k正棱维、圆锥的侧面积公式：S 锥侧=cl 21（其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长）球的体积公式：V=334R π（其中R 表示球的半径） 球的表面积公式：S=42R π（其中R 表示球的半径）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中元素的个数为（ ）A ．3B ．7C ．10D ．12 2．函数3221x e y -⋅=π的部分图象大致是（ ）A B C D3．在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中，含4x 项的系数是首项为－2，公差为3的等 差数列的（ ）A ．第13项B ．第18项C ．第11项D ．第20项 4．有一块直角三角板ABC ，∠A=30°，∠B=90°，BC 边在桌面上，当三角板所在平面与桌面成45°角时，AB 边与桌面所成的角等于（ ）A ．46arcsinB ．6π C ．4π D ．410arccos5．若将函数)(x f y =的图象按向量平移，使图象上点P 的坐标由（1，0）变为（2，2）， 则平移后图象的解析式为（ ）A ．2)1(-+=x f yB ．2)1(--=x f yC ．2)1(+-=x f yD ．2)1(++=x f y6．直线0140sin 140cos =+︒+︒y x 的倾斜角为（ ）A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°7．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2. 则样本在区间（10，50]上 的频率为 （ ）A ．0.5B ．0.7C ．0.25D ．0.188．在抛物线x y 42=上有点M ，它到直线x y =的距离为42，如果点M 的坐标为（n m ,），且nmR n m 则,,+∈的值为 （ ）A ．21 B ．1C ．2D ．29．已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为θ，则θ的取值范围是（ ）A ．]2,6[ππ B ．]2,3[ππ C ．]32,2[ππ D ．),32[ππ 10．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学， 当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女的血型一定不是O 型，若某人的血型的O 型，则父母血型的所有可能情况有（ ）A ．12种B ．6种C ．10种D ．9种11．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为 （ ） A ．16（12－6π)3 B ．18πC ．36πD ．64（6－4π)212．一机器狗每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进3步，然后再后退2步的 规律移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动， 令P （n ）表示第n 秒时机器狗所在位置的坐标，且P （0）=0，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．P （3）=3B ．P （5）=5C ．P （101）=21D ．P （101）<P(118)第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．在等比数列{512,124,}7483-==+a a a a a n 中，且公比q 是整数，则10a 等于 .14．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是 .15．已知,1sin 1cot 22=++θθ那么=++)cos 2)(sin 1(θθ . 16．取棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体.则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为365a .以上结论正确的是 .（要求填上的有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数2474(cos sin 4sin 3cos 35)(22ππ≤≤-+=x x x x x x f ）的最小值，并求其单调区间. 18．（本小题满分12分） 某旅游地有甲乙两个相邻景点，甲景点内有2个美国旅游团和2个日本旅游团，乙景点内有2个美国旅游团和3个日本旅游团 . 现甲乙两景点各有一个外国旅游团交换景点观光. （Ⅰ）求甲景点恰有2个美国旅游团的概率； （Ⅱ）求甲景点内美国旅游团数的期望. 19．（本小题满分12分） 如图，PA ⊥平面AC ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点. （Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ； （Ⅱ）若二面角P —CD —B 为45°，AD=2，CD=3，求点F 到平面PCE 的距离.20．（本小题满分12分） 已知321)(23-==+++=x x c bx ax x x f 与在时都取得极值. （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若0)(],2,1[2<--∈c x f x 都有成立，求c 的取值范围.21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，向量)1,0(=j ，已知△OFP 的面积为23，且,t FP OF =⋅.33+=（Ⅰ）设344<<t ，求向量与的夹角θ的取值范围；（Ⅱ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.22．（本小题满分14分）由坐标原点O 向曲线)0(323≠+-=a bx ax x y 引切线，切于O 以外的点P 1),(11y x ，再由P 1引此曲线的切线，切于P 1以外的点P 222,(y x ），如此进行下去，得到点列{ P n n n y x ,(}}. 求：（Ⅰ）)2(1≥-n x x n n 与的关系式； （Ⅱ）数列}{n x 的通项公式；2018年高考数学仿真试题(三)参考答案及评分标准一、选择题：1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D 11．C 12．C二、填空题：13．－1或512；14．[8，14]；15．4；16．①②⑤ 三、解答题：17． x x x x x x f 2cos 322sin 2332sin 222cos 1322cos 135)(+-=--⋅++⋅==).32sin(433π--x ……4分].22,21[)32sin(,4326,2474∈-∴≤-≤∴≤≤ππππππx x x ……6分)(,247,432x f x x 时即当πππ==-∴取最小值.2233-……8分 ]247,4[)32sin(πππ在-=x y 上递增，……10分 ]247,4[)(ππ在x f ∴上是减函数.……12分 18．（Ⅰ）甲乙两个景点各有一个外国旅游团交换后，甲景点恰有2个美国旅游团有下面几 种情况：①都交换的是美国旅游团，则此时甲景点恰有2个美国旅游团事件A 1的概率.51)(151412121==CC C C A P ……2分 ②都交换的是日本旅游团，则此时甲景点恰有2个美国旅游团事件A 2的概率 .103)(151413122==C C C C A P ……4分故P （A ）=P （A 1）+P （A 2）=.2110351=+……6分 （Ⅱ）设甲景点内美国旅游团数为ξ，则ξ的分布列为：……7分………10分.10193512211103=⨯+⨯+⨯=ξE ……12分19．（Ⅰ）取PC 中点M ，连结ME 、MF. ,21,//,21,//CD AE CD AE CD FM CD FM ==……2分FM AE FM AE =∴且,//，即四边形AFME 是平行四边形，∴AF//EM ，∵AF ⊄平在PCE ，∴AF ∥平面PCE.……4分（Ⅱ）∵PA ⊥平面AC ，CD ⊥AD ，根据三垂线定理知，CD ⊥PD ∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角，则∠PDA=45°……6分 于是，△PAD 是等腰直角三角形， ∵AF ⊥PD ，又AF ⊥CD ∴AF ⊥面PCD.而EM//AF, ∴EM ⊥面PCD.又EM ⊂平面PEC, ∴面PEC ⊥面PCD.……8分在面PCD 内过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH 为点F 到平面PCE 的距离.……10分由已知，PD=22，PF=.17,221==PC PD ∵△PFH ∽△PCD ∴.17343==FH PCCDPFFH ……12分20．（Ⅰ）由已知，.23)(2b ax x x f ++='……2分321-==x x 与在 时取极值， ⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯+-⨯=++0)32(2)32(30232b a b a 由①②解得，.221)(2,2123c x x x x f b a +--=-=-=……6分 （Ⅱ）（解法一）由]2,1[221:0)(2232--<--<-在得c c x x x c x f 上恒成立. 设.23)(])2,1[(221)(223--='-∈--=x x x g x x x x x g ……8分由.2)2(,23)1(,2722)32(,21)1(.132,0)(=-==-=-=-=='g g g g x x x g 或得…10分 ).,2()1,(.21,22)]([2max +∞⋃--∞∴>-<-<∴=∴的取值范围为或解得c c c c c x g（解法二）由（I ）知.23)(.221)(223--='∴+--=x x x f c x x x x f ……8分①当;0)(,)32,1[>'--∈x f x 时 ②当;0)(,)1,32[<'-∈x f x 时③当.2722)(,32;0)(,]2,1[c x f x x f x +-=∴>'∈有极大值时当时 而,2)2(,21)1(c f c f +=+=-……10分 .2)2()(,]2,1[c f x f x +=∈∴的最大值为时当 ①……4分 ②对,21)(],2,1[2c c xx f x <+∴<∈恒成立故c 的取值范围为（).,2()1,+∞⋃-∞-……12分21．（Ⅰ）由.sin 34||||,sin ||||2132θθ=⋅⋅⋅=FP OF FP OF 得……2分由],0[,3tan 13444.34tan ,34sin cos πθθθθθ∈<<∴<<===t t t 分得∴夹角θ的取值范围（).3,4ππ……6分（Ⅱ）（解法一）设P （0,0),,0000>>y x y x 不妨令 由（I ）知：PF 所在直线的倾斜角为 θ，则.34,3221.)13(3434tan 002c y y c S ct OFP =∴=⋅⋅=-==∆又θ 又由.3,)13(34034020c x cc x c =-=--得……8分 .623432)34()3(||222020=⋅⋅≥+=+=∴cc c c y x ∴当且仅当||,2,343OP c cc 时即==取最小值62，此时，).32,32(=OP 分故所求椭圆方程为分椭圆长轴12.11216.12,4.8)03()22()03()22(2.10).3,2()1,0()32,32(332222222 =+==∴=-+++-+-==+=∴y x b a a （解法二）设分则8.3.)13()()0,(),().0,(),,(),,(020000000 c x c t c c x c y c x FP OF c OF y c x FP y x P =∴-==-=⋅-=⋅∴=-=又.3432||||2100cy y OF SOFP±==⋅=∆ 以下同解法一22．（Ⅰ）b ax x x f +-='63)(2 过点P 1（),11y x 的切线为),0)()((:11111≠-'=-x x x x f y y l 1l 过原点 .23),63)(()3(1121112131a x b ax x x bx ax x =+--=+--∴解得……2分 则过点n n n n n n n n l x x x f y y l y x P ))((:),(-'=-的切线为过点))((),(11111n n n n n n n n x x x f y y y x P -'=-∴-----……6分整理得.0))]((32[112121=----+----n n n n n n n n x x x x a x x x x分得由8).2(2321.032,0)32()(111121 ≥+-=∴=-+≠=-+-∴-----n a x x a x x x x a x x x x n n n n n n n n n n（Ⅱ）由（I ）得，,2}{10).(211a a x a x a x n n n 是首项为数列分-∴--=-- 公比为21-的 等比数列.……12分 .])21(1[)21(21a x a a x n n n n --=∴-=-∴-……14分（解法二）通过计算,])21(1[,,,4321a x x x x x nn --=而猜出再用数学归纳法证明.。
2018年高考数学文科(课标版)仿真模拟卷(三)含答案
3π
A. 2
3π
B. 3
2π
C. 2
2π
D. 3
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.若复数 z 满足 z·i=2-i,则|z|= .
14. 3
如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为 .
{ - x2 - 2x + 1, - 2 ≤ x < 0,
7× 7=12,所以 BD=2
3.
1
43
由 cos∠BAD=7,得 sin∠BAD= 7 .
AD
BD
=
在△ABD 中,由正弦定理得sinB sin∠BAD,
7 43 27
×=
所以 sin B=2 3 7
7.
27
21
(2)因为 sin B= 7 ,B 是锐角,所以 cos B= 7 ,设 BC=x,在△ABC 中,AB2+BC2-2AB·BC·cos B=AC2,即
PA=AB·cos 45°= 2.
又∵AD⊥平面 PAB 且 PA⊂平面 PAB,
∴PA⊥AD.
1
32
∴S△PAD=2PA·AD= 2 .
13
20.解 (1)设点 P(x,y),圆心 N(x0,y0),圆与 y 轴相切于点 C,则|PF|=2|NC|, 所以 (x - 1)2 + y2=2|x0|,又点 N 为 PF 的中点,
=
f'(x)=x+ax-(a2+1)=
x
x.
①若 a≤0,当 x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,
故 f(x)在(0,+∞)单调递减,
2018年高三最新 仿真试题⑶ 精品
18-18年高考数学仿真试题（三）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P =｛(x ,y )｜y =}k ,Q =｛(x ,y )｜y =a x +}1,且P ∩Q =∅,那么k 的取值范围是 A.(－∞,1)B.(－∞,]1C.(1,+∞)D.(－∞,+∞)2.已知sin θ=－1312,θ∈(－2π,0),则cos(θ－4π)的值为 A.－2627 B.2627 C.－26217D.26217 3.双曲线kx 2+5y 2=5的一个焦点是（0，2），则k 等于A.35B.－35 C.315 D.－315 4.已知a =(2,1),b =(x ,1),且a +b 与2a －b 平行，则x 等于 A.10 B.－10 C.2 D.－25.数列121,341,581,7161,…,(2n －1)+n 21的前n 项之和为S n ，则S n 等于A.n 2+1－n 21B.2n 2－n +1－n 21C.n 2+1－121-nD.n 2－n +1－n 216.已知非负实数x ,y 满足2x +3y －8≤0且3x +2y －7≤0,则x +y 的最大值是 A.37 B.38 C.3 D.2 7.一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 A.24 B.22 C.18 D.168.若直线x +2y +m =0按向量a =(－1,－2)平移后与圆C ：x 2+y 2+2x －4y =0相切，则实数m 的值等于A.3或13B.3或－13C.－3或7D.－3或－139.设F 1、F 2为椭圆42x +y 2=1的两个焦点，P 在椭圆上，当△F 1PF 2面积为1时，1PF ·2PF 的值为A.0B.1C.2D.2110.显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有A.10B.48C.60D.8011.已知函数y =2sin wx 的图象与直线y +2=0的相邻两个公共点之间的距离为32π,则w 的值为A.3B.23 C.32 D.31 12.圆台侧面积为2π,母线与底面成60°，上底半径为x ,下底半径为y (y ＞x ＞0),则函数y =f (x )的图象是第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13.锐角△ABC 中，若B =2A ，则ab的取值范围是___________.14.一个正方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，右图是此正方体的两种不同放置，则与D 面相对的面上的字母是_________.15.随机抽取甲、乙两位同学在平时数学测验中的5次成绩如下：同学. 16.给出以下命题：①已知向量1，2OP ，3OP 满足条件1+2OP +3OP =0，且｜1｜=｜2OP ｜=｜3OP ｜=1，则△P 1P 2P 3为正三角形；②已知a ＞b ＞c ,若不等式ca kc b b a ->-+-11恒成立，则k ∈(0,2); ③曲线y =31x 3在点(1,31)处切线与直线x +y －3=0垂直； ④若平面α⊥平面γ,平面β∥平面γ，则α∥β.其中正确命题的序号是___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8.(1)如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率； (2)如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率. 18.(本小题满分12分) 已知向量a =(cos23x ,sin 23x ),b =(cos 2x ,－sin 2x ),且x ∈［2π,23π］.(1)求a ·b 及｜a +b ｜;(2)求函数f (x )=a ·b －｜a +b ｜的最小值. 19.（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB =AC ，F 为BB 1上一点，D 为BC 的中点，且BF =2BD .（1）当1FB BF为何值时，对于AD 上任意一点总有EF ⊥FC 1; (2)若A 1B 1=3，C 1F 与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为15104,当1FB BF在（1）所给的值时，求三棱柱的体积.20.（本小题满分12分）一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线2222by a x =1(a ＞0,b ＞0)交于P 、Q 两点，直线l 与y 轴交于R 点，且·OQ =－3,PR =3RQ ,求直线与双曲线的方程.21.(本小题满分12分)已知点B 1（1,y 1）,B 2(2,y 2),…,B n (n ,y n ),…(n ∈N *)顺次为直线y =4x +121上的点，点A 1（x 1,0），A 2(x 2,0),…,A n (x n ,0)顺次为x 轴上的点，其中x 1=a (0＜a ＜1).对于任意n ∈N *，点A n 、B n 、A n +1构成以B n 为顶点的等腰三角形.(1)求数列｛y n ｝的通项公式，并证明它为等差数列； （2）求证：x n +2－x n 是常数，并求数列｛x n ｝的通项公式.(3)上述等腰△A n B n A n +1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a 的值；若不可能，请说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数f (x )=31x 3+21(b －1)x 2+cx (b 、c 为常数). (1)若f (x )在x =1和x =3处取得极值，试求b 、c 的值.(2)若f (x )在x ∈(－∞,x 1),(x 2,+∞)上单调递增且在x ∈(x 1,x 2)上单调递减，又满足x 2－x 1＞1,求证：b 2＞2(b +2c );(3)在（2）的条件下，若t ＜x 1,试比较t 2+bt +c 与x 1的大小，并加以证明.18-18年高考数学仿真试题（三）答案1.B2.A3.B4.C5.A6.C7.D8.D9.A 10.D 11.A 12.C 13.(2,3) 14.B 15.乙 16.①③17.设甲投中的事件记为A ，乙投中的事件记为B ， （1）所求事件的概率为：P =P (A ·B )+P (A ·B )+P (A ·B ) =0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8 =0.94. 6分（2）所求事件的概率为：P =C 230.72×0.3×C 130.8×0.22=0.182336. 12分18.（1）a ·b =cos 23x cos 2x +sin 23x (－sin 2x )=cos 23x cos 2x －sin 23x sin 2x=cos(23x +2x )=cos2x .2分 a +b =(cos23x +cos 2x ,sin 23x －sin 2x )3分∴｜a +b ｜=22)2sin 23(sin )2cos 23(cos xx x x -++=22cos 2+x =x 2cos 4 =2｜cos x ｜.5分 ∵x ∈［2π,23π］,∴｜a +b ｜=－2cos x .6分（2）f (x )=a ·b －｜a +b ｜=cos2x －(－2cos x )=cos2x +2cos x =2cos 2x +2cos x －1=2(cos x +21)2－23. 10分∵x ∈［2π,23π］,∴－1≤cos x ≤0,∴当cos x =－21时，［f (x )］min =－23.12分19.（1）由三垂线定理得C 1F ⊥DF ,易证Rt △BDF ≌Rt △B 1FC 1, ∴B 1F =BD =21BF ,∴F B BF 1=2.6分（2）在平面A 1B 1C 1中，过C 1作C 1G ⊥A 1B 1于G ，连FG ，易证∠C 1FG 就是C 1F 与侧面AA 1B 1B 所成的角， 8分 则有FC G C 11=15104,C 1G =15104C 1F , △A 1B 1C 1中，取B 1C 1的中点D 1，连A 1D 1，设B 1F =x ,由C 1G ·A 1B =B 1C ·A 1D 1,解得x =1,∴BB 1=3, 10分∴V 1111D C B A ABC -=21B 1G ·A 1D 1·BB 1=62. 12分20.∵e =3,∴b =2a 2,∴双曲线方程可化为2x 2－y 2=2a 2,2分设直线方程为y =x +m , 由⎩⎨⎧=-+=22222,ay x m x y 得x 2－2mx －m 2－2a 2=0.4分∵Δ=4m 2+4(m 2+2a 2)＞0, ∴直线一定与双曲线相交， 6分设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=2m ,x 1x 2=－m 2－2a 2, ∵=3, ∴x R =4321x x +,x 1=－3x 2, ∴x 2=－m ,－3x 22=－m 2－2a 2, 消去x 2得，m 2=a 2,8分·OQ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+m )(x 2+m )=2x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2 =m 2－4a 2 =－3, 10分∴m =±1,a 2=1,b 2=2,直线方程为y =x ±1,双曲线方程为x 2－22y =1.12分21.（1）y n =41n +121,y n +1－y n =41,∴数列｛y n ｝是等差数列，4分（2）由题意得，21++n n x x =n ,∴x n +x n +1=2n , ① x n +1+x n +2=2(n +1), ② ①、②相减，得x n +2－x n =2,∴x 1,x 3,x 5,…,x 2n －1,…成等差数列； x 2,x 4,x 6,…,x 2n ,…成等差数列， 6分∴x 2n －1=x 1+2(n －1)=2n +a －2,x 2n =x 2+(n －1)·2=(2－a )+(n －1)·2 =2n －a ,∴x n =⎩⎨⎧--+)( )( 1为偶数为奇数n a n n a n 8分（3）当n 为奇数时，A n (n +a －1,0),A n +1 (n +1－a ,0) 所以｜A n A n +1｜=2(1－a );当n 为偶数时，A n (n －a ,0),A n +1 (n +a ,0), 所以｜A n A n －1｜=2a ,作B n C n ⊥x 轴于C n ,则｜B n C n ｜=41n +121. 要使等腰三角形A n B n A n +1为直角三角形，必须且只须｜A n A n +1｜=2｜B n C n ｜. 10分 所以，当n 为奇数时，有2(1－a )=2(41n +121), 即12a =11－3n ,(*)当n =1时，a =32; 当n =3时，a =61;当n ≥5时，方程(*)无解.当n 为偶数时，12a =3n +1,同理可求得a =127. 综上，当a =32,或a =61或a =127时，存在直角三角形.12分22.（1）f ′(x )=x 2+(b －1)x +c ,由题意得，1和3是方程x 2+(b －1)x +c =0的两根，∴⎩⎨⎧⨯=+=-,31,311c b 解得⎩⎨⎧=-=.3,3c b4分（2）由题得，当x ∈(－∞,x 1),(x 2,+∞)时，f ′(x )＞0 x ∈(x 1,x 2)时，f ′(x )＜0,∴x 1,x 2是方程x 2+(b －1)x +c =0的两根， 则x 1+x 2=1－b ,x 1x 2=c , 6分∴b 2－2(b +2c )=b 2－2b －4c=［1－(x 1+x 2)］2－2［1－(x 1+x 2)］－4x 1x 2 =(x 1+x 2)2－4x 1x 2－1 =（x 2－x 1)2－1, ∵x 2－x 1＞1,∴(x 2－x 1)2－1＞0, ∴b 2＞2(b +2c ). 8分（3）在（2）的条件下，由上一问知 x 2+(b －1)x +c =(x －x 1)(x －x 2), 即x 2+bx +c =(x －x 1)(x －x 2)+x , 10分 所以，t 2+bt +c －x 1=(t －x 1)(t －x 2)+t －x 1, =(t －x 1)(t +1－x 2)，12分∵x 2＞1+x 1＞1+t ,∴t +1－x 2＜0, 又0＜t ＜x 1,∴t －x 1＜0, ∴(t －x 1)(t +1－x 2)＞0, 即t 2+bt +c ＞x 1. 14分。
2018年高三最新 高考仿真试题(三)试卷及答案 精品
试卷类型：A2018年高考数学仿真试题(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式(1+x )(1-|x |)＞0的解集是A.{x |-1＜x ＜1｝B.{x |x ＜1｝C.{x |x ＜-1或x ＞1＝D.{x |x ＜1且x ≠-1＝2.对一切实数x ，不等式x 2+a |x |+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 A.（-∞，-2） B.［-2，+∞) C.［-2，2］ D.［0，+∞)3.设O 为矩形ABCD 的边CD 上一点，以直线CD 为旋转轴，旋转这个矩形所得体积为V ，其中以OA 为母线的圆锥体积为4V，则以OB 为母线的圆锥的体积等于A.12V B. 9VC. 15VD. 4V4.设偶函数f (x )=log a |x -b |在（-∞，0）上递增，则f (a +1)与f (b +2)的大小关系是A.f (a +1)=f (b +2)B.f (a +1)＞f (b +2)C.f (a +1)＜f (b +2)D.不确定5.复数z 1、z 2在复平面上对应点分别是A 、B ，O 为坐标原点，若z 1=2(cos60°+i sin 60°)z 2，|z 2|=2，则△AOB 的面积为A.43B.23C.3D.26.如果二项式（xx 23-）n的展开式中第8项是含3x 的项，则自然数n 的值为 A.27 B.28 C.29 D.30 7.A 、B 、C 、D 、E ，5个人站成一排，A 与B 不相邻且A 不在两端的概率为 A.103B.53 C.101D.以上全不对8.把函数y =cos x -3sin x 的图象向左平移m 个单位（m ＞0）所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A.6π B.3π C.32π D.65π 9.已知抛物线C 1：y =2x 2与抛物线C 2关于直线y =-x 对称，则C 2的准线方程是 A.x =-81 B.x =21 C.x =81 D.x =-21 10.6人一个小组，其甲为组长，乙为副组长，从6人中任选4人排成一排，若当正、副组长都入选时，组长必须排在副组长的左边（可以不相邻），则所有不同排法种数是A.288B.276C.252D.7211.如图△ABD ≌△CBD ，则△ABD 为等腰三角形，∠BAD =∠BCD =90°，且面ABD ⊥面BCD ，则下列4个结论中，正确结论的序号是①AC ⊥BD ②△ACD 是等边三角形 ③AB 与面BCD 成60°角 ④AB 与CD 成60°角A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④12.台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.在△ABC 中，3cos(B +C )+cos(2π+A )的取值范围是 . 14.函数f (x )= 13+-x ax (x ≠-1)，若它的反函数是f -1(x )= xx -+13,则a = .15.S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 5=2，a n -4=30(n ≥5,n ∈N )，S n =336,则n 的值是 .16.给出四个命题：①两条异面直线m 、n ，若m ∥平面α，则n ∥平面α ②若平面α∥平面β，直线m ⊂α，则m ∥β ③平面α⊥平面β，α∩β=m ，若直线m ⊥直线n ，n ⊂β，则n ⊥α ④直线n ⊂平面α，直线m ⊂平面β，若n ∥β，m ∥α，则α∥β，其中正确的命题是 .三、解答题（本大题共6小题，共74 17.（本小题满分12分）解关于x 的方程：log a (x 2-x -2)=log a (x -a2)+1(a ＞0且a ≠1). 18.（本小题满分12分）已知等差数列{a n }中，a 2=8，S 10=185. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ;（Ⅱ）若从数列{a n }中依次取出第2，4，8， (2)，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，试求{b n }的前n 项和A n .19.（本小题满分12分）在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠B =90°，D 为AC 中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，二面角A —BD —C 大小记为θ.（Ⅰ）求证：面AEF ⊥面BCD ； （Ⅱ）θ为何值时，AB ⊥CD . 20.（本小题满分12分）某公司取消福利分房和公费医疗，实行年薪制工资结构改革，该公司从2000年起每人的工资由三个项目并按下表规定实施如果公司现有5名职工，计划从明年起每年新招5（Ⅰ）若今年（2000年）算第一年，试把第n 年该公司付给职工工资总额y (万元)表示成年限n 的函数；（Ⅱ）试判断公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和能否超过基础工资总额的20%？ 21.（本小题满分12分）设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=23x -4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线.（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y =2x +1与双曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |；（Ⅲ）对于直线y =kx +1,是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A 、B 关于直线y =ax (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞b ＞c )的图象上有两点A （m ，f (m 1)）、B (m 2，f (m 2))，满足f (1)=0且a 2+(f (m 1)+f (m 2))·a +f (m 1)·f (m 2)=0.（Ⅰ）求证：b ≥0；（Ⅱ）求证：f (x )的图象被x 轴所截得的线段长的取值范围是［2，3)； （Ⅲ）问能否得出f (m 1+3)、f (m 2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论.2018年高考数学仿真试题(三)答案一、1.D 2.B 3.A 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C9.C 10.A 11.B 12.B二、13.［-2,3］ 14. 1 15. 21 16.②③ 三、17.解：原方程可化为log a (x 2-x -2)=log a (ax -2)2分 ⎩⎨⎧-=---⇔22022ax x x ax 4分 由②得x =a +1或x =0,当x =0时，原方程无意义，舍去.8分 当x =a +1由①得1022 a a a a ⇒⎩⎨⎧-+10分 ∴a ＞1时，原方程的解为x =a +112分18.解：(Ⅰ)设{a n }首项为a 1,公差为d ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1852)92(10811d a d a ,解得⎩⎨⎧==351d a∴a n =5+3(n -1),即a n =3n +26分（Ⅱ）设b 1=a 2,b 2=a 4,b 3=a 8, 则b n =a 2n =3×2n +2∴A n =(3×2+2)+(3×22+2)+…+(3×2n +2) =3×(2+22+…+2n )+2n=3×12)12(2--n +2n=6×2n -6+2n12分① ②19.（Ⅰ）证明：在Rt △ABC 中，∠C =30°，D 为AC 的中点，则△ABD 是等边三角形 又E 是BD 的中点，∵BD ⊥AE ，BD ⊥EF ， 折起后，AE ∩EF =E ，∴BD ⊥面AEF ∵BD ⊂面BCD ，∴面AEF ⊥面BCD 6分（Ⅱ）解：过A 作AP ⊥面BCD 于P ，则P 在FE 的延长线上，设BP 与CD 相交于Q ，令AB =1，则△ABD 是边长为1的等边三角形，若AB ⊥CD ，则BQ ⊥CD 6331==⇒AE PE ,又AE =23∴折后有cos AEP =31=AE PE 由于∠AEF =θ就是二面角A —BD —C 的平面角， ∴当θ＝π-arccos31时，AB ⊥CD12分20.解：（Ⅰ）第n 年共有5n 个职工，那么基础工资总额为5n (1+101)n（万元） 医疗费总额为5n ×0.16万元，房屋补贴为5×0.18+5×0.18×2+5×0.18×3+…+5×0.18×n =0.1×n (n +1)（万元）2分∴y =5n (1+101)n+0.1×n (n +1)+0.8n =n ［5(1+101)n+0.1(n +1)+0.8］（万元）6分（Ⅱ）5(1+101)n×20%-［0.1(n +1)+0.8］=(1+101)n -101(n +9)=101［10(1+101)n -(n +9)］ ∵10(1+101)n =10(1+C n 1C n 1101+C n 21001+…)＞10(1+10n)＞10+n ＞n +9故房屋补贴和医疗费总和不会超过基础工资总额的20% 12分21.解：（Ⅰ）由抛物线y 2=23x -4,即y 2=23 (x -32),可知抛物线顶点为（32,0）,准线方程为x =63.在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（32，0），右准线x =63,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2-y 2=14分（Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y ∴|AB |=2108分（Ⅲ）假设存在实数k ,使A 、B 关于直线y =ax 对称，设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a (x 1+x 2)=k (x 1+x 2)+2 ⑤ 由④知：x 1+x 2=232kk-代入⑤ 整理得ak =3与①矛盾，故不存在实数k ，使A 、B 关于直线y =ax 对称. 12分 22.（Ⅰ）证明：因f (m 1),f (m 2)满足a 2+［f (m 1)+f (m 2)］a +f (m 1)f (m 2)=0 即［a +f (m 1)］［a +f (m 2)］=0 ∴f (m 1)=-a 或f (m 2)=-a ,∴m 1或m 2是f (x )=-a 的一个实根， ∴Δ≥0即b 2≥4a (a +c ). ∵f (1)=0,∴a +b +c =0 且a ＞b ＞c ,∴a ＞0,c ＜0, ∴3a -c ＞0,∴b ≥0 5分 (Ⅱ)证明：设f (x )=ax 2+bx +c =0两根为x 1,x 2,则一个根为1，另一根为ac, 又∵a ＞0,c ＜0， ∴ac＜0, ∵a ＞b ＞c 且b =-a -c ≥0, ∴a ＞-a -c ＞c ,∴-2＜ac≤-1 2≤|x 1-x 2|＜310分（Ⅲ）解：设f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)=a (x -1)(x -ac ) 由已知f (m 1)=-a 或f (m 2)=-a 不妨设f (m 1)=-a 则a (m 1-1)(m 1-ac)=-a ＜0, ∴ac＜m 1＜1 ∴m 1+3＞ac+3＞1②③∴f(m1+3)＞f(1)＞0∴f(m1+3)＞0 12分同理当f(m2)=-a时，有f(m2+3)＞0,∴f(m2+3)或f(m1+3)中至少有一个为正数14分。
2018年高考数学模拟试卷(3)参考答案
2018年高考模拟试卷（3）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．答案：{}|0x x > 解析：由并集定义可得A B = {}|0x x >． 2．答案：25 解析：因为22a b +即为复数a ＋b i 模的平方，且2534a bi i+=+，所以25534a bi i+===+，即22a b +的值为25 3．答案：18 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为3:3:8:6，所以 100名学生中丁专业抽取人数为6601820⨯=人. 4．答案：310解析：将黑球标记为a ，黄球标记为b ，红球标记为123,,c c c 基本事件 有123122313122313123,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,a b c a b c a b c a c c a c c a c c b c c b c c b c c c c c 共计10种， 其中颜色互不相同有3种，故所求事件概率为310. 5．答案：7 解析：第1次，1S =，3k =；第2次，3S =，5k =；第三次，1510S =>，7k =．6. 答案：125解析：顶点坐标为()4,0±，渐近线方程为34x y =±，由对称性不妨取顶点()4,0，渐近线方程为34y x =，故顶点到其渐近线的距离为125d =.7.84，故6，即m =方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为12,h h .因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所以体积之比为121332h h ==.8. 答案：80解析：因为137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅.又26a =，设公差为d ,故()()()26665d d d +=-⋅+，即22d d =，又公差不为零，故2d =.即42210a a d =+=. 所以72421780S S a a a +=++=. 9. 答案：154解析：将所给约束条件画出如下图所示的可行域.yz x=的几何意义为可行域中的任一点与原点连线的斜率.由图形可得：在点A 处取到最大值.又()2,6A ，故m a x 3z =.在点C 处取到最小值.又()4,3C ,故min 34z =.所以z 的最大值与最小值之和为315344+=10．答案：(02)， 解析：10()4102x f x x x ⎧⎪=⎨--<⎪-⎩≥，，，， 所以)(x f 在(0)-∞，上单调递增，在[0)+∞，上为常数函数，则222220x x xx x ⎧-<-⎪⎨-<⎪⎩，解得20<<x ．11．答案：2-解析：将函数()π4y x =的图象向左平移3个单位，得函数()π3π44y x +,所以((3π,3,,4M N ON ϕ=-=由余弦定理可得，5cos π6θθ===， ()()35tan tan ππ46ϕθ=-=-35tan πtan π462351tan πtan π46-==-++⋅12．答案：7+解析：方法一：因为111x y+=，所以11111,1x y y x -=-=.又343434111111x y y x x y x y+=+=+----，所以()113434777y x y x x y x y ⎛⎫++=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当2x 时取等号.方法二：因为111x y+=，所以xy x y =+，即()()111x y -⋅-=.故()()3134143434777111111x y x y x y x y x y -+-++=+=++≥+=+------当且仅当2x =时取等号.方法三：因为()34343347411111111x y x x x x x y x x x y+=+=+=++-------，所以34711x yx y +≥+--2x 时取等号. 13．答案：1解析：设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2παβ+=,∴tan tan 1αβ=，记直线l :2r x c=与x 轴的交点为H ,()()OM ON OH HM OH HN ⋅=+⋅+ ，则2(,0)r H c ,0,0OH HN OH HM ⋅=⋅=,∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ⋅=+⋅=-⋅22422|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c cαβ⋅==+-=-∴242222()()r r OM ON r r c c ⋅=--= .即2OM ONr⋅的值为114.【答案】【解析】方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数2()|21|f x x x =--与函数()g x t =的图象如下图所示，所以14,x x 是方程221x x t --=的两根，23,x x 是方程221x x t --=-的两根，由求根公式得4132x x x x -=-=，且02t <<，所以41322()()x x x x -+-=，令()f t =，由()0f t '==得65t =，函数()f t 在区间6(0,]5递增，在区间6[,2)5递减，又6(0)()(2)85f f f ===，所以所求函数的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）证：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥． 因为底面ABCD 是矩形，所以CD BC ⊥．因为CD PD D = ，,CD PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ． 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD ． （2）底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ， 因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ．因为AD ⊂平面ADFE ，平面ADFE 平面PBC EF =，所以AD ∥EF ． 16．（本小题满分14分）解：（1）因为π1sin()cos 62C C +-=11cos 22C C -=，所以π1sin()62C -=．又因为0πC <<，所以π3C =．（2）法一：因为D 是AB 中点，所以1()CD CA CB =+，所以2221(2)4CD CA CA CB CB =+⋅+ ，即2221()4CD a b ab =++，所以224()CD a b ab =+-23()124a b +=≥，当且仅当2a b ==时等号成立．所以CD法二：在ABC △中，由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅，可设22214cos b c CD A bc+-=． 在ABC △中，由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB A =+-⋅⋅，可设222cos 2b c a A bc+-=．所以222222142b c CD b c a bc bc +-+-=，所以2221()4CD a b ab =++．下同法一．法三：以C 为原点，CA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以(0)(2a A b B ，，，所以(42a b D +，所以2221()4CD a b ab =++， 下同法一．17．（本小题满分14分）解：（1）因为MN ∥l ，设直线MN 的方程为430x y c ++=， 由条件得，43430c ⨯+⨯+=，解得5c =-，即直线MN 的方程为4350x y +-=．因为34OA k =，43MN k =-，所以1OA MN k k ⋅=-，即OA MN ⊥，所以MN == 又因为直线MN 与直线l间的距离3d ==，即点P 到直线MN 的距离为3，所以△PMN的面积为132⨯=（2）直线PM 与圆O 相切，证明如下： 设00()M x y ，，则直线MN 的斜率000035354545y y k x x --==--，因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的斜率为005453x y ---，所以直线OP 的方程为005453x y x y -=--．联立方程组00545343200x y x y x y -⎧=-⎪-⎨⎪+-=⎩，，解得点P 的坐标为()0000004(53)4(54)4343y x y x y x -----，， 所以()000000004(53)4(54)4343y x PM x y y x y x --=--- --，， 由于()00OM x y = ，，22004x y +=，所以2200000000004(53)4(54)4343x y y x PM OM x y y x y x --⋅=--- -- 0000004(53)4(54)443x y y x y x ---=--000012164043x y y x -+=-=-，所以PM OM ⊥，即PM OM ⊥，所以直线PM 与圆O 相切，得证．18．（本小题满分16分）解：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152x m x -==-cm ，竖直方向每根支条长为261322y y n -==-cm2cm ．从而，所需木料的长度之和L 2(15)4(13)822yx =-+-+=822()x y ++cm ．（2）由题意， 1132xy =，即260y x =，又由152,132,2x y--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥可得1301311x ≤≤．所以260822()L x x=++．令260t x x =+，其导函数226010x-<在1301311x ≤≤上恒成立，故260t x x =+在130[,13]11上单调递减，所以可得372[33,]11t ∈．则26082()]L x x =++82]t =+=82+．因为函数y =y =在372[33,]11t ∈上均为增函数，所以82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L有最小值16+答：做这样一个窗芯至少需要16+长的条形木料．19．（1）2()36(2)f x x x a '=-+-，其判别式2(6)12(2)12(+1)a a ∆=---=．①当1a -≤时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞．………………………………………1分②当1a >-时，由()0f x '>，得x <或x >所以()f x的单调增区间为(-∞，)+∞． 3分综上，当1a -≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当1a >-时，()f x 的单调增区间为(-∞，)+∞．4分（2）（ⅰ）方程()0f x =，即为323(2)0x x a x -+-=，亦即2[3(2)]0x x x a -+-=，由题意1t ，2t 是方程23(2)0x x a -+-=的两个实根， ………………5分 故123t t +=，122t t a =-，且判别式21(3)4(2)0a ∆=--->，得14a >-． 由213t t =，得134t =，294t =， ………………………………………8分 故1227216t t a =-=，所以516a =．………………………………………9分（ⅱ）因为对任意的12[]x t t ∈，，()16f x a -≤恒成立． 因为123t t +=，12t t <，所以1232t t <<， 所以120t t <<或120t t <<．①当120t t <<时，对12[]x t t ∈，，()0f x ≤， 所以016a ≤-，所以16a ≤．又1220t t a =->，所以2a <．………………………………………12分②当120t t <<时，2()36(2)f x x x a '=-+-，由（1）知，存在()f x 的极大值点11(0)x t ∈，，且1x =（方法1）由题得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤，将1x =(72a +，解得11a ≤．…14分又1220t t a =-<，所以2a >．因此211a <≤．…………………………15分综上，a 的取值范围是1(2)(211]4- ，，．………………………………………16分 （方法2）211362a x x =-+，由题得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤， 将211362a x x =-+，代入化简得31(1)8x --≥，得11x -≥，故110x -<≤，因为211362a x x =-+在1[10)x ∈-，上递减，故(211]a ∈，． 综上，a 的取值范围是1(2)(211]4- ，，． ……………………………………16分 20．（本小题满分16分）解：（1）将1n =代入111(1)n n nn a a n ++=++λ，得2122a a =+， 由11a =，283a =，得3=λ．（2）由111(1)3n n n n a a n ++=++，得1113n n n a a n n +-=+，即113n nnb b +-=． 当2n ≥时，111221()()()n n n n n b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-111[1()]3311n --=-111223n -=-⨯，因为1111a b ==，所以131223n n b -=-⨯． 因为11b =也适合上式，所以131223n n b -=-⨯．（3）由（2）知，3()23n nn a n =-．假设存在正整数r s t ，，且r s t <<，使得r s t ，，与r s t a a a ，，同时成等差数列， 则2r t s +=且2r t s a a a +=，即()()()333333r t s r t s r t s -+-=-，整理得2333r t sr t s +=， （*） 设3n nn c =，*n ∈N ，则1111120333n n nn n n n n c c ++++--=-=< 所以{}n c 单调递减数列． ① 若1r =，当3s ≥时，则2293ss ≤， 所以()*左边13>，右边29≤，显然等式不成立，当2s =时，得313933t t ==，解得3t =， 所以1r =，2s =，3t =符合题意． ② 若2r ≥，因为s r >，所以1s r +≥， 所以1s r c c +≤，所以()112122033333r sr r r r r s r r +++---=≥≥，所以03tt ≤，所以t 不存在， 即2r ≥时，不存在符合题意的r s t ，，．综上，存在1r =，2s =，3t =，使得r s t ，，与r s t a a a ，，同时成等差数列．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证：连接OA ，因为OD AB ⊥，OA OB =，所以12BOD AOD AOB ∠=∠=∠， 又12ACB AOB ∠=∠，所以ACB DOB ∠=∠， 又因为180BOP DOP ∠=-∠ ，180QCP ACB ∠=-∠，所以BOP QCP ∠=∠，所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以OBP CQP ∠=∠. B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 解：由题意，3=A αα，即2113411a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2343a b +=⎧⎨+=⎩，，解得11a b ==-，，所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． 设l 上一点()P x y ，在A 的作用下得到直线l '上一点()P x y '''，， 则1214x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即24x x y y x y '=+⎧⎨'=-+⎩，， 所以1(2)1()6x x y y x y ⎧''=-⎪⎨⎪''=+⎩，，代入直线:230l x y --=，得75180x y ''--=， 即直线l '的方程为75180x y --=. C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 解：由()πcos 2ρθ-=cos sin 2θθ=， 所以直线l直角坐标方程为0x y +-=． 由4sin 2cos ρθθ=-，得24sin 2cos ρρθρθ=-， 所以圆C 的直角坐标方程为22240x y x y ++-=，即()()22125x y ++-=． …… 8分所以圆心到直线的距离2d ==<所以直线l 与圆C 相交． D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）解：设()|3||21|f t t t =-++，即13221()432323t t f t t t t t ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-⎨⎪->⎪⎪⎩，，，≤≤，，，所以()f t 的最小值为72，所以7|21||2|2x x -++≤．当2x <-时，不等式即为7(21)(2)2x x ---+≤，解得32x -≥，矛盾；当122x -≤≤时，不等式即为7(21)(2)2x x --++≤，解得12x -≥，所以1122x -≤≤；当12x >时，不等式即为7(21)(2)2x x -++≤，解得56x ≤，所以1526x <≤． 综上，实数x 的取值范围是1526x -≤≤．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）由已知得，甲中奖的概率为23，乙中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为C ，则事件C 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23P 0，所以P (C )＝1－P (X ＝5)＝1－23P 0＝79，所以P 0＝13．（2）设甲、乙都选择方案A 抽奖的中奖次数为X 1，都选择方案B 抽奖的中奖次数 为X 2，则这两人选择方案A 抽奖累计得分的均值为E (2X 1)， 选择方案B 抽奖累计得分的均值为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B (2，23)，X 2～B (2，P 0)，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2P 0，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝6P 0．若E (2X 1)>E (3X 2)，则83>6P 0⇒0<P 0<49，若E (2X 1)<E (3X 2)，则83<6P 0⇒49<P 0<1，若E (2X 1)＝E (3X 2)，则83＝6P 0⇒P 0＝49．综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案A 进行抽奖时，累计得分的均值较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值较大； 当P 0＝49时，他们都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值相等．23．（本小题满分10分）解：（1）在△ABC 中，1AB =，2BC AD ==，π3ABC ∠=，则AC =222AB AC BC +=，即90BAC ∠= ．因为四边形ACEF 为矩形，所以FA AC ⊥，因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF ABCD AC =ACEF ，所以FA ⊥平面ABCD ．建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B，C ，(D -E ，(0,0,1)F ，当12λ=时，12EM EF =，所以M ．所以(BM =- ，(1,0,1)DE = ，所以(1,0,1)(0BM DE ⋅=⋅-=，所以BM DE ⊥ ，即异面直线DE 与BM 所成角的大小为90 ． （2）平面ECD 的一个法向量1(0,1,0)=n ， 设000(,,)M x y z ，由000(0,,1)(0,,0)(EM x y z λ===-，得0000)1x y z λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，即),1)M λ-，所以(1),1)BM λ--=，(BC =-． 设平面MBC 的法向量2(,,)x y z =n ，因为22,,BC BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ n n即0,)0,x x y z λ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩ 取1y =，则x =z ，所以平面MBC的一个法向量2)=n ， 因为π02θ<≤，所以1212cos θ⋅==⋅n n n n ．因为01λ≤≤，所以1cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦，．。
黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试2018年高中数学仿真模拟试题(三)文
普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(三)文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2017·郑州一模)设全集{}4U x N x *=∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，则()UA B =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}1,3,4D ．{}2,3,42.(2017·保定市一模)设z 为复数12z i =-的共轭复数，则()2016z z-=（ ）A ．20162B ．20162-C ．20162i D ．i -3.（2017·河南八市质检）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间是(),1-∞-C ．()f x 是奇函数，递增区间是(),1-∞-D ．()f x 是奇函数，递增区间是()1,1-4.（2017·太原一模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为()2,0，则双曲线方程为（ ）A ．22126x y -= B ．22162x y -= C.2213y x -= D ．2213x y -= 5.从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是（ ） A ．15 B ．25 C. 35 D ．456.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()1f α=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．13B．223± C.223D．223-7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有坦厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自信，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C.2 D．38.（2017·海口市调研）cos104sin80sin10-=（）A3 B．32 D．2239.不等式组1,24x yx y+≥⎧⎨-≤⎩的解集为D，下列命题中正确的是（）A ．(),x y D ∀∈，21x y +≤-B ．(),x y D ∀∈，22x y +≥-C ．(),x yD ∀∈，23x y +≤ D ．(),x y D ∀∈，22x y +≥10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83 B ．52C.3 D ．2 11.（2017·昆明市统测）设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.()1,-+∞ D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.已知sin sin 35παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ．45-B ．35- C.35 D ．45第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量1e ，2e 的夹角为60，则向量12e e +与212e e -的夹角为 ． 14.（2017·东北四市一联）在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是 ．15.已知函数()2,0,ln ,0,x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩则()()3f f - ．16.（2017·山西四校联考）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当()tan A B -取最大值时，角B 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （2017·成都市二诊）已知数列{}n a 中，11a =，又数列()2n n N na *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭是首项为2、公差为1的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. （2017·合肥市质检）某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x 个月）和市场占有率（%y ）的几组相关对应数据：x1 2 3 4 5 y0.020.050.10.150.18（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）.19. 如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠=，12AB AD CD ==，BE DF ⊥.（1）若M 为EA 的中点，求证：//AC 平面MDF ； （2）若2AB =，求四棱锥E ABCD -的体积.20. （2017·河南九校联考）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的离心率为32，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上.（1）求椭圆W 的方程；（2）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q .是否存在点P ，使得3PQ AP=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21. (2017·唐山市二模)设函数()()21ln 2x f x k x k x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若k 为正数，且存在0x 使得()2032f x k <-，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求ABM △面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲（1）已知a ，b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；（2）已知a ，b ，c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++≥++.试卷答案一、选择题1-5: AADCC 6-10:DABBA 11、12：DD 二、填空题 13.23π 14.丙 15.1- 16.6π 三、解答题17.解析：（1）∵数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列， ∴()2211nn n na =+-=+， 解得()21n a n n =+.（2）∵()211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.∴11111212231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 18.解析：（1）经计算0.042b =，0.026a =-， 所以线性回归方程为0.0420.026y x =-；（2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点；由0.0420.0260.5y x =->，解得13x ≥，预计上市13个月时，市场占有率能超过0.5%.19.解析：（1）证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ， 在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， ∵M 为EA 的中点，∴//MN AC ， 又∵AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ， ∴//AC 平面MDF .（2）取CD 中点为G ，连接BG ，EG ，平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，AD CD ⊥，∴AD ⊥平面CDEF ，同理ED ⊥平面ABCD ， ∴ED 的长即为四棱锥E ABCD -的高， 在梯形ABCD 中12AB CD DG ==，//AB DG ， ∴四边形ABGD 是平行四边形，//BG AD ， ∴BG ⊥平面CDEF ，又∵DF ⊂平面CDEF ，∴BG DF ⊥， 又BE DF ⊥，BEBG B =，∴DF ⊥平面BEG ，DF EG ⊥. 注意到Rt DEG Rt EFD ∽△△，∴28DE DG EF =⋅=，22DE =∴1423E ABCD ABCD V S ED -=⋅=20.解析：（1）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，令0y =，得4x =±，所以4a =，又离心率为2，所以2c e a ==，所以c =，所以2224b a c =-=， 所以W 的方程为221164x y +=. （2）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线AP 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程联立得()224,1,164y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩化简得到()2222143264160k x k x k +++-=，因为4-为方程的一个根，所以()21232414k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+，所以214AP k =+.因为圆心到直线AP的距离为d =，所以AQ ===， 因为1PQ AQ AP AQAP AP AP-==-，代入得到222221433113111PQ k k AP k k k+==-==-+++， 显然23331k -≠+，所以不存在直线AP ，使得3PQ AP=. 21. 解析：（1）()()()()2111x k x k x x k k f x x k x x x+--+-'=+--==，（0x >）， ①当0k ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0k >时，()0,x k ∈，()0f x '<；(),x k ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 在()0,k 上单调递减，在(),k +∞上单调递增.（2）因为0k >，由（1）知()232f x k +-的最小值为()2233ln 222k f k k k k k +-=+--，由题意得23ln 022k k k k +--<，即31ln 022k k k+--<. 令()31ln 22k g k k k=+--，则()222113230222k k g k k k k -+'=-+=>， 所以()g k 在()0,+∞上单调递增，又()10g =， 所以()0,1k ∈时，()0g k <，于是23ln 022k k k k +--<； ()1,k ∈+∞时，()0g k >，于是23ln 022k k k k +-->.故k 的取值范围为01k <<. 22. 解析：（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），所以普通方程为()()22344x y -++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得()()22cos 3sin 44ρθρθ-++=，化简可得圆C 的极坐标方程：26cos 8sin 210ρρθρθ-++=. （2）点(),M x y 到直线:20AB x y -+=的距离为d =ABM △的面积12cos 2sin 9924S AB d πθθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM △面积的最大值为9+23.证明：（1）∵a b ≠，∴0a b -≠，∴2220a ab b -+>，∴22a ab b ab -+>，而a ，b 均为正数，∴0a b +>，∴()()()22a b a ab b ab a b +-+>+， ∴3322a b a b ab +>+成立. （2）∵a ，b ，c 都是正数，∴222222a b b c acb +≥，222222a b c a bca +≥，222222c a b c abc +≥， 三式相加可得()()22222222a b b c c a abc a b c ++≥++， ∴()()222222a b b c c a abc a b c ++≥++，∴222222a b b c c a abc a b c++≥++.。
高三数学-2018年高考仿真试题三数学理 精品
普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类（三）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.解析: 构造函数f (x )=log a x －a －x ,∵a ＞1,显然f (x )是(0,+∞)上的增函数,由a －x +log a y ＜ a －y +log a x ⇔log a x －a －x ＞log a y －a －y ,∴x ＞y ＞0.答案: A2.解析: 解法一:原等式化为2|z +21|=|z －i|,即动点到两定点的距离之比为不等于1的常数,所以动点轨迹是圆.解法二:可设z =x +y i(x 、y ∈R),代入已知等式计算可得3x 2+3y 2+4x +2y =0,此方程为圆的方程.答案: A3解析: ∵直线ax +by +c =0与圆x 2+y 2=1相离,∴22||b a c +＞1.∴c 2＞a 2+b 2.答案: C4.解析: 作PO ⊥面ABC ,O 为垂足,连结OB 交AC 于D .连结PD , ∵PB ⊥AC ,∴AC ⊥BD .∴AC ⊥面PDB .∴AC ⊥PD . ∴∠PDB 为侧面PAC 与底面ABC 所成的二面角. ∴∠PDB =120°,∠PDO =60°.∵△ABC 为边长是2的正三角形,∴AD =1. 又PA =3,∴PD =22AD PA -=2213-=22. 在△POD 中,PO =PD sin60°=22×23=6.答案: A 5.解析: 易知x 2+ax +b 含x －2的因式,可设x 2+ax +b =(x －2)(x +c ),则原式2lim→x 1++x cx =2,即32c+=2,∴c =4⇒x 2+ax +b =(x －2)(x +4)⇒a =2,b =－8.答案: C 6.解析: 解法一:设A 、B 、C 分别表示“甲被录取”“乙被录取”“丙被录取”三个命题.则判断①为非A ⇒B 且C ;判断②为非B 或非C 为真;判断③为非A 或B 为真.①的逆否命题为非B 或非C ⇒A ,结合②可知A 为真,即甲被录取.由A 真可知非A 为假,结合③可知B 为真,即乙被录取.解法二:根据判断①.若甲未被录取,则乙与丙都被录取,这与②矛盾.故甲被录取.由于③正确,故“甲未被录取”与“乙被录取”中至少一个正确.由于“甲未被录取”不正确,故“乙被录取”正确.答案: D7.解析: 依定义:f (x )=2|2|42---x x ⇒|x |≤2且x ≠0,∴f (x )=－x x 24-为奇函数.答案: A 8.解析: 由已知可得f (x 1)+f (x 2)+…+f (x 2018)=8,又f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 20182)=2［f (x 1)+f (x 2)+…+f (x 2018)］=2×8=16.答案: C 9.解析: 设正方形ABCD 的边为长1,则AC =2c =2,c =22,2a =|PA |+|PC |=21+25,a =41+45,∴e =a c =21(10－2).答案: C10.解析: 曲线是右半单位圆和下半单位圆的并集,右半单位圆方程是x －21y -=0(x ≥0);下半单位圆方程是y +21x -=0(y ≤0).答案: D11.解析: 一枚骰子先后掷两次,其基本事件(b ,c )的总数是36,且是等可能的.方程有实根的充分必要条件是b 2－4c ≥0,即c ≤42b ,满足该条件的基本事件的个数为:①b =1时有0个;②b =2时有1个;③b =3时有2个;④b =4时有4个;⑤b =5时有6个;⑥b =6时有6个,共19个.答案: C12.解析: 由题意有A =2,2sin(－2ω+φ)=0,2sin(2ω+φ)=2,∴φ=4π,ω=2π,f (x )=2sin(2x π+4π),最小正周期T =2ππ2=4,f (0)=1,f (1)=1,f (2)=－1,f (3)=－1.∴原式=f (0)+f (1)=2.答案: C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.解析: 由f (x )的解析式可知f (x )图象连续及f (x )的单调性可确定,在(－1,1)和(2,+∞)上均有f (x )＞0.答案: (－1,1)∪(2,+∞)14.解析: B 队获胜的形式可以有三种:3∶2获胜,3∶1获胜,3∶0获胜.①3∶2获胜,必须打满5局,且最后一局是B 队胜,故3∶2获胜的概率为P =24C (31)2·(32)2·31=818. ②3∶1获胜,只需打4局,且最后一局是B 队胜,故3∶1获胜的概率为P =23C (31)2·32·31=272. ③3∶0获胜,则必须第1~3局B 均胜才行,故3∶0获胜的概率为P =(31)3=271. B 队获胜的概率为818+272+271=8117.答案: 8117 15.解析: 35C +25C +15C +1=26.答案: 2616.解析: ①展开式的通项公式为T r +1=(－1)r r 7C 27－r rx2721-(r =0,1,2),令21－27r =0得r =6,即常数项为T 7,∴①假.②在△ABC 中,A ＞B ⇒a ＞b ⇒2R sin A ＞2R sin B ＞0⇒sin 2A ＞sin 2B ⇒22cos 1A-＞22cos 1B-⇒cos2A ＜cos2B ,②真. ③由抛物线y =f (x )=x 2－x +a 的对称性知点(m ,f (m ))和点(1－m ,f (1－m ))关于直线x =21对称,∴f (1－m )=f (m )＞0,③真.④连结空间四边形ABCD 的对角线AC ·BD 后,得棱锥A —BCD 是棱长为a 的正四面体,在侧面ABC 内, BA 与AC 的夹角为120°,∴2BA ·AC =－a 2,∴④假.答案: ②③三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解:∵a ⊥a ,∴a ·b =0,m +2n =0,m =－2n .由m ≥n +1得－2n ≥n +1,∴n ≤－31.又(a +b )·(a －2b )=|a 2|－2|b |2=5－2(m 2+n 2)=5－10n 2. 10分 ∴(a +b )·(a －2b )的最大值为5－10·(－31)2=935.12分18.(1)解:由f (x －π)=f (x +π),知f (x )的周期为2π,即f (x )=f (x +2π), ∴ω=1.又∵f (x )=f (3π－x ),∴f (0)=f (3π),即21(sin0+a cos0)=21(sin 3π+cos 3π),解得a =3. ∴f (x )=21(sin x +3cos x )=sin(x +3π).5分(2)证明:令f (x )=t ,g (t )=t 2+mt +n .由|m |+|n |＜1,得|m +n |≤|m |+|n |＜1, ∴m +n ＞－1.同理由|m －n |≤|m |+|n |＜1,得m －n ＜1. 显然g (1)=m +n +1＞0, g (－1)=1－m +n ＞0. 又∵－2m∈(－1,1)(∵|m |≤|m |+|n |＜1),Δ=m 2－4n ＞0, ∴二次方程t 2+mt +n =0的两个实根在(－1,1)中.反之,令m =65,n =61,则方程t 2+65t +61=0在t ∈(－1,1)上有两个不等实根,即方程sin 2(x +3π)+65sin(x +3π)+61=0在(－6π5,6π)内有两个不等的实根. 但|m |+|n |=65+61=1,故“|m |+|n |＜1”是“方程f 2(x )+mf (x )+n =0在(－6π5,6π)内有两个不等实根”的充分不必要条件.12分19.解法一:(1)证明:取PC 中点M ,连结ME 、MF ,则MF ∥CD ,MF =21CD . 又AE ∥CD ,AE =21CD ,∴AE ∥MF 且AE =MF . ∴四边形AFME 是平行四边形.∴AF ∥EM . ∵AF ⊄平面PCE ,∴AF ∥平面PCE . 4分(2)解:∵PA ⊥平面AC ,CD ⊥AD ,∴CD ⊥PD .∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角,即∠PDA =45°. ∴△PAD 是等腰直角三角形.∴AF ⊥PD .又AF ⊥CD ,∴AF ⊥平面PCD ,而EM ∥AF , ∴EM ⊥平面PCD .又EM ⊂平面PEC , ∴面PEC ⊥面PCD .在平面PCD 内过F 作FH ⊥PC 于H ,则FH 就是点F 到平面PCE 的距离. 由已知,PD =22,PF =2,PC =17,△PFH ∽△PCD , ∴PF FH =PCCD.∴FH =17343.8分(3)解:∵PA ⊥平面ABCD ,∴AC 是PC 在底面上的射影.∴∠PCA 就是PC 与底面所成的角. 由(2)知PA =2,PC =17,∴sin ∠PCA =172=17172, 即PC 与底面所成的角是arcsin17172.12分PAB CDE Fxyz M解法二:(1)证明:取PC 中点M ,连结EM , ∵AF =AD +DF =BC +21DP =BC +21(DC +CP )=BC +21AB +CM =EB + BC +CM =EM ,∴AF ∥EM .又EM ⊂平面PEC ,AF ⊄平面PEC ,∴AF ∥平面PEC .4分(2)解:以A 为坐标原点,分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系. ∵PA ⊥平面AC ,CD ⊥AD ,∴CD ⊥PD .∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角,即∠PDA =45°. ∴A (0,0,0)、P (0,0,2)、D (0,2,0)、F (0,1,1)、E (23,0,0)、C (3,2,0). 设平面PCE 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⊥EP ,n ⊥EC ,而EP =(－23,0,2),EC =(23,2,0), ∴－23x +2z =0,且23x +2y =0.解得y =－43x ,z =43x .取x =4,得n =(4,－3,3). 又PF =(0,1,－1),故点F 到平面PCE 的距离为d =||||n n PF ⋅=9916|330|++--=17343.8分(3)解:∵PA ⊥平面ABCD ,∴AC 是PC 在底面上的射影.∴∠PCA 就是PC 与底面所成的角.CA =(－3,－2,0),CP =(－3,－2,2).∴cos ∠PCA =||||CP CA CP CA ⋅=17221,sin ∠PCA =2172211-=17172, 即PC 与底面所成的角是arccos 17221. 12分20解:(1)由条件易知第i 行的第1个数为 a i 1=41+41(i －1)=4i , 第i 行的第j 个数为a ij =4i (21)j －1, ∴a 83=48×(21)2=21.6分(2)设数阵中第n 行的所有数之和为A n ,则A n =4n (1+21+221+…+121-n )=4n ·211211--n =2n －21×n n 2. 设所求数之和为P ,则P =21(1+2+…+n )－21 (1·2－1+2·2－2+…+n ·2－n ). 设S =1·2－1+2·2－2+3·2－3+…+n ·2－n ,则2S =1·2－2+2·2－3+3·2－4+…+n ·2－(n +1)=211)211(21--n －n ·2－(n +1)=1－n 21－12+n n , 则P =4)1(+n n －(1－n 21－12+n n ),=4)1(+n n +n 21+12+n n－1=442-+n n +122++n n . 12分21.解:(1)设点P 坐标为(x ,y ),依题意得2+x y ·2-x y =t ⇒y 2=t (x 2－4)⇒42x +t y 42-=1.轨迹C 的方程为42x +ty 42-=1(x ≠±2). 5分(2)当－1＜t ＜0时,曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆, 又|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则r 1+r 2=2a =4. 在△F 1PF 2中,|F 1F 2|=2c =4t +1. ∵∠F 1PF 2=120°,由余弦定理,得4c 2=r 12+r 22－2r 1r 2cos120°=r 12+r 22+r 1r 2=(r 1+r 2)2－r 1r 2≥(r 1+r 2)2－(221r r +)2=3a 2, ∴16(1+t )≥12.∴t ≥－41. ∴当－41≤t ＜0时,曲线上存在点Q 使∠F 1QF 2=120°. 当t ＜－1时,曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆, 设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则r 1+r 2=2a =－4t .在△F 1PF 2中,|F 1F 2|=2c =4t --1. ∵∠F 1PF 2=120°,由余弦定理,得4c 2=r 12+r 22－2r 1r 2cos120°=r 12+r 22+r 1r 2=(r 1+r 2)2－r 1r 2≥(r 1+r 2)2－(221r r +)2=3a 2. ∴16(－1－t )≥－12t ⇒t ≤－4.∴当t ≤－4时,曲线上存在点Q 使∠F 1QF 2=120°.综上,当t ＜0时,曲线存在Q 使∠AQB =120°的t 的取值范围是（－∞,－4]∪［－41,0).12分 22.(1)证明:设函数y =f (x )的图象上任意不同的两点为P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),且x 1≠x 2,则2121x x y y --＜1,即有2122322131x x ax x ax x --++-＜1⇔－x 12－x 1x 2－x 22+a (x 1+x 2)＜1⇔－x 12+(a －x 2)x 1－x 22+ax 2－1＜0.∵x 1∈R,∴Δ=(a －x 2)2+4(－x 22+ax 2－1)＜0, 即－3x 22+2ax 2+a 2－4＜0,－3(x 2－3a )2+34(a 2－3)＜0.于是必有a 2－3＜0,故－3＜a ＜3.6分(2)解:当x ∈［0,1］时,k =f ′(x )=－3x 2+2ax .由题意,得－1≤－3x 2+2ax ≤1,x ∈［0,1］, 即对于任意x ∈［0,1］,|f ′(x )|≤1等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤='≤≤≤+-='13|)3(|,130,1|23||)1(|2aa f a a f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-='13,1|23||)1(|a a f 或⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-='.03,1|23||)1(|a a f 解出1≤a ≤3.故使|k |≤1成立的充要条件是1≤a ≤3.14分。
2018届高考第三次模拟数学试题(文科)-含答案
2018届高考第三次模拟数学试题(文科)-含答案2018届高考第三次模拟数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.为了得到函数y=sin(2x+π/3)的图像，只需要将y=sin2x的图像A.向右平移π/3个单位长度B.向右平移2π/3个单位长度C.向左平移π/3个单位长度D.向左平移2π/3个单位长度3.函数f(x)=log2(x+1)-2的零点所在的区间是A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.在矩形ABCD中，AC=2.现将三角形ABC沿对角线AC 折起，使点B到达B'的位置，得到三棱锥B'-ACD，则三棱锥B'-ACD的外接球的表面积为A.π B.2π C.4π D.与点B'的位置有关5.计算log5(100)+log5(0.25)的值为A.0 B.1 C.2 D.46.在明朝程大位《算法统宗》中有这样一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点被加增，共灯三八十一，请问尖头几盏灯？”这首诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，塔顶有几盏灯？A。
5 B。
6 C。
4 D。
37.函数f(x)=Acos(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的部分图像如图所示，f(1)+f(2)+…+f(2012)的值为A.2+2 B.2 C.2+2^2 D.2^28.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=3，且S2016+S2017=3，则S101等于A。
3 B。
303 C。
-3 D。
-3039.已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1)，且a·b=2，则x的值是A。
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高考数学仿真试题（三）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P=｛（x ，y ）｜y=}k ，Q=｛（x ，y ）｜y=a x+}1，且P ∩Q=∅，那么k 的取值范围是A ．（－∞，1）B ．（－∞，]1C ．（1，+∞）D ．（－∞，+∞）2．已知sin θ=－1312，θ∈（－2π，0），则cos （θ－4π）的值为 A ．－2627 B ．2627 C ．－26217 D ．262173．双曲线kx 2+5y 2=5的一个焦点是（0，2），则k 等于A ．35B ．－35 C ．315 D ．－315 4．已知a =（2，1），b =（x ，1），且a +b 与2a －b 平行，则x 等于A ．10B ．－10C ．2D ．－25．数列121，341，581，7161，…，（2n －1）+n 21的前n 项之和为S n ，则S n 等于A ．n 2+1－n 21B ．2n 2－n+1－n 21C ．n 2+1－121-nD ．n 2－n+1－n 216．已知非负实数x ，y 满足2x+3y －8≤0且3x+2y －7≤0，则x+y 的最大值是A ．37B ．38C ．3D ．27．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 A ．24 B ．22 C ．18 D ．168．若直线x+2y+m=0按向量a =（－1，－2）平移后与圆C ：x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数m 的值等于A ．3或13B ．3或－13C ．－3或7D ．－3或－139．设F 1、F 2为椭圆42x +y 2=1的两个焦点，P 在椭圆上，当△F 1PF 2面积为1时，1PF ·2PF 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2110．显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有A ．10B ．48C ．60D ．8011．已知函数y=2sinwx 的图象与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为32π，则w的值为A ．3B ．23C ．32D ．31 12．圆台侧面积为2π，母线与底面成60°，上底半径为x ，下底半径为y （y ＞x ＞0），则函数y=f （x ）的图象是第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上） 13．锐角△ABC 中，若B=2A ，则ab的取值范围是___________． 14．一个正方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，右图是此正方体的两种不同放置，则与D 面相对的面上的字母是_________．15．随机抽取甲、乙两位同学在平时数学测验中的5次成绩如下：从以上数据分析，甲、乙两位同学数学成绩较稳定的是_________同学． 16．给出以下命题：①已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，且｜1OP ｜=｜2OP ｜=｜3OP ｜=1，则△P 1P 2P 3为正三角形；②已知a ＞b ＞c ，若不等式ca kc b b a ->-+-11恒成立，则k ∈（0，2）； ③曲线y=31x 3在点（1，31）处切线与直线x+y －3=0垂直； ④若平面α⊥平面γ，平面β∥平面γ，则α∥β．其中正确命题的序号是___________．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8．（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率． 18．（本小题满分12分） 已知向量a =（cos23x ，sin 23x ），b =（cos 2x ，－sin 2x ），且x ∈［2π，23π］．（1）求a ·b 及｜a +b ｜；（2）求函数f （x ）=a ·b －｜a +b ｜的最小值． 19．（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB=AC ，F 为BB 1上一点，D 为BC 的中点，且BF=2BD ． （1）当1FB BF为何值时，对于AD 上任意一点总有EF ⊥FC 1；（2）若A 1B 1=3，C 1F 与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为15104，当1FB BF在（1）所给的值时，求三棱柱的体积． 20．（本小题满分12分）一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）交于P 、Q 两点，直线l 与y 轴交于R 点，且OP ·OQ =－3，PR =3RQ ，求直线与双曲线的方程．21．（本小题满分12分）已知点B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），…，B n （n ，y n ），…（n ∈N *）顺次为直线y=4x +121上的点，点A 1（x 1，0），A 2（x 2，0），…，A n （x n ，0）顺次为x 轴上的点，其中x 1=a （0＜a ＜1）．对于任意n ∈N *，点A n 、B n 、A n+1构成以B n 为顶点的等腰三角形．（1）求数列｛y n ｝的通项公式，并证明它为等差数列；（2）求证：x n+2－x n 是常数，并求数列｛x n ｝的通项公式．（3）上述等腰△A n B n A n+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a 的值；若不可能，请说明理由．22．（本小题满分14分）已知函数f （x ）=31x 3+21（b －1）x 2+cx （b 、c 为常数）． （1）若f （x ）在x=1和x=3处取得极值，试求b 、c 的值．（2）若f （x ）在x ∈（－∞，x 1），（x 2，+∞）上单调递增且在x ∈（x 1，x 2）上单调递减，又满足x 2－x 1＞1，求证：b 2＞2（b+2c ）；（3）在（2）的条件下，若t ＜x 1，试比较t 2+bt+c 与x 1的大小，并加以证明．参 考 答 案1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C 7．D 8．D 9．A 10．D 11．A 12．C 13．（2，3） 14．B 15．乙 16．①③17．设甲投中的事件记为A ，乙投中的事件记为B ， （1）所求事件的概率为：P=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ） =0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8 =0.94． 6分（2）所求事件的概率为：P=C 230.72×0.3×C 130.8×0.22=0．182336． 12分18．（1）a ·b =cos23x cos 2x +sin 23x （－sin 2x）=cos 23x cos 2x －sin 23x sin 2x=cos （23x +2x）=cos2x ．2分a +b =（cos23x +cos 2x ，sin 23x －sin 2x ）3分∴｜a +b ｜=22)2sin 23(sin )2cos 23(cos x x x x -++=22cos 2+x =x 2cos 4 =2｜cosx ｜．5分 ∵x ∈［2π，23π］，∴｜a +b ｜=－2cosx ．6分（2）f （x ）=a ·b －｜a +b ｜=cos2x －（－2cosx ）=cos2x+2cosx=2cos 2x+2cosx －1=2（cosx+21）2－23．10分∵x ∈［2π，23π］，∴－1≤cosx ≤0，∴当cosx=－21时，［f （x ）］min =－23．12分19．（1）由三垂线定理得C 1F ⊥DF ，易证Rt △BDF ≌Rt △B 1FC 1， ∴B 1F=BD=21BF ，∴F B BF 1=2．6分（2）在平面A 1B 1C 1中，过C 1作C 1G ⊥A 1B 1于G ，连FG ，易证∠C 1FG 就是C 1F 与侧面AA 1B 1B 所成的角，8分则有FC G C 11=15104，C 1G=15104C 1F ， △A 1B 1C 1中，取B 1C 1的中点D 1，连A 1D 1，设B 1F=x ，由1111111D A C B B A G C ⋅=⋅， 解得x=1，∴BB 1=3，10分∴V 1111D C B A ABC -=21B 1G ·A 1D 1·BB 1=62．12分20．∵e=3，∴b=2a 2，∴双曲线方程可化为2x 2－y 2=2a 2， 2分设直线方程为y=x+m ， 由⎩⎨⎧=-+=22222,ay x m x y 得x 2－2mx －m 2－2a 2=0．4分∵Δ=4m 2+4（m 2+2a 2）＞0，∴直线一定与双曲线相交， 6分设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=2m ，x 1x 2=－m 2－2a 2， ∵PR =3， ∴x R =4321x x +，x 1=－3x 2， ∴x 2=－m ，－3x 22=－m 2－2a 2，消去x 2得，m 2=a 2，8分·=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（x 1+m ）（x 2+m ） =2x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=m 2－4a 2=－3，10分∴m=±1，a 2=1，b 2=2，直线方程为y=x ±1，双曲线方程为x 2－22y =1．12分21．（1）y n =41n+121，y n+1－y n =41，∴数列｛y n ｝是等差数列，4分（2）由题意得，21++n n x x =n ，∴x n +x n+1=2n ， ① x n+1+x n+2=2（n+1）， ② ①、②相减，得x n+2－x n =2，∴x 1，x 3，x 5，…，x 2n －1，…成等差数列； x 2，x 4，x 6，…，x 2n ，…成等差数列， 6分∴x 2n －1=x 1+2（n －1）=2n+a －2， x 2n =x 2+（n －1）·2=（2－a ）+（n －1）·2 =2n －a ，∴x n =⎩⎨⎧--+)( )( 1为偶数为奇数n a n n a n 8分（3）当n 为奇数时，A n （n+a －1，0），A n+1 （n+1－a ，0） 所以｜A n A n+1｜=2（1－a ）； 当n 为偶数时，A n （n －a ，0），A n+1 （n+a ，0）， 所以｜A n A n －1｜=2a ，作B n C n ⊥x 轴于C n ，则｜B n C n ｜=41n+121． 要使等腰三角形A n B n A n+1为直角三角形，必须且只须｜A n A n+1｜=2｜B n C n ｜． 10分 所以，当n 为奇数时，有2（1－a ）=2（41n+121）， 即12a=11－3n ，（*）当n=1时，a=32； 当n=3时，a=61；当n ≥5时，方程（*）无解．当n 为偶数时，12a=3n+1，同理可求得a=127． 综上，当a=32，或a=61或a=127时，存在直角三角形．12分22．（1）f ′（x ）=x 2+（b －1）x+c ，由题意得，1和3是方程x 2+（b －1）x+c=0的两根，∴⎩⎨⎧⨯=+=-,31,311c b 解得⎩⎨⎧=-=.3,3c b4分（2）由题得， 当x ∈（－∞，x 1），（x 2，+∞）时，f ′（x ）＞0 x ∈（x 1，x 2）时，f ′（x ）＜0，∴x 1，x 2是方程x 2+（b －1）x+c=0的两根，则x 1+x 2=1－b ，x 1x 2=c ，6分∴b 2－2（b+2c ）=b 2－2b －4c=［1－（x 1+x 2）］2－2［1－（x 1+x 2）］－4x 1x 2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2－1=（x 2－x 1）2－1， ∵x 2－x 1＞1，∴（x 2－x 1）2－1＞0，∴b 2＞2（b+2c ）． 8分（3）在（2）的条件下，由上一问知 x 2+（b －1）x+c=（x －x 1）（x －x 2），即x 2+bx+c=（x －x 1）（x －x 2）+x ，10分 所以，t 2+bt+c －x 1=（t －x 1）（t －x 2）+t －x 1， =（t －x 1）（t+1－x 2），12分∵x2＞1+x1＞1+t，∴t+1－x2＜0，又0＜t＜x1，∴t－x1＜0，∴（t－x1）（t+1－x2）＞0，即t2+bt+c＞x1． 14分。