第八章 圆锥曲线方程 阶段质量检测
北师大版高二数学选修圆锥曲线方程测试题及答案
高二数学选修1-1圆锥曲线方程检测题斗鸡中学强彩红12小题，每小题5分，共60分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的丄1A .4B .4 C . 4 D . 414、 设双曲线的焦点在 x 轴上，两条渐近线为 y= 士一 X ，则该双曲线的离心率 e 为()2(A ) 5( B ) . 5( C ) —5( D )—245、 线段I ABI =4， I PAI + I PBI =6, M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( )(A)2(B ) •一 2(C )5(D ) 5X2y 26、若椭圆X-1的焦点在X 轴上，且离心率 e=-，贝U m 的值为()m 232(A ).2(B ) 2(C) —2(D )士、222X y_、选择题：本大题共1、设定点 J・是( ).A.椭圆B.线段12y X2、抛物线m 的°，3，动点P x，yC.不存在 3、 满足条件PF iPF 2D.椭圆或线段或不存在，则动点P 的轨迹丄,°4m。
丄4mm 门 —,° 4c m °- 42双曲线mx1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝U m 的值为(2 ，+oo)D.7、过原点的直线l与双曲线4—3=—1有两个交点，则直线丨的斜率的取值范围是3、3 , 3A.( —2，2)B.( —o，—2) U ( 2，+ o)1I =32，则/ F 『F 2 是(A. 一 ?????? B . ---C 才 三16芹 ？?????？D b =弓2工、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.3x13、已知双曲线的渐近线方程为y= 士 4 ，则此双曲线的离心率为 ___________14.在抛物线^ = Sx 上有一点戸，它到焦点的距离是20,则卩 点的坐标是 _____________________ . 15.抛物线金上的一点尸到x 轴的距离为12,则卩与焦点尸间的距「离16、椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点岀发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个 焦点•今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A 的小球（小球的半径忽略不计）从点A 沿直线岀发，经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是三、解答题：本大题共 6小题，共60分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本小题满分15分）jT椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为■ 3，求此椭圆8、如图，在正方体 ABCD — A1B1C1D1中, 到直线BC 与直线C1D1的距离相等，则动点 直线B.抛物线C.双曲线9、已知椭圆x 2sin a — y 2 cos a =1（ 0VaV 2 n ）的焦点在X 轴上，则a 的取值范围是（（A ）（鼻，n ）（ B ）（4，即）（C）（边，n ） （D ）（刁，34 10、F 1、F 2是双曲线叮y 22 1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足I PP F 2（A ） 钝角（B ）直角(C ) 锐角（D ）以上都有可能11、与椭圆2x162嶋1共焦点，且过点（—2,,10 ）的双曲线方程为（x 24(C )2 2y x 153x2(D)电12•若点匸是（）到点'丄丄 的距离比它到直线L _ ==的距离小 1，则F 点的轨迹方程) )P 是侧面BB1C1C 内一动点，若P P 的轨迹所在的曲线是 （）.A.D.圆1的标准方程。
(word完整版)高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(2021年整理)
(word完整版)高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(word完整版)高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(word版可编辑修改)的全部内容。
圆锥曲线测试题及详细答案一、选择题：1、双曲线221102x y -=的焦距为（ ）D 。
2。
椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是( ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对4．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ )A 。
1或5 B. 1或9 C 。
1 D. 95、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是（ )。
C. 21 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163B ．83C ．316D ．387. 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ）（A)2 （B)3 (C ）4 8．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2）平分,则这条弦所在的直线方程是（ ） A 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ）A 。
第八章 圆锥曲线方程 阶段质量检测
第八章 圆锥曲线方程一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为 ( ) A ．(a 2，0) B ．(0，12a )C ．(a 4，0)D ．(0，14a )解析：先把抛物线的方程化为标准方程的形式， 由y ＝ax 2得，x 2＝1a y ，∴其焦点坐标为(0，14a )．答案：D2．如果双曲线x 213－y 212＝1上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是 ( ) A.135B ．13C ．5D.513解析：由双曲线方程得a 2＝13，b 2＝12， ∴c 2＝25，∴e ＝c a ＝513，由双曲线的第二定义知|PF 2|d ＝e ＝513，而|PF 2|＝13，∴d ＝135.答案：A3．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过等轴双曲线x 2－y 2＝1的左焦点，则p ＝ ( )A.22B. 2 C ．2 2 D ．4 2解析：双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线的准线为x ＝－2，∴p2＝2，p ＝2 2. 答案：C4．两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( )A.52B.53或52 C.133 D.133或132解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5ab ＝6，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3. 当a ＝3，b ＝2时，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝133；当a ＝2，b ＝3时，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝132.答案：D5．设椭圆C 1的离心率为56，焦点在x 轴上且长轴长为12.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 ( ) A.x 216－y 29＝1B.x 210－y 25＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 25－y 210＝1 解析：由已知得，在椭圆C 1中，a ＝6，c ＝5，由此可得在双曲线C 2中的a ＝4，c ＝5， 故双曲线C 2中的b ＝3，故双曲线C 2的方程为x 216－y 29＝1.答案：A6．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半 轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ 的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是( ) A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2 B ．a 1－c 1＝a 2－c 2 C ．a 1c 2<a 2c 1 D ．a 1c 2>a 2c 1 解析：由题意知，a 1＝2a 2，c 1>2c 2，∴a 1c 2<a 2c 1. ∴不正确的为D. 答案：D7．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的焦点在抛物线y 2＝8x 的准线上，离心率为12，则椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1解析：抛物线的准线方程为x ＝－2，故椭圆的左焦点坐标为(－2,0)，显然椭圆的焦 点在x 轴上，且c ＝2，又因为离心率为12，所以a ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝12.∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.答案：B8．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为 ( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0 解析：∵直线与圆没有公共点， ∴4m 2＋n2 >2，即m 2＋n 2<4. ∴P (m ，n )在椭圆的内部∴过P 点的直线与椭圆必有两个公共点． 答案：B9．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标 为2，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1±5解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1. 又x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝4，解之得k ＝2或k ＝－1(舍)．答案：C10．(2010·宁德摸拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 ( ) A.2 B ．1±2 C ．1＋ 2 D ．无法确定解析：由题意知p2＝c ，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y 轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b 2a ，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p ，即4c ，得2b 2a ＝4c ，得b 2＝2ac ，得c 2－a 2＝2ac ，得e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，因为e >1，所以e ＝1＋ 2. 答案：C11．(2010·温州摸拟)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线(切点为T )交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点， 则|OM |－|MT |等于( )A ．b －aB ．a －b C.a ＋b 2D ．a ＋b解析：如图，F ′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF |－|PF ′|＝2a .又M 为 PF 的中点，∴|MF |－|OM |＝a ，即|OM |＝|MF |－a . 又直线PF 与圆相切， ∴|FT |＝OF 2－OT 2＝b ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－a －(|MF |－|FT |) ＝|FT |－a ＝b －a . 答案：A12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B (如图所示)，交其准线 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：点F 到抛物线准线的距离为p ，又由|BC |＝2|BF |得点B 到准线的距离为|BF |， 则|BF ||BC |＝12，∴l 与准线夹角为30°， 则直线l 的倾斜角为60°.由|AF |＝3，如图作AH ⊥HC ， EF ⊥AH ，垂足分别为H 、E ，则AE ＝3－p ， 则cos60°＝3－p 3，故p ＝32.∴抛物线方程为y 2＝3x . 答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上． 13．(2009·杭州模拟)直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线过点(2,0)和(0,1)，即为椭圆的一个焦点和一个顶点，又a >b >0，∴焦点在 x 轴上，∴c ＝2，b ＝1，a ＝22＋12＝5，∴e ＝255.答案：25514．(2009·湖南高考)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率 为________．解析：∵∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°. 在Rt △OAF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ， ∴e ＝c a ＝|OF ||OA |＝1cos60°＝2.答案：215．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值等于________． 解析：由抛物线的方程，可设抛物线上点的坐标为(x ，－x 2)，根据点到直线的距离 公式得d ＝|4x ＋3(－x 2)－8|42＋32＝35(x －23)2＋43，所以当x ＝23时，d 取得最小值43.答案：4316．已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使||MA ＋35||MF 的值最小，那么这个最小值是________． 解析：由已知，35与双曲线的离心率53互为倒数．因而35|MF |＝|MF |e ＝d (d 为点M 到相应准线的距离)，所以求|MA |＋35|MF |的最小值，即求|MA |＋d 的最小值．作右准线l ，作MN ⊥l 于N ，AA ′⊥l 于A ′. 由x 29－y 216＝1，可知e ＝53，∴|MF ||MN |＝53，∴|MA |＋35|MF |＝|MA |＋|MN |≥|AA ′|，因此，当A ，M ，N 三点共线时，|MA |＋|MN |最小，M 为AA ′与双曲线右支的交点， M (325，2)，∴|MA |＋35|MF |的最小值为9－a 2c ＝9－95＝365.答案：365三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为45，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为33，求椭圆的方程．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.又因S △PF 1F 2＝33，所以12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝33，得|PF 1|·|PF 2|＝12.所以4c 2＝4a 2－36，得b 2＝9，即b ＝3. 又e ＝c a ＝45，故a 2＝259b 2＝25，所以所求椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.18．(本小题满分12分)已知点(x ，y )在曲线C 上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x 2＋y 2＝8；定点M (2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同点． (1)求曲线C 的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)在曲线C 上任取一个动点P (x ，y )， 则点(x,2y )在圆x 2＋y 2＝8上． 所以有x 2＋(2y )2＝8.整理得曲线C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ， 又k OM ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1.得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点， ∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)>0， 解得－2<m <2且m ≠0.∴m 的取值范围是－2<m <0或0<m <2.19．(本小题满分12分)已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC ＋12PC )·(PC －12PQ )＝0.(1)问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE ·PF的最大值． 解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC ＋12PQ )·(PC －12PQ)＝0得：|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE ·PF ＝(NE －NP )·(NF －NP) ＝(－NF －NP )·(NF －NP)＝(－NP )2－NF 2＝NP 2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203. 又N (0,1)，所以NP 2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20， 因为y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP 2取最大值20，故PE ·PF 的最大值为19.20．(本小题满分12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP ＝PN， AP ·MN＝0，求直线l 的方程． 解：(1)设c ＝a 2－b 2，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2， ∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP ＝PN ，AP ·MN＝0，∴AP ⊥MN ， 且点P 是线段MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 24＝1消去y 得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k )2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根． 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，线段MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2. ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k 1＋3k 2＝－2－2(1＋3k 2)6k .由MN ⊥AP ，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.21．(本小题满分12分)抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0 与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝8611.(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若 不存在，请说明理由．解：(1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ，得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1·x 2＝1. ∵|AB |＝8611，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝8611， ∴121p 2＋242p －48＝0.∴p ＝211或－2411(舍)．∴抛物线的方程为y 2＝411x .(2)设AB 的中点为D ，则D (1311，－211)．假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)， ∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，∴k CD ＝1， ∴x 0＝1511.∴C (1511，0)，∴|CD |＝2211.又∵|CD |＝32|AB |＝12211，故矛盾， ∴x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形．22．(本小题满分12分)(2010·启东模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，且经过椭圆C 的右焦点，记椭圆C 的离心率为e . (1)若直线l 的倾斜角为π6，求e 的值；(2)是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上？若存在，请 求出e 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的右焦点为(c,0)，则c ＝a 2－b 2，所以直线l 的方程为y ＝(x －c )×tan π6，即x －3y －c ＝0.因为直线l 与圆O 相切，所以圆心O 到直线l 的距离|－c |2＝b ，即b＝12c .所以a 2＝b 2＋c 2＝54c 2，从而离心率e ＝c a ＝255.(2)假设存在满足条件的e .显然直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my ＋c ， 即x －my －c ＝0.因为直线l 与圆O 相切，所以圆心O 到直线l 的距离|－c |1＋m 2＝b ，即m 2＝c 2b 2－1.①设原点O 关于直线l 的对称点为点O ′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0＝－m x 02＝m y2＋c，解得⎩⎨⎧x 0＝2cm 2＋1y 0＝－2mcm 2＋1，因为点O ′在椭圆C 上，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，即4c 2a 2(m 2＋1)2＋4m 2c 2b 2(m 2＋1)2＝1.②将①代入②，化简得b 2＝3c 2，由①可得， 此时m 2＝c 2b 2－1＝－23，不成立．故不存在符合条件的e .。
高中数学 阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程 苏教版选修11
阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为____________________．2．(四川高考改编)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．3．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．4．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________________________．5．两个焦点为(±2,0)且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程为_____________________．6．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．8．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是________．9．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．10．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________________________．11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为_____________________．12．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值是________．13．若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 的中点的连线斜率为22，则nm的值为________． 14．(四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．16．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为32，且与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．17.(本小题满分14分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．18．(本小题满分16分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．19．(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．20．(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．答 案阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程1．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －PA ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：444．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即x ＋2＋y 2＝2－x .∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x5．解析：∵两个焦点为(±2,0)， ∴椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫522a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322b 2＝1a 2－b 2＝4，，解得a 2＝10，b 2＝6.∴椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.答案：x 210＋y 26＝16．解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有，焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.答案：27．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：578．解析：设P (x ，y )为抛物线上任意一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝x －2＋3|5，∴当x ＝1时，d 取最小值35，此时P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)9．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α， 在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①，在△OPF 2中，PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝ca＝3aa＝ 3.答案： 310．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为 3 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y11．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3. 所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：x 218＋y 29＝112．解析：取P 在双曲线的右支上， 则⎩⎨⎧PF 1＋PF 2＝2 m ，PF 1－PF 2＝2 a ，∴⎩⎨⎧PF 1＝m ＋a ，PF 2＝m －a .∴PF 1·PF 2＝(m ＋a )(m －a )＝m －a . 答案：m －a13．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0∴x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n .∴y 0＝mm ＋n. 又y 0x 0＝22，∴m n ＝22，∴nm＝ 2. 答案： 214．解析：由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：2215．解：在椭圆x 236＋y 249＝1中，焦点坐标为(0，±13)，离心率e ′＝137， 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，137∶a 2＋b 2a ＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.∴双曲线的方程为y 29－x 24＝1.16．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝32，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把直线方程代入并化简，得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0. 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝15(4－4b 2)．∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝15(1－4b 2)．由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 解得b 2＝58，a 2＝52.∴椭圆方程为25x 2＋85y 2＝1.17．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.19．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |. 由此得|4－x |＝2x －2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>32.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2，① x 1x 2＝243＋4k2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以直线m 的斜率为－32或32.20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0， 故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程得 (m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程(*)的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0. 故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8109，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16109.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16109. 综上所述，△PB 2Q 的面积为16109.。
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(完整资料).doc
即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得 x2＋6x－11＝0②
记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以
A. B. C. D.
6．双曲线 离心率为2，有一个焦点与抛物线 的焦点重合，则mn的值为（）
A． B． C． D．
7.若双曲线 的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ()
(A)2(B)3(C)4(D)4
8．如果椭圆 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A B C D
9、无论 为何值，方程 所表示的曲线必不是（ ）
20在平面直角坐标系 中，点P到两点 ， 的距离之和等于4，设点P的轨迹为 ．（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线 与C交于A，B两点．k为何值时 ？此时 的值是多少？
21.A、B是双曲线x2－ ＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
（Ⅱ）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ， 故 ．
，即 ． 而 ，
于是 ．
所以 时， ，故 ．
当 时， ， ．
，
而 ，
所以 ．
21A、B是双曲线x2－ ＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
高中数学《圆锥曲线与方程》单元质量测评
答案
解析6
5．设椭圆 C1 的离心率为175，焦点在 x 轴上且长轴长为 30.若曲线 C2 上
的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 10，则曲线 C2 的标准方
程为( )
A.2x42 －2y52 ＝1 B.2x52 －2y42 ＝1
C.1x52 －y72＝1
D.2x52 ＋2y42 ＝1
解析27
设 AB 为过抛物线焦点 F 的弦，P 为 AB 中点，A，B，P 在准线 l 上射影 分别为 M，N，Q，
∵AF＋BF＝AM＋BN，∴PQ＝12AB， ∴以 AB 为直径作圆则此圆与准线 l 相切，故④正确．
解析28
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．
A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±31x D．y＝±12x 答案 A 解析 双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax，因为离 心率 e＝ac＝ 10，所以ab＝ c2－a2a2＝ ac22－1＝ 10－1＝3，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±3x.
《圆锥曲线与方程》 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考试 时间 120 分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1．以x42－1y22 ＝－1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(
A.1x62 ＋1y22 ＝1 B.1x22 ＋1y62 ＝1
解 设动点为 M，其坐标为(x，y)． 当 x≠±a 时，由条件可得 kMA1·kMA2＝x＋y a·x－y a＝x2－y2a2＝m，即 mx2－y2 ＝ma2(x≠±a)． 又 A1(－a,0)，A2(a,0)的坐标满足 mx2－y2＝ma2，故依题意，曲线 C 的方 程为 mx2－y2＝ma2. 当 m<－1 时，曲线 C 的方程为ax22＋－ym2a2＝1，C 是焦点在 y 轴上的椭圆；
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第8章检测题
第八章 圆锥曲线方程名师检测题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A ，B 两点，若|FA |＝32|FB |，则椭圆的离心率等于( )A.23B.25C.12D.23解析：设|FB |＝2m (m >0)，则|FA |＝3m .分别过A ，B 两点作椭圆的左准线的垂线，垂足分别是A 1，B 1，则有e ＝|AF ||AA 1|＝|BF ||BB 1|，|AA 1|＝3m e |BB 1|＝2me ，cos60°＝|AA 1|－|BB 1||AB |＝me 5m ＝12，因此e ＝25，选B.答案：B2．椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．2或12B ．2 C.14或4 D.14解析：∵x 2＋my 2＝1即x 2＋y21m＝1是椭圆，∴m >0.当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝1，b 2＝1m ，c 2＝a 2－b 2＝1－1m ，此时m >1，由e ＝c a＝c 2a 2＝1－1m ＝32⇒m ＝4；当焦点在y 轴上时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1m－1，此时0<m <1，由e ＝c a＝c2a 2＝ 1m －11m＝32⇒m ＝14故选C. 答案：C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A. 2B.72C ．2D.74解析：依题意，得x 1＋x 2＝－2b a ，x 1x 2＝c a ，且e ＝c a ＝12，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝4b 2a 2－2ca＝ 4⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2－2ca ＝2，故选A.答案：A4．已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，O 为坐标原点，F 为右焦点，点M 是椭圆右准线l 上(除去其与x 轴的交点)的动点，过F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，则线段ON 的长为( )A ．cB ．bC ．aD ．不确定解析：记右准线与x 轴的交点为A ，过F 作OM 的垂线，垂足为B ，连结MN ，则有MN ⊥NO ，△OBF ∽△OAM ，OA OM ＝OB OF ，OB ·OM ＝OA ·OF ＝a2c ·c ＝a 2.在Rt △OMN 中，由射影定理得ON 2＝OB ·OM ＝a 2，故ON ＝a ，选C.答案：C5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右准线为l ，A 、B 是椭圆上的两点，且|AF | |B F |＝3 2，直线AB 与l 交于点C ，则B 分有向线段AC →所成的比为( )A.12 B ．2 C.23D.32解析：分别过点A ，B 作右准线的垂线，垂足分别是A 1，B 1，则椭圆的离心率e ＝|BF ||BB 1|＝|AF ||AA 1|，所以|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝23，又|CB ||CA |＝|BB 1||AA 1|＝23，所以|BA ||CB |＝12，即点B 分有向线段AC →所成的比是12，选A. 答案：A6．设向量i 、j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |－|b |＝1，则满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹方程是( )A.x 214－y 234＝1(y ≥0) B.x 214－y 234＝1(x ≥0) C.y 214－x 234＝1(y ≥0) D.y 214－x 234＝1(x ≥0) 解析：依题意，向量a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x －1，y )，又|a |－|b |＝1，所以(x ＋1)2＋y 2－(x －1)2＋y 2＝1，整理得x 214－y 234＝1(x ≥0)，选择B.答案：B7．若两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( )A.32B.152C.13D.133解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5ab ＝6a >b ，解得a ＝3，b ＝2，故双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝133，选D.答案：D8．已知点P 在抛物线x 2＝4y 上，且点P 到x 轴的距离与点P 到焦点的距离之比为1 3，则点P 到x 轴的距离为( )A.12 B ．1 C.14D ．2解析：设点P (m ，n )(n >0)，依题意及抛物线的定义得n n ＋1＝13n ＝12，于是点P 到x 轴的距离等于12，选A.答案：A9．直线MN 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右支分别交于M 、N 两点，与双曲线C 的右准线相交于P 点，F 为右焦点，若|FM |＝2|FN |，又NP →＝λPM →(λ∈R )，则实数λ的值为( )A.12B ．1C．2 D.1 3解析：分别过点M，N作右准线的垂线，垂足分别为M1，N1，则有λ＝|NP||PM|＝|NN1||MM1|又e＝|NF||NN1|＝|MF||MM1|，所以12＝|NF||MF|＝|NN1||MM1|，因此λ＝12，选A.答案：A10．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2＝2px(p>0)，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为()A.p22B．p2C．2p2D．4p2解析：本题直接计算比较复杂，可取值检验．对于本题，可取几条特殊直线，如：倾斜角为45°、60°、90°的直线等，经计算比较知：当倾斜角为90°时，△ABQ的面积最小，此时由x＝p2得y＝±p，即|AB|＝2p.又∵焦点到准线的距离d＝p2－⎝⎛－p2＝p，此时S△ABQ＝12×2p×p＝p2为最小值，故选B.答案：B11．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，则点P的轨迹是()A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线解析：如图，依题意，tan∠APD＝tan∠BPC，所以3PD＝2PC，再以CD所在的直线为x轴，CD的垂直平分线所在的直线为y轴，建立直角坐标系，则C(－10,0)，D(10,0)，设P(x，y)，则2(x＋10)2＋y2＝3(x－10)2＋y2，化简得x2＋y2－52x＋100＝0，轨迹为圆．答案：B12．点P (－3,1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左准线上，过点P 且方向向量为a ＝(2，－5)的光线，经直线y ＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为( )A.13B.12C.22D.33解析：光线所在直线的方程为5x ＋2y ＋13＝0，被直线y ＝－2反射后的光线方程为5x －2y ＋5＝0，交x 轴于点(－1，0)，∴c ＝1，又a 2c ＝3，解得a ＝3，e ＝c a ＝33，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知A (4,0)，B (－3，3)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．解析：点A 恰好为椭圆的右焦点，如图，设左焦点为F ，连结BF 并延长交椭圆于点C ，当动点M 在点C 的位置时，|MA |＋|MB |的值最大，即|MA |＋|MB |＝|CA |＋|CF |＋|BF |＝10＋2＝12.答案：12 14.如图，从双曲线x 29－y 225＝1的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T ，延长F 1T 交双曲线右支于点P .设M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点．则|F 1T |＝______；|MO |－|MT |＝______.解析：连结OT 、PF 2，则有OT ⊥F 1T ，在Rt △OF 1T 中，|F 1T |＝|F 1O |2－|OT |2＝9＋25－32＝5.由点O 是F 1F 2的中点，点M 是PF 1的中点得|MO |＝12|PF 2|.又点P 在双曲线的右支上，因此有|PF 1|－|PF 2|＝2×3＝6，|MO |－|MT |＝12|PF 2|－(|MF 1|－|TF 1|)＝12|PF 2|－12|PF 1|＋|TF 1|＝12×(－6)＋5＝2.答案：5 215．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上的一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1的圆心为M ，则点F (1,0)，d 1＝|PF |，结合图形分析，不难得知d 1＋d 2的最小值等于|MF |－1＝(1＋3)2＋32－1＝4.答案：416．当α∈[π2，π)时，方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示的曲线可能是________．(填上你认为正确的序号)①圆；②两条平行直线；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线．解析：∵α∈[π2，π)，∴当α＝34π时，sin α＝－cos α＝22，此时x 2sin α－y 2cos α＝1，即x 2＋y 2＝2，表示一个圆；当α＝π2时，sin α＝1，cos α＝0，此时x 2sin α－y 2cos α＝1，即x 2＝1，表示两条平行直线；当π2<α<π，且α≠34π时，cos α<0<sin α，且|sin α|≠|cos α|，此时x 2sin α－y 2cos α＝1表示椭圆．故填①②③.答案：①②③三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)(2010·四川)已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12.不在x轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由． 解析：(1)设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝2|x －12|.化简得x 2－y 23＝1(y ≠0)．(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)， 与双曲线方程x 2－y23＝1联立消去y 得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0.由题意知，3－k 2≠0且Δ>0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4] ＝k 2⎝⎛⎭⎫4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4＝－9k2k 2－3.因为x 1≠－1，x 2≠－1.所以直线AB 的方程为y ＝y1x 1＋1(x ＋1)，因此M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，3y 12(x 1＋1)， FM →＝⎝⎛⎭⎫－32，3y 12(x 1＋1)， 同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎫－32，3y 22(x 2＋1)，因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1) ＝94＋－81k 2k 2－34⎝⎛⎭⎫4k 2＋3k 2－3＋4k 2k 2－31＝0. ②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2，则B (2,3)，C (2，－3)，AB 的方程为y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，FM →＝⎝⎛－32，32.同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32.因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋⎝⎛⎭⎫－32×32＝0.综上，FM →·FN →＝0，即FM ⊥FN . 故以线段MN 为直径的圆过点F .18．(本小题满分12分)直线y ＝x ＋1交x 轴于点P ，交椭圆x 2a 2y 2b 2＝1(a >b >0)于相异两点A 、B ，且PA →＝－3PB →.(1)求a 的取值范围；(2)将弦AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AQ ，设点Q 的坐标为(m ，n )，求证：m ＋7n ＝－1.解析：(1)由y ＝x ＋1，得x ＝y －1，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2－a 2b 2＝0.设A (y 1－1，y 1)、B (y 2－1，y 2)，则y 1、y 2是这个一元二次方程的两个根，Δ＝(－2b 2)2－4(a 2＋b 2)(b 2－a 2b 2)>0，即a 2＋b 2>1.①由PA →＝－3PB →，及P (－1,0)，得y 1＝－3y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－2y 2＝2b2a 2＋b 2，②y 1y 2＝－3y 22＝b 2－a 2b2a 2＋b 2，③由②式得y 2＝－b 2a 2＋b 2，代入③式，得－3b 4(a 2＋b 2)2＝b 2－a 2b 2a 2＋b 2，∴b 2＝a 2(a 2－1)4－a2.④由a >b ，及①④，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2(a 2－1)4－a 2>1，a 2>a 2(a 2－1)4－a 2，解不等式组，得1<a 2<52，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，102.(2)证明：AB →＝(y 2－y 1，y 2－y 1)＝(4y 2,4y 2)，依题意，AQ →＝(－4y 2,4y 2)． ∵OQ →＝OA →＋AQ →(O 为坐标原点)，∴(m ，n )＝(y 1－1，y 1)＋(－4y 2,4y 2)＝(－3y 2－1，－3y 2)＋(－4y 2,4y 2)＝(－7y 2－1，y 2)， ∴m ＝－7y 2－1，n ＝y 2， ∴m ＋7n ＝－1.19．(本小题满分12分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)． 化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4ty 1y 2＝－4m ，①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0② 又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 124·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 124＋y 224＋1<0 ⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0③由①式知不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．20．(本小题满分12分)(2010·江西)如图，已知抛物线C 1：x 2＋by ＝b 2经过椭圆C 2：x 2a2y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点．(1)求椭圆C 2的离心率；(2)设点Q (3，b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若 △QMN 的重心在抛物线C 1上，求C 1和C 2的方程．解析：(1)因为抛物线C 1经过椭圆C 2的两个焦点F 1(－c ，0)，F 2(c,0)， 所以c 2＋b ×0＝b 2，即c 2＝b 2，由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以椭圆C 2的离心率e ＝22. (2)由(1)可知a 2＝2b 2，椭圆C 2的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.联立抛物线C 1的方程x 2＋by ＝b 2，得2y 2－by －b 2＝0. 解得y ＝－b 2或y ＝b (舍去)，所以x ＝±62b ，即M ⎝⎛⎭⎫－62b ，－b 2，N ⎝⎛⎭⎫62b ，－b 2，又因为Q (3，b )， 所以△QMN 的重心坐标为(1,0)．因为重心在C 1上，所以12＋b ×0＝b 2，得b ＝1.所以a 2＝2.所以抛物线C 1的方程为x 2＋y ＝1， 椭圆C 2的方程为x22＋y 2＝1.21．(本小题满分12分)如图，已知曲线C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(b >a >0，y ≥0)与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的交点分别为A 、B .曲线C 1和抛物线C 2在点A 处的切线分别为l 1和l 2，且l 1和l 2的斜率分别为k 1和k 2.(1)当ba为定值时，求证：k 1·k 2为定值(与p 无关)，并求出这个定值；(2)若直线l 2与y 轴的交点为D (0，－2)，当a 2＋b 2取得最小值9时，求曲线C 1和抛物线C 2的方程．解析：(1)证明：设点A 的坐标为(x 0，y 0)， 由x 2a 2＋y 2b 2＝1(b >a >0，y ≥0)得y ＝ba a 2－x 2， 由y ′＝－bx a a 2－x 2，所以k 1＝y ′|x ＝x 0＝－bx 0a a 2－x 02，由x 2＝2py (p >0)得y ＝12p x 2，则y ′＝x p， 所以k 2＝y ′|x ＝x 0＝x0p ，∴k 1·k 2＝－bx 02pa a 2－x 02又因为x 02＝2py 0，x 02a 2＋y 02b 2＝1，所以x 02a 2－x 02＝2pba ，∴k 1·k 2＝－bx 02pa a 2－x 022b 2a 2，∴当ba为定值时，k 1·k 2为定值．(2)设A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 022p ，则x 0∈(－a,0)，由(1)知k 2＝x 0p ，则直线l 2：y ＝x 0p (x －x 0)＋x 022p， 因为l 2过点D (0，－2)，则x 02＝4p ，即x 0＝－2p ，所以点A (－2p ，2)．将A (－2p ，2)代入曲线C 1的方程得4p a 2＋4b 2＝1， ∴a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)·⎝⎛⎭⎫4p a 2＋4b 2＝4p ＋4＋4a 2b 2＋4pb 2a 2， 由重要不等式得a 2＋b 2≥4p ＋8p ＋4，当且仅当“＝”成立时，有⎩⎨⎧ 4p ＋8p ＋4＝94pb 2a 2＝4a2b 24p a 2＋4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝14a 2＝3b 2＝6， 所以C 1：x 23＋y 26＝1(y ≥0)，C 2：y ＝2x 2. 22．(本小题满分12分)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h >1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值．解析：(1)由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，① 直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)．② 解法一：联立①②解得交点坐标为x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，即x 1＝2x y 1＝2y x，③ 则x ≠0，|x |< 2.而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上， ∴x 122y 12＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)． 解法二：设点M (x ，y )是A 1P 与A 2Q 的交点，①×②得y 2＝－y 12x 12－2x 2－2)．③ 又点P (x 1，y 1)在双曲线上，因此x 122－y 12＝1，即y 12＝x 122－1.代入③式整理得 x 22＋y 2＝1. 因为点P ，Q 是双曲线上不同的两点，所以它们与点A 1，A 2均不重合，故点A 1和A 2均不在轨迹E 上．过点(0,1)及A 2(2，0)的直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －2＝0x 22－y 2＝1得x ＝2，y ＝0.所以直线l 与双曲线只有唯一交点A 2.故轨迹E 不经过点(0,1)．同理轨迹E 也不经过点(0，－1)．综上分析，轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)． (2)设过点H (0，h )的直线为y ＝kx ＋h (h >1)，联立x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0. 令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0得h 2－1－2k 2＝0，解得k 1＝ h 2－12，k 2＝－ h 2－12. 由于l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－h 2－12＝－1，故h ＝ 3. 过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2，因此A 1H ⊥A 2H ，由h2×⎝⎛⎭⎫－h 2＝－1，得h ＝ 2. 此时，l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2，它们与轨迹E 分别仅有一个交点⎝⎛⎭⎫－23，223与⎝⎛⎭⎫23，223. 所以，符合条件的h 的值为3或 2.。
圆锥曲线阶段质量检测
(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，所以1<m <3；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．答案：B2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．答案：A3．若双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的顶点到渐近线的距离为22，则双曲线的离心率e ＝( )A ．2 B. 2 C ．3D. 3解析：由双曲线方程知a ＝1，∴c ＝1＋b 2， ∴一条渐近线方程为y ＝bx ，即bx －y ＝0. ∴|b －0|b 2＋1＝22，解得b ＝1， ∴c ＝2，∴e ＝ca ＝ 2. 答案：B4．(2012·新课标高考)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.答案：C5．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝0解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则⎩⎨⎧x 216＋y 215＝1x 226＋y225＝1，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2， ∴23(x 1－x 2)－25(y 1－y 2)＝0， ∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝53.∴弦所在直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0. 答案：A6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，c ＝3，根据已知得3b a 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝c 2－b 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1.答案：A7．双曲线x 2n －y 2＝1(n >1)的左、右两焦点分别为F 1、F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|， 则|PF 1|－|PF 2|＝2n ， 由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |F 1F 2|＝2n ＋1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以∠F 1PF 2＝90°. 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1.答案：B8．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，定点A 的坐标为(72，4)，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A.112 B ．4 C.92D ．5解析：如图，设点P 到抛物线y 2＝2x 准线的距离为|PN |，抛物线焦点为F (12，0)，则|PA |＋|PM |＝|PN |＋|PA |－12.连接AF 交抛物线于点P ，此时|PN |＋|PA |＝|PF |＋|PA |＝|AF |取最小值5，所以|PA |＋|PM |的最小值是92. 答案：C9．(2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 解析：因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25 b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为(25b ，25b )，所以四边形的面积为4×25 b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.答案：D10．(2012·浙江高考)如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62C. 2D. 3解析：不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±bax ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b1－a 2)， 因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ， |MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)， 因此有k MN ＝b1－a 2－0a21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2， 所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．(2012·四川高考)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．解析：依题意得知，点F (－1,0)， 不妨设点A (2cos θ，3sin θ)(sin θ>0)， 则有B (2cos θ，－3sin θ)，|FA |＝|FB |＝(2cos θ＋1)2＋3sin 2θ＝2＋cos θ， |AB |＝23sin θ，|FA |＋|FB |＋|AB |＝4＋2cos θ＋23sin θ ＝4＋4sin(θ＋π6)，当θ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即θ＝2k π＋π3，k ∈Z ，2cos θ＝1，3sin θ＝32时，△FAB 的周长最大，此时△FAB 的面积等于12×(1＋1)×3＝3.答案：312．已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN |·|MP|＋MN ·NP ＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则MN ＝(4,0)，MP＝(x ＋2，y )，NP ―→＝(x －2，y )． ∴|MN |＝4，|MP|＝(x ＋2)2＋y 2， MN ·NP ＝4(x －2)．根据已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x )， 整理得y 2＝－8x .∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x13．(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为______________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|， 即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2， 整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55.答案：5514．二次曲线x 24＋y 2m ＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x 24－y 2－m ＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m2.∵m ∈[－2，－1]， ∴52≤e ≤62. 答案：[52，62] 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)一个椭圆，其中心在原点，焦点在一坐标轴上，焦距为213.一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．解：①若焦点在x 轴上，设椭圆为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且c ＝13，双曲线为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.∵e 双e 椭＝73，∴a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.∵椭圆和双曲线的半焦距为13， ∴b 2＝36，n 2＝4.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②若焦点在y 轴上，可得椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.16．已知抛物线方程为y 2＝2x ，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋2，消去x 得：ky 2－2y ＋4＝0. ∵直线l 与抛物线相交，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0Δ＝4－16k >0⇒k <14且k ≠0.设M (x 1，y 1) 、N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝4k，从而x 1x 2＝y 212·y 222＝4k2.∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即4k 2＋4k ＝0，解得k ＝－1符合题意， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋2.17．(本小题满分12分)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程； (2)设椭圆与直线y ＝33x ＋m 相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的值． 解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P 为弦MN 的中点，由⎩⎨⎧y ＝33x ＋mx23＋y 2＝1得2x 2＋23mx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0， 即m 2＜2∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3m 2，从而y P ＝33x P ＋m ＝m 2， ∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋23m， 又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ， 则－m ＋23m＝－3，即m ＝1， 适合Δ>0故m 的值为1.18．(2012·安徽高考)如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )．所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.。
第八章 圆锥曲线方程单元检测题(三)抛物线(B)
第八章 圆锥曲线方程单元检测题（三）抛物线（B ）一、选择题：（每小题6分，共48分） 1、方程322)1()3(22+-=-+-y x y x 所表示的曲线是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线2、一个正三角形的三个顶点都在抛物线y 2=4x 上，其中一个顶点在坐标原点上，则这个三角形的面积等于（ ） （A ）483 （B ）243 （C ）27316 （D ）93163、抛物线y=32x上的两个点A 、B 的横坐标恰好是关于x 的方程x 2＋px ＋q=0（常数p ，q ∈R ）的两个实根，则直线AB 的方程为（ ）（A ）qx ＋3y ＋p=0（B ）qx －3y ＋p=0（C ）px ＋3y ＋q=0（D ）px －3y ＋q=04、直线过点A （2，0）且与抛物线y 2=－4x 仅有一个公共点，这样的直线共有（ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条5、已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦被焦点分为m ，n 两段长，则nm11+等于（ ）（A ）p （B ）P2 （C ）P4 （D ）随焦点弦斜率的变化而变化6、与圆0422=-+x y x 外切，又和y 轴相切的动圆圆心轨迹方程是（ ） （A ）y 2=8x （B ）y 2=8x （x ＞0）（C ）y 2=8x （x ＞0）和y=0 （D ）y 2=8x （x ＞0）和y=0（x ＜0）7、已知A （3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，当∣PA ∣＋∣PF ∣取最小值时，点P 的坐标为（ ）（A ）（0，0） （B ）（－2，－2） （C ）（2，2） （D ）（2，0）8、要使抛物线y=x 2－2x ·tan α＋411的焦点恰好在x 轴上，α∈（0 ，2π）⋃（2π，π），则α的值是（ ） （A ）4π或32π （B ）6π或65π （C ）3π或32π （D ）3π或65π二、填空题：（每小题6分，共24分）9、一抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米。
第八章 圆锥曲线方程单元检测题(二)双曲线(B)
第八章 圆锥曲线方程单元检测题（二）双曲线（B ）一、选择题（每小题6分，共48分） 1、已知双曲线与椭圆1166422=+y x 共焦点，双曲线的渐近线方程为x ±3y=0，则双曲线方程为（ ） （A ）1123622=-y x （B ）1123622=-x y （C ）1123622±=-y x （D ）1123622±=-x y 2、双曲线1322=-my mx的一条准线方程为y=6，则实数m 的值为（ ）（A ）－16 （B ）16 （C ）－4 （D ）12 3、有共同渐近线的双曲线12222=-b y a x 与122=-By A x 的关系是（ ）（A ）四个焦点共圆 （B ）互为共轭的双曲线（C ）都是等轴双曲线（D ）22b B aA =4、直线y= k(x －3)与双曲线14922=-y x 只有一个公共点，则满足条件的直线斜率k 的取值有（ ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）无数个 5、设θ 为三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ=51，动点P （x ，y ）满足1sin 22=+θθcox y x ，则P 点的轨迹方程为（ ） （A ）1453522=+-y x （B ）1354522=+y x（C ）1354522=-y x（D ）1354522=-y x 或1354522=-x y 6、双曲线的渐近线方程为y=±34x 准线方程为x=±59，则双曲线方程为（ ） （A ）116922=-y x （B ）191622=-x y （C ）13422=-y x （D ）14322=-y x7、双曲线12222=-by ax （a ＞0，b ＞0）的焦点为F 1、F 2，弦AB 过F 1且在双曲线的一支上，若∣A F 2∣＋∣B F 2∣=2∣AB ∣，则∣AB ∣为（ ）（A ）2a （B ）3a （C ）4a （D ）不确定 8、若椭圆122=+ny m x （m ＞n ＞0）和双曲线12222=-by ax （a ＞b ＞0）有相同的焦点F 1、F 2，P是两曲线的一个交点，则∣P F 1∣·∣P F 2∣的值是（ ）（A ）m －a 2（B ）21（m －a ） （C ）m 2－a 2（D二、填空题（每小题6分，共24分）9、双曲线21kx 2－ky 2=3的一个焦点为（0，3），则k 的值是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 圆锥曲线方程一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为 ( ) A ．(a 2，0) B ．(0，12a )C ．(a 4，0)D ．(0，14a )解析：先把抛物线的方程化为标准方程的形式， 由y ＝ax 2得，x 2＝1a y ，∴其焦点坐标为(0，14a )．答案：D2．如果双曲线x 213－y 212＝1上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是 ( ) A.135B ．13C ．5D.513解析：由双曲线方程得a 2＝13，b 2＝12， ∴c 2＝25，∴e ＝c a ＝513，由双曲线的第二定义知|PF 2|d ＝e ＝513，而|PF 2|＝13，∴d ＝135.答案：A3．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过等轴双曲线x 2－y 2＝1的左焦点，则p ＝ ( )A.22B. 2 C ．2 2 D ．4 2解析：双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线的准线为x ＝－2，∴p2＝2，p ＝2 2. 答案：C4．两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( )A.52B.53或52 C.133 D.133或132解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5ab ＝6，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3. 当a ＝3，b ＝2时，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝133；当a ＝2，b ＝3时，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝132.答案：D5．设椭圆C 1的离心率为56，焦点在x 轴上且长轴长为12.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 ( ) A.x 216－y 29＝1B.x 210－y 25＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 25－y 210＝1 解析：由已知得，在椭圆C 1中，a ＝6，c ＝5，由此可得在双曲线C 2中的a ＝4，c ＝5， 故双曲线C 2中的b ＝3，故双曲线C 2的方程为x 216－y 29＝1.答案：A6．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半 轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ 的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是( ) A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2 B ．a 1－c 1＝a 2－c 2 C ．a 1c 2<a 2c 1 D ．a 1c 2>a 2c 1 解析：由题意知，a 1＝2a 2，c 1>2c 2，∴a 1c 2<a 2c 1. ∴不正确的为D. 答案：D7．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的焦点在抛物线y 2＝8x 的准线上，离心率为12，则椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1解析：抛物线的准线方程为x ＝－2，故椭圆的左焦点坐标为(－2,0)，显然椭圆的焦 点在x 轴上，且c ＝2，又因为离心率为12，所以a ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝12.∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.答案：B8．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为 ( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0 解析：∵直线与圆没有公共点， ∴4m 2＋n2 >2，即m 2＋n 2<4. ∴P (m ，n )在椭圆的内部∴过P 点的直线与椭圆必有两个公共点． 答案：B9．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标 为2，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1±5解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1. 又x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝4，解之得k ＝2或k ＝－1(舍)．答案：C10．(2010·宁德摸拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 ( ) A.2 B ．1±2 C ．1＋ 2 D ．无法确定解析：由题意知p2＝c ，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y 轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b 2a ，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p ，即4c ，得2b 2a ＝4c ，得b 2＝2ac ，得c 2－a 2＝2ac ，得e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，因为e >1，所以e ＝1＋ 2. 答案：C11．(2010·温州摸拟)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线(切点为T )交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点， 则|OM |－|MT |等于( )A ．b －aB ．a －b C.a ＋b 2D ．a ＋b解析：如图，F ′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF |－|PF ′|＝2a .又M 为 PF 的中点，∴|MF |－|OM |＝a ，即|OM |＝|MF |－a . 又直线PF 与圆相切， ∴|FT |＝OF 2－OT 2＝b ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－a －(|MF |－|FT |) ＝|FT |－a ＝b －a . 答案：A12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B (如图所示)，交其准线 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：点F 到抛物线准线的距离为p ，又由|BC |＝2|BF |得点B 到准线的距离为|BF |， 则|BF ||BC |＝12，∴l 与准线夹角为30°， 则直线l 的倾斜角为60°.由|AF |＝3，如图作AH ⊥HC ， EF ⊥AH ，垂足分别为H 、E ，则AE ＝3－p ， 则cos60°＝3－p 3，故p ＝32.∴抛物线方程为y 2＝3x . 答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上． 13．(2009·杭州模拟)直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线过点(2,0)和(0,1)，即为椭圆的一个焦点和一个顶点，又a >b >0，∴焦点在 x 轴上，∴c ＝2，b ＝1，a ＝22＋12＝5，∴e ＝255.答案：25514．(2009·湖南高考)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率 为________．解析：∵∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°. 在Rt △OAF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ， ∴e ＝c a ＝|OF ||OA |＝1cos60°＝2.答案：215．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值等于________． 解析：由抛物线的方程，可设抛物线上点的坐标为(x ，－x 2)，根据点到直线的距离 公式得d ＝|4x ＋3(－x 2)－8|42＋32＝35(x －23)2＋43，所以当x ＝23时，d 取得最小值43.答案：4316．已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使||MA ＋35||MF 的值最小，那么这个最小值是________． 解析：由已知，35与双曲线的离心率53互为倒数．因而35|MF |＝|MF |e ＝d (d 为点M 到相应准线的距离)，所以求|MA |＋35|MF |的最小值，即求|MA |＋d 的最小值．作右准线l ，作MN ⊥l 于N ，AA ′⊥l 于A ′. 由x 29－y 216＝1，可知e ＝53，∴|MF ||MN |＝53，∴|MA |＋35|MF |＝|MA |＋|MN |≥|AA ′|，因此，当A ，M ，N 三点共线时，|MA |＋|MN |最小，M 为AA ′与双曲线右支的交点， M (325，2)，∴|MA |＋35|MF |的最小值为9－a 2c ＝9－95＝365.答案：365三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为45，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为33，求椭圆的方程．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.又因S △PF 1F 2＝33，所以12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝33，得|PF 1|·|PF 2|＝12.所以4c 2＝4a 2－36，得b 2＝9，即b ＝3. 又e ＝c a ＝45，故a 2＝259b 2＝25，所以所求椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.18．(本小题满分12分)已知点(x ，y )在曲线C 上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x 2＋y 2＝8；定点M (2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同点． (1)求曲线C 的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)在曲线C 上任取一个动点P (x ，y )， 则点(x,2y )在圆x 2＋y 2＝8上． 所以有x 2＋(2y )2＝8.整理得曲线C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ， 又k OM ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1.得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点， ∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)>0， 解得－2<m <2且m ≠0.∴m 的取值范围是－2<m <0或0<m <2.19．(本小题满分12分)已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC ＋12PC )·(PC －12PQ )＝0.(1)问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE ·PF的最大值． 解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC ＋12PQ )·(PC －12PQ)＝0得：|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE ·PF ＝(NE －NP )·(NF －NP) ＝(－NF －NP )·(NF －NP)＝(－NP )2－NF 2＝NP 2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203. 又N (0,1)，所以NP 2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20， 因为y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP 2取最大值20，故PE ·PF 的最大值为19.20．(本小题满分12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP ＝PN， AP ·MN＝0，求直线l 的方程． 解：(1)设c ＝a 2－b 2，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2， ∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP ＝PN ，AP ·MN＝0，∴AP ⊥MN ， 且点P 是线段MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 24＝1消去y 得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k )2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根． 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，线段MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2. ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k 1＋3k 2＝－2－2(1＋3k 2)6k .由MN ⊥AP ，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.21．(本小题满分12分)抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0 与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝8611.(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若 不存在，请说明理由．解：(1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ，得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1·x 2＝1. ∵|AB |＝8611，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝8611， ∴121p 2＋242p －48＝0.∴p ＝211或－2411(舍)．∴抛物线的方程为y 2＝411x .(2)设AB 的中点为D ，则D (1311，－211)．假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)， ∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，∴k CD ＝1， ∴x 0＝1511.∴C (1511，0)，∴|CD |＝2211.又∵|CD |＝32|AB |＝12211，故矛盾， ∴x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形．22．(本小题满分12分)(2010·启东模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，且经过椭圆C 的右焦点，记椭圆C 的离心率为e . (1)若直线l 的倾斜角为π6，求e 的值；(2)是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上？若存在，请 求出e 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的右焦点为(c,0)，则c ＝a 2－b 2，所以直线l 的方程为y ＝(x －c )×tan π6，即x －3y －c ＝0.因为直线l 与圆O 相切，所以圆心O 到直线l 的距离|－c |2＝b ，即b＝12c .所以a 2＝b 2＋c 2＝54c 2，从而离心率e ＝c a ＝255.(2)假设存在满足条件的e .显然直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my ＋c ， 即x －my －c ＝0.因为直线l 与圆O 相切，所以圆心O 到直线l 的距离|－c |1＋m 2＝b ，即m 2＝c 2b 2－1.①设原点O 关于直线l 的对称点为点O ′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0＝－m x 02＝m y2＋c，解得⎩⎨⎧x 0＝2cm 2＋1y 0＝－2mcm 2＋1，因为点O ′在椭圆C 上，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，即4c 2a 2(m 2＋1)2＋4m 2c 2b 2(m 2＋1)2＝1.②将①代入②，化简得b 2＝3c 2，由①可得， 此时m 2＝c 2b 2－1＝－23，不成立．故不存在符合条件的e .。