2019-2020学年陕西省西安市碑林区高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年陕西省西安市碑林区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 已知全集U = {1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A = {2,4，6，7}，B = {3,5，6，7，8}，则(∁U A)∩(∁U B)=( ) A. {1,9} B. {2,3，4，5，6，7，8} C. {1,2，3，4，5，8，9} D. {1,6，7，9}2. 设函数f(x)={12x −1x ≥01xx <0.，若f(a)>a ，则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. a <−1C. a >1或a <−1D. a <−2或−1<a <13. 已知f(x)=−x −x 3，x ∈[a,b]，且f(a)⋅f(b)<0，则f(x)=0在[a,b]内( )A. 至少有一个实数根B. 至多有一个实数根C. 没有实数根D. 有唯一的实数根 4. 已知幂函数y =f(x)的图像过点(2,4)，则f(√2)= ( )A. 12 B. √2C. 2√2D. 25. 已知(x,y)在映射f 下的像是(x +y,x −y)，则像(1,2)在f 下的原像为( )A. (32,12)B. (−32,12) C. (−32,−12) D. (32,−12)6. 设a =log 23，b =log 35，c =log 54，则( )A. bc <2<acB. ab <2<acC. 2<bc <abD. bc <2<ab 7. 函数f(x)=4x 2−ax −8在区间(4,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤32B. a ≥32C. a ≥16D. a ≤16 8. 函数y =f(x)满足对任意x 1，x 2∈[0,2](x 1≠x 2)，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0，且函数f(x +2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A. f(1)<f(52)<f(72) B. f(72)<f(1)<f(52) C. f(72)<f(52)<f(1)D. f(52)<f(1)<f(72)9. 已知函数y =e x 与函数y =f(x)互为反函数，则( ) A. f(2x)=e 2x (x ∈R) B. f(2x)=ln2⋅lnx(x >0) C. f(2x)=2e x (x ∈R) D. f(2x)=lnx +ln2(x >0)10. 函数f(x)满足f(x)=f(−x)，f(x)=f(2−x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，过点P(0,−94)且斜率为k 的直线与f(x)在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点，则k 的取值范围为( )A. (1,1312)B. [1,1312]C. [2,3]D. (2,3)11. 已知函数f(x)={2x +1,x <1x 2+ax,x ≥1，若f(f(0))=4a ，则函数f(x)的值域( )A. [−1,+∞)B. (1,+∞)C. (3,+∞)D. [−94,+∞)12. 设函数，若f(a)=1，则a =( )A. −1或3B. 2或3C. −1或2D. −1或2或3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数y =√x −1+1lg(3−x)的定义域是______．14. 设函数f(x)={3x −1,x <1,2x ,x ⩾1.则满足f(f(a))=2f(a)时a 的取值范围是____________．15. 设f(x)是R 上的奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，又f(−3)=0，则x ⋅f(x)<0的解集是______ ． 16. 已知函数f(x)=kx +1，若对于任意的x ∈[−1,1]，均有f(x)≥0，则实数k 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共5小题，共52.0分） 17. 化简求值：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512;18. 已知全集U =R ，集合A ={x|1<x ≤8}，B ={x|2<x <9}，C ={x|x ≥a}．(1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)如果A ∩C ≠⌀，求a 的取值范围． 19. 用单调性定义证明函数f(x)=x+2x−1在(1,+∞)上单调递减．20.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(x)=2f(1)√x−1，求f(x)．x21.设函数f(x)=|x−1|+|x−2|．(1)画出函数y=f(x)的图象；(2)若不等式|a+b|+|a−b|≥|a|f(x)，(a≠0,a、b∈R)恒成立，求实数x的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合运算，属基础题．根据补集，交集定义运算即可．【解答】解：因为全集U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={2,4，6，7}，B={3,5，6，7，8}，所以∁U A={1,3,5,8,9}，∁U B={1,2,4,9}，所以(∁U A)∩(∁U B)={1,9}，故选A．2.答案：B解析：【分析】先根据分段函数的定义域选择好解析式，分a≥0时，和a<0时两种情况求解，最后取并集．【解答】a−1>a，解得a<−2，当a⩾0时，f(a)=12矛盾，无解当a<0时，f(a)=1a>a，a<−1．综上：a<−1∴实数a的取值范围是(−∞,−1)．故选：B．3.答案：D解析：知f(x)是单调减函数，且f(a)⋅f(b)<0，则f(x)=0在[a,b]内有唯一的实数根．4.答案：D解析：【分析】根据幂函数定义求解析式，进一步求函数值，本题考查幂函数定义及函数求值，属基础题目．【解答】解：由题意设函数f(x)=xα，因为幂函数y=f(x)的图像过点(2,4)，所以2α=4,即α=2， 所以f (x )=x 2， 则f(√2)=(√2)2=2， 故选D ． 5.答案：D解析：解：由题意得：{x +y =1x −y =2，解得：x =32，y =−12，故选：D由题意可得x +y =1，x −y =2，解得x 、y 的值，即可求得原像(x,y)． 本题主要考查映射的定义，在映射f 下，像和原像的定义，属于基础题． 6.答案：D解析： 【分析】本题考查对数的运算即对数不等式，属于基础题．根据所给a ，b ，c 利用换底公式化简，比较给个选项即可． 【解答】 解：由题，∴ab =lg5lg2>lg4lg2>2，bc =lg4lg3=2lg2lg3<2，ac =2lg3lg5<2，所以bc <2<ab 正确， 故选D ． 7.答案：A解析：解：∵f(x)=4x 2−ax −8在区间(4,+∞)上为增函数， ∴对称轴x =a8≤4，解得：a ≤32，故选：A ．先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可． 本题考查了二次函数的性质，单调性问题，本题属于基础题． 8.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数的单调性，奇偶性和对称性的运用，属于中档题． 先根据对任意x 1，x 2∈[0,2](x 1≠x 2)，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0判断函数的单调性，再根据函数f(x +2)是偶函数判断函数的对称性，即可得解． 【解答】解：因为函数y =f(x)满足对任意x 1,x 2∈[0,2](x 1≠x 2)，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，所以函数f(x)在[0,2]单调递增， 又函数f(x +2)是偶函数， 所以f(x)关于x =2对称， ∴f(52)=f(4−52)=f(32)，f(72)=f(4−72)=f(12)， 又12<1<32，即f(12)<f(1)<f(32) ∴f(72)<f(1)<f(52)，故选B ． 9.答案：D解析：解：∵函数y =e x 与函数y =f(x)互为反函数，∴将函数y =e x 的x 、y 互换，得x =e y ，解得y =lnx(x >0) 因此，y =f(x)=lnx(x >0)，可得f(2x)=ln2x =ln(x ×2)=lnx +ln2，(x >0) 故选：D ．由反函数的定义，将函数y =e x 的x 、y 互换，化简得y =lnx ，从而得到f(x)=lnx(x >0)，再利用对数的运算性质化简f(2x)，即可得到正确答案．本题给出与函数y =e x 互为反函数的函数f(x)，求f(x)表达式并化简f(2x)，着重考查了反函数的定义与求法、对数的运算性质等知识，属于基础题． 10.答案：A解析：【分析】本题考查函数与方程的综合应用，涉及到动直线和分段函数图象的交点个数问题，我们更多的是从形的角度入手分析，做出分段函数的图象和动直线的图象，通过动态的变化中寻找解题的题眼．本题目中就是k BP <k <k BA ． 【解答】解： ∵f(x)=f(−x)，f(x)=f(2−x)， ∴f(−x)=f(2−x)， 即f(x +2)=f(x)， ∴函数f(x)的周期为T =2。

由x ∈[0,1]时，f(x)=x 2， 则当x ∈[−1,0]时，−x ∈[0,1]，故f(−x)=f(x)=x 2， 因此当x ∈[−1,1]时，f(x)=x 2。

结合函数f(x)的周期性，画出函数f(x)(x ∈[0,4])的图象如图所示。

又过点P(0,−94)且斜率为k 的直线方程为y =kx −94。

结合图象可得，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2 与y =kx −94联立消去y 整理得x 2−kx +94=0， 由Δ=k 2−9=0， 得k =3或k =−3(舍去)，此时x 切=k2=32∉[0,1]，故不可能有三个交点； 当x ∈[2,3]时，点P(0,−94)与点(3,1)连线的斜率为1312，此时直线与y =f(x)有两个交点， 又f(x)=(x −2)2，若与y =kx −94相切，将两式联立消去y 整理得x 2−(k +4)x +254=0，由Δ=(k +4)2−25=0， 得k =1或k =−9(舍去)， 此时x 切=k+42=52∈[2,3]，所以当1<k <1312时有三个交点． 综上可得k 的取值范围为(1,1312).11.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，方程思想，分类讨论思想，属于基础题． 由已知中函数f(x)={2x +1,x <1x 2+ax,x ≥1，结合f(f(0))=4a ，构造方程，求出a 值，可得函数的值域．【解答】解：∵函数f(x)={2x +1,x <1x 2+ax,x ≥1, ∴f(0)=2，f(f(0))=f(2)=4+2a =4a ， 解得：a =2，故函数f(x)={2x +1,x <1x 2+2x,x ≥1, 当x <1时，f(x)∈(1,3)； x ≥1时，f(x)∈[3,+∞)，综上可得，函数f(x)的值域为：(1,+∞)， 故选：B ． 12.答案：C解析： 【分析】本题考查分段函数求值问题，一定要有分类意识，属于基础题． 根据题得出{a ≥ 12a −3=1或即可得到答案．【解答】解：根据题意有{a ≥ 12a −3=1或解得：a =2或a =−1． 故选C ．13.答案：[1,2)∪(2,3)解析：解：要使函数有意义，需满足{x −1≥03−x >0lg(3−x)≠0解得1≤x <2或2<x <3 故答案为：[1,2)∪(2,3)令被开方数大于等于0，真数大于0，分母不为0得到不等式组，求出x 的范围写出区间形式． 求函数的解析式已知的函数的定义域，一般要考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0、对数的真数大于0底数大于0且不为1、分母不为0．14.答案：a ≥23解析： 【分析】本题考查了分段函数的性质，首先根据已知可确定f(a)≥1，再根据分段分段函数的性质得到{a ≥12a≥1或{a <13a −1≥1，解出不等式组即可． 【解答】解：根据已知得，f(a)≥1，则{a ≥12a ≥1或{a <13a −1≥1，解得a ≥23．故答案为a ≥23．15.答案：(−3,0)∪(0,3)解析：解：∵f(x)是R 上的奇函数，且在(0,+∞)内是增函数， ∴在(−∞,0)内f(x)也是增函数， 又∵f(−3)=0， ∴f(3)=0∴当x ∈(−∞,−3)∪(0,3)时，f(x)<0；当x ∈(−3,0)∪(3,+∞)时，f(x)>0； ∴x ⋅f(x)<0的解集是(−3,0)∪(0,3) 故答案为：(−3,0)∪(0,3)．由x ⋅f(x)<0对x >0或x <0进行讨论，把不等式x ⋅f(x)<0转化为f(x)>0或f(x)<0的问题解决，根据f(x)是奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，又f(−3)=0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．16.答案：[−1,1]解析：解：若f(x)=kx +1，对于任意的x ∈[−1,1]，均有f(x)≥0， 则{f(−1)=−k +1≥0f(1)=k +1≥0， 解得：−1≤k ≤1，故：实数k 的取值范围是[−1,1]． 故答案为：[−1,1]．利用函数恒成立，列出不等式组，转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．17.答案：解：(1)(0.064)−13−(−18)0+(16)34+(0.25)12 =0.4−1−1+23+0.5 =2.5−1+8+0.5=10；=lg5+lg2+3−log 32−2(log 23×log 32)=1+12−2=−12．解析：本题考查指数与对数的运算法则，属于基础题． (1)利用指数幂的运算法则求解． (2)利用指数与对数的运算法则求解．18.答案：解：(1)全集U =R ，集合A ={x|1<x ≤8}，B ={x|2<x <9}，∴A ∩B ={x|2<x ≤8}，A ∪B ={x|1<x <9}． (2)∵集合A ={x|1<x ≤8}，C ={x|x ≥a}， A ∩C ≠⌀， ∴a ≤8，∴a 的取值范围为(−∞,8]．解析：(1)利用交集、并集的定义能求出结果．(2)利用交集的性质结合不等式的性质能求出a 的取值范围．本题考查交集和并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交第11页，共11页 集、并集性质的合理运用．19.答案：解：∀1<x 1<x 2≤+∞，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+2x 1−1−x 2+2x 2−1=2x 1x 2+3x 2−3x 1(x 1−1)(x 2−1)．∵1<x 1<x 2<+∞，∴x 1−1>0，x 2−1>0，x 1x 2>0，x 2−x 1>0，∴f(x 1)−f(x 2)>0．∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)=在(1,+∞)上是单调减函数．解析：利用函数单调性定义证明．熟练掌握函数单调性定义和证明方法是解题的关键．20.答案：解：由f(x)=2f (1x )√x −1，得f (1x )=2f(x)·√1x−1， 消掉f (1x )，可得f(x)=23√x +13．解析：本题考查方程组法．已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f (1x )，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．21.答案：解：(1)f(x)={2x −3(x ≥2)1(1<x <2)3−2x(x ≤1)(2)由|a +b|+|a −b|≥|a|f(x)得|a+b|+|a−b||a|≥f(x)又因为|a+b|+|a−b||a|≥|a+b+a−b||a|=2则有2≥f(x)解不等式2≥|x −1|+|x −2|得12≤x ≤52解析：本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对(1)要先将原函数根据自变量的取值范围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对(2)先结和条件a ≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f(x)的范围，通过图形即可解得结果．本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答过程中充分体现了分类讨论的思想、数形结合的思想、问题转化的思想．值得同学体会和反思．。