高三下学期一模考试数学(理)试卷
河南省开封市2023届高三一模考试 理科数学试题(后附参考答案)
理科数学 第 页 (共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x 12<2x<8,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2B .-1,0C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若3+4iz 是纯虚数,则复数z 可以是A .-3+4iB .3-4iC .4+3i D.4-3i4.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23AB ңB .23AC ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)1理科数学 第 页 (共4页)9.已知数列a n 的前n 项和S n =2n +1-2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p a q =A .8B .16C .32D .6410.已知点P (x ,y )到点F 1(-3,0)和点F 2(3,0)的距离之和为4,则x yA.有最大值1B .有最大值4C .有最小值1 D.有最小值-411.如图,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N 分别是A 1D ,D 1B 的中点,则下述结论中正确的个数为①MN ʊ平面A B C D ;②平面A 1N D ʅ平面D 1M B ;③直线MN 与B 1D 1所成的角为45ʎ;④直线D 1B 与平面A 1N D 所成的角为45ʎ.A .1B .2C .3D .412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x ),存在点x 0,使得f (x 0)=x 0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f (x )=x (a e x-l n x )为 不动点 函数,则实数a 的取值范围是A .(-ɕ,0]B .-ɕ,1eC .(-ɕ,1]D .(-ɕ,e ]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=A s i n x -c o s x 的一个零点为π6,则f 5π12=.14.已知点A (1,0),B(2,2),C 为y 轴上一点,若øB A C =π4,则A B ң㊃A C ң=.15.3D 打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m ,下底直径为9c m ,高为9c m ,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n 中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =2(n ɪN *).记S n 是数列a n的前n 项和,则S 4n =.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c o s B +C2=b s i n A ,2a =3b .(1)求c o s B 的值;(2)若a =3,求c .2理科数学 第 页 (共4页)18.(12分)甲㊁乙两人组成 星队 参加猜成语活动,每轮活动由甲㊁乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为23,乙每轮猜对的概率为p .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知 星队 在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12.(1)求p 的值;(2)记 星队 在两轮活动中猜对成语的总数为X ,求X 的分布列与期望.19.(12分)如图,әA B C 是正三角形,在等腰梯形A B E F 中,A B ʊE F ,A F =E F =B E =12A B .平面A B C ʅ平面A B E F ,M ,N 分别是A F ,C E 的中点,C E =4.(1)证明:MN ʊ平面A B C ;(2)求二面角M -A B -N 的余弦值.20.(12分)已知函数f (x )=2s i n x -a x ,a ɪR .(1)若f (x )是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)当a =1时,求g (x )=f (x )-l n (x +1)在0,π6上的最小值;(3)证明:s i n12+s i n 13+s i n 14+ +s i n 1n >l n n +12.3理科数学 第 页 (共4页)21.(12分)如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=λ|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当λ=1和λ=2时分别得到曲线C 1和C 2.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 1和C 2的方程;(2)已知直线l 与曲线C 1相切,且与曲线C 2交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,证明:S ɤ378.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.4开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDCACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.515.16.24+2n n三、解答题（共70分）17.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12，所以()2211+1=332p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得1=2p .……4分（2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()0,1,2i =，根据独立性假定，得()()()012111124224===2===339339339P A P A P A ⨯⨯⨯⨯，()()()012111===424P B P B P B ，，，……6分X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以()()001110===9436P X P A B =⨯()()()0110114131=+=+=929418P X P A B P A B =⨯⨯()()()()021120114141132=++=++=94929436P X P A B P A B P A B =⨯⨯⨯，()()()1221414133=+=+=94929P X P A B P A B =⨯⨯，()()224114===949P X P A B =⨯X 的分布列如下表所示：X 01234P13631813363919……10分()1313311=0+1+2+3+4=2.361836993E X ⨯⨯⨯⨯⨯……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……7分设1====2AF EF EB AB a ，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB (8)分取EF 的中点P ，连接OP，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP OB OC ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立直角坐标系如图所示.则()()310,2,022A C E N -⎝，，，，()1=0,2,0=,22OA ON -⎝ ，，由已知易得，平面ABM 的一个法向量为(=OC，……9分设平面ABN 的法向量为()=,,x y z n ,则2=0=01=022y OA x y ON -⎧⎧⋅⎪⎨+⋅⎪⎪⎩⎩ ，，即，，n n 取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()=2,0,1-n .……10分cos ,O OC OC C ⋅〈〉==∴n n n 分二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N ……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……1分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……3分（2）由已知可得：111cos 2)(+--='x x x g，令()=()h x g x '，21()2sin (1)h'x x x =-++在[0,6π上单调递减，……4分又因为，(0)h'0>，(6h'π0<，所以存在6,0(0π∈x 使得()0h'x =，……5分则有又有115(0)=0(1101631162g g ππ''=-->--->++，，所以在(0,6π上)(x g '0>，……7分则)(x g 在]6,0[π∈x 上单调递增，所以最小值为0)0(=g .……8分（3）由（2）可得x x x ++>)1ln(sin 2在(0,)6π上恒成立，令()()=ln +1x x x ϕ-，在(0,)6π上()=0+1x 'x x ϕ>，所以()x ϕ单调递增且(0)0ϕ=，所以ln(1)x x >+，)1ln(2sin 2+>x x ，从而当(0,)6x π∈时)1ln(sin +>x x ，……10分令n x 1,,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，⋯，nn n 1ln 1sin +>，相加得：11111sin sin sin sin ln2342n n +++++> .……12分21.（1）由题意，=ND DM λ，设()()()00,,00,，，，D x y M x N y 所以()()00,=,=---，，ND x y y DM x x y ()()00,=,---，x y y x x y λ……1分由()()00==-⎧⎪⎨--⎪⎩，，x x x y y y λλ解得()()001+==1+⎧⎪⎨⎪⎩，，x x y y λλλ又因为2200+=9，x y 所以()()222221++1+=9，x y λλλ……3分将=1=2λλ和分别代入，得2219+=4：C x y ……4分222+=1.4x C y ：……5分（2）①直线l 斜率不存在时，3=2l x ±：，带入2C方程得ABS 分②直线l 斜率存在时，设=+l y kx m ：，l 与曲线1C()229+13=24k m ，即，……7分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，x),0(0x )6,(0πx ()h'x 正负)(x g '递增递减()()222225=641614107k m k m k ∆-+->>由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分()4224247+25=16+8+1k k AB k k -，因为()()422424247+2572487=016+8+14416+8+1k k k k k k k ----<，所以2AB <，8S <.……11分综合①②可证，S ……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+……6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。
江西省南昌市第十中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学(理科)试题
南昌十中2022－2023学年下学期高三一模模拟 数学试题（理科）命题人： 审题人： 说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合∣==M x y y {(,)1}，集合∣==N x y x {(,)0}，则⋂=M N （ ）A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1),(1,0)}2. 若复数=+−z 2i 12i i 3)(，则=z （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A. 3B. 19C. 38D. 204．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]上的大致图象，则该函数是( )A. +=−+x y x x 1323B. +=−x y x x 123 C. +=x y x 12cos 2 D. +=x y x 12sin 2 5．抛物线=−C y x :122的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点−A (5,2)，则+PA PF 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 96．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x )(（单位：dB ）与声强x （单位：W/m 2）满足=−d x x 1010lg 12)(.若人交谈时的声强级约为50dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（ ）A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB7. 若⎝⎭ ⎪+=−⎛⎫θ43tan 5π=（ ） A. 3 B. 34 C. 2 D. 48. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 49. 已知函数()2log ,1,,1,x x f x x x ξ≥⎧=⎨+<⎩在R 上单调递增的概率为12，且随机变量()~,1N u ξ．则()01P ξ<≤等于（ ）[附：若()2~,Nξμσ，则()0.6827P x μσμσ−≤≤+=， ()220.9545P x μσμσ−≤≤+=．] A. 0.1359 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0.341310. 已知是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A. 4B. 12C. 4D. 211. 如图，曲线C 为函数y =sinx (0≤x ≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n −v =f(m)，则下列说法中正确的是( ) A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数B. f(m)恰有2个零点C. f(m)的最小值为−2D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称 12. 已知函数()f x ，()g x ，()g x '的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数.若()g x 为偶函数，且()()1f x g x +'=，()()41f x g x '−−= .则以下四个命题：①()20220g '=；②()g x 关于直线2x =对称；③()202212022==∑k f k ；④()202312023==∑k f k 中一定成立的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++−+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________. 14. 杜甫“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是 ．15. 将函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =−的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则12...n PA PA PA +++=____________.16. 在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，G 为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是 . ①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与A 1D 所成角为60°；②G 在AB 上运动时，MG 与CC 1所成角的最大正弦值为√53； ③G 在AA 1上运动且AG =13GA 1时，过G ，M ，N 三点的平面截正方体所得多边形的周长为8√5+2√2；④G 在CC 1上运动时(G 不与C 1重合)，若点G ，M ，N ，C 1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.的17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23122n S n n =−． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和T 1000．18. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =．（1）证明：GF //平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A -BE -D 的正弦值．19. 某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13.调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读． (1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率;(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人?K 2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +d ．20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点、E 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()()e 1ln x f x m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数.（1）当1m =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）设函数()()e xf x h x ='，且()52h x 恒成立. ①求m 的取值范围；②设函数()f x 的零点为0x ，()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0πϕ≤≤），2C的参数方程为1252x t y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的普通方程并指出它的轨迹； （2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：π4θ=与曲线1C 的交点为O ，P ，与2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.[选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数()121f x x x =−−+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,R a b c ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.。
2021年高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 含答案
所以，，，分布列如下
0
1
2
期望……5分
（3）关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，关注栏目1的人数多，所以应该充实栏目1的内容.
……2分
19.（1）因为，面底面，面面，所以面，所以，因为平面面，所以，，所以面，过点做的平行线为轴，分别为轴建立空间直角坐标系，，所以，由得，所以……5分
1．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．集合 ，则的子集个数为（）
（A）1个（B）（C）4个（D）8个
3．有下列四个说法：
命题“”的否定是“”；
“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；
命题“已知，若或，则”的逆命题为真命题；
在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为；
得，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以
……6分
（2） ，
所以 ，
，
所以……6分
18.（1）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以，列联表如图
栏目1
栏目2
合计
家长
25
5
30
学生
15
15
30
合计
40
20
60
，所以能有99%的把握认为认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”。……5分
（A）（B）
（C）（D）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
2021年高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题含解析
2021年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：复数的分母实数化，然后判断复数对应的点所在象限．【解析】：解：因为复数===﹣1+i，所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B．【点评】：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．（5分）集合A={x|y=x}，B={y|y=logx，x∈R}，则A∩B等于（）2A． R B．∅ C． [0，+∞） D．（0，+∞）【考点】：对数函数的值域与最值；交集及其运算．【专题】：函数的性质及应用；集合．【分析】：求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解析】：解：由A中y=x，得到x≥0，即A=[0，+∞），由B中y=log2x，得到y∈R，即B=R，则A∩B=[0，+∞），故选：C．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）已知命题p：x≠1或y≠2，命题q：x+y≠3，则命题p是q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解析】：解：根据逆否命题的等价性，只需要判断x+y=3与x=1且y=2的条件关系即可．若x=0，y=3时，满足x+y=3，但此时x=1且y=2，不成立，即充分性不成立．若x=1，y=2时，则x+y=3成立，即必要性成立．即x+y=3是x=1且y=2的必要不充分条件，即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，逆否命题的等价性判断x+y=3是x=1，y=2的充分不必要条件是解决本题的关键．4．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x﹣=【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解析】：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，故选：C．【点评】：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．（5分）函数y=的一段大致图象是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象；函数的单调性与导数的关系．【分析】：根据函数解析式，分析函数的性质，四个选项中与此性质不符的即可排除．【解析】：解：根据函数为奇函数，排除B、C两项；又，所以，函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，D不正确．故选：A．【点评】：本题考查识图能力，属中档题．一般采用排除法求解．6．（5分）某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B 两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A．1860 B．1320 C．1140 D．1020【考点】：排列、组合及简单计数问题．【专题】：应用题；排列组合．【分析】：分两类：第一类，A，B只有一个选中，第二类：A，B同时选中，利用加法原理即可得出结论．【解析】：解：分两类：第一类，A，B只有一个选中，则不同演出顺序有种；第二类：A，B同时选中，则不同演出顺序有种．共有：+=1140（种）．故选：C．【点评】：本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．7．（5分）已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）A．x﹣y＞0 B．x+y＜0 C．x﹣y＜0 D．x+y＞0【考点】：函数单调性的性质．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：可对2x+3y＞2﹣y+3﹣x变形成2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y，所以可想着设f（x）=2x﹣3﹣x，求导之后容易判断出f（x）在R上为增函数，所以便由f（x）＞f（﹣y）得到x+y＞0．【解析】：解：设f（x）=2x﹣3﹣x，f′（x）=2x ln2+3﹣x ln3＞0；∴f（x）在R上单调递增；又由2x+3y＞2﹣y+3﹣x得2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y；∴f（x）＞f（﹣y）；∴x＞﹣y；∴x+y＞0．故选：D．【点评】：考查构造函数解决问题的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，单调性定义的运用，注意正确求导．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．【解析】：解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1﹣=，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．（5分）函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D． 2【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：根据函数f（x）和g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0，则利用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可．【解析】：解：∵f（x）=e x+x2+x+1，∴f′（x）=e x+2x+1，∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0对称，∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，由f′（x）=e x+2x+1=2，即e x+2x﹣1=0，解得x=0，此时对于的切点坐标为（0，2），∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x﹣3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离，此时d=，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2．故选：D．【点评】：本题主要考查导数的应用以及两点间距离的求解，根据函数的对称性求出函数f （x）到直线的距离是解决本题的关键．10．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a=|MO|﹣|MT| B．b﹣a＞|MO|﹣|MT| C．b﹣a＜|MO|﹣|MT| D．b﹣a=|MO|+|MT|【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．【解析】：解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．【点评】：本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有3个．【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与2的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，当x≤2时，由y=x2﹣1=3可得x=2或﹣2；当x＞2时，由y=log2x=3可知x=8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或﹣2．故答案为：3．【点评】：本题考查条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，属于基础题．12．（5分）已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b的值为﹣13．【考点】：一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：由不等式|8x+9|＜7的解集为（﹣2，﹣）可得ax2+bx﹣2＞07的解集为（﹣2，﹣），从而求a，b．【解析】：解：不等式|8x+9|＜7的解集为（﹣2，﹣）；ax2+bx＞2可化为ax2+bx﹣2＞0，故﹣2﹣=﹣；﹣2•（﹣）=，解得a=﹣4，b=﹣9；故a+b=﹣13；故答案为：﹣13．【点评】：本题考查了绝对值不等式的求法及方程与不等式的关系，属于基础题．13．（5分）已知向量满足，，则的夹角为．【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量数量积运算及其性质即可得出．【解析】：解：向量满足，，∴==，化为=，∴=．故答案为：．【点评】：本题考查了向量数量积运算及其性质，属于基础题．14．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是[7，8]（请用区间表示）．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过区域内边界上的某些点时，z最大值即可．【解析】：解：由⇒交点为A（2，0），B（4﹣m，2m﹣4），C（0，m），C'（0，4），当3≤m＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8当4≤m≤5时可行域是△OAC'此时，z max=8故答案为：[7，8]．【点评】：本题主要考查了简单的线性规划．由于线性规划的介入，借助于平面区域，可以研究函数的最值或最优解；借助于平面区域特性，我们还可以优化数学解题，借助于规划思想，巧妙应用平面区域，为我们的数学解题增添了活力．15．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f （x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．【解析】：解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．【点评】：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．【考点】：余弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx）﹣1，由其图象两相邻对称轴间的距离为，可得最小正周期为T=π，即可解得ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin（2C﹣）=1，解得C=，由已知∥可得b﹣3a=0①，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2﹣ab②，联立方程可解得a，b的值．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣=sinωxcosωx﹣﹣=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T=π，∴ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x）﹣1∴sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=由已知∥可得sinB﹣3sinA=0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a=0①由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，又已知c=∴7=a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a=1，b=3．【点评】：本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）由已知得BD=2，EA⊥ED，EA=ED=2，AD=2，由勾股定理得BD⊥AD，从而BD⊥平面AED，由此能证明BD⊥AE．（Ⅱ）取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，取AB的中点F，连结OF，则OF∥BD，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面CDE的法向量和平面CDE的一个法向量，由此能求出平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．【解析】：（Ⅰ）证明：∵BC⊥CD，BC=CD=2，∴BD=2，同理EA⊥ED，EA=ED=2，∴AD=2，又∵AB=4，∴由勾股定理得BD⊥AD，又∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AED，又∵AE⊂平面ADE，∴BD⊥AE．（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，∴OE⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结OF，则OF∥BD，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则D（﹣，0，0），C（﹣2，，0），E（0，0，），=（﹣，，0），=（），设平面CDE的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得平面CDE的一个法向量为=（1，1，﹣1），又平面ADE的一个法向量为=（0，1，0），设平面ADE和平面CDE所成角（锐角）为θ，cosθ=|cos＜＞|==，∴平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值为．【点评】：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．18．（12分）为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．则P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.1，P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P（B3）=0.2．设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，可得P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）．（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A1）P（B1），P（ξ=2）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1），P（ξ=3）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1），P（ξ=4）=P（A2）P（B2），P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2），P（ξ=6）=P（A3）P（B3）．即可得出分布列及其数学期望．【解析】：解：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．则P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=1﹣0.4﹣0.5=0.1，P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P （B3）=1﹣0.5﹣0.3=0.2．由题意可知：A i与B i相互独立，设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，∴P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.37．（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A1）P（B1）=0.4×0.5=0.2，P（ξ=2）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，P（ξ=3）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=0.4×0.2+0.1×0.5=0.13，P（ξ=4）=P（A2）P（B2）=0.5×0.3=0.15，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）=0.1×0.2=0.02．Eξ=0×0.2+2×0.37+3×0.13+4×0.15+5×0.13+6×0.02=2.5．【点评】：本题考查了古典概型的概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）在数列{a n}中，a3=1，S n是其前n项和，且S n=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n的值．【考点】：数列的求和；数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）当n=1时，a1=a2，当n=2时，a1+a2=a3=1，从而，由，得2a n=a n+1，n≥2，从而数列{a n}从第二项起是首项为，公比为2的等比数列，由此能求出a n，S n．（Ⅱ）由S n=2n﹣2，得b n=log2S n=n﹣2，从而由c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，得到c n=+n•2n﹣2，由此利用分组求和法和裂项求和法求出T n=，由此能求出当n＞1时，使成立的最小正整数n的值为n=4．【解析】：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=a2，当n=2时，a1+a2=a3=1，∴，由，得a n=a n+1﹣a n，即2a n=a n+1，n≥2，=2，n≥2，∵，∴数列{a n}从第二项起是首项为，公比为2的等比数列，∴a n=，∴．（Ⅱ）由S n=2n﹣2，得b n=log2S n=n﹣2，∵c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn=1+n（n+1）（n+2）•2n﹣2，c n=+n•2n﹣2，∴T n=+1×2﹣1+2×20+3×2+…+n•2n﹣2，令A===，令B=1×2﹣1+2×2+3×21+4×22+…+（n﹣1）•2n﹣12B=1×20+2×21+3×22+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，﹣B=2﹣1+20+2+22+…+2n﹣2﹣n•2n﹣1，B=（n﹣1），∴T n=+=，当n＞1时，＜2n+，即＜，∴n2+n﹣12＞0，（n+4）（n﹣3）＞0，n＞3，∴当n＞1时，使成立的最小正整数n的值为n=4．【点评】：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查不等式的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法、裂项求和法、构造法的合理运用．20．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）=﹣2x+3﹣=．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函数f（x）的单调性，即可得出极值．（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）==，对a分类讨论：当a=2时，当1＜a＜2时，当a＞2时，即可得出单调性；（Ⅲ）假设存在a满足题意，不妨设0＜x1＜x2，由＜2+a恒成立，可得f（x2）﹣ax2﹣2x2＜f（x1）﹣ax1﹣2x1，令g（x）=f（x）﹣ax﹣2x，则g（x）=，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，利用导数研究其单调性即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）=﹣2x+3﹣=．当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴f（x）极大值=f（1）=2，f（x）极小值==．（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）==，当a=2时，f′（x）=≤0，函数f（x）在x＞0时单调递减；当1＜a＜2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或，此时函数f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得1＜x＜，此时函数f（x）单调递增．当a＞2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，此时函数f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数f（x）单调递增．综上可得：当1＜a＜2时，f（x）在x∈（0，1）或）单调递减；f（x）在上单调递增．当a=2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．当a＞2时，f（x）在或（1，+∞）上）单调递减；函数f（x）在上单调递增．（Ⅲ）假设存在a满足题意，不妨设0＜x1＜x2，由＜2+a恒成立，可得f（x2）﹣ax2﹣2x2＜f（x1）﹣ax1﹣2x1，令g（x）=f（x）﹣ax﹣2x，则g（x）=，由题意可知：g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴g′（x）=（1﹣a）x﹣2﹣≤0，化为在（0，+∞）上恒成立，∴a≥1．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P 异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）由已知条件推导出2•=，b=1，由此能求出椭圆E的方程；（Ⅱ）讨论直线MN的斜率是否存在，设出直线MN的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求范围；（Ⅲ）设直线CD：y=k（x﹣），（k≠0），则P（0，﹣），联立+y2=1，得（1+2k2）x2﹣4k2x+4k2﹣2=0，由此利用韦达定理结合已知条件，能求出•为定值1．【解析】：解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭圆E：+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．∴2•=，b=1，a2﹣b2=c2，解得a=，∴椭圆E的方程为+y2=1．（Ⅱ）MN的斜率不存在时，MN：x=1，解得M（1，），N（1，﹣），•=﹣；MN的斜率存在时，设直线MN：y=k（x﹣1），代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（1+k2）[x1x2+1﹣（x1+x2）]=（1+k2）•（+1﹣）=﹣=﹣∈（﹣1，﹣）．综上可得•的取值范围是（﹣1，﹣]；（Ⅲ）证明：∵椭圆的右顶点C（，0），∴设直线CD：y=k（x﹣），（k≠0），则P（0，﹣k），联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+4k2﹣2=0，∴x C•x D=，∴x D==，设点Q（x′，y′），直线BC的方程为y=（x﹣），A、D、Q三点共线，则有，∴，∴y′+=，∴=，又∵yD=k（xD﹣），∴==k﹣，将x D=代入，得：=，∴y′=﹣，∴•=（0，﹣k）•（x'，﹣）=1．即•为定值1．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理、椭圆性质等知识点的灵活运用．25525 63B5 掵35794 8BD2 诒Y:O20252 4F1C 伜22399 577F 坿R25610 640A 搊E35433 8A69 詩}x7。
陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B6.执行如图所来自的程序框图，若输入 ，则输出s＝（）
A. B. C. D.
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而结合双曲线的性质和已知条件得 ， ， ，再根据 ， ， 得 ，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线 为双曲线 的两条渐近线，
则直线 的方程分别为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，直线 的方程分别为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前n项之积为 ．
（1）求数列 的通项公式；
A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
5.设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）
【小问1详解】
2019-2020年高三下学期一模考试数学(理)试题含解析
2019-2020年高三下学期一模考试数学（理）试题含解析、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的1•复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ）A.B.C.D.【知识点】复数乘除和乘方I 试题解析】----(1+iXl-O 2所以z 的共轭复数为1+i ，即对应点为（1,1 ）。
故答案为：A 【答案】A2.已知集合，集合，则为（ ）A.B.C.D.【知识点】集合的运算 【试题解析】因为 所以 故答案为：C【答案】C域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39,由此可估计的值约为（）A. B. C. D.【知识点】几何概型积分【试题解析】 表示阴影部分的面积 故答案为：D 【答案】D4.圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ）A.B.C.D.【知识点】直线与圆的位置关系【试题解析】的圆心为（1，0），半径为1. 圆心到直线的距离为所以较短弧长对的圆心角为 较长弧长对的圆心角为故弧长之比为 1:2 . 故答案为：A 【答案】A5.若的展开式中项系数为 20,则的最小值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【知识点】均值定理二项式定理与性质 【试题解析】的通项公式为：令 12-3r=3，所以 r=3 .所以 "'~ J J. - -所以3.已知函数的部分图像如图所示, 向图中的矩形区域随机投出 100粒豆子，记下落入阴影区s 。
因为所以s=。
故答案为：C【答案】C6•下列四个判断：某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是和，某次数学测试平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；从总体中抽取的样本（125）,（2,3.1）,（4,3.9）,（5,4.4），则回归直线必过点；已知服从正态分布，且，则其中正确的个数有（）A.0个B. 1个C.2个D. 3个【知识点】样本的数据特征变量相关对？：样本的中心点为（3，3. 475）,所以回归直线必过点（3, 3. 475）。
2021年高三下学期第一次模拟数学(理)试题
2021年高三下学期第一次模拟数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）·如果事件A，B相互独立，那么P（AB）＝P（A）P（B）·球的表面积公式S＝球的体积公式V＝其中R表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒（1）若复数(2＋a i)(3＋i) 的实部和虚部相等，则实数a 的值为（A）－1 （B）0（C）1 （D）2（2）不等式＞2 的解集是（A）{ x |＜x＜3 } （B）{ x | x＜或x＞3 }（C）{ x | x＞} （D）{ x | x＜}（3）下列命题中：①x∈R，x2－x＋≥0；②x∈R，x2＋2x＋2＜0；③函数y＝2－x是单调递增函数．真命题的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（4）等差数列{a n} 的前n项和为，已知，，则的值是（A）24 （B）36（C）48 （D）72（5）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（理）（A）12种（B）18种（C）30种（D）35种（5）若，则的值是（文）（A）（B）－（C）（D）－（6）已知函数f (x) (0≤x≤1) 的图象是一段圆弧（如图所示），若，则（A）＞（B）＝（C）＜（D）与的大小无法判断（7）已知平面，，，直线l，m，点A，在下面四个命题中正确的是（A）若l，m∩＝A，则l与m必为异面直线；（B）若l∥，l∥m，则m∥；（C）若l，m，l∥，m∥，则∥；（D）若⊥，∩＝m，∩＝l，l⊥m，则l⊥．（8）已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为（A）(，（B）(，)（C）(1，3) （D）(－1，＋1时速（km/h ） 001 0020030440 50 60 70 80 俯视图34数 学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
天水市一中级—第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 21(x －1)＞0}，B ＝{x |x 2x －3＜0}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]3．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x；命题q ：∀x ∈2π，tan x ＞sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(q )C ．(p )∧qD ．p ∧(q )4．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为21，那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )A.6411B.43C.83D.1611 5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD等于 ( )A.→OM B ．2→OM C ．3→OM D ．4→OM 6.设 a ＞b ＞1，，给出下列三个结论：① ＞ ；② ＜ ； ③，其中所有的正确结论的序号是.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．19．某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15,60)B ．(15,60]C ．[12,48)D ．(12,48]10．已知P (x ，y )为平面区域a ≤x ≤a ＋1y2－x2≤0(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D ．611．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－25，则数列an 1的前n 项和T n ＝( )A ．－2n ＋1n B.2n ＋1n C ．－2n ＋12n D.2n ＋12n12．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线经过点(0,2)，M 为抛物线上的一个动点，则M 到直线l 1：5x －4y ＋4＝0和l 2：x＝－52的距离之和的最小值为( )A.4141B.3131C.4141D.3131第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．双曲线Γ：a2y2－b2x2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．14．已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x ． 15.已知，则不等式的解集为16．在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于________． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．18．(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；(注：设样本数据第i组的频率为p i，第i组区间的中点值为x i(i＝1,2,3,4,5)，则样本数据的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5)(2)若网购金额在(15,25]的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点．从这20个服务网点中任选2个，记ξ表示选到优秀服务网点的个数，求ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，SA＝1，AB＝2，SB＝，平面SAB⊥底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30°.(1)证明：平面SAD⊥平面SAC；、(2)求二面角BSCD的余弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(2,0)，点P 315在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得|F 1M |＝|F 1N |(F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝ex x2，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －3＝0平行．(1)求证：方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小者)，求m (x )的最大值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ. (1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋2y －6＝0与Γ的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |.(1)若f (x )＜b 的解集为{x |－1＜x ＜2}，求实数a 、b 的值；(2)若a ＝2时，不等式f (x )＋m ≥f (x ＋2)对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．数学(理科)答案1．解析：选A.因为＝2－i 4＋3i ＋1－3i ＝2＋i 2＋i＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.2．解析：选D.由题可知A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜23}，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ≤1}，故选D.3．解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，则綈p 是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q 是真命题，故选C.4..解析：选A.每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C 42种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C 41种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C 42×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C 42种可能．共有C 42＋2C 41＋C 42×2×2＋C 42＝44种情况，因而所求概率为P ＝25644＝6411，故选A.5．解析：选D.因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以→OA ＋→OC ＝2→OM ，→OB＋→OD ＝2→OM ，所以→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD ＝4→OM，故选D. 6.【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知，又，所以＞，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。
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高三下学期一模考试数学（理）试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）设全集U=R，集合则集合=（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高二下·济宁期中) 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
A . 8；
B . 18；
C . 26；
D . 80.
6. （2分）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2018·佛山模拟) 已知分别为双曲线的左顶点、右焦点以及右
支上的动点,若恒成立，则双曲线的离心率为（）
A .
B .
C . 2
D .
8. （2分）(2017·大同模拟) 函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（）
A . 函数f（x）的最小正周期为
B . 函数f（x）的图象关于点对称
C . 函数f（x）在区间上是增函数
D . 由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象
9. （2分）(2017·孝义模拟) 定义： =ad﹣bc，如=1×4﹣2×3=﹣2．当x∈R时，≥k恒成立，则实数k的取值范围是（）
A . （﹣∞，﹣3]
B . （﹣∞，﹣3）
C . （﹣3，+∞）
D . [﹣3，+∞）
10. （2分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与A1C1所成角为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 直线（为参数）被圆所截得的弦长为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）当时，，那么a的取值范围是（）
A .
B .
C . （1,4）
D . (2,4 )
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一下·抚顺期末) 关于平面向量，有下列四个命题：
①若．
② =（1，1）， =（2，x），若与平行，则x=2．
③非零向量和满足| |=| |=| |，则与的夹角为60°．
④点A（1，3），B（4，﹣1），与向量同方向的单位向量为（）．
其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）
14. （1分） (2016高二上·自贡期中) 直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于________．
15. （1分） (2018高二上·六安月考) 若两个正实数x,y满足，且恒成立，则实数m的最大值是 ________.
16. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 设变量x，y满足，则x+2y的最小值为________．
三、解答题 (共7题；共75分)
17. （10分）(2016·江西模拟) 已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2=6abcosC，且．
（1）求角C的值；
（2）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．
18. （15分） (2019高二上·上海月考) 设正数列的前n项和为，其满足：
（1）试求的值；
（2）利用：当时，证明：数列为等差数列；
（3）求数列的通项公式。
19. （15分）如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．
（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；
（2）证明：BD∥平面PEC；
（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．
20. （15分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S.
（1）
设A(x1,y1)，C(x2,y2)，用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y1-x2y1|；
（2）
设l1:y=kx,C(,), S=,求k 的值。
（3）
设l1:l2的斜率之积为m,求m的值，使得无论l1与 l2如何变动，面积S保持不变。
21. （5分）(2019·龙岩模拟) 已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
22. （10分）已知曲线C1的参数方程式（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点
A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
23. （5分） (2016高一上·济南期中) 已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且f（x）＞﹣x的解集为{x|1＜x＜2}，方程f（x）+2a=0有两相等实根，求f（x）的解析式．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、答案：略
2-1、
3-1、答案：略
4-1、答案：略
6-1、答案：略
7-1、
8-1、答案：略
9-1、答案：略
10-1、答案：略
11-1、答案：略
12-1、答案：略
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共75分)
17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略18-3、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略19-3、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略
22-1、答案：略
22-2、答案：略
23-1、
第11 页共11 页。