求极限的常用方法Word版
求极限的常用方法
例4
lim
n→ ∞
n sin n! n3 + n
解：原式
1 1 1 = lim 2sin[ ln(1 + )]cos[ ln( x 2 + x)] x →∞ 2 x 2 = 0.
注：有界量×无穷小=无穷小 有界量×无穷小=
解：原式
lim
n n3 + n
=0
n →∞
sin n !
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∞ 方法：用最大项除分子分母） 一、x → ∞时， 型（方法：用最大项除分子分母） ∞
(2 x + 3)２( x − 2)3 例１ lim x →∞ (2 x + 1)5
解：分子、分母除以x5 例2 lim
4 x2 + x − 1 + x + 1 x 2 + sin x
x →−∞
.
解：分子、分母除以-x，得
ln x + 1 1 = − lim =− x →1 ln x + 1 + 1 2
注： ∞ − ∞ 型不定式极限可
0 ∞ 通过通分变为 ， 之一． 0 ∞ 之一．
下页 结束
六、利用罗比达法则求极限 例14 lim x ln x +
x →0
例15
−1
x ln x 解：原式 = lim e 解：原式 = lim −1 = lim −2 x→0+ + + x →0 − x x →0 x ( ex ln x −1)ln x
x x →0
=e
x→0+
lim x ln x
lim 2ln x −x
−1
2
求极限的若干方法
求极限的若干方法求极限是数学中的重要内容之一，它在微积分、数学分析、几何等诸多领域中都有广泛的应用。
在数学中，我们经常使用各种方法来求解极限，以下是一些常见的方法。
1. 代入法：当出现极限中的变量可以直接代入某个值时，可以利用代入法求解。
当求lim(x→0) (sinx/x)时，我们可以将x代入0，得到lim(x→0) sinx/0 = lim(x→0) (sin0)/0 = 1/0 = ∞。
2. 抵消法：当极限存在但不易计算时，可以通过抵消法将其化简为易计算的形式。
当求lim(x→∞) (x^2 + 2x + 3)/(x + 1)时，可以利用抵消法将分子的x^2项与分母的x 项抵消，得到lim(x→∞) (x^2 + 2x + 3)/(x + 1) = lim(x→∞) (x + 2 + 3/x)/(1 + 1/x) = ∞/1 = ∞。
4. 夹逼法：当极限存在但不易直接计算时，可以利用夹逼法将其夹在两个已知的极限之间，从而求出极限的值。
当求lim(x→0) x*sin(1/x)时，可以利用夹逼法，由于-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1，所以有-lim(x→0) x ≤ lim(x→0) x*sin(1/x) ≤ lim(x→0) x，即-0 ≤ lim(x→0) x*sin(1/x) ≤ 0。
根据夹逼定理，由-lim(x→0) x = 0及lim(x→0) x = 0可知，lim(x→0) x*sin(1/x) = 0。
5. 利用特殊函数的性质：当极限涉及到特殊函数时，可以利用特殊函数的性质来求解。
当求lim(x→∞) (1 + 1/x)^x时，可以利用自然对数函数的性质，将极限转化为lim(x→∞) e^(x*log(1 + 1/x)) = e^lim(x→∞) (x*log(1 + 1/x)) = e^lim(x→∞) (log(1 + 1/x))/((1/x)) = e^lim(x→∞) ((log(1 + 1/x))/((1/x)))，再利用洛必达法则，得到lim(x→∞) ((log(1 + 1/x))/((1/x))) = lim(x→∞) (1/((1 + 1/x)(-1/x^2))) = 1。
各种求极限方法
=
lim e 1 x2
çæ è
1 x
sin
x
-1÷ö ø
=
sin x - x 2
2
x
ö
÷
x -1ø
=
é
lim
x® +¥
êêêëççèæ1
+
x -1
1
x -1 2
÷÷øö
2
çæ1 + è
2
1ù
x
2 -
1
÷ö ø
2
ú ú úû
=
e2
例
6：(1) lim çæ1 x ® +¥ è
1 x2
x
ö ÷
；(2)已知
lim
æ ç
ø
x ® +¥ è
x + 2a ö x ÷
x-a ø
= 8 ，求 a 。
,
x®0
x2
(a >0).
【解】 a x = e xln a = 1 + x ln a + x 2 ln 2 a + o( x 2 ) , 2
a -x = 1 - x ln a + x 2 ln 2 a + o( x 2 ) ; 2
a x + a -x - 2 = x 2 ln 2 a + o( x 2 ).
x ®1
x -1
x®1
2．分子分母同除求极限
例
2：求极限
lim
x®¥
x3 - x2 3x3 +1
【说明】 ¥ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ¥
【解】 lim
x3
- x2
求极限的方法和技巧
1
= b + lim x(e x −1) x→+∞
(a = 1)
= b + lim x ⋅ 1 x x→+∞
（等价无穷小代换）
= b+1
故 a = b = 1.
【例
2】（1997 年
4）求极限
lxi→m0 ⎢⎣⎡
a x
−( 1 x2
− a 2 ) ln(1 +
ax)⎥⎦⎤
(a ≠ 0)
a2 []
2
6
（B）仅有一个跳跃间断点；
（C）有两个可去间断点；
（D）有两个跳跃间断点；
答案
1.1;
β 2 −α 2
n ( n +1)
2.(D); 3. − 2; 4. e 2 ；5. e 2 6.（B）; 7.(D).
方法 2 利用有理运算法则求极限
若 lim f (x) = A, lim g(x) = B ,则
+ 1)(5x
+ 1)
=
α
≠
0, ，则（
）
（A）α = 5!, β = 5.
（C） α
=
1 25
,β
=
5.
（B） α
=
5! 25
,β
=
5.
（D） α
=
5 25
,β
=
4.
(B)
【例 9】已知 lim (x + 1)(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)(5x + 1) + ax + b = 16, ，则（ ）
4.
lxi→m0⎜⎜⎝⎛
1 1
+ +
求极限的方法,(自己总结的)
求极限的常用方法1.直接代入法:对于初等函数f( )的极限, , 若f( )在0处的函数值f( 0)存在, 即。
直接代入法的本质就是只要将= 0代入函数表达式, 若有意义, 其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。
例I: 求极限（1）（2）（3）解: （1）（2）（3）2.变型法（包括两个重要极限）通俗地说代入后无意义的极限称为不定式, （如0/0,∞/∞,∞-∞等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。
例I: 求极限（1）（2）解: （1）（2）两个重要极限是和, 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例I: 求极限解:例II: 求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１, 再凑, 最后凑指数部分。
解:3.利用连续性定义。
例I: 求解：y= 可看作由y= 与复合而成。
因为= , 而函数y= 在点u= 连续, 所以=例II: 求解: =例III: 求解：因为 利用定理３及极限的运算法则, 便有4.利用无穷小、无穷大的关系【说明】(1)常见等价无穷小有:当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,21~cos 12-+- 例1: 求极限解 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x x x x →→+⋅==- 例2: 求极限 解x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 例3因式代替规则x x x x 3sin tan lim 0-→x x x x 30)1cos 1(sin lim -=→212lim 330==→x x x 5.利用极限的性质法（如四则运算）利用极限的4则运算法则, , ,例1: 求解：先用 除分子和分母, 然后求极限, 得52123lim 232+---∞→x x x x x 020512123lim 332==+---=∞→x x x x x x 例2: 求解, 因为分母的极限 , 不能应用商的极限的运算法则, 但因 所以∞=+--→4532lim 21x x x x6.洛必达法则（求不定式极限）定理一 设（1） 当x 时, f(x)及F （x ）都趋向于零；（2） 在点a 的某一去心领域内, f ’(x)及F ’(x)都存在且F ’(x)≠o ；（3） )(')('lim x F x f a x →存在（或为无穷大）； 那么 )(')('lim )()(lim x F x f x F x f a x a x →→=定理二 设（1） 当x 时，∞→函数f(x)及F(x)都趋向于零；（2） 当；）都存在，且与时0('F )(')('x ≠>x x F x f N （3） 或为无穷大），存在()(')('lim x F x f x ∞→ 那么 ）x F x f x F x f x (')('lim )()(lim x ∞→∞→= 例1: 求解: 原式=例2: 求 >0)解: 原式=例3: 求解: 原式=7.积分法积分求极限法:例一: 求 。
求极限13种方法
求极限的 13种方法（简叙）龘龖龍 极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终， 极限思想亦是高等数学的核心与 基础， 因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。
本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多 变，令人难以琢磨。
常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
n例 1、求极限 lim (1 a)(1 a 2)...(1 a 2) ，其中 a 1 n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，n因为 (1 a)(1 a 2)...(1 a 2)1(1 a)(1 a)(1 a 2 )...(1 a 21a12 22n(1 a 2)(1 a 2)...(1 a 2) 1a1 2n 111a(1 a 2)22n0,从而 lim (1 a)(1 a 2)...(1 a 2)=n1 a二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量， 提高运算效率。
常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
此， 应先对其进行恒等变形。
n 时2n 12n 1a 2例 2、求极限 lim x 1，其中 m,n 为正整数。
x 1nx 1分析 这是含根式的（ 0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限1解 令 t x mn,则当 x 1时，t 1三、利用对数转换求极限原式=lim e(cos x 1)csc 2x exo 四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。
例 4、求极限 l n im n n !n n n分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使 用夹逼准则。
解 因为 o n n! 1 2 n 1 n 1，n n n n n n 且不等式两端当趋于无穷时都以 0为极限，所以 l n im n n !=0 n n n五、利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式原式=l t im1 ttlim (t 1)(t t 1(t 1)(t n1m1t n 2... 1) t m 2...t n1t n 2 ... 1 t m 1 t m 2 (1)利用对数转换求极限主要是通过公式 u ve lnuv,进行恒等变形，特别的情形，在（ 1 ）型未定式时可直接运用 (u 1)ve例 3、求极限l x im o(cosx)csc 2x12 sin x lim22x 0sin 2x n 1 f (x n )的数列极限。
求极限的常用方法(精髓版)考试必备
求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
极限方法就是研究变量的一种基本方法。
极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=--3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim323+-∞→x xx x 解3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→11lim解 2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。
(完整word版)高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14 种方法一、极限的定义1. 极限的保号性很重要：设limf (x)A ，x x 0（ i ）若 A 0 ，则有0 ，使适当 0 | x x 0 |时， f (x) 0 ； （ ii ）如有0, 使适当 0 | x x 0 |时， f (x)0,则A0 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，此中函数极限又分为限能否存在在：x时函数的极限和 xx 0 的极限。
要特别注意判断极（ i ）数列 x n 收敛于 a 的充要条件 是它的全部子数列均收敛于 a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ ii ）limf (x)Alimf ( x)limAxxx(iii)lim f ( x)AlimlimAx xx x 0x x 0(iv) 单一有界准则 （ v ）两边夹挤准则（夹逼定理 / 夹逼原理） （ vi ） 柯 西 收 敛 准 则 （ 不 需 要 掌 握 ）。
极 限 limf ( x) 存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 ：x x 00,0, 使适当 x 1、 x 2U o ( x 0 )时，恒有 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) |二．解决极限的方法以下：1. 等价无量小代换。
只好在乘除 时候使用。
例题略。
．．2. 洛必达（ L ’ho spital ）法例（大题目有时会有示意要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
第一一定是X 趋近，而不是 N 趋近，因此面对数列极限时候先要转变为求 x 趋近状况下的极限，数列极限的n 自然是趋近于正无量的，不行能是负无量。
其次 , 一定是函数的导数要存在，假如告诉 f （x ）、g （x ）, 没告诉能否可导， 不行直接用洛必达法例。
此外，一定是 “0 比 0”或“无量大比无量大” ,而且注意导数分母不可以为 0。
洛必达法例分为 3 种状况：（i ）“ 0”“”时候直接用(ii) “0? ”“”，应为无量大和无量小成倒数的关系，因此无量多数写成了无量小的倒数形式了。
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求极限的常用方法
摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。
同时，极限的计算本身也是一个重要内容。
关键词 极限；计算方法
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
极限方法就是研究变量的一种基本方法。
极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限
例1 求极限1lim(21)
x x →-
解
1
lim(21)2111
x x →-=⋅-=
2．约去不能代入的零因子求极限
例2 求极限11
lim
41--→x x x
解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4
11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限
例3 求极限13lim 3
2
3+-∞→x x x x
解
3131lim 13lim 3
11323=+-=+-∞→∞→x x
x x x x x
注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n
n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1
4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)
13(lim 22+-++∞
→x x x
解
1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2222222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
1
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例5
求极限
x →解
01)2x x x →→→===
5．应用两个重要极限的公式求极限
两个重要极限是1sin lim
0=→x x
x 和1lim(1)x x e
x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限
x
x x x ⎪⎭⎫
⎝⎛-++∞→11lim 解 22
212
12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x
x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→
6．用等价无穷小量的代换求极限
这可以称之为求极限最简便的方法。
常见的等价无穷小有：
当0→x 时, sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，arctan ~x x ,
2
11cos ~
2x x -,
ln(1)~x x +,1~x e x -
, 1~
x n
例7 求极限0
ln(1)lim
1cos x x x x →+-
解
02
ln(1)lim
lim 211cos 2x x x x x x
x x →→+⋅==-.
7．用洛必达法则求极限
00或∞∞
型的极限,可通过洛必达法则来求。
例8 求极限220)sin 1ln(2cos ln lim
x x x x +-→
解 22
0)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x x x
x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim
20+--=→
3sin 112cos 222sin lim
20-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=→x x x x x
8．用换底公式ln b b a
a e =求极限
例9 极限0
lim(sin )x
x x +
→
解
22002
00cos ln sin sin lim lim
cos cos 1
1lim
lim
ln sin sin 0
lim(sin )lim 1
x x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x e e e e
e
++
→→++→→++
---→→======
以上这些求极限的方法是最基本的方法，而计算中经常会遇到需要两种甚至更多种方法
的综合运用（上面的例子中就有不少这种情况），所以掌握这些方法是求极限的关键。
参考文献
[1]同济大学数学系.《高等数学》（上册）·第六版[M].高等数学出版社,2010年. [2]华东师大数学系.《数学分析》（上、下册）[M].高等教育出版社,2001年.
[3]张再云,陈湘栋,丁卫平,涂建斌.极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学 报(自然科学版), 2009年6月第22卷第2期.
[4]李国华.函数极限的几种求法[J].高师理科学刊,第31卷.。