质点运动学速度与加速度
质点运动的速度和加速度
质点运动的速度和加速度质点运动的速度和加速度是物体运动学中的两个重要概念，它们描述了质点在运动过程中的快慢和变化率。
本文将对质点的速度和加速度进行详细阐述，并探讨它们之间的关系与物理意义。
一、质点运动的速度速度是质点运动的基本特征之一，它描述了质点在单位时间内运动的距离。
速度的定义公式为：\[v=\frac{ds}{dt}\]其中，\(v\)表示速度，\(s\)表示物体相对某一参考点的位移，\(t\)表示时间。
速度的单位通常是m/s（米每秒）。
根据速度的定义，可以进一步推导出平均速度和瞬时速度。
1. 平均速度平均速度指的是质点在一段时间内的平均速度。
计算平均速度的公式为：\[v_{avg}=\frac{\Delta s}{\Delta t}\]其中，\(v_{avg}\)表示平均速度，\(\Delta s\)表示物体在时间间隔\(\Delta t\)内的位移。
平均速度可以用来描述物体在运动过程中的整体快慢。
2. 瞬时速度瞬时速度指的是质点在某一时刻的瞬时速度，也可以理解为质点在极短时间间隔内的瞬时速度。
瞬时速度可以通过求相邻两点的位移的极限得到：\[v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\]瞬时速度可以用来描述物体在某一瞬间的快慢，也就是物体在该时刻的瞬时速度。
二、质点运动的加速度质点运动的加速度是描述质点运动状态改变率的物理量，它描述了质点在单位时间内速度的变化量。
加速度的定义公式为：\[a=\frac{dv}{dt}\]其中，\(a\)表示加速度，\(v\)表示质点的速度，\(t\)表示时间。
加速度的单位通常是m/s²（米每秒平方）。
与速度类似，加速度也有平均加速度和瞬时加速度两个概念。
1. 平均加速度平均加速度指的是质点在一段时间内的平均加速度。
计算平均加速度的公式为：\[a_{avg}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]其中，\(a_{avg}\)表示平均加速度，\(\Delta v\)表示质点在时间间隔\(\Delta t\)内的速度变化量。
大学物理第一章质点运动学
∫ d x = ∫ (2t −t )dt
2 0 0
t
质点的运动方程
13 x = t − t （m） ） 3
2
(3) 质点在前三秒内经历的路程
s = ∫ vdt = ∫ 2t − t 2 dt
0 0
3
3
令 v =2t-t 2 =0 ，得 t =2
8 s = ∫ (2t − t )dt + ∫ (t − 2t)dt = m 0 2 3
初始条件为x 初始条件为 0=0, v0=0 质点在第一秒末的速度;(2)运动方程；(3)质点在前三秒内 运动方程； 质点在前三秒内 运动方程 求 (1) 质点在第一秒末的速度 运动的路程。 运动的路程。 解 (1) 求质点在任意时刻的速度 dv dv a= = 2 − 2t 由 dt dv = (2 − 2t) dt 分离变量 两边积分
y
P点在 系和 '系的空间坐标 、 点在K系和 系的空间坐标、 点在 系和K 时间坐标的对应关系为： 时间坐标的对应关系为：
y'
r v
P
}
r r
o z
r r′
o' x x'
r R
z'
伽利略坐标变换式
2. 速度变换 r r vK、vK′ 分别表示质点在两个坐标系中的速度 r r r d r ′ d(r − vt) r r r vK′ = = = vK − v dr′ r dt t r 即 vK′ = vK − v r r r vK = vK′ + v 伽利略速度变换
dv = g − Bv dt 分离变量并两边积分
t dv ∫0 g - Bv = ∫0 dt v
g v = (1− e−Bt ) B
物理学教程第三版第一章质点运动学
第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ．(1) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜Δr ｜= Δs = Δr(B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r(C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s(D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)．(2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故ts t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x ． 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；t d d r 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解．故选(D)． 1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a ｔ表示切向加速度．对下列表达式,即(1)d v /d t ＝a ；(2)d r /d t ＝v ；(3)d s /d t ＝v ；(4)d v /d t ｜＝a ｔ．下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解td d v 表示切向加速度a ｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；t r d d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述)；t s d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ；而t d d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a ｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a ｔ起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于a ｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, a ｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a ｔ为一不为零的恒量,当a ｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．1 -7 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s ．求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据0d d =t x 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0～t p 和t p ～t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x 两式计算．题 1-5 图解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由 0d d =tx 得知质点的换向时刻为s 2=p t (t ＝0不合题意)则m 0.8Δ021=-=x x xm 40Δ242-=-=x x x所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s(3) t ＝4.0 s 时1s0.4s m 48d d -=⋅-==t t x v 2s0.422m.s 36d d -=-==t t x a 1 -8 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr ；分析 质点的轨迹方程为y ＝f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到．对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,(详见题1-1分析).解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为 2412x y -=这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．(3) 由位移表达式,得j i j i r r r 24)()(Δ020212-=-+-=-=y y x x 其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r题 1-6 图 1 -9 质点的运动方程为23010t t x +-=22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解 (1) 速度的分量式为t tx x 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v 当t ＝0 时, v 0x ＝-10 m·ｓ-1 , v 0y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为 120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v 0与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==x yαv v α＝123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta x x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v 则加速度的大小为 222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则 32tan -==x y a a β β＝-33°41′(或326°19′)1 -11 质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t2 ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =．如a ＝a (t )或v ＝v (t ),则可两边直接积分．如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．解 由分析知,应有⎰⎰=t t a 0d d 0v v v 得 03314v v +-=t t (1)由 ⎰⎰=t x x t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1代入(1)、(2)得 v 0＝-1 m·ｓ-1, x 0＝0.75 m于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x 1 -20 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t ＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ-1．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt 2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k ,ω＝ω(t )确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．解 因ωR ＝v ,由题意ω∝t 2 得比例系数322s rad 2-⋅===Rtt ωk v 所以 22)(t t ωω== 则t ′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为12s rad 5.02-⋅='=t ω2s rad 0.24d d -⋅='==t tωα 2s m 0.1-⋅==R αa t总加速度n t t n R ωR αe e a a a 2+=+= ()()2222s m 01.1-⋅=+=R ωR αa在2.0ｓ内该点所转过的角度 rad 33.532d 2d 203202200====-⎰⎰t t t t ωθθ 1 -21 一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．(1) 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少？(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t tθω==．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为 22s 2s m 30.2-=⋅==ωr a t n2s 2s m 80.4d d -=⋅==t ωr a t t (2) 当22212/t n t a a a a +==时,有223n t a a =,即 ()()422212243t r rt = 得 3213=t此时刻的角位置为 rad 15.3423=+=t θ(3) 要使t n a a =,则有()()422212243t r rt =t ＝0.55ｓ。
大学物理科学出版社第四版第一章质点运动学
第一章 质点运动学一、 基本要求1．掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。
2． 能借助于直角坐标计算质点在平面内运动时的速度、加速度。
3．能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向加速度和法向加速度。
4．理解伽利略坐标，速度变换。
二、 基本内容1．位置矢量（位矢）位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r 表示。
r 的端点表示任意时刻质点的空间位置。
r同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。
位矢是描述质点运动状态的物理量之一。
注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即()t r r=；（2）相对性：用r描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r 可以是不相同的。
它表示了r的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性：r为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。
在直角坐标系Oxyz 中k z j y i x r++= 222z y x r r ++==r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos质点运动时， ()t r r= （运动方程矢量式）()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x （运动方程标量式）。
２．位移()(),j y i x t r t t r r ∆+∆=-∆+=∆ r∆的模()()22y x r ∆+∆=∆ 。
注意：（１）r∆与r ∆：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。
（２）r∆与s ∆：s ∆表示t —t t ∆+时间内质点通过的路程，是标量，只有质点沿直线运动时两者大小相同或0→∆t 时，s r ∆=∆。
3. 速度dtrd v =是描述位置矢量随时间的变化。
在直角坐标系中k v j v i v k dtdz j dt dy i dt dx dt r d v z y x++=++==222222z y x v v v dt dz dt dy dt dx v v ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==v的方向：在直线运动中，v>0表示沿坐标轴正向运动，v <0表示沿坐标轴负向运动。
质点运动学速度加速度位移的概念与计算方法
质点运动学速度加速度位移的概念与计算方法质点运动学速度、加速度和位移的概念与计算方法质点运动学是研究物体在运动过程中速度、加速度和位移等参数变化规律的学科。
在运动学中，速度、加速度和位移是最基本的概念，同时也是最重要的物理量之一。
本文将详细介绍质点运动学中速度、加速度和位移的概念，以及它们的计算方法。
一、速度的概念与计算方法速度是描述物体在单位时间内形成的位移量的物理量，是一个矢量量。
其定义为单位时间内物体位移的矢量大小，可以用以下公式表示：速度 = 位移 / 时间其中，速度的单位是米每秒（m/s）。
当物体运动时，速度的大小和方向都可以发生变化。
在一维运动情况下，速度的计算方法相对简单。
若物体在时间t内的位移为Δx，则速度可以表示为：速度= Δx / t在二维或三维的运动情况下，速度的计算方法稍微复杂一些。
可以将位移量Δx、Δy和Δz分别用于表示物体在x、y和z方向上的位移。
速度可以表示为：速度= ( Δx / t ) i + ( Δy / t ) j + ( Δz / t ) k其中，i、j和k分别表示x、y和z方向上的单位矢量。
二、加速度的概念与计算方法加速度是衡量物体运动改变速度大小和方向的物理量，同样是一个矢量量。
它的定义为单位时间内速度变化的矢量大小，可以用以下公式表示：加速度 = 速度变化量 / 时间加速度的单位是米每秒平方（m/s²）。
与速度一样，加速度也可以在一维、二维或三维运动情况下进行计算。
在一维运动情况下，加速度的计算方法相对简单。
若物体在时间t 内的速度变化量为Δv，则加速度可以表示为：加速度= Δv / t在二维或三维运动情况下，加速度的计算方法稍微复杂一些。
可以将速度变化量Δv的x、y和z分量分别用于表示物体在x、y和z方向上的速度变化量。
加速度可以表示为：加速度= ( Δvx / t ) i + ( Δvy / t ) j + ( Δvz / t ) k其中，i、j和k分别表示x、y和z方向上的单位矢量。
大学物理课后习题答案详解
第一章质点运动学1、(习题：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2x =2t,y =4t 8-。
（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。
解：（1）由x=2t 得，y=4t 2-8 可得： y=x 2-8 即轨道曲线（2）质点的位置 ： 22(48)r ti t j =+-r r r由d /d v r t =r r 则速度： 28v i tj =+r r r由d /d a v t =r r 则加速度： 8a j =r r则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+=rr r rrrrr当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+=r r r r r rr r2、（习题）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速度为0v ，求运动方程)(t x x =.解：kv dtdv-= ⎰⎰-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0t k e v dtdx-=0 dt e v dx t k tx-⎰⎰=000)1(0t k e kv x --=3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a 4t (SI)，已知t 0时，质点位于x 10 m处，初速度v0．试求其位置和时间的关系式．解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ⎰⎰=vv 0d 4d tt t v 2=t 2v d =x /d t 2=t 2t t x txx d 2d 020⎰⎰= x 2= t 3 /3+10 (SI)4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的d d r t v ，d d v t v，tvd d .解：（1） t v x 0= 式（1）2gt 21h y -= 式（2） 201()(h -)2r t v t i gt j =+v v v（2）联立式（1）、式（2）得 22v 2gx h y -=（3）0d -gt d rv i j t=v v v 而落地所用时间 gh2t =所以0d d r v i j t =v vd d v g j t=-v v 2202y 2x )gt (v v v v -+=+=2120212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+= 5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i tj =+v vv，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
大学物理学复习资料
大学物理学复习资料第一章 质点运动学 主要公式:1.笛卡尔直角坐标系位失r=x i +y j +z k,质点运动方程(位矢方程):k t z j t y i t x t r)()()()(++=参数方程:。
t t z z t y y t x x 得轨迹方程消去→⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(2.速度:dt r d v =3.加速度:dt vd a =4.平均速度:trv ∆∆=5.平均加速度:t va ∆∆=6.角速度:dt d θω=7.角加速度:dtd ωα=8.线速度与角速度关系:ωR v = 9.切向加速度:ατR dtdva ==10.法向加速度:Rv R a n 22==ω11.总加速度:22n a a a +=τ第二章 牛顿定律 主要公式:1.牛顿第一定律:当0=合外F时,恒矢量=v。
2.牛顿第二定律:dtP d dt v d m a m F=== 3.牛顿第三定律(作用力与反作用力定律):F F '-=第三章 动量与能量守恒定律 主要公式:1.动量定理:P v v m v m dt F I t t∆=-=∆=⋅=⎰)(12212.动量守恒定律:0,0=∆=P F合外力当合外力3、 动能定理:)(21212221v v m E dx F W x x k -=∆=⋅=⎰合 4.机械能守恒定律:当只有保守内力做功时,0=∆E 第五章 机械振动 主要公式:1.)cos(ϕω+=t A x Tπω2= 弹簧振子:mk=ω,k m T π2=单摆:lg =ω,g lT π2=2.能量守恒:动能:221mv E k =势能:221kx E p =机械能:221kA E E E Pk =+= 3.两个同方向、同频率简谐振动得合成:仍为简谐振动:)cos(ϕω+=t A x 其中:⎪⎩⎪⎨⎧++=∆++=22112211212221cos cos sin sin cos 2ϕϕϕϕϕϕA A A A arctg A A A A Aa. 同相,当相位差满足:πϕk 2±=∆时,振动加强,21A A A MAX +=;b. 反相,当相位差满足:πϕ)12(+±=∆k 时,振动减弱,21A A A MIN -=。
01绪论,质点,参考系,位移,速度,加速度
Fan
3）多边形法则
有限个矢量 a1 , a 2 , L a n 相加可由矢量的三角形 求和 法则推广
开始， 自任意点 O 开始，依次引 OA1 = a1 , A1 A2 = a 2 , L , An − 1 An = a n , 由此得一折线 OA1 A2 L An , 于是矢量 OA n = a就是 n 个矢量 a1 , a 2 , L , a n的和，即 的和， OA = OA1 + A1 A2 + L + An − 1 An .
Fan
二、质点（mass point） 质点（ ） 具有物体的质量，没有形状和大小的几何点。 具有物体的质量，没有形状和大小的几何点。 说明 如果我们研究某一物体的运动， 如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和 形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转动和形变， 形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转动和形变， 我们就可以把物体当作是一个具有质量的点（ 质点） 我们就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点） 来处理 . 相对性；理想模型； 相对性；理想模型；质点运动是研究物质运动的基础 一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。 一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。
Fan
1）矢量的表示： 矢量的表示：
常用黑体母或带箭头的字母表示。 常用黑体母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示： 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 v v v v A 矢量的代数表示： v 矢量的代数表示： = eA A = eA A
A
r A 矢量的大小或模： 矢量的大小或模： = A v A v eA = 矢量的单位矢量： 矢量的单位矢量： A
x cos α = , r y cos β = , r z cos γ = r
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ds2 dx2 dy2 dz2
曲线运动
3. 加速度
a(t ) ax (t )i ay (t ) j az (t )k
分量式：
d 2 x(t ) (t ) a x (t ) x dt
d 2 y (t ) (t ) a y (t ) y dt
最小的长度
目前，物理学中涉及的普朗克长度约为10-35米， 被认为是最小的长度，意思是说，在比普朗克长度更 小的范围内，长度的概念可能就不再适用了。
牛顿力学适用范围：微米尺度— 天体尺度
§1.2
质点和参考系
质点 ：
参考物 ：
质点和参考系
突出了“物体具有质量”、“物体占有位 置” 为了研究运动，固定坐标系的物体
x x(t )
0
直线运动
平均速度： v x(t ) x(t0 ) t t t t0 瞬时速度： x(t t ) x(t ) dx(t ) v(t ) lim t dt t 0
右图表示的是质点做直线运动时的位置、 速度和加速度关于时间的图形。由图上可 见，当位置最大时，速度为零（此时曲线 的斜率为零），同样当速度最大时，其加 速度为零。
在国际单位制中，速度的单位是米/秒，常用的单位还 有厘米/秒、千米/小时等
加速度
1. 直线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间间隔内的平均加速度
a t t t v(t t ) v(t ) t
瞬时加速度（简称加速度）定义为：
a(t ) lim
t 0
时间的测量 ：
任何具有重复性的周期过程或现象，都可以作为测量 时间的一种钟 （例如，太阳的升没表示天；四季的 循环称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过 程，如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子 的振动等等，也都可以用作测时的工具）
时间的测量 ：
1967年10月在第十三届国际度量衡会议上规定： 位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级 在零磁场中跃迁辐射的周期T与1秒的关系为 1秒 = 9,192,631,770 T 这样的时间标准称为原子时
位移、路程与速度 2. 三维曲线运动
瞬时速度（简称速度）定义为：
v(t ) lim
t 0
r (t t ) rt
速度的数值大小（绝对值）称 为速率，由上式知：
v(t ) | v(t ) |
lim
t 0
r | r | s ds(t ) lim lim t dt t 0 t t 0 t
速度、加速度是矢量，它具有矢量性 质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一 定相同，它具有瞬时性 选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不 同的，它具有相对性
• 人体能承受的最大 加速度为10g左右。 未受专业训练的一般 人只能承受2-3g左右。
§1.4
运动方程：
直角坐标系中运动的描述
t
位矢： r(t ) r0 路程：
t
t0
v(t )dt
x(t ) x t v (t )dt 0 t0 x t ds (t ) y (t ) y0 t v y (t )dt 2 2 2 0 v(t ) | v(t ) | v x (t ) v y (t ) v z (t ) t dt z (t ) z0 v z (t )dt t t0 2 2 2 s(t ) s(t0 ) vx (t) vy (t ) vy (t) dt
位移、路程与速度 2. 三维曲线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时 间间隔内的平均速度
r(t 2 ) r(t1 ) r v t1t2 t 2 t1 t
这个平均速度的定义表明，平 均速度是矢量。
r r(t2 ) r(t1 )
是在时间间隔 △t 内质点位置矢量的改变量，称为位 移矢量（简称位移）
v(t t ) v(t ) v dv(t ) d 2 x(t ) lim t dt dt 2 t 0 t
加速度
2. 曲线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间 间隔内的平均加速度
a t t t v v (t t ) v(t ) t t
§1.1
力学的研究对象
引 言
运动学： 研究物体运动的几何性质，而不研究引起物 体运动的原因。（位移，速度，加速度，轨 迹等的描述和计算） 动力学： 研究受力物体的运动变化与作用力之间的 关系。（运动微分方程的建立和求解）
静力学： 研究物体在力系作用下的平衡规律，同时 也研究力的一般性质和力系的简化方法等。 （平衡方程的应用和受力分析）
瞬时加速度（简称加速度）定义为：
a(t ) lim v(t t) v(t ) v d v(t ) d 2 r(t ) lim t dt dt 2 t 0 t
t 0
在国际单位制中，加速度的单位是米/秒2，常用的 单位还有厘米/秒2 等。
§1.3
小结：
速度与加速度
参考坐标系 ： 固定在参考物上的坐标架（简称参考系）
参考系 = 参考物 + 坐标架 + 钟
质点近似的相对性
对于某个物体，如果其
大小和自转对于所研究 的具体问题可以忽略， 则该物体可以近似为质 点。
质点和参考系
质点 的位置矢量 r（简 称位矢）的大小为OP 的长度，而方向从O指 向P。用这个矢量就完 全确定了质点P的位置
r xi yj zk
其中i，j，k分别分别表示空间的三个坐标方向 （ x, y, z 轴）上的单位矢量，称为坐标基矢。 参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用 不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这 一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。
轨迹和运动学方程
质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这 条曲线我们称之为轨迹。 轨迹可以利用曲线方程来描写。
用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量 精度要比秒表作时计提高 1010 倍，即误差下降到秒 表的 1010 之一
时间是测量得最准确的一个基本量
空间的测量 ：
长度是空间的一个基本性质
对长度的测量，在日常的范围中，是用各种各样 的尺，如米尺、千分尺、螺旋测微计等等。
空间的测量 ：
米： 规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度 的1/10,000,000 1875年起，决定改用米原器（截面呈“X”形的 铂铱合金尺）作为长度标准。由于这样规定的标准米 不易复制，精度又不高 1960年在第十一届国际计量大会上规定： 1米等于氪86原子的两个特定能级之间跃迁时所对 应的辐射（橙色谱线）在真空中的波长λ的 1,650,763.73倍。这样规定的米叫原子米
v(t ) dx / dt
t 0 t
0
v(t ) v0 a(t )dt
x(t ) x0 v(t )dt
s(t ) s0
t 0
| v(t ) | dt
曲线运动
1. 运动方程
r(t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
x x(t ) y y (t ) z z (t )
经典力学适用范围：弱引力场中宏观物体的低速运动。
时间、空间和牛顿力学的绝对量
时间 ： 空间 ： 时间用以表述事物之间的顺序
空间用以表述事件相互之间的位形
在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为 是绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存 在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为 欧几里德几何空间。
譬如，曲线方程：
x2 y 2 R 2 z 0 就描写了在oxy平面上半径为R的圆周 运动的轨迹。 一般曲线方程可以表示成：
f1 ( x, y , z ) 0 f 2 ( x, y , z ) 0
轨迹和运动方程
我们知道，可以利用矢量方法来描写质点 M 的位置。 质点的位置关于时间的函数称为运动方程，知道了这 个方程等于知道了此质点运动的一切情况。质点的运 动方程可以表示成：
2. 速度
分量式： 速率： 其中：
v x (t )
v(t ) vx (t )i vy (t ) j vz (t )k
dy (t ) dx (t ) (t ) y (t ) v y (t ) x dt dt 2 2 2 1/ 2 ds(t ) dx dy dz v(t ) dt dt dt dt
位移、路程与速度
质点在t1到t2时间间隔内的平均 速度 x(t 2 ) x(t1 ) v t1t2 t 2 t1
瞬时速度（简称速度）定义为：
v(t ) lim
t 0
x(t t ) x(t ) x dx(t ) lim t dt t 0 t
通常称平均速度的绝对值为平均速率。类似地，瞬时 速度的绝对值被称为速率。
1983年10月在第十七届国际计量大会上规定： 米是光在真空中在1/299,792,458秒的时间间隔内所 传播的路程长度 光速：c = 299,792,458米／秒
最短的时间
目前物理学中涉及的最小的时间是10-43秒，称为 普朗克时间。普朗克时间被认为是最小的时间，比普 朗克时间还要小的范围内，时间的概念可能就不再适 用了。
路程函数s(t)：质点从 t1 =0 到 t2 = t 时 刻所走过的轨迹长度 （标量） 质点从 t1 = t 到 t2 = t +△t 时 间间隔内所走过的路程
s s(t2 ) s(t1 )