2019届中学生标准学术能力诊断性测试(一)理科数学 含答案
为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；
（2）当 a =1时，从该盒子中任取（每球取到的机会均等）1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数．若
E = 5 ， D = 5 ，求 b 和 c ．
3
9
20．（12 分）设椭圆 C : x2 + y2 = 1 的右焦点为 F ，过点 (m,0)（ | m |1）作直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，且坐标原
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知函数 f (x) x2 2, x 0
，则 y = f (x) − x 的零点个数为________．
2x 6 ln x, x 0
14．已知数列{an} 满足 a1 = 2 ， (n −1)an = nan−1 + n(n −1)(n 2) ，则{an} 的通项公式为________．
A． −23
B． −25
C． −43
D． −45
5．设曲线 y = ax2 − bln x 在 x =1 处的切线方程为 y = 5x − 2 ，则 a,b 的值分别为（ ）
A． 2,1
B． 2, 1
C． 3,1
D． 3, 1
6．在平行四边形 ABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，若 2AE = ED ，则 OE= （ ）
A． 1 + 1 i 22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B． 1 − 1 i 22
C． − 1 + 1 i 22
2．已知集合
A
=
{x
|
log2 x
2},
B
= {x
|
1 2
2x
8} ，则
A
B =（
）
A． [−1, 3]
B． (0,3]
C． [−1, 4)
D． − 1 − 1 i 22
D． (0,4)
3．将 420 名工人编号为：001，002，…，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 60 的样本，且随机抽得的号码
第2页 共4页
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．（12 分）在 ABC 中， AB = 3 ， AC =1， A = 60 ． （1）求 sin ACB ； （2）若 D 为 BC 的中点，求 AD 的长度．
A． 1 4
B． 1 3
C． 1 2
D． 2 3
11．已知
P
为双曲线
C
:
x a
2 2
y2 b2
1 （ a 0,b 0 ）右支上一点，A 为其左顶点，F (4 3,0) 为其右焦点，满足
AF PF , PFA 60 ，则点 F 到 PA 的距离为（ ）
A． 5 3 2
B． 7 2
C． 7 3 2
D． 15 2
12．在三棱锥 A - BCD 中，BC = BD = AC = AD =10 ，AB = 6 ，CD = 16 ，点 P 在平面 ACD 内，且 BP = 30 ，
设异面直线 BP 与 CD 所成角为 ，则 sin α 的最小值为（ ）
A． 3 10 10
B． 10 10
C． 2 5 5
D． 5 5
18．（12 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD
为矩形，E 是 PD 的中点，M 是 EC 的中点，点 Q 在线段 PC 上且 PQ=3QC． （1）证明 QM//平面 PAB； （2）当 PBA 为多大时，在线段 PC 上存在点 F 使得 EF ⊥ 平面 PAD 且 EF
A． 1 BA + 1 BC 26
B． 1 BA − 1 BC 26
C． − 1 BA + 1 BC 26
7．已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）cm2
D． − 1 BA − 1 BC 26
A． 9 2 + 9
B． 9 2 +18
C．18
D．27
8．设抛物线 C： y2 = 4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 A, B 两点．若 AB
为 005．这 420 名工人来自三个工厂，从 001 到 200 为 A 工厂，从 201 到 355 为 B 工厂，从 356 到 420 为 C 工
厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（ ）
A．28，23，9
B．27，23，10
C．27，22，11
D．28，22，10
4．已知公差不为 0 的等差数列{an} 的首项 a1 = 3 ，若 a2 ,a3 ,a6 成等比数列，则{an} 的前 5 项之和为（ ）
4 点 O (0,0) 到直线 l 的距离为 1．
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试 理科数学试卷
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数 z 满足 (1- i)2 + z (1 − i) + i = 0 ，则 z =（ ）
AF BF =（ ）
16 ，且 AF BF ，则 3
第1页 共4页
A．3
B． 5 2
C．2
D．4
9．若实数
x,y
满足
x x x
+ −
2y − y −1 1
4
0
0
，则
x2
+
y
−
1 2
2
的取值范围是（
）
A． 1,2
B．
5 4
,2
C．
5 4
,
17 4
D．
1,
17 4
10．在−4, 4 上随机地取一个数 m ，则事件“直线 x − y + m = 0 与圆 (x-1)2 + y2 = 2 有公共点”发生的概率为（ ）
15．某校开设 A 类选修课 4 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同 的选法共有________种．
16．已知函数 f (x) = ln(x +1)(x 0) 与 g(x) = 2x − a 的图像上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是______．
与平面 PBC 所成角为 45°同时成立？
第 18 题
19．（12 分）设盒子中装有 6 个红球，4 个白球，2 个黑球，且规定：取出一个红球得 a 分，取出一个白球得 b 分，
取出一个黑球得 c 分，其中 a，b，c 都为正整数．
（1）当 a =1，b = 2 ，c = 3时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量
【数学】中学生标准学术能力诊断性测试(11月)试卷 理科数学(PDF版)
A．恒等于 1
B．最大值为 1，无最小值
C．最小值为 1，无最大值
D．无最大值，也无最小值
4．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积（单位： cm2 ）是
A．16
B．32
C．44
D．64
5．已知 x + y 0 ，则“ 2|x| + x2 2|y| + y2 ”是“ x 0 ”的
点处的切线距离为 d，若
PF1
PF2
=
24 ，则 d
7
=
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作
答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．（12 分）已知函数 f (x) = sin x − 3 cos x
D．4037
( ) 13．在 − 2,2 上随机地取一个实数 k ，则事件“直线 y = kx 与圆 x − 5 2 + y2 = 9 相交”发生的概率
为
．
14．如图，在 ABC 中， AB AC ， BC = 2 3 ， A = 60 ，ABC 的面积
等于 2 3 ，则角平分线 AD 的长等于
4
9．设函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a,b, c, d R 且 a 0) ，若 0 2 f (2) = 3 f (3) = 4 f (4) 1 ，则
f (1)+ f (5) 的取值范围是
A． (0，1)
B． (1，2)
C． (2,3)
D． (3,4)
( ) 10．已知 F1, F2 分别为双曲线
中学生标准学术能力诊断性测试 2019年 9 月测试理科数学试卷
8mk2
( 1
4k
2
)
2
16(m2k 2 1) 1 4k 2
，利用①
式，消去k ，得| y 1 y 2|
43 m2 3
，
S ABF
1 | m 2
3
||
y
1
y
|2
2
3
|
m m2
3
3|
当
m 1
或
1 m
3
时，
S ABF
2
3( 3 m) m2 3
， 令 t 3m ，
6
t
2 6
3
2
3
2 1；.......10 分
t
当 m 1时， ABF 面积的最大值为 3
3
..........12 分
2
21．（12 分）
（1） f (x) a 4a ax(x 4a 4) ax 1 (x 2)2 (ax 1)(x 2)2
t (0,
3 1) (
3 1, )
，则 S ABF
t
2 3t 2 2 3t
6
t
2 6
3
2
3
3 3 ；...8 分 2
t
当
m
3时 ，
S
2 3(m 3)
ABF
m2 3
， 令 t m 3 ， t (0，) ， 则
S ABF
t
2 3t 2 2 3t
AC 1,CD 7 ，在 ACD中，根据余弦定理， 2
AD2 12
2
四川省2019届高三第一次诊断性测试数学(理)试题含答案.doc
四川省2019届高三第一次诊断性考试数学试题（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 = {（x,y）|x+y = 2}, B = {（x,y）|x-y = 4},则集合A B=（）A. x = 3, y = —1B. (3,-1) c. {3,-1} D. {(3,-1)}2.复数2 + i的共辘复数是（)A. 2-iB. -2-zC. i-2D. z + 23.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的函数是（)1A. y =——B. y =COSXC. y ——x~D. y"xTT4.为了得到函数^ = 2sin（x —一）的图像，只需把函数y = 2sinx的图像上所有点（）5IT TTA.向左平行移动上个单位长度B.向右平行移动上个单位长度9 7TC.向左平行移动一个单位长度D.向右平行移动一个单位氏度5.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,90］之间，英得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）▲频率B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在（60,80）的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D. 估计得分的众数为55—r 216. 设椭圆—+ ^ = 1(7« >0,n>0)的焦点与抛物线x 2=8y 的焦点相同，离心率为一，则府 iv 2 m —n=( )A. 2>/3 —4B. 4—3>/3C. 4>/3 —8D. 8-4^57. 执行如图所示的程序框图，若输入x = 8,则输出的y 值为( )&已知等差数列｛%｝的公差为2,若4，色，勺成等比数列，贝艸色｝前10项的和为(9•己知函数/(切的导函数为/(X ),且满足f(x) = 2xf \e) + lnx (其中幺为自然对数的底数)，则 f(e )=( )10.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(X -2)2 + /=1都相切，则 双曲线C的离心率是()?7 cID. 3A. 10B. 8C. 6D. -8C. 一1D. 1A. 2或迹B. 2或羽C.、疗或鱼D.巫或世3 2 3 211.己知函数/(x) = ^(sinx+cosx),记广(兀)是/⑴的导函数，将满足f \x) = 0的所有正数兀从小到大排成数列｛%｝,〃"，贝|擞列｛/(兀)｝的通项公式是( )A. (_1)'匕一俗“B. (一1)卄»必C. (一1)〃八”D. (_1)"5一曲)“12.如图，在RtAABC中，ZACB = 90°, AC = l f BC = x(x>Q), D 是斜边AB 的中点, 将ABCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB丄AD,则兀的取值范圉A. (—,2)B. [73,2^3]C. (0,2)D.((),舲]第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知向量a = (—1,1), b = (8,k),若allb,则实数R 二_______________ •x-y>014.若满足约束条件< x+y-l<Q ,贝ijz = 2x+y的最大值为__________________ .j + l>09"x _ 2 y < o'一，则/(2019)= _______________ ./(x-2) + l,x>016.已知直线I: y = kx与圆x2 +y2— 2x-2y+ 1 = 0相交于A, B两点，点M (0, h),且MA丄MB,若〃w (1,2),则实数R的収值范围是2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)17.MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,己知sinA + cosA = 0.(1)求tan A ；｛（2）若b = 2 , c = 3,求\ABC的面积.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格:人数兀10152025303540件数y471215202327（1）在给定的能标系屮画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数y与进店人数兀是否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,预测进店人数为80时，商品销售的件数（结果保留整数）._ _ 7 _ ___ 7参考数据：兀=25 , y = 15.43 ,工彳=5075,7(x)2 = 4375 , Ixy = 2700,工兀％ = 3245.1=1 1=1A工I-心_ _参考公式：回归方程y = hx+a,其中 --------------- , a = ^-^x.£彳_论）2/=130252015105O19.如图所示，四棱锥S- ABCD中，SA丄底面ABCD, ZABC = 90° , AE =品,BC = 1,AD = 2^, ZACD = 60°, E 为CD 的中点.5 10 15 20 25 30 35 40 :(1)求证：BCH平面SAE；(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.20.已知椭圆C的屮心在原点0,直线/:x+73y-V3= 0与坐标轴的交点是椭圆C的两个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若M,N是椭圆C上的两点，且满足OMON = 0,求|M/V|的最小值.21.已知函数/(x) = xlnx.(1)求曲线y = /(%)在点(1,/(1))处的切线方程；(2)设b>a>0,证明：0v/(a) + /(b)-2/(仝空)<@ —讪2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程V在平面直角坐标系兀Oy中，曲线P的参数方程为< 4 (f为参数)，在以坐标原点为极点,yhx轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为Q2-8QCOS&+15=0.(1)求曲线P的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)点M为曲线P上的动点，N为曲线C上的动点，求|MN|的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知f(x) =| x+11 +1 兀一11, g(x) = -a.(1)若a = -4f求不等式f(x)-g(x)<0的解集;(2)若函数/(兀)的图像与函数g(Q 的图像有交点，求G 的取值范围.试卷答案一、 选择题1-5: DADBC 6-10: ABABA 11、 12： CD二、 填空题13. -814.3 15. 1010 16. (1,6-阿)(64-^23,-Foo)三、 解答题17. (1)因为sinA+cosA = \/2cos(A-450) = 0,所以 cos(A-45°) = 0,又0°<A<180°,所以A —45° =90°, 即 4 = 135°,所以 tan A = tan 135° =-1.(2)由(1)得A = 135°,乂 b = 2,(所以S E1, . 4 1 o Q V2 3^2= —bcsm A = —x2x3x ——= ----- . 2 2 2 218. (1)图形(略)由散点图可以判断，商品件数y 与进店人数兀线性相关7 _ _(2)因为工兀y =3245,兀= 25, y = 15.43, /=!7 _ ___工#=5075, 7(x)2=4375, Ixy = 2700, Z=17____A工栩- 7xy所以b= ------------ —丫#-7(疔1=1所以 sin A = sin 135° V2 23245-2700 5075-4375a = = 15.43-0.78x25 = -4.07所以回归方程y = 0.78x 一4.07 , 当x = 80时，y = 0.78x80-4.07 = 58 (件)所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件.19. (1)证明：因为 AB =羽,BC = 1, ZABC = 90°, 所以 AC = 2f ABC A = 60°,在 AACQ 中，AD = 2羽,AC = 2f ZACD = 60°, 由余弦定理可得：AD 2 = AC 2 + CD 1 -2 AC CD cos ZACD 解得：CD = 4所以AC 2 + AD~ = CD 2,所以AACD 是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以AE = -CD = CE2又ZACD = 60°,所以AACE 为等边三角形， 所以 ZCAE = 60° = ZBCA ,所以 BC//AE, 又AEu 平面SAE f BC Q 平面SAE f 所以BC//平面SAE.(2)解：rtl (1)可知ZBAE = 90°,以点4为原点，以AB, AE f AS 所在直线分别为兀轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 5(0,0,2), B(A /3,0,0), C(J§,l,0), £>(-73,3,0).所以5B = (>/3,0,-2), SC = (巧,1,一2), 50 = (-73,3,-2).即 fV3x-2z = 0[\/3x+ y-2z = 0设n = (x, y, z)为平面SBC 的法向量,则SB"[/? 5C = 0设兀=1 则严0, 即平面SBC的一个法向量为n = (1,0,所以cos < n, SD >=""-2馆|w|l5D|V21 ~7~所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为—.720.(1)因为l:x+\l^y-羽=0与x轴交点为(、疗,0),与y轴交点为(0,1),又直线/与坐标轴交点为椭圆C的顶点，所以椭圆的顶点为(、疗,0), (0,1),故所求椭圆方程为亍yN(-r2 sin 0. /; cos0),其中 /; =| OM \, r2 =| ON |,从而—+ —r = —+ 1 =—・r； r； 3 31 1 厂2 2又(斥+才)(=+ =)= 2 +七+ (当且仅当时取等号)故所求|MN|的最小值为乔.21.(1)由题意/(I) = 0,又/G) = lnx+1,所以广(1) = 1，因此y = /(兀)在点(1,/(!))处的切线方程为y-0 = lx(x-l),即x-y-l = 0(2)证明：因为Ovcvb,所以->1由于/(d) + /(b)-2/(9^) = alna + blnb-2 匕也n竺么aln2L + bln2-2 2 2 a + b a + b2 2设函数F(Q = In ——+ x\n—— (x > 1)1 + x 1 + x2 YF\x) = [In 2 - ln(l + x) + x In 2x - x ln(l + x)] * = In ----1 + x2 Y当兀>1时，^>1,所以F,(x)>0,1 + x所以F(x)在(1,+oo)上是单调递增函数，又F(l) = 0,所以F(兀)>0(兀>1),所以F(-) > 0 ,即/s)+ /(b) —2/(学)>0a 2bzy A A A② f(a) + f(b) - 2/(——)<(b-a)ln2等价于In —- + — In -^― < 0, "2 1 +八1 +色a a令x = — >1 ,a4 x设两数g(x) = ln ------ + xln — (x>\)1+x1+xxg \x) = [ln4 - ln(l + x) + x\nx -xln(l + x)]1 = In —1 + xX当兀〉1时，0<——<1,所以gd)<0,1 + x所以g(兀)在(l,+oo)上是单调递减函数,又g(l) = 0 ,所以gM < 0 (x > 1)所以g (纟)< 0 ,即/(d) + f(b)— 2/(学)<(b-a)\n2a 2综上①②可得：0 v /⑺)+ /(b) — 2/(出)v @ —a) In 2.22. (1)将曲线P的参数方程消去参数Z,得尸=4兀，将°2=兀2 +丿2, x = pcos0代入曲线C的极坐标方程得%2-8X4-/+15 = 0,即(X-4)2+尸=] (2)由(1)知，圆C的圆心C(4,0),半径r = lt2由抛物线的参数方程，设点M(-,r)4则 | MC|=J(^-4)2+(r-0)2-t2 +16 =£ J(F -8)2 +192所以当尸=8即F = ±2血时，| MC |取得最小值丄V192 =2^3,4此时I MN\的最小值为|MC|inin -r = 2V3-l.23. (1)不等式f(x)-g(x)< 0 可化为|x + l| + |x-l|<4,当%<-1时，不等式化为-2%<4,解得x>—2,故—2vx5—1；当—lvx< 1时，不等式化为2<4成立，故-1<X<1；当兀〉1时，不等式化为2x<4,解得兀<2,故1 <兀<2,综上得若。
2019届高三第一次诊断性检测数学(理)试题(附解析)
2019届高三第一次诊断性检测数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为,,所以，根据集合并集的定义可得，故选 A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.复数为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应点的坐标即可得结果.【详解】,复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第四象限，故选 D .【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，，棱锥的体积，故选 B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.设实数满足约束条件,则的最小值为（）。
中学生标准学术能力测试诊断性测试2019年9月测试
2
2 2，
2
22
2 22
sin A = 1 ， 2
………………………………3 分
∵ 0 A ，∴ 0< A ，∵ cos A − sin A 0 , ∴ 0< A 0 A ,
22
2
2
24
2
所以 A = 6
………………………………6 分
(2)由 sin(C + A) = 21 ,得 sin B = 21
f
’(
x)
=
e
(1 −
ex
x
)
x 1时，f '(x) 0; x 1时，f '(x) 0
…………………2 分
f (x)在 (- ，1) 递增， (1，+ ) 递减，且 f (x)max = f (1) =1
又 当 x 0 时， f (x) 0 ；当 x 0 时， f (x) 0 ，且 x → +时，f (x) → 0 ，4
2
.
………………………………12 分
D
3
解法 2：由（Ⅰ）知 PD ⊥ 平面 ABCD ，过 D 作 DE ⊥ AB 交 AB
于 E ，则 PD ⊥ DE ，
如图以 D 为原点， DC 、 DP 、 DE 所在直线为 x 轴、
y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.
………………5 分
A
E
则 C(1, 0, 0), A(−1, 0, − 2), B(1, 0, − 2), P(0,1, 0) ，
又 PD ⊥ AB ， AB BC = B
∴ PD ⊥ 平面 ABCD ，
………2 分
………………………………12 分
P D
2019届中学生标准学术能力诊断性测试 文理数学(一卷)试卷THUSSAT3月测试
（或者由正弦定理先求 sin B ，再求 cos B ）
sin(B − ) = sin B cos − cos B sin
3
3
3
………10 分
= 2 14 − 5 3 18
………12 分
18．（1）补充完整的 2×2 列联表如下：
第1页 共 5 页
优秀 不优秀 合计
甲班 20 25
45
A．119
B．120
C．164
D．165
7．若函数 f (x) = sin( x + )( 0) 的最小正周期为 ，若将函数图象 y = f (x) 向左平移 个单位，得到函数
3
12
g(x) 的图象，则函数 g(x) 的解析式为（ ）
A． g(x) = sin( 1 x + ) 26
2
4
2
VC− AEFD
= VE− ACD
+ VE−CDF
=
1 a3 8
+ 1 a3 = 3 a3 16 16
………8 分
第2页 共 5 页
（3）
E
F
A
xB
D
。
O
M
N
Cy
建系如图（建系过程简略，阅卷老师规定分值）所示： A(0,− 1 a,0) 、 B( 3 a,0,0) 、
2
2
C(0, 1 a,0) 、 E(0,0, 3 a)
2
2
直线l : x − 3y − 6 = 0
5 分
（2） 方法一：设 P(2cos,sin)
点P到l的距离
2 cos − 3 sin − 6
d=
=
2
7
2019届高三第一次诊断性考试数学(理)试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，化简集合，然后根据交集的定义求解即可.【详解】，由交集的定义可得，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.复数A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数可得结论.【详解】，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知向量，，若，则实数m的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】，又因为，，所以，故选B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.4.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.【详解】，，，，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.5.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.6.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则式子的值是A. －1B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，可得，因为，所以，，故选D.【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义求出的值，由二倍角的余弦公式可得结果.【详解】在第三象限，且，由正弦函数的定义可得，，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及二倍角的余弦公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数，可得，当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象9.已知向量满足，若与的夹角为，则m的值为A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】【分析】由求得，，结合与的夹角为，可得，从而可得结果.【详解】，又，，，，，即，得或（舍去），故的值为2，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.10.已知偶函数在(－∞，0]上单调递增，令，，，则a，b，c满足A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a【答案】C【解析】【分析】化简，可得，根据单调性与奇偶性可得结果.【详解】偶函数在上单调递增，在上单调递减，，，，即，故选C.【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．11.若函数在为单调函数，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，由排除，由排除，从而可得结果.【详解】利用特值法：时，；时，单调递增，即合题意，排除；时，，单调递减，即合题意，排除，故选A.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.12.已知函数，要使函数的零点个数最多，则k的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性可得，时，最多有两个根，最多有2个根，即时原方程最多有四个根，根据一元二次方程根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为，所以，可得在上递减，在递增，所以，有最小值，且时，，当x趋向于负无穷时，f(x)趋向于0，但始终小于0，所以，时，最多有两个根，最多有2个根，即在有两个根时，的零点最多为4个，，解得，故选B.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
中学生标准学术能力诊断性测试2019届高三3月测试(理数试题pdf版)
sin(
−
6
)
+
3
=
0
，椭圆
C
的参数方程为
x
y
= =
2 cos sin
（
为参数）．
（1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）椭圆 C 上一点到直线 l 的最小距离是多少？
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
己知函数 f (x) = x +1 − x − 2 ．
（1）求不等式 f (x) 1的解集；
（2）若 f (x) + 2 x − 2 m恒成立，求实数 m 的取值范围．
第3页 共4页
第4页 共4页
（1）求边 c ； （2）求 sin( B − ) 的值．
3
18．（12 分）有甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表： 班级与成绩列联表
甲班 乙班 合计
优秀 不优秀 合计
20
45
40
90
（1）请将上述 2×2 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为成绩与班级有关呢？ （2）针对调查的 90 名同学，各班都想办法要提高班级同学的优秀率，甲班决定从调查的 45 名同学中按分层抽 样的方法随机抽取 9 名同学组成学习互助小组，每单元学习结束后在这 9 人中随机抽取 2 人负责制作本单元思 维导图，设这 2 人中优秀人数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 参考数据：
E
F
EF = 1 BC ，其中 AB = BC = AC = AE = a ． 2
（1）求证：平面 ABCD⊥平面 CFD ；
A
D
O
成都市2019级高中毕业班第一次诊断性检测数学(理)参考答案
x －２a
∵２
a ≥１,∴ 当 x ∈ [
０,
π]时,f′ (
x)≤０ 恒成立
∴f(
x)在 [
０,
π]上单调递减
９ 分
１１ 分
１２ 分
１ 分
２ 分
∴ 当 x ＝０ 时,f(
x)取得最大值为 ０;当 x ＝π 时,f(
x)取得最小值为 －２aπ
(Ⅱ )不等式 f(
４ 分
∴ 平面 A′DB ⊥ 平面 BDEC
５ 分
∵ A′D ⊥ BD ,DE ⊂ 平面 BDEC ,DB ⊂ 平面 BDEC ,DE ∩ DB ＝D ,
又 A′D ⊂ 平面 A′DB ,
(Ⅱ )选 ①
∵BM ＝BE ,∠BDM ＝ ∠BDE ＝９０
°,
∴ △ BDM ≌△ BDE∴ DE ＝DM ＝２
．
＝８(
２
２
５
１ 分
i
２
)
－x
＝４＋１＋０＋１＋４＝１０,
５
∑ (x
^ ＝ i＝１
∴b
i
５
∑
i＝１
)(
)
yi －y
－x
２
)
(
xi －x
^ ＝０
∴y
８５x ＋０
６
^ ＝４－０
８５,
a
８５×４＝０
６
＝０
数学(理科)“一诊”参考答案 第
１ 页(共 ６ 页)
３ 分
５ 分
x ≥１
ìï３x ＋１,
ï
(Ⅱ )由(Ⅰ ),得 f(
x)＝ íx ＋３,－１＜ x ＜１
ïï
x ≤－１
中学生标准学术能力测试THUSSAT2019年3月理科数学试卷(含答案)
，满足 f ( x) xf ( x) （其中 f ( x) 为函数 f ( x) 的导函数） ，则下列 10．已知函数 y = f ( x) 对任意的 x ( 0 ， + ） 不等式成立的是（ A． 2 f ( ) f (1) ） B． 2 f ( ) f (1)
x − y − 2 0 1 4．设变量 x, y 满足约束条件 x + y 0 ，则 z = x − y 的最大值为（ 2 x + 2 y − 4 0
C． g ( x) = sin( 2 x +
6
)
D． g( x) = cos2x
−x
8．定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x + 3) = f (3 − x) ，当 x (−2,0) 时， f ( x) = e ，则 f (
3
2019 ) =（ 2
3 2
）
A． e 2 9．函数 y =
B． 1, 2,3 C． 0,1, 2,3
1
x
-1
O
1
x
-1 O
1
x
-1 O
1
x
D．
x 0 x 3
）
A
B
C
D
3．已知，命题 p : x R ，都有 ln x 0 ；命题 q : x 0 ，总有 sin x x ．则下列命题中是真命题的是（ A． p q B． ( p ) q C． p ( q ) D． ( p ) ( q )
3
2
．
16．要设计一容积为 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积是下底面的单位面 积造价的一半， 而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半． 储油罐的下部圆柱的底面 半径 R = 造价最低．