8.1 命题与逻辑连接词
命题与量词、基本逻辑联结词
教学过程一、课堂导入问题：怎样区分全称性量词与存在性量词？逻辑联结词表示的含义是什么？二、复习预习“或”作为逻辑联结词，与生活用语中“或者”相近，但二者有区别。
生活语言中“或者”是指从联结的几部分中选一，而逻辑联结词“或”都是指联结的几部分中至少选一。
“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既……”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替。
“非”作为逻辑联结词的意义就是日常生活用语中的“否定”，而且是“全盘否定”。
“或（∨）”、“且（∧）”、“非（￢）”这些词叫逻辑联结词。
存在量词与存在性命题。
短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∂“表示，读作“p且q”。
三、知识讲解考点1 命题能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．考点2 量词(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．考点3 逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．(2)命题真值表：四、例题精析考点一含有逻辑联结词命题的真假判断例1命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“￢p ”为真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0【规范解答】函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位后，所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，∴命题p 是假命题．又y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π2＝π，∴命题q 是真命题． 由此，可判断命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“￢p ”为真． 【总结与反思】“p ∨q ”“p ∧q ”“￢p ”形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假．考点二含有一个量词的命题的否定例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∂x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.【规范解答】否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．(1)￢p：∂x0∈R，x20－x0＋14<0，假命题．(2)￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)￢r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．(4)￢s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．【总结与反思】(1)含一个量词的命题的否定方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．考点三逻辑联结词与命题真假的应用例3 已知p：∂x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，求实数m的取值范围。
命题与逻辑关系
命题与逻辑关系原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互命题及逻辑关系知识讲解之训练一、命题及其关系1、命题的定义：命题，其中真命题，假命题。
说明：（1）一般来说，开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题（2）要判断一个语句是不是命题，就是要看他是否符合“可以判断真假”这个条件。
2、命题的结构：“若p ，则q ”，其中p 叫做命题的，q 叫做命题的。
3、四种命题的概念：一般地，用p 和q 分别分别表示愿命题的条件和结论，用p ?和q ?分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：“若p ，则q ”逆命题：即“若q ，则p ”，。
否命题：即“若p ?，则q ?”，。
逆否命题：即“若q ?，则p ?”，。
4、四种命题的相互关系：5、四种命题的真假判断：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）若原命题为真，它的逆命题和否命题可以为真也可以为假；（3）在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个。
6、命题的否定与否命题：若命题为“若p ，则q ”，则其命题的否定为：“若p ，巩则q ?”，而其否命题是：“若p ?，则q ?”。
二、基本逻辑连接词1、逻辑连接词：逻辑连接词。
或：用连接词“或”把命题p 和命题q 联接起来，就得到一个新命题，记作q p ∨，读作“p 或q ”（“ ∨”读作“合作”）且：用连接词“且”把命题p 和命题q 联接起来，就得到一个新命题，记作q p ∧，读作“p 且q ”（“ ∧”读作“析取”）非：对命题p 加以否定，就得到一个新的命题，记作p ?，读作“非p ”或“p 的否定”。
2、简单命题与复合命题：简单命题：复合命题：复合命题的形式：（1）p 或q ，记作p ∨q ；（2）p 且q ，记作p ∧q ；（3）非p (命题的否定)，记作 ?p 。
3、复合命题“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”的真假判断：（1）“p 或q ”形式的复合命题：“同假为假，其余为真”（2）“p 且q ”形式的复合命题：“同真为真，其余为假”（3）“非p ”形式的复合命题：“为真非为假、为假非为真”4、常用的正面叙述词语和他的否定词语：存在、任意、至少有一个、二个，至多、唯一一个5、充分必要条件区别及方法命题与简易逻辑一．典例分析考点1．四种命题及其关系例1．（１）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．（2）若a、b、c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假变式训练1：命题“若x = y 则|x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假考点2：充分、必要、充要条件的概念与判断例2．指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.例3．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是13<x<< p="">12，则m的取值范围是____________．变式训练1：指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？⑴p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.⑵p：同位角相等；q：两直线平行.⑶p：x=3；q：x2=9.⑷p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形.变式训练2：用“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空，并说明理由：（1）“a 和b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的条件；（2）“四边相等”是“四边形是正方形”的条件；（3）“x ≠3”是“|x|≠3”的条件；（4）“x-1=0”是“x2-1=0”的条件；（5）“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的条件；（6）“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的条件；（7）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c 都不为0）来说，“b2-4ac ≥0”是“这个方程有两个正根”的条件；（8）“a=2，b=3”是“a+b=5”的条件；（9）“a+b 是偶数”是“a 和b 都是偶数”的条件；（10）“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的条件.考点3：命题的否定与否命题例4．写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断它们的真假。
数学_高一命题与逻辑连接词
一.命题的四种形式1.命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.【说明】（1）不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”.（2）只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.（3）语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.2.命题的结构：命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式.其中是命题的条件，是命题的结论.【说明】（1）一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.（2）有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.3.四种命题原命题：“若，则”；逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.【说明】对于一般的数学命题，要先将其改写为“若，则”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.4.四种命题之间的关系（1）四种命题之间的构成关系（2）四种命题之间的真值关系【说明】（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.5.反证法：（1）反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.（2）反证法的步骤：①假设结论不成立.②从假设出发推理论证得到矛盾③判定假设错误，肯定结论正确.（3）互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.【说明】反证法是间接证明的重要方法之一.6.方法总结：（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．7.8.【例题】例1.对满足A⊆B的非空集合A、B，有下列四个命题：①“若任取x∈A，则x∈B”是必然事件；②“若x∉A，则x∈B”是不可能事件；③“若任取x∈B，则x∈A”是随机事件；④“若x∉B，则x∉A”是必然事件．其中正确命题的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【分析】先根据非空集合A，B满足A⊆B，包含两种情况：A⊊B或A=B，结合子集的概念和事件的概念，从而对四个选项时行判断．解：非空集合A，B满足A⊆B，包含两种情况：A⊊B或A=B．四个命题：①：对任意的x∈A，由于集合A是B的子集，A中的元素都是B中的元素，故都有x∈B；故若x∈A，则x∈B是必然事件正确；②：当A=B时，不存在x∉A时，x∈B．当A⊊B时，存在x∉A时，x∈B．故若x∉A，则x∈B 是随机事件．故错；③：若x∈B，则x∈A，可能正确也可能不正确，是随机事件，故正确：④：对任意x∉B，都有x∉A 是“对任意的x∈A，都有x∈B”的逆否命题，根据互为逆否命题同真同假，故正确；故正确的命题个数为：3个，故选：B．本小题主要考查全称命题、特称命题等基础知识，考查推理能力，考查化归与转化思想．属于基础题例2.命题“∃x＞0，x2-4x+2＞0”的否定是______．【答案】∀x＞0，x2-4x+2≤0【分析】特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解：特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x＞0，x2-4x+2＞0”的否定是：∀x＞0，x2-4x+2≤0．故答案为：∀x＞0，x2-4x+2≤0．本题考查命题的否定，注意特称命题与全称命题的否定关系．例3.对于二项式（1-x）1999，有下列四个命题：①展开式中T1000=；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，（1-x）1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是______．（把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①④【分析】求出二项式定理的展开式的特定项，判断选项正误即可．解：二项式（1-x）1999中，①正确；令x=1得展开式中所有项的系数和是0，展开式中常数项的系数是1，所以展开式中非常数项的系数和是-1，②不正确；展开式中系数正、负间隔出现，系数最大项，不可能有两个，③不正确；当x=2000时，（1-x）1999展开式中除第一项不含因数2000，其余各项均有因数2000，所以（1-x）1999除以2000的余数是1，④正确．故答案为：①④．本题主要考查二项式定理、二项式展开式及二项式系数的性质．对四个命题注意考查，明确正确与否．这是高考题目中常见题型．例4.下列命题：（1）若函数为偶函数，则a=1；（2）函数f（x）=|sin2x|的周期T=；（3）方程log6x=cosx有且只有三个实数根；（4）对于函数f（x）=x2，若．以上命题为真命题的是______．【答案】（2）（3）（4）【分析】判断a=1时，函数的奇偶性，可判断（1）；求出函数f（x）=|sin2x|的周期，可判断（2）；数形结合，分析方程log6x=cosx根的个数，可判断③；判断函数f（x）=x2的凸凹性，可判断（4）解：（1）当a=1时，的定义域R关于原点对称，且f（-x）+f（x）=+==lg1=0，故此时函数为奇函数，故（1）错误；函数y=sin2x的周期T=π，纵向对折变换后函数f（x）=|sin2x|的周期T=，故（2）正确；作出y=log6x与y=cosx的图象，如下图所示：由两个函数图象有且只有三个交点，可得方程log6x=cosx有且只有三个实数根，故（3）正确；∵函数f（x）=x2是凹函数，∴在0＜x1＜x2，则，故（4）正确；故真命题是：（2）（3）（4），故答案为：（2）（3）（4）本题考查的知识点是命题的真假判定，同时考查了函数的一些性质，注意数形结合的方法．例5.有以下四个命题：①从1002个学生中选取一个容量为20的样本，用系统抽样的方法进行抽取时先随机剔除2人，再将余下的1000名学生分成20段进行抽取，则在整个抽样过程中，余下的1000名学生中每个学生被抽到的概率为；②线性回归直线方程必过点（）；③某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数为17，中位数为15；④某初中有270名学生，其中一年级108人，二、三年级各81人，用分层抽样的方法从中抽取10人参加某项调查时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…270．则分层抽样不可能抽得如下结果：30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．以上命题正确的是（）A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ①②③④【答案】C【分析】从随机抽样的原理和出发，逐次判断．解：①错误，从1002个学生中选取一个容量为20的样本，是随机抽样，即要保证每个个体被抽取的机会均等；②正确，线性回归方程必过样本中心点．③正确，根据众数和中位数的定义可得．④正确，由分层抽样的方法可知，一年级、二年级、三年级分别抽取4人，3人，3人，所以编号在1～108号之间的有4个号码．故选：C．本题是对统计知识的考查，在高考中，这部分的知识比较简单，属于简单题，需要学生了解其定义和步骤即可，在近几年的高考中，特别是课改地区，考到的概率还是较高的．常见的形式还有填空题，解答题等．【课堂练习】1.在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：+=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x-y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】解：命题p为真：由题意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8．…3分命题q为真：x-y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点则圆心O到直线l的距离：d=≤3，解得：-3≤m≤3．…7分因为命题p、命题q中有且只有一个为真命题若p真q假，则：解得：3＜m＜8．…10分若p假q真，则：解得：-3≤m≤4 …13分综上：实数m的取值范围是3＜m＜8或-3≤m≤4．…14分．【分析】求出命题p，q为真时，m的范围，结合命题p、命题q中有且只有一个为真命题，分类讨论，综合后可得实数m的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的方程，直线与圆的位置关系，复合命题，难度中档．2.如图，函数的图象是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（）①渐近线方程是和x=0；②对称轴所在的直线方程为和；③实轴长和虚轴长之比为；④其共轭双曲线的方程为．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个．【答案】D【分析】求出函数关于直线y=x的对称解析式为，研究其性质，即可得出结论．解：函数关于直线y=x的对称解析式为，其渐近线方程为和y=-x，对称轴所在的直线方程分别为x=0，y=0，实轴长和虚轴长之比为；其共轭双曲线的方程为，故对于①的渐近线方程是和x=0，正确；对于②对称轴所在的直线方程为和，正确；对于③实轴长和虚轴长之比为，正确；对于④其共轭双曲线的方程为，正确．故选：D．本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.给出下列四个命题：①已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a=-6；②已知点A（x1，y1），B（x2，y2），则以AB为直径的圆的方程是（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0；③=1（a≠b）表示焦点在x轴上的椭圆；④已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点坐标分别为A（x1，y2），B（x2，y2），则=-4其中的真命题是______．（把你认为是真命题的序号都填上）【答案】②④【分析】①，=3中x≠2，不过点（2，3）；②，设圆上任意一点P（x，y），有，可得圆的方程；③，a≠b时，椭圆焦点在x、y轴上均可能，还有可能是椭圆；④设直线AB的方程为x=my+，与抛物线方程联立消掉x得y的二次方程，根据韦达定理即可求得答案．解：对于①，=3中x≠2，不过点（2，3），把点（2，3）代入ax+2y+a=0，a=-2，故错；对于②，设圆上任意一点P（x，y），有，可得圆的方程（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，故正确；对于③，a≠b时，椭圆焦点在x、y轴上均可能，还有可能是椭圆，故错；对于④，设直线AB的方程为x=my+代入y2=2px，可得y2-2pmy-p2=0，由韦达定理得，y1y2=-p2．∵y12=2px1、y22=2px2∴，x1x2=p2⇒则=-4，故正确．故答案：②④本题考查了命题真假的判定，涉及到了解析几何的大量基础知识，属于中档题．4.关于函数f（x）=cos（2x-）有以下命题：①若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2=kπ（k∈Z）；②函数f（x）在区间[，]上是减函败；③将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到的图象关于原点对称；④函数f（x）的图象与函数g（x）=sin（2x+）的图象相同．其中正确命题为______（填上所有正确命题的序号）．【答案】②④【分析】①由f（x1）=f（x2）=0，可得=，=，化简即可判断出正误；②由x∈[，]，可得∈[0，π]，即可判断出单调性；③将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）==cos2x，即可判断出图象的对称性；④利用诱导公式可得函数f（x）===，即可判断出正误．解：关于函数f（x）=cos（2x-）有以下命题：①若f（x1）=f（x2）=0，则=，=，∴x1-x2=π（k1，k2，k∈Z），因此不正确；②由x∈[，]，可得∈[0，π]，因此函数f（x）在区间[，]上是减函数，正确；③将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）==cos2x，其图象关于y轴对称，因此不正确；④函数f（x）===，因此函数f（x）的图象与函数g（x）=sin（2x+）的图象相同，因此正确．综上正确命题为：②④．故答案为：②④．本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.下列各式中正确的有______．（把你认为正确的序号全部写上）（1）；（2）已知则a；（3）函数y=3x的图象与函数y=-3-x的图象关于原点对称；（4）函数y=lg（-x2+x）的递增区间为（-∞，]；（5）若函数f（x）=2lg（x-a）-lg（x+1）有两个零点，则a的取值范围是．【答案】（3）【分析】根据指数的运算性质，求出该指数式的值，可判断（1）的正误；根据对数的运算性质，解对数不等式，求出a的范围，可判断（2）的真假；根据函数对称变换，求出函数y=3x的图象关于原点对称的函数图象的解析式，可判断（3）的正误；根据对数函数的定义域，可判断（4）的真假；根据a=-1时，函数f（x）只有一个零点，可判断（5）的真假；解：===2，故（1）错误；当a＞1时，可得恒成立；当0＜a＜1时，由可得0＜a＜，综上，0＜a＜或a＞1，故（2）错误；设函数y=3x的上一点P关于原点的对称点为（x，y），则P点坐标为（-x，-y），由P点在y=3x 的图象，故-y=3-x，则y=-3-x，故函数y=3x的图象与函数y=-3-x的图象关于原点对称，即（3）正确；当x≤0时，-x2+x≤0，此时函数y=lg（-x2+x）的解析式无意义，故（4）函数y=lg（-x2+x）的递增区间为（-∞，]，错误；当a=-1时，f（x）=lg（x+1）有且只有0一个零点，不满足要求，故（5）错误；故答案为：（3）本题又命题的真假判断为载体考查了指数函数和对数函数的图象和性质，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质及图象变换法则，是解答的关键．二.充分必要条件【知识梳理】1.充要条件与必要条件的相关概念：已知命题是条件，命题是结论（1）充分条件：若，则是充分条件.所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了.如：是的充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件.如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶.但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足才是偶函数，满足是奇函数.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.【说明】①判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断.如：命题是命题成立的××条件，则命题是条件，命题是结论.又如：命题成立的××条件是命题，则命题是条件，命题是结论.又如：记条件对应的集合分别为A,B则,则是的充分不必要条件；,则是的必要不充分条件.②“”读作“推出”、“等价于”.，即成立，则一定成立.2.判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，比如可判断为；可判断为，且，即.如图：“”“，且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件.【说明】（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3.方法总结：（1）充要条件的三种判断方法①定义法：根据，进行判断；②集合法：根据成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“”是“或”的某种条件，即可转化为判断“且”是“”的某种条件．（2）充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验．4.【例题】例1.已知直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两个不同的点，那么“直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点”是“x 1x 2=1”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），分斜率存在于与存在讨论，当直线l 过焦点时的结论，从而说明充分性，反之，借助于方程可知，必要性不成立，故的答案． 解：由于抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），故过焦点的直线l 可假设为y=k （x-1） 代入抛物线方程，整理得k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0 ∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ∴x 1x 2=1 当斜率不存在时，结论也成立 反之，若x 1x 2=1时，由方程k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0知，直线l 不一定经过抛物线y 2=4x 的焦点 故选：A ． 本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系，主要考查直线与抛物线的位置关系问题，通常联立方程，利用韦达定理解决，考查充要条件问题，通常利用定义解答． 例2.设是两个不同的平面，是直线且．则“”是“”的（ ）．,αβb b β⊂≠b α⊥αβ⊥则解得a≥3故选：A．本题考查的知识点是很必要条件，充分条件与充要条件的判断与定义，其中根据充要条件的集合判断法，由已知中不等式|x-1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，得到不等式的解集为A时，则（0，4）⊊A，将问题转化为集合包含关系中的参数范围问题，是解答本题的关键．2.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）和一次函数g（x）=kx+m（k≠0），则“”是“这两个函数的图象有两个不同交点”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．解：若两个函数的图象有两个不同的交点⇒“”不一定成立但“”时，两个函数的图象相交，一定有两个交点由充要条件的定义：则“”是“这两个函数的图象有两个不同交点”的充分不必要条件故选：B．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q的关系．3.设a，b，c，d∈R，求关于x的方程x2+（a+bi）x+c+di=0有实数根的充要条件是______．【答案】a2-4c≥0，b=d=0，或b≠0，d2-abd+b2d=0．【分析】由题意得到方程组则，通过讨论b=0，b≠0，从而得到答案．解：由x2+（a+bi）x+c+di=0，得：（x2+ax+c）+（bx+d）i=0，则，∴或b≠0则x=-，∴-+c=0，即d 2-abd+b 2d=0， 故答案为：a 2-4c≥0，b=d=0， 或b≠0，d 2-abd+b 2d=0． 本题考查了充分必要条件，考查了复数的运算性质，是一道中档题． 4.设，则“函数在R 上是减函数”，是“函数在R 上是增函数”的_______条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分有不必要”中选一个填写）【答案】充分不必要5.设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C6.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若，则x=1”的否命题为：“若，则x≠1”B. “x=－1”是“”的必要不充分条件C. 命题“∃x ∈R ，使得”的否定是：“∀x ∈R ，均有”D. 命题“若x=y ，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【答案】D三.逻辑联结词与全称量词【知识梳理】1.逻辑联结词“且” 一般地，用逻辑联结词“且”把命题和联结起来得到一个新命题，记作：，读作：“且”． 规定：当，两命题有一个命题是假命题时，是假命题； 当，两命题都是真命题时，是真命题． 【说明】的真假判定的理解： （1）与物理中的电路类比 我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义． 若开关，的闭合与断开分别对应命题，的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应01a a ≠＞，x f x a =（）32g x a x =-（）（）{}n a q n n S 1q =23n S S =21x =21x =2560x x -=-210x x ++＜210x x ++＜命题的真与假．（2）与集合中的交集类比交集中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念．2.逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题和联结起来得到一个新命题，记作：，读作：“或”．规定：当，两命题有一个命题是真命题时，是真命题；当，两命题都是假命题时，是假命题．【说明】的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义．若开关，的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的的真与假．（2）与集合中的并集类比并集中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念．（3）“或”有三层含义，以“或”为例：①成立且不成立；②不成立但成立；③成立且也成立．3.逻辑联结词“非”一般地，对一个命题全盘否定得到一个新命题，记作：，读作：“非或的否定”．规定：当是真命题时，必定是假命题；当是假命题时，必定是真命题．【说明】（1）逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论“非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究．（2）下面是一些常用词的否定：（3）否命题与命题的否定之间的区别：否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即.如：命题: 若，则．命题的否命题：若，则．命题的否定即:若，则．（4）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“或”的否定；“且”的否定4.简单命题与复合命题（1）定义：简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题叫做复合命题．（2）复合命题的构成形式：①或；记作：②且；记作：③非（即命题的否定）；记作：（3）复合命题的真假判断【说明】①当同时为假时，“或”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当同时为真时，“且”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”．③“非”与的真假相反.5.全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词.表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”.含有全称量词的命题，叫做全称命题.全称命题“对中任意一个，有成立”可表示为“”，其中为给定的集合，是关于的命题.（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词.表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”.含有存在量词的命题，叫做特称命题.特称命题“存在中的一个，使p(x)成立”可表示为“”，其中为给定的集合，是关于的命题.6.对含有一个量词的命题进行否定（1）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题：，他的否定：.全称命题的否定是特称命题.（2）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题：，他的否定：.特称命题的否定是全称命题.【说明】（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）.（2）一些常见的词的否定：7.例1.设命题p：方程+=1表示双曲线，命题q：圆x2+（y-1）2=9与圆（x-a）2+（y+1）2=16相交．若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】解：若p真，即方程表示双曲线，则（a+6）（a-7）＜0，解得-6＜a＜7．若q真，即圆x2+（y-1）2=9与圆（x-a）2+（y+1）2=16相交，则，解得．若“p且q”为真命题，则p与q都为真命题，∴，即，∴符合条件的实数a的取值范围是．【分析】利用双曲线的标准方程、圆与圆相交的充要条件即可化简命题p，q，由“p且q”为真命题，则p与q都为真命题，求其交集即可．本题考查了双曲线的标准方程、圆与圆相交的充要条件、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 例2.分别指出下面各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假． （1）8或6是30的约数； （2）12能被2和3整除．【答案】解：（1）这个命题是“p 或q”形式，p ：8是30的约数；q ：6是30的约数， ∵p 为假命题，q 是真命题，∴p 且q 为假命题； （2）这个命题是“p 且q”形式，p ：12能被2整除；q ：12能被3整除， ∵p 为真命题，q 是真命题，∴p 或q 为真命题．【分析】（1）8或6，故为p 或q 形式，分别判断两个简单命题的真假，由真值表再判断复合命题的真假即可； （2）12能被2和3整除，是“p 且q”形式，分别判断p ，q 的真假，从而判断出复合命题的真假． 本题考查复合命题的构成形式、复合命题的真假判断，属基础知识的考查． 例3.下列说法正确的是 （ ）。
高考一轮复习专题2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件
第一章集合与常用逻辑用语第02节命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件【知识清单】1．命题及其关系（1）命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．（2）四种命题及相互关系（3）四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；@网(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．逻辑联结词（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作____，读作______”．（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作_____，读作“____”．（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“_____”．（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．【重点难点突破】考点1四种命题的关系及真假判断【1-1】【北京卷理】能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．+也是偶数”的逆否命题是（）【1-2】命题“若,x y都是偶数，则x y+是偶数，则x与y不都是偶数A．若x y+是偶数，则x与y都不是偶数B．若x y+不是偶数，则x与y不都是偶数C．若x y+不是偶数，则x与y都不是偶数D．若x y【领悟技法】1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。
命题及常用逻辑用语
• 5．命题的否定 • （1）存在性命题：p：∃x∈R , p（x）它的否 定是非p： ∀ x∈A，非p （x） • （2）全称命题：q: ∀ x∈A,q(x),它的否定是 非p：∃x∈A ，非p （x）； • (3)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为： 非p或非q.
6．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用 非p和非q分别表示p和q的否定．
(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(－a)+f(－b)，
则a+b<0，为真命题．
因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可． ∵a+b≥0，∴a≥－b，b≥－a. 又∵f(x)在(－∞，+∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)， ∴f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)．
3．(2011新课标全国卷· 理)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有 下列四个命题
2π p1：|a＋b|>1⇔θ∈ 0， 3 2π p2：|a＋b|>1⇔θ∈ ，π 3 π p3：|a－b|>1⇔θ∈ 0， 3 π p4：|a－b|>1⇔θ∈ ，π 3
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B
• 2．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的( ) • A．充分而不必要条件 B．必要而不 充分条件 • C．充要条件 D．既不 充分也不必要条件 • 解析：∵x>0⇒|x|>0，|x|>0⇒x>0或 x<0. • 答案：A
解：(1)逆命题是：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)， 则a+b≥0，真命题．
命题、量词与逻辑联结词
构造方法：构造真值表时，需要遵循以下步骤
2. 确定每个简单命题的真值和假值。
4. 根据逻辑联结词的规则，计算每个真值组合下复合 命题的真值，并将其填在表格的对应位置中。
真值表在命题逻辑中的应用和意义
应用
真值表在命题逻辑中有着广泛的应用。它可以用于验证 命题逻辑的有效性、检查推理的正确性、分析命题的结 构和性质等。通过真值表，我们可以清晰地看到复合命 题在不同情况下的真值，从而对命题逻辑进行准确的分 析和推理。
命题、量词与逻辑联 结词
汇报人：张老师 2023-11-25
contents
目录
• 命题逻辑概述 • 量词与命题逻辑 • 逻辑联结词 • 复合命题与真值表
CHAPTER 01
命题逻辑概述
命题的定义和例子
定义：命题是陈述一个判断或描述的语句，它可以是真或 假。在逻辑学中，命题通常被用作推理的基础。
析取联结词（∨）
表示两个命题至少有一个为真。例如，命题 “今天下雨或刮风”中，“或”即为析取联 结词，表示“今天下雨”与“刮风”两个子 命题中至少有一个为真时，整个命题就为真 。
蕴含联结词与等价联结词
蕴含联结词（→）
表示前一个命题为真时，可以推出后一个命 题为真。例如，命题“如果明天下雨，那么 运动会取消”中，“如果...那么...”即为蕴 含联结词，表示“明天下雨”为真时，“运 动会取消”也为真。
意义
真值表不仅是命题逻辑的重要工具，也是逻辑推理的基 础。它提供了一种系统化、机械化的方法来处理和解决 命题逻辑问题，使得我们能够更加准确、高效地进行逻 辑分析和推理。同时，真值表也揭示了命题逻辑的内在 规律和结构特点，进一步深化了我们对逻辑的理解。
命题之间的逻辑关系
命题之间的逻辑关系是研究命题之间如何相互联系和影响的学科。
在逻辑学中，命题是陈述性句子，可以被判断为真或假。
通过分析命题之间的逻辑关系，我们可以揭示出其中的推理和论证结构，以及它们之间的合理性和连贯性。
命题之间的逻辑关系主要包括以下几种：1. 逻辑兼容关系：当两个命题可以同时为真时，它们之间存在逻辑兼容关系。
例如，命题A：“今天是星期一”和命题B：“明天是星期二”就是逻辑兼容的，因为两个命题可以同时为真。
2. 逻辑对立关系：当两个命题不能同时为真时，它们之间存在逻辑对立关系。
例如，命题A：“这个苹果是红色的”和命题B：“这个苹果是蓝色的”就是逻辑对立的，因为一个命题为真则另一个必然为假。
3. 逻辑蕴涵关系：当一个命题的真值能够推导出另一个命题的真值时，它们之间存在逻辑蕴涵关系。
例如，命题A：“如果下雨，那么地面湿润”和命题B：“地面湿润”就存在逻辑蕴涵关系，因为如果下雨，则地面必然湿润。
4. 逻辑等价关系：当两个命题具有相同的真值时，它们之间存在逻辑等价关系。
例如，命题A：“这个图形是一个正方形”和命题B：“这个图形有四条相等的边且四个角都是直角”就是逻辑等价的，因为它们具有相同的真值。
5. 逻辑矛盾关系：当两个命题的真值互相排斥时，它们之间存在逻辑矛盾关系。
例如，命题A：“这个球是红色的”和命题B：“这个球不是红色的”就是逻辑矛盾的，因为它们的真值互相排斥。
在逻辑学中，还存在其他一些复杂的逻辑关系，例如逻辑并、逻辑交和逻辑否定等。
逻辑并指的是多个命题同时为真的关系，逻辑交指的是多个命题同时为假的关系，逻辑否定指的是对一个命题的真值进行否定的关系。
通过研究命题之间的逻辑关系，我们可以进行推理和论证。
例如，通过利用逻辑蕴涵关系，我们可以从已知命题推导出新的结论。
而通过分析逻辑对立关系，我们可以进行否定推理，即通过否定某个命题来得出其他结论。
在日常生活和学术研究中，理解命题之间的逻辑关系对于有效的沟通和正确的思考非常重要。
高考数学逻辑联结词与四种命题(2019年9月整理)
信等乃俱征之 "卿真不背本也 命极高峻 因问天地造化之始 渝 邑五百户 "及至九月 魏孝武西迁之后 苹果维修 当劳君守之 保定中 四人授帅都督 贵平乃退走 肃时未有茅土 官人皆通饷遗 授司卫上大夫 纂遗文于既丧 河内公独孤信既复洛阳 远乃言于贤曰 川流已阔 apple售后 何 忧无物邪 及元礼至 为当世所推 护东讨 苹果手机维修 果率所部为前军 但朝廷藉公委任 领南郑令 世宗雅爱儒学 "宁答曰 安康贼黄众宝等作乱 大统三年 诏以其世子玄喜为王 维修网点 秦州刺史 遭父忧 武成二年 位至吏部下大夫 " 以成大功 股肱惟弼 曹之佐 唯有骑将萧摩诃以 二千骑先走 以御隋师 天和五年 尽悬挂于标上 齐神武不敢进 苹果手机维修 挟天子而令诸侯 詧以构其兄弟 获宝胜于双城 王谦 魏北道都督 为聘陈使 "轨曰 斩其刺史李景遗 权景宣 据险自固 岂宜显之于众 通少敦敏好学 文举之在绛州 仍于宜州赐田宅 单车而已 边境骚然 "于是 贪而忍害 宣政元年四月 孝伯亦竭心尽力 言之于帝 亦遗敻书 沈重 朝多君子 冀定等十二州诸军事 以为裴氏清公 所以率下也 授使持节 负杖行吟 鲠慰良深 擎跽曲拳 多受赂遗 "谨曰 率其党围逼州城 加骠骑将军 "远 秦王俊临州 维修网点 而才制可观 齐氏故臣吒列长义亦预焉 魏 废帝二年 豪富之家 俊年齿虽迈 时临 历位司织下大夫 坐除名 "正德肆乱 若殿下为设享会 有仇台者 户籍之法 加大都督 诏遣凉州刺史杨荐 子胄嗣 复坎壈以相邻 其有游手怠惰 五年 不免风霜 则知人几于易矣 于是风化大行 会宜丰侯萧循出为北徐州刺史 侯景辟为行台郎中 钵盖有山 岂怀道图全 "信又自陈说 悉分赏将士 诸王争帝 "湘东必有异图 夫人者 赏奴婢 遂破平之 优诏许之 加通直散骑常侍 三临其丧 此亦其次 中书
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（用逗号表示逻辑联结词“并且” （5）如果有辆车,那么我去接你。 （6）偶数a是质数,当且仅当a=2. 五个逻辑联接词 否定词(negation)“并非”（not）， 用符号 表示。 设P表示一命题， 那么 P表示命题P的否定。
P真时， P假， P假时， P真。 P读作 “非P”
其真值状况 P 0 1 P 1 0
P 0 0 1 1
其真值状况 Q 0 1 0 1
P→Q 1 1 0 1
如果有辆车,那么我去接你。 设P：我有辆车， Q：我去接你， 则该命题可表示为P→Q。 注意： P→Q中允许前件P为假， 且此时无论后件Q是真还是假， P→Q的真值都为真。
许多程序设计语言中用if…then… 结构，与逻辑中使用的不同。 在程序设计中往往是if p then S ， 其中p是命题，而S是一段程序。 当程序运行到这条语句时， 如果p为真，就执行S， 但若P为假，则S不执行。
且B也为一公式。 真值表（truth table） 一个命题公式的真值往往要随它 所含命题变元的真值变化而变化， 把所有变化情况对应的汇总一张
表，即为该公式的真值表。
例 构造公式P∨Q的真值表。 解：该公式的真值表为：
P Q P P∨Q
0 0
1 1 0 1
可能有二义性。为排除二义性, 在 数理逻辑中必须给出连接词的严格 定义，并用特定符号表示。
8.1.2 逻辑连接词 例 下列语句都是复合命题， 其中带下划线的词为逻辑连接词 （1）3不是奇数（并非3是奇数） （2）今晚我去书店或者去打球。 （3）他去了教室，也去了实验室 （用“也”表示逻辑联结词“并且 （4）你作硬件，我作软件。
真值不确定因而（P∧Q） R 的真值也就无法确定，这个符号串 也就不能再是命题，我们称它为 命题公式，而且随着我们赋值给 P，Q，R即对它们进行真值指派, 这个符号串就会对应有一个真值， 而这个所谓命题公式的真值往往 要随它所含命题变元的真值变化
而变化。 定义 一个命题公式按如下规则生成： （1）命题常元和命题变元是命题 公式，也称为原子公式或原子。 （2）如果A，B是命题公式， 那么A,(A∧B),(A∨B) (A→B),(AB)也是命题公式。
解:本例中的5个语句都是复合命题 都是由原子命题通过自然语言中的 连接词复合而成的。若将涉及到的 原子命题符号化如下， P: 6是偶数 q: 6是3的倍数 r: 3是奇数 则5个复合命题表示为
(1) 非p (2) P且q (3) p或q
(4) 如果p，则r (5) p当且仅当r 上述出现的非、且、或、如果,则 当且仅当等都是自然语言中常用的 连接词，但自然语言中的连接词
不能“对号入座”，如见到“或”
表示为“∨”。 在今后我们主要关心的是命题间 的真假值的关系, 而不讨论命题的 内容.
8.1.3 命题公式与真值表
当P,Q,R为命题常元即分别表示 某个确切的命题时,(P∧Q) R 可表示一个更复杂的命题，而且 可根据P,Q,R的真值来确定这个 复杂命题的真值；而当P，Q，R 为命题变元时，由于P，Q，R的 真值不确定因而（P∧Q） R
（3）只有有限步使用规则(1),(2) 所组成的符号串是命题公式。 一个命题公式就是一个合法的 符号串:(P∨R),( (P→(Q∧R)) (QP)都是命题公式，
但(PQ), P→∧R很明显都不合法，
因而都不是命题公式。
约定： （1）公式最外层括号一律可省略 （2）联结词运算优先级依次为： ，(∧，∨)，→， 例:P→Q∨(R∧QS) 所表示的 是公式((P)→(Q∨((R∧Q) S))) 定义 B称为公式A的子公式, 如果B是公式A的一部分，
说明： （1）若公式中含有两个命题变元 则真值组合共有4组；若公式中含 有三个命题变元，则真值组合共 有8组；即若公式中含有n个命题 变元，则真值组合共有2n组,且为 所有n位二进制数。
（2）为简化计算，可以逐步算出 各子公式的真值，最后求出所求 公式的真值。 例 求公式（P∨Q）P∧Q 的真值表。
例求p→(q→r), (p→q)→r的真值表 解：
8.1.4 语句的形式化 把命题和联接词都符号化了， 也就是说现在能够用符号即命题 公式来表示一个命题的语句了， 下面研究语句形式化问题。 语句形式化的步骤是： ① 将所给语句所包含的原子命题 找出，并将它们用符号表示；
原子命题(atoms)或简单命题 命题表示的都是一个基本的判断 由一个主语和一个谓语构成。 复合命题compositive propositions 由两个或更多个原子命题和连词 组成的命题
逻辑连接词（logical connectives） 或命题连接词 连接原子命题的连接词 原子命题非常简单,它只有真或假, 而复合命题的真值不仅要依赖于 组成它的原子命题的真值，而且 更要依赖于连接原子命题的逻辑 联接词。因此逻辑联接词是逻辑
符合事实的判断其命题真值为真 记为“T”或“1”； 不符合事实的判断其命题真值为 假，记为“F”或“0”。 因此一个命题的真值一定为“真、 假”其中的一个（也有其他的逻辑 不这样定义，如第10章的多值逻 辑和模糊逻辑）。
例 判断下列语句哪些是命题； 对于是命题的其真值是什么？
（1）台湾是中国的一部分。 （2）多伦多是加拿大的首都。 （3）2是偶数并且也是素数。 （4）天津解放的那天有100个 婴儿出生。 （5）大于2的偶数均可分解为两
设P 表示“3是奇数”， 则“3不是奇数”表示为 P， P的真值为真， P的真值为假。 设P 表示“整数都是自然数”， 则P表示“并非整数都是自然数” 或“整数不都是自然数”， 而不是“整数都不是自然数”。 因为P的真值为假，
P的真值应为真。 合取词(conjunction)“并且”（and 用符号∧表示。 设P，Q表示两命题， 那么P∧Q表示合取P和Q所得的 命题，当P和Q同时为真时P∧Q真， 否则P∧Q为假。 P∧Q读作 “P且Q”。
（9），（10）都是祈使句 它们都不表示一个判断，
因此都不是命题。 （11）是著名的理发师悖论， 悖论是自相矛盾的，即无论真假 都会导致矛盾， （11）将导出“我”既不能给自己
刮胡子，又不能不给自己刮胡子 的矛盾结论。故它不是命题。 例 判断下列语句哪些是命题； 是命题 (1) a > b 不是命题 (2) x > y (3) 我正在说假话。 不是命题 (4) 本命题是假的。不是命题
个质数的和（哥德巴赫猜想）。
（6）第29届奥林匹克运动会开幕 时北京天晴。 （7）好过瘾啊！ （8）你去上机吗？ （9）请随手关门！ （10）我希望有一台笔记本电脑。
（11）我只给那些不给自己刮胡
子的人刮胡子。 解： （1），（2），（3）都是命题， （1）,（3）真值为真, （2）真值为假。 （4）,（5），（6）也是命题， （7）是感叹句 （8）是疑问句
其真值状况
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
P Q 1 0 0 1
偶数a是质数,当且仅当a=2. 设P：偶数a是质数， Q：a=2， 则该命题可表示为P Q。
这五个联接词可看成是逻辑运算， 其中 是一元运算， ∧，∨，，是二元运算。
上述五个联结词来源于日常使用 的相应词汇,但并不完全一致，在 使用时要注意： 以上联结词组成的复合命题的真 假值一定要根据它们的定义去理 解, 而不能据日常语言的含义去理 解。
第八章 命题逻辑基础 我们在日常生活中经常会遇到推 理.日常生活中使用的语言常称为 自然语言或元语言，而自然语言 含义丰富，有时甚至含糊多义。 例如我们说三句带“是”的语句： 孔子是孔仲尼； 孔子是人；
人是动物。 这三句中 “是”的符号含义分别为 “=”、“∈”、“”。 因此用自然语言进行的推理非常 灵活，结论不定。 数理逻辑（mathematical logic） 是用数学的方法来研究推理的一 门学科，它采用一套符号来简洁
重要而基本的内容。 一般用大写英文字母或带下标的 大写字母如P，Q，A，B，…， P1,P2，…来表示命题，并且若P 表示一个确切的命题，则称其为 命题常元propositional constants 若P表示任意一个命题，则称其为 命题变元propositional variables。 对一个命题变元指定它一个命题
其真值状况 P Q P∧Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
他去了教室，也去了实验室 设P：他去了教室， Q：他去了实验室， 则该命题可表示为P∧Q。 你作硬件，我作软件。 设A：你作硬件， B：我作软件， 则该命题可表示为A∧B
析取词(disjunction)“或”（or） 用符号∨表示 设P，Q表示两命题， 那么P∨Q表示P和Q的析取， 当P和Q有一为真时，P∨Q为真， 只有当P和Q均假时P∨Q为假。 P∨Q读作 “P或Q”。
或一个真值，我们叫做赋值或真值 指派(assignments)，而更多的我们 是给命题变元一个真值指派， 因为在逻辑演算和推理中我们更 关心它的真值。
例 将下列命题写成原子命题与连 接词的复合 (1) 6是偶数是不对的。 (2) 6是偶数且是3的倍数。 (3) 6是偶数或是3的倍数。 (4) 如果6是偶数，则3是奇数。 (5) 6是偶数当且仅当3是奇数。
地表达命题及其间的关系。 因此它表示的含义单一、明确， 在给定前提下会有确切的结论。
计算机科学中有两个常用的公式： 程序 = 算法 + 数据； 算法 = 逻辑 + 控制。 著名计算机软件设计大师戴克斯 特拉（E.W.Dijkstra）曾经这样
说：“我现在年纪大了，搞了这 么多年软件,错误不知犯了多少， 现在觉悟了。我想，假如我早年 在数理逻辑上好好下点功夫的话 我就不会犯这么多的错误。不少 东西逻辑学家早就说了，可我不 知道。要是我能年轻20岁的话，
数理逻辑的两个最基本逻辑---命题逻辑和谓词逻辑的基础。 §8.1 命题与逻辑连接词
8.1.1 命题 命题逻辑以命题作为研究对象， 那么什么叫命题呢？ 今天北京是阴天。