斐波那契数列教学反思

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斐波那契数列的教育价值分析和教学反思

斐波那契数列是在高中必修５数列章节中以拓展资料的形式呈现出来的．由于课时紧张、不是考试内容等多方面的原因，大部分教师在数列章节的教学过程中并没有较详细地向学生介绍斐波那契数列，很多教师甚至直接在教学中略过系．［５３这些内容都反映出斐波那契数
列使数学更加系统化，能让学生感受到数学美
收稿日期：２０１７—１０１６作者简介：许世雄（１９９３一），男，云南玉溪人，在读教育硕士，研究方向：学科教学（数学）
Ｅ—ｍａｉｌ：８２４６５３４０３＠ｑｑ．ｃｏｒｎ
这些性质的证明都在高中生的数学能力范围之内．学生在证明这些性质时，会应用到类比思想和数学归纳法等数学思想、方法．学生在探索直至证明斐波那契数列性质的这一过程中，头脑中不断经历着直观感知、观察发现、归纳类比、演绎证明等思维过程．这些过程就是数学思维能力的具体体现，有助于学生形成理Ｉ生思维．２提升学生数学文化修养的价值
由于斐波那契光子筛有体积小、重量轻、多焦性等特点，在光学开关、纳米光刻、多焦成像和测距等方面有广泛应用．］由此可知，斐波那契数列是数学与物理紧密联系的一个典型实例．由于斐波那契数列本身具有自然和谐、统一的艺术美，因此在美术、设计上有着广泛应用．如在经典的苹果ｌｏｇｏ中，它的每一条曲线都是斐波那契数（１，２，３，５，８，１３）为半径的圆相切而组成的复合曲线．而与斐波那契数列紧密相关的黄金分割在美术、设计上的应用则更是数不胜数．例如达芬奇的许多经典艺术作品，《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》等，都巧妙地应用了黄金分割比例关系．１８］

斐波那契数列小结

斐波那契数列⼩结关于斐波那契数列，相信⼤家对它并不陌⽣，关于其的题⽬也不在少数。

我现在总结⼀下有关它的⼀些有趣的性质。

基础问题1.求斐波那契数列的第k项常规⽅法是利⽤f[i]=f[i-1]+f[i-2]，时间复杂度为O（n）显然最多处理到1e7假如n到1e18怎么办，O（n）显然就T飞了.我们考虑利⽤什么⽅法来加速斐波那契数列数列是其次线性递推式所以是可以利⽤矩阵乘法进⾏求解的[]1110很显然⽤[Fi,F(i-1)]乘以上⾯的矩阵是可以得到[Fi+F(i-1),Fi]这样，再利⽤矩阵快速幂就可以做到8logn求解斐波那契数列第n项了2.求Fi与Fj的最⼤公约数这⾥要⽤到⼀个神奇的性质gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]证明：这⾥的结论可以记下来，可能会有⽤3.斐波那契数列的循环节求斐波那契数列modn的循环节，我们可以在logp的时间求斐波那契数列的循环节综合问题求⼀个循环节，然后矩阵快速幂，就是⼀个模板的合集// luogu-judger-enable-o2# include<cstring># include<iostream># include<cstdio># include<cmath># include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn=1e5+5;ll dp[maxn*10];ll prime[maxn],s=0;bool vis[maxn];char ch[30000005];int len;void init_prime(){for(ll i=2;i<maxn;i++){if(!vis[i]) prime[s++]=i;for (ll j=0;j<s&&i*prime[j]<maxn;j++){vis[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0) break;}}return;}ll pow_mod(ll a1,ll b1){ll ans=1;while(b1){if(b1&1) ans=ans*a1;b1>>=1;a1*=a1;}return ans;}ll pow_mod2(ll a,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*a%p;b>>=1;a=a*a%p;}return ans;}ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}bool f(ll n,ll p){return pow_mod2(n,(p-1)>>1,p)==1;}struct matrix{ll x1,x2,x3,x4;};matrix matrix_a,matrix_b,matrix_c;matrix M2(matrix aa,matrix bb,ll mod){matrix tmp;tmp.x1=(aa.x1*bb.x1%mod+aa.x2*bb.x3%mod)%mod; tmp.x2=(aa.x1*bb.x2%mod+aa.x2*bb.x4%mod)%mod; tmp.x3=(aa.x3*bb.x1%mod+aa.x4*bb.x3%mod)%mod; tmp.x4=(aa.x3*bb.x2%mod+aa.x4*bb.x4%mod)%mod; return tmp;}matrix M(ll n,ll mod){matrix a,b;a=matrix_a;b=matrix_b;while(n){if(n&1){b=M2(b,a,mod);}n>>=1;a=M2(a,a,mod);}return b;}ll fac[100][2],l,x,fs[1000];void dfs(ll count,ll step){if(step==l){fs[x++]=count;return ;}ll sum=1;for(ll i=0;i<fac[step][1];i++){sum*=fac[step][0];dfs(count*sum,step+1);}dfs(count,step+1);}ll solve2(ll p){if(p<1e6&&dp[p]) return dp[p];bool ok=f(5,p);ll t;if(ok) t=p-1;else t=2*p+2;l=0;for(ll i=0;i<s;i++){if(prime[i]>t/prime[i]) break;if(t%prime[i]==0){ll count=0;fac[l][0]=prime[i];while(t%prime[i]==0){count++;t/=prime[i];}fac[l++][1]=count;}}if(t>1){fac[l][0]=t;fac[l++][1]=1;}x=0;dfs(1,0);sort(fs,fs+x);for(ll i=0;i<x;i++){matrix m1=M(fs[i],p);if(m1.x1==m1.x4&&m1.x1==1&&m1.x2==m1.x3&&m1.x2==0) {if(p<1e6) dp[p]=fs[i];return fs[i];}}}ll solve(ll n){ll ans=1,cnt;for(ll i=0;i<s;i++){if(prime[i]>n/prime[i]){break;}if(n%prime[i]==0){ll count=0;while(n%prime[i]==0){count++;n/=prime[i];}cnt=pow_mod(prime[i],count-1);cnt*=solve2(prime[i]);ans=(ans/gcd(ans,cnt))*cnt;}}if(n>1){cnt=1;cnt*=solve2(n);ans=ans/gcd(ans,cnt)*cnt;}return ans;}void pre(){init_prime();matrix_a.x1=matrix_a.x2=matrix_a.x3=1;matrix_a.x4=0;matrix_b.x1=matrix_b.x4=1;matrix_b.x2=matrix_b.x3=0;dp[2]=3;dp[3]=8;dp[5]=20;}int main(){ll t,n,MOD,num=0;pre();scanf("%s",ch+1);len=strlen(ch+1);scanf("%lld",&n);MOD=solve(n);for (int i=1;i<=len;i++){num=num*10+ch[i]-'0';while (num>=MOD) num-=MOD;}matrix_c=M(num,n);printf("%lld",matrix_c.x2);return 0;}Processing math: 100%。

数列课后反思模板范文

一、教学背景本周，我担任了数列课程的授课任务。

在授课过程中，我采用了讲授法、例题演示法、讨论法等多种教学方法，力求使学生在轻松愉快的氛围中掌握数列的基本概念、性质以及运算方法。

以下是本次教学反思。

二、教学过程1. 教学内容本次课程主要讲解了数列的定义、通项公式、求和公式等基本概念，以及数列的运算方法。

在讲解过程中，我注重理论联系实际，通过列举生活中的例子，帮助学生理解数列的应用。

2. 教学方法（1）讲授法：在讲解数列的基本概念时，我采用讲授法，使学生初步了解数列的定义、性质等。

（2）例题演示法：在讲解数列的运算方法时，我通过展示典型例题，引导学生掌握运算技巧。

（3）讨论法：在讲解数列的性质时，我鼓励学生积极参与讨论，共同探讨数列的性质及其应用。

3. 教学效果（1）学生对数列的基本概念有了较为清晰的认识。

（2）学生在例题演示过程中，能够熟练运用数列的运算方法。

（3）学生在讨论环节中，能够积极思考，提出自己的见解。

三、教学反思1. 教学内容方面（1）在讲解数列的定义时，我采用了生活中的例子，使学生更容易理解。

但在讲解数列的通项公式时，部分学生仍存在理解困难。

今后，我将尝试采用更直观、形象的教学方法，帮助学生掌握通项公式。

（2）在讲解数列的运算方法时，我注重引导学生思考，但在部分学生运算过程中，仍出现错误。

这说明我在讲解过程中应更加注重细节，加强学生对运算方法的掌握。

2. 教学方法方面（1）在讲授法方面，我应注重语言表达，使教学内容更加生动有趣，提高学生的兴趣。

（2）在例题演示法方面，我应选择更具代表性的例题，让学生在解题过程中体会到数列的运算技巧。

（3）在讨论法方面，我应鼓励学生大胆发言，充分调动学生的积极性，提高课堂氛围。

3. 教学评价方面（1）在课后，我通过作业、测验等方式对学生的学习情况进行评价，发现部分学生对数列的基本概念掌握较好，但在运算方面仍有待提高。

（2）针对学生的不足，我将在今后的教学中加强针对性辅导，提高学生的运算能力。

深度学习观下数列名题探究---对斐波那契数列的学习及思考

深度学习观下数列名题探究 ---对斐波那契数列的学习及思考关键词：数学思想；深度学习；历史名题；探究深度学习是学生在教师引领下，围绕着具有挑战性的学习主题，在思维、情感、意志、价值观上做到全身心投入，认真参与、积极建构、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。

教学的本质是“学”而非“教”，本质在于根据学生经验，设计出据有挑战性的问题，引发学生深度思考，提升学生高阶思维能力，关注知识与技能的同时，挖掘知识与技能背后蕴藏的数学本质，思考其体现的数学思想，最终达成学生形成和发展数学学科核心素养的目标。

斐波那契数列，数列学习中最经典的数列，来自自然，和谐而有趣。

它在2019新课标人教A版选择性必修第二册第四章数列4.1数列的概念的阅读与思考内容中呈现，主要是研究了斐波那契数列的来源（兔子数列）和递推关系，还有相邻两项的关系构成的新数列。

笔者希望能以数列核心思想作引领，从数学文化视角探究斐波那契数列，让学生通过自主探究、合作探究等方式获得新知，实现课堂从浅层学习到深度学习的转型，对数列知识和方法进行反思内化再建构，充分理解本质，达到深度学习数列知识、思想与方法的目的。

一、教学片段（一）认识数列一般而言，兔子在出生两个月后就有防止能力一对兔子每个月能生出一对小兔子来，如果所有的兔子都不死。

[1]问：分别求第1个，第3个，第7个，第12个月的兔子数。

师：大家有什么好的研究方法呢？生：这简单，枚举法，从第1个月开始排列一下。

师：同桌之间合作，把讨论结果填写在下面的表格中。

学生独立思考，填写表格。

教师展示（图1）（图1）师：兔子的只数形成的是一个非常美丽、和谐的数列，各项分别为：师：当时间推长，继续列举下去吗？请观察一下各项之间有什么联系？生：前面两个数之和就是第三个数。

生：前两项不符合的，应该修正一下。

从第三项起，前面两个数的和是第三个数。

师：很好，同学的观察能力很强，逻辑严谨！请同学们用一般性的语言，用数列的语言表达出这个结论。

数列这一章教学反思

数列这一章教学反思数列这一章教学反思一、本章的知识结构与学生的认知结构得到了较好的统一本章的知识结构是：数列的基本概念——特殊数列——数列的应用。

首先在理解了数列的基本概念后，进一步认识两个特殊数列：等差、等比数列，通过对两个特殊数列的研究使学生对数列的认识得到深化，进而解决一些实际应用问题。

同时，教材注重了通过实例分析引入新知识，这符合从感性认识到理性认识的认知规律，因此说，教材的这种设计符合学生的认知结构。

二、教材设计突出了数学思想方法，符合这套教材的特色这一章在内容设计上突出了化归与转化思想、数学建模思想等，例如：一些实际应用问题（分期付款问题）需要建立数列模型，转化为等差、等比数列求和问题。

教材在编写上注意了数学方法的层层递进，例如：在数列的概念这一节涉及到了观察法，归纳法；在求等差、等比数列通项公式时用到了“作差求和”“作商求积”的方法。

这些方法在后面的知识学习中都有所体现。

三、整章内容的设计精简实用，顺理成章本章例、习题的配置数量多，但没有重复性例题，习题知识点覆盖全，尤其是设置了十个研究性问题，穿插在整章内容中，而且没有给出解答，提高了学生兴趣，这一点于其它章不同，前面几章中有些研究性问题，在提出问题的同时，也给出了解答，这就失去了它的设计意义，本章第2节设置了“数列求和”，目的是让学生理解求和概念及求和符号，提前安排这一节，分散了难点，使得后面学习等差、等比数列前n项和及特殊数列求和线的难度适中，教学时感到很自然。

在习题中实际应用问题不是很多，最后一节“数列应用举例”主要是研究数列求和及求通项公式，应增加几个实际应用问题，让学生对数列知识加以深化。

四、这一章为教师的“教”与学生的“学”提供了广阔的天地本章的例、习题及十个研究性问题为教师的教学提供了很多素材，同时为培养学生的探究意识和探究能力提供了广阔的思维空间。

这些研究性问题的设计体现了新大纲的要求：注重培养学生数学的提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力。

数列的概念教学反思

数列的概念教学反思数列是数学中的重要概念之一，它在数学以及其他学科中有着广泛的应用。

作为数学教师，我在教授数列的过程中不断实践和反思，以提高学生的学习效果。

本篇教学反思将着重讨论数列的概念教学的有效性和可行性，并提出一些改进方式。

首先，传统的数列概念教学侧重于向学生介绍数列的定义和常见的数列类型，如等差数列和等比数列。

这种教学方法主要依靠教师的讲解和例题的演示，学生在形成概念前往往只能被动地接受知识。

然而，这种被动学习的方式往往难以激发学生的兴趣和思考能力，使得他们缺乏对概念的真正理解。

为了解决这个问题，我尝试了一种以探索性学习为核心的数列概念教学方法。

在课堂上，我给学生分发了一系列数列，要求他们观察数列的规律并总结出一般的数列表达式。

我引导学生通过找出数列中的特殊项、计算相邻项的差值或比值等方式来寻找规律。

通过这种方式，学生不仅能够主动参与，而且能够锻炼观察和思考能力，从而更好地理解数列的概念。

在这个过程中，我也意识到了一些需要改进的地方。

首先，一些学生可能在数列规律的观察和总结方面遇到困难，需要更多的指导和示范。

因此，我需要提供更多的示例和练习，以帮助他们培养这方面的能力。

其次，学生在数列规律总结的过程中可能会遇到偏差和错误，我需要鼓励他们犯错误，并帮助他们从错误中学习。

此外，我还尝试了以实际问题为背景的数列教学。

通过将数列与实际生活中的问题联系起来，学生可以更好地理解数列的应用和意义。

例如，我给学生举了一个应用等差数列的例子：某人每天向银行存入一定金额的钱，并以固定的利率逐日计算利息。

学生需要计算出一定天数后，他的存款总额会达到多少。

通过这个例子的解析，学生能够更好地理解等差数列的意义和计算方法。

然而，在实践中，我发现学生对于数列概念的应用理解能力相对较弱。

他们往往只能机械地套用公式，而缺乏对问题本质的理解。

这可能是因为我在课堂上没有充分强调数列与实际问题之间的联系，或者没有给予足够的实际问题解决机会。

斐波那契数列教学反思

《斐波那契数列》教学反思新教材每一册都有不少既有趣味性又符合教学要求的阅读材料，主要是以“你知道吗”“数学游戏”“生活中的数学”等的形式出现，新颖活泼，图文并茂，给人耳目一新之感。

这体现了小学数学新教材的先进的理念,是一个新的特色。

本课教学内容是人教版六年下册数学教材中65页的阅读资料，它的学习是建立在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实践、验证等活动探索数列的排列规律。

由于寻找这样的规律，学习活动中接触的基本上是数字，所以提高学生的学习兴趣非常重要。

教学设计时我本着让“数学阅读资料”真正成为激发学生阅读数学的兴趣、培养学生数学阅读能力的载体，成为引导学生学会分析、思考、探索的载体。

有意识地设计让学生充分体验“由易到难、寻找规律、层层推理、解决问题”的数学思想和思路。

“兔子问题”本身具有一定的难度，所以需要进行相关知识的复习与铺垫。

通过“找规律填数“诱导学生积极主动学习。

开课时，我以带领大家来认识解决一个很有趣的数学问题，据说他的发现曾激起一个民族的数学学习热情，它的解决更造就了一位著名的数学家；究竟是怎样的问题有如此魅力,你们想了解吗？那就要看你们的表现了。

大家有没有信心？以上节课简单的找规律引入并过渡到斐波那契数列的排列规律学习中来。

然后用学生喜欢的故事形式-----兔子问题,导入新课的学习，这样可以充分调动学生学习新知的热情。

接着，我让学生读故事,并说说自己是怎样理解的,然后讨论,12月后到底有几对?发现比较复杂,似乎讲不清楚。

于是就顺理成章得引导学生用方法去解决----画图、列表格、找规律等等。

学生在尝试后在交流。

最后发现了规律。

教学设计巧妙，有步骤、多角度地引导学生学习、体验探究解决问题的方法策略。

如：让学生自己阅读(谈“读懂了什么?”)又引导学生以画图的方式模拟兔子的生长过程，不仅使数学学习变得趣味横生，而且最大可能地调动了学生的学习潜能。

在活跃的氛围中，学生们经历了知识形成的分析、探究、归纳及发现的整个过程，体验了数学学习的无穷乐趣。

数列的概念的教学反思

数列的概念的教学反思概述：数列是数学中一个重要的概念，它在许多领域和问题中都有广泛的应用。

在数学教育中，教师需要有一种有效的方法来教授数列的概念，以确保学生能够理解和应用相关的知识和技能。

本文将对数列概念的教学进行反思和总结，并提出一些建议来改进教学效果。

一、教学目标的明确在教授数列概念时，首先要明确教学目标。

数列的概念相对抽象，因此目标的明确可以帮助学生更好地理解和掌握相关的知识。

教师可以设计具体的学习目标，如：学生能够定义数列概念、能够辨别等差数列和等比数列、能够找到数列的通项公式等。

通过明确的目标，学生可以更有针对性地学习和实践。

二、启发式教学方法的应用数列的概念教学需要巧妙地引导学生思考和发现，启发式教学方法可以发挥重要作用。

例如，教师可以提出一系列实际问题，并引导学生尝试找出问题中的规律和模式。

通过启发性的引导，学生能够主动地思考和探索，从而更好地理解数列的概念。

同时，教师也可以提供一些相关的素材和例题，帮助学生加深对数列的理解。

三、示范和讲解的重要性在数列概念的教学中，示范和讲解是不可或缺的环节。

教师可以通过具体的案例和实例，向学生展示数列的概念和应用。

示范和讲解应该具有逻辑性和连贯性，以帮助学生更好地理解和掌握数列的相关概念。

在讲解中，教师还应该注重与学生的互动和沟通，鼓励他们提出问题和分享自己的思考。

四、课堂实践的重要性数列概念的教学需要结合实际问题和例题进行课堂实践。

通过实践，学生能够将概念应用到具体的情境中，加深对数列的理解和运用能力。

教师可以设计一些小组活动和讨论，让学生合作解决问题，培养他们的团队合作能力和解决问题的能力。

此外，教师还可以提供一些拓展性的问题，激发学生的思维，培养他们的创新能力。

五、巩固和评估的方式为了巩固学生对数列概念的理解和掌握，教师需要设计合适的方式进行巩固和评估。

这可以包括课堂练习、作业布置、小组展示等。

通过这些方式，教师可以检查学生的学习进展，及时做出调整和指导。

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《斐波那契数列》教学反思
六（5）班吴爱玲
新教材每一册都有不少既有趣味性又符合教学要求的阅读材料，主要是以“你知道吗”“数学游戏”“生活中的数学”等的形式出现，新颖活泼，图文并茂，给人耳目一新之感。