第二章 非线性微分方程动力系统的一般性研究
非线性动力学理论的研究
非线性动力学理论的研究在物理学中，动力学理论是一个非常重要的领域，它研究事物的运动和变化。
而在动力学领域之中，非线性动力学理论则是一个更为深奥和高级的研究分支。
非线性动力学理论主要研究中微观系统以及宏观系统中的复杂现象，例如混沌现象、分岔现象等等。
而非线性动力学的研究结果不仅可以应用在物理学领域，同样可以应用在生物学、经济学以及气象学等学科领域中。
在非线性动力学的研究中，一个非常重要的问题是这些系统是否可以用简单的数学模型来描述。
在传统的线性动力学理论中，许多物理学家都相信大多数的物理系统都可以用线性方程来描述，但是在非线性动力学理论中，我们发现许多系统都不能用线性方程来描述。
这是因为非线性系统中的运动方程非常复杂，一些微小的变化也可以产生巨大的影响。
这就是非线性系统本身的一个非常重要的特征。
事实上，非线性动力学可以看做是大量相关的、复杂的非线性微分方程的研究。
非线性微分方程比线性微分方程更加复杂。
众所周知，线性微分方程可以通过求解求出一个载波的响应，而非线性微分方程则无法通过解析求解。
这就需要数值计算和数学模型来对其进行研究。
对于非线性系统的研究，数值计算和数学模型是非常重要的手段。
我们需要计算机来解决大量的微分方程，同时还需要适当的建立数学模型来描述这些系统的特征。
这就需要数学家和物理学家、计算机专家之间的紧密合作。
混沌现象是非线性系统中最经典的现象之一。
混沌现象表现为在一个长时间内，一个系统的状态看起来非常随机，但是如果我们观察这个系统的短期动态，我们却可能会发现一些规律。
混沌现象的研究既需要数学工具，也需要物理学的知识。
物理学家需要先建立一个数学模型来描述这样一个非线性系统，并且通过计算机模拟这个系统的演化过程。
此外，非线性动力学理论还包括对相空间的研究。
相空间是一个非常重要的物理概念，其表示系统在物理学空间中的各种状态。
非线性系统的演化过程可以在相空间中进行。
一个初始条件所对应的相空间状态点将演化成随时间变化的轨迹。
数学领域微分方程与动力系统研究
数学领域微分方程与动力系统研究微分方程是数学领域中一个重要的研究方向，与动力系统有着密切的关联。
本文将介绍微分方程与动力系统的基本概念和研究内容。
一、微分方程的概念及分类微分方程是描述未知函数及其导数（或微分）之间关系的数学方程。
一般形式为:\[F(x, y, y', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，y为未知函数，x为自变量，y'为y对x的一阶导数，y''为二阶导数，以此类推，n为方程的阶数。
根据微分方程中包含的未知函数的最高导数的阶数以及方程所涉及的自变量的个数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程则涉及多个自变量。
微分方程是研究自然科学、工程技术和社会经济等领域中连续变化规律的重要数学工具。
二、动力系统的概念及特点动力系统研究的是随时间演化的数学模型。
动力系统通过一组规则描述了系统在不同时间点的状态之间的转移方式。
动力系统的研究对象可以是连续时间或离散时间。
动力系统的基本特点是确定性和演化规律。
给定初始条件，动力系统的演化可以准确预测未来的状态。
动力系统的演化规律可以用微分方程、差分方程或迭代方程等形式表达。
动力系统研究的一个重要问题是稳定性分析，即研究系统在长时间演化中是否会趋于某种稳定状态。
三、微分方程与动力系统的关联微分方程描述了系统中各个元素之间的关系，而动力系统则研究了这些元素在时间上的演化规律。
微分方程与动力系统的关联使得研究者能够通过分析微分方程来推断系统的长期行为。
微分方程可以用动力系统的观点解释。
例如，对于一阶微分方程y' = f(x, y)，可以将其看作是描述了动力系统中在每一个时间点上切线的斜率。
动力系统的稳定性分析也可以通过微分方程进行推导。
通过求解微分方程的稳定点和其线性化矩阵的特征值，可以判断系统在长时间演化中的稳定性。
四、微分方程与动力系统的研究内容微分方程与动力系统的研究内容涵盖了很多方面，下面介绍几个重要的研究内容：1. 相图分析：相图是描述动力系统演化过程中状态变化的可视化工具。
非线性动力学的理论研究与应用
非线性动力学的理论研究与应用随着科学技术的不断发展，人类对于自然和社会现象的理解也在不断变化。
而非线性动力学的出现，让人们对于这些现象的认识更加深入。
什么是非线性动力学？非线性动力学是一门研究一些与线性系统理论不同的、自然界或社会系统中的各种复杂非线性现象的学科。
简单来说，非线性动力学就是研究不规则、混沌的运动系统。
它的理论基础是微分方程、动力系统理论、拓扑学、图论等。
非线性动力学的发展历程非线性动力学的研究历程，可以追溯到19世纪初，当时数学家对于非线性方程的解法就颇感困惑。
1927年，俄国数学家科尔莫哥洛夫提出了一套新的方法来研究非线性系统，称之为“拓扑动力学”。
60年代以后，随着计算机技术和数值模拟技术的发展，人们对于混沌现象的认识更加深入，混沌现象也成为非线性动力学的一个重要研究对象。
应用领域随着对非线性动力学的深入研究，它的应用领域也越来越广泛。
下面列举几个应用领域：1、天体力学：研究太阳系中星体的运动、轨道演化等。
2、材料学：在研究各种材料的性质变化、化学反应、相变等方面得到广泛应用。
3、生物学：研究生物系统的稳定性、非线性反应、遗传进化等问题。
4、社会学：研究社会现象中的复杂非线性变化，如人口增长、城市规模等。
5、经济学：探究经济现象中的不稳定性、市场波动等问题。
非线性动力学的研究方法一般来说，非线性动力学的研究方法有两种：理论分析和数值模拟。
理论分析旨在通过数学模型的构建，从理论上探究系统演变的规律。
数值模拟则是通过计算机进行模拟实验，通过计算机模拟复杂的运动系统来研究其行为特征。
结语非线性动力学的理论研究和应用，对于探寻和解决自然和社会系统的复杂非线性现象，都有着至关重要的作用。
同时，随着科技的进步，我们相信非线性动力学在未来的发展中，将会有更加广泛和深入的应用。
非线性微分
非线性微分
非线性微分是数学中宏伟而深奥的一个课题，它是动力系统，物理系统，生物系统等等许多复杂系统的基础。
当我们解决这些系统的问题时，经常需要去理解非线性微分方程的概念。
非线性微分方程本身是指一类带有一个或多个非线性项的微分
方程。
与线性微分方程不同，非线性微分方程的解往往难以得到，因为它们描述的系统具有更多的不确定性，其解常常是多个变量之间不断变化的复杂函数。
非线性微分方程出现在各种不同的领域，如物理学，化学，机械工程，电子工程，生物技术，经济学，金融学，计算机科学等等，而且在这些领域中的运用也不尽相同。
在物理学中，它可以用来描述量子力学中的多体问题；在化学中，它可以用来描述化学反应程序；在电子学中，它可以模拟复杂电路；在机械工程中，它可以用于计算复杂机械系统；在生物技术中，可以用来模拟复杂的生物系统；在经济学中，可以应用于模拟经济变量之间的复杂关系，而在计算机科学中，可以用它来模拟计算机系统的复杂动态行为。
在理解非线性微分方程的常用方法中，可以分为数学分析和数值分析方法。
数学分析法主要包括解析法，线性化法，系统理论方法，多维分析法，变分法，等等，而数值分析法主要包括常微分方程仿真技术、拟合法，积分法，随机模拟技术，建模方法，机器学习方法等等。
不同的分析方法都有一定的优势和局限性，因此在实际应用中，经常会使用多种方法相结合，以获得更准确的结果。
总之，非线性微分方程是一门宏伟而深奥的数学课题，它在物理学，化学，机械工程，电子工程，生物技术，经济学，金融学，计算机科学等许多领域都有着重要的作用，用来描述各种复杂的系统，理解非线性微分方程要求人们拥有良好的数学基础，在实际应用中，综合使用各种分析方法会更加有效，调整非线性动力系统更容易被解决。
数学中的非线性动力系统
数学中的非线性动力系统在数学领域中，非线性动力系统是一种研究系统中相互作用的复杂现象的分支。
它在探索生物学、物理学、经济学等多个领域中具有广泛的应用。
本文将讨论非线性动力系统的基本概念、数学模型和动力学行为。
一、基本概念非线性动力系统是由非线性微分方程或离散差分方程描述的系统。
相比线性系统，非线性系统的特点在于其输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，而是包含更为复杂的非线性函数。
二、数学模型非线性动力系统可以用一组微分方程或差分方程表示。
其中，最常见的非线性微分方程模型之一是洛伦兹方程，它描述了空气流体中对流运动的行为。
洛伦兹方程可以表示为：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x，y，z是系统的状态变量，t是时间，σ，ρ和β是模型中的参数。
三、动力学行为非线性动力系统的动力学行为多样且复杂。
其中最常见的动力学行为包括稳定点、周期解、混沌和吸引子。
1. 稳定点：当系统的状态变量不发生变化时，称之为稳定点。
稳定点有两种类型，分别是吸引性稳定点和不稳定点。
2. 周期解：当系统的状态变量在一定时间范围内以周期性方式变化时，称之为周期解。
周期解与稳定点不同，它们的动态行为是有规律可循的。
3. 混沌：混沌是非线性动力系统中最令人困惑和吸引人的现象之一。
它是指系统的状态变量在长时间内表现出高度的不可预测性和敏感性。
混沌系统具有无限数量的周期解，其轨迹在相空间中像蜿蜒曲折的河流一样。
4. 吸引子：吸引子是非线性系统中的一个重要概念，它描述了系统动力学行为的基本特征。
吸引子是一种在状态空间中具有稳定性的集合，它可以将系统的运动轨迹吸引到其中。
四、应用领域非线性动力系统的研究与实际应用密切相关。
以下是一些应用领域的例子：1. 生物学：非线性动力系统可以用于研究生物体内的神经活动、心脏跳动等生物过程。
2. 物理学：非线性动力系统可以用于描述混沌现象、相变行为以及复杂系统中的粒子运动等。
数学中的非线性方程与动力系统的研究
在某些情况下，非线性方程可能有多个解，也可能只有一个解或无解。判断解的唯一性通 常需要对方程进行更深入的分析，如利用函数的单调性、凹凸性等性质。
解的稳定性
对于某些非线性方程，即使解存在且唯一，但在实际计算中可能会因为微小的扰动而导致 解的巨大变化。这种情况下，解被认为是不稳定的。判断解的稳定性通常需要对方程进行 数值分析或应用稳定性理论。
01
微分方程定性理论的 基本概念
微分方程定性理论是研究微分方程解 的性质和变化规律的数学分支，包括 解的存在性、唯一性、稳定性、渐近 性等概念。
02
动力系统中的微分方 程
在动力系统中，微分方程是描述系统 状态变量随时间变化的演化规则，通 过求解微分方程可以得到系统的运动 轨迹和状态变量的变化规律。
03
高维非线性系统的研究不足
当前对高维非线性系统的研究相对较少，需要加 强相关领域的研究力度，以揭示其内在规律和性 质。
未来发展趋势预测
跨学科交叉融合
未来非线性方程与动力系统的 研究将更加注重与其他学科的 交叉融合，如物理学、化学、 生物学等，以推动相关领域的 共同发展。
智能化求解方法的 探索
随着人工智能技术的不断发展 ，未来有望将智能化方法应用 于非线性方程和动力系统的求 解中，提高求解效率和精度。
复杂网络动力学的 深入研究
复杂网络作为现实世界的一种 重要抽象形式，其动力学行为 的研究将成为未来非线性方程 与动力系统领域的重要研究方 向之一。
THANKS
感谢观看
和混沌等现象。
生物学领域：种群竞争模型、神经网络模型等
要点一
种群竞争模型
要点二
神经网络模型
在生态学中，动力系统可用于描述不同物种之间的竞争关 系。通过建立非线性微分方程模型，可以研究物种的共存 、灭绝和演化等问题。
非线性动力学系统深度研究
非线性动力学系统深度研究深度研究非线性动力学系统引言：非线性动力学系统是一类常见的复杂系统，广泛应用于物理、化学、生物学等领域。
与线性系统相比，非线性系统具有更为复杂的行为和动力学特性。
本文将对非线性动力学系统进行深度研究，探讨其定义、模型、稳定性和混沌等关键概念。
一、非线性动力学系统的定义和基本概念非线性动力学系统是指系统中的状态变量和控制参数之间的关系是非线性的系统。
其基本概念主要包括状态变量、动力学方程和相空间等。
1. 状态变量：状态变量是系统的内部变量，它们描述了系统在不同时间的状态。
通常采用向量形式表示，例如(x1, x2, ..., xn)。
2. 动力学方程：动力学方程是描述系统演化规律的数学方程。
对于非线性动力学系统，动力学方程通常是一组非线性微分方程或差分方程。
3. 相空间：相空间描述了非线性动力学系统的所有可能状态的集合。
在相空间中，每个状态被表示为一个点，而系统的演化则对应于在相空间中的运动轨迹。
二、非线性动力学系统的模型与常见例子非线性动力学系统的模型通常采用一组微分方程或差分方程来描述。
下面给出两个常见的非线性动力学系统模型。
1. Lorenz系统：Lorenz系统是一个三维非线性动力学系统，由爱德华·洛伦兹发展而来，主要用于描述大气环流的运动。
Lorenz系统的动力学方程如下：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = ρx - y - xzdz/dt = xy - βz其中，x、y、z分别表示系统的三个状态变量，σ、ρ、β分别为控制参数。
2. Van der Pol振荡器：Van der Pol振荡器是一个二阶非线性动力学系统，广泛应用于电子工程和生物学中。
其动力学方程如下：d²x/dt² - μ(1 - x²)dx/dt + x = 0其中，x表示系统的状态变量，μ为控制参数。
三、非线性动力学系统的稳定性分析在研究非线性动力学系统时，稳定性是一个关键问题。
非线性动力学原理及应用
非线性动力学原理及应用随着科学技术的不断发展，非线性动力学已经成为研究各种现象的一种重要方法。
这种方法不仅能够帮助人们更好地理解自然现象，还可以应用到很多领域中。
本文将介绍非线性动力学的基本原理以及它的应用。
什么是非线性动力学？非线性动力学是一种描述非线性系统特征的方法，可以用来研究类似于混沌现象的一些现象。
在非线性动力学中，系统的状态是由一组微分方程来描述的。
这些微分方程的解决方案非常复杂，可能会显示出周期性或无规律的变化。
这种不规则的变化就是混沌所表现出的特征之一。
非线性动力学的应用非线性动力学有着广泛的应用，可以用于很多领域中，以下是其中的几个例子：1、天气预测天气系统是一个典型的非线性系统，其中包含许多不同的因素，如湍流、大气压力、温度、湿度等等。
由于这些因素之间的相互作用比较复杂，根本无法通过简单的线性模型来描述气象现象，因此需要使用非线性动力学方法来进行预测。
2、经济系统经济系统也是一个具有非线性特征的系统。
由于经济活动中涉及到太多的因素，比如价格、货币供应量、利率、税务政策等等，使得经济系统具有不确定的变化和波动性。
使用非线性动力学方法可以更好地理解经济现象，并对未来情况进行预测。
3、生物学研究在生物学领域中，非线性动力学可以用于研究生物系统中的一些现象，比如心脏跳动、神经元在脑中的传递等等。
由于这些现象中涉及到很多的变量和相互作用，因此需要使用非线性动力学方法来处理这些复杂的系统。
总体来说，非线性动力学方法可以用于研究各种不规则的现象，并可以为科学家提供更深入的理解和预测，从而进一步推动科学技术的发展。
总结非线性动力学提供了一种用微分方程来描述和分析复杂系统的方法。
这种方法不仅可以为科学家提供更深入的理解和预测，还可以用于很多领域，如天气预测、经济、生物学等等。
虽然这种方法的应用范围很广，但也有一些问题需要解决，比如系统的精度、数据的质量等等。
通过不断的改进和创新，相信非线性动力学方法将会在更多领域得到应用。
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第二章 非线性微分动力系统的一般性研究在对一个由非线性微分方程所描述的数学模型设计一个计算格式之前，在对该模型所表示的控制系统进行镇定设计或其他工作之前，人们往往希望对该系统可能呈现的动态特性有一个清楚的了解。
特别是当系统模型包含若干个可变参数时，人们又希望知道，这些参数的变化将如何影响整个系统的动态特性。
本章主要介绍非线性微分方程的一般理论，它将是进一步研究和讨论以下几章的基础。
本章中将研究非线性常微分方程定义的动力系统：()dx x f x dt '== (2.1)其中n x R ∈，()f x 是定义在某个开集n G R ⊂中的一阶连续可微函数。
首先，介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征。
然后，分别介绍非线性微分方程的解的动态特性研究中的三个主要的内容，即方程的平衡点、闭轨以及轨线的渐近性态分析。
2.1 常点流、直化定理本节介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征，即证明如下的直化定理。
定理2.1 设有定义在开集n G R ⊂上的动力系统(2.1)，0x G ∈是它的一个常点，则存在0x 的邻域0()U x 及其上的r C 微分同胚α，它将0()U x 内的流对应为n R 内原点邻域的一族平行直线段。
证明：由于0x 是常点，0()f x 是n R 中的非零向量，通过非奇异线性变换β（坐标轴的平移、旋转和拉伸），可将0x 对应为新坐标系的原点，且0()f x 化为列向量(1,0,,0)T （简记为(1,0)T ），其中T 表示向量的转置，0代表(1)n -维零向量，而微分系统可化为(),(0,0)(1,0)T x f x f ββ== (2.2) 与此同时，0x 的邻域V ，在线性变换β的作用下化为10(),()n V R R x ββ-⊂⨯=原点O参见图2.1(b)。
根据解的存在唯一性定理及可微性定理可知，存在0(0,0)=的邻域10()n I U V β-⨯⊂和包含0的区间J ，使得系统(2.1) 从10n I U -⨯中任何一点出发的解()t ϕ在J 上存在，且关于其变量是r C 连续可微的。
进一步，10:()n J I U V ϕβ-⨯⨯→，即对任意的10(,)n s q I U -∈⨯，其中121(,,,)n q q q q -=，系统(2.1)过(,)s q 点有解曲线(,,):()t s q J V ϕβ→ 满足(0,,)(,)T s q s q ϕ=。
令(,)(,0,)t q t q ψϕ=，则得到映射1:()n J U V ψβ-⨯→。
考察导算子(0,0)D ψ，因 (0,0)(0,0,0)||((0,0,0))(0,0)(1,0)T d f f t dtββψϕϕ∂====∂。
又由于(0,0,)(0,)q q ϕ=，故有(0,0)(0,0,0)10||T n q q E ψϕ-⎛⎫∂∂== ⎪∂∂⎝⎭， 其中1n E -表示(1)n -阶单位方阵。
于是导算子(0,0)n D E ψ=。
由反函数定理知，在(0,0)的一个邻域，ψ为局部微分同胚。
取0x 的邻域011()()n U x J U βψ--=⨯。
由于,βψ均为微分同胚，因而1αψβ-=也是微分同胚，且它将n R 中(2.1)的常点0x 的邻域0()U x 内的流映射为n R 中开集1n J U -⨯内的一族平行于t 轴的直线段（见图2.1）。
证毕。
x 1ψ-V qq()a ()b图2.1 对于离散系统g 的常点，有类似结论。
只需改为：在常点邻近的离散轨道在微分同胚α之下，都相应分布在一族平行直线段上。
2.2 平衡点及其动态特性2.2.1 基本概念考虑以下非线性常微分方程定义的动力系统：定义2.1 假设x 是系统(2.1)的一个平衡点，它是“稳定的”是指：如果对x 的任一个邻域V ，存在—个子邻域，使沿系统(2.1)的任何—个满足初始条件：0(0)x x =的解0(,)x t x 对0t >皆在V 存在且位于V 之中(图2.2)。
进而，如果可选得一个1V ，使得对任何01x V ∈都有 0lim (,)t x t x x →∞= 那么x 被称为是浙近稳定的平衡点或汇(图2.3)。
图2.2 稳定平衡点 图2.3 渐近稳定平衡点定义2.2 假设x 是系统(2.1)的一个平衡点，且()Df x 没有零特征值和纯虚数特征值，那么x 被称为是双曲型的平衡点或非退化平衡点。
显然，对双曲型平衡点而言如果()Df x 所有特征值皆有负实部，那么x 是渐近稳定平衡点，而当()Df x 的特征值中某些具有负实部，另一些却具有正实部时，x 是不稳定的，它被称为鞍点(saddle)；进而，如果()Df x 所有持征值皆有正实部，那么x 是不稳定平衡点，此时被称之为源(source)。
例题2.1 (Lienard 方程)考虑(),x y F x y x'=-⎧⎨'=-⎩ 的平衡点及其稳定性。
易推得，Lienard 方程的等价形式为()()0,x f x x g x '''++=其中()g x x =，()()x F x f u du =⎰。
从定义可知，该方程平衡点是(0,(0))F ，同时该系统在平衡点处Jacobian 矩阵为(0)1,10F D '-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 其两个特征值没分别是 21/21[(0)((0)4)],2F F λ±''=-±- 所以，当(0)0F '>时，平衡点(0,(0))F 是汇；而(0)0F '<时，(0,(0))F 是源。
2.2.2 平衡点稳定性分析对于双曲型平衡点而言，其稳定性完全可以由相应的线性化系统来判断。
假设x 是系统(1.1)的一个平衡点，那么在点x 系统的线性化系统定义为(),.n Df x R ξξξ'=∈ (2.3) 其中[/]i j Df f x =∂∂是()f x 的Jacobian 矩阵，,||1x x ξξ=+。
以下定理给出了—个十分有用的结论，即双曲型平衡点的稳定性与其相应的线性近似系统在原点的稳定性—样。
定理2.2 如果()Df x 没有零或纯虚数特征值，那么存在一对一连续可逆变换(称之为同胚)，它定义于n R 中x 的某个邻域之内，将非线性方程的解映射为相应线性方程(1.2)的解，并保持解的性态不变。
以上定理的证明可以在Hartman P ．在1964年出版的专著中找到。
这里不再引述。
然而，当x 不是双曲型不动点时，就无法应用上述定理，从线性化系统来判断其稳定性，下面的Liapunov 定理给出了—条途径。
定理2.3 假设x 是系统(2.1)的一个平衡点，如果存在一个可微函数V ，它定义于x 的某个邻域U W ⊂内，且①()0V x =，当x x ≠时()0V x >。
②(())0d V V x t dt=≤，在{}U x -中，其中()x t 是(2.1)的轨线。
那么x 是稳定的。
进而，如果0V <在{}U x -中，那么x 是渐近稳定的。
上述定理给出了一个并不需要求解而判断不动点稳定性的方法，但是定理中的函数V (被称为Liapunov 函数)的构造却是一件不容易的事。
上述定理的证明可参见常微分方程有关稳定性理论的部分。
2.2.3 平衡点的稳定流形和不稳定流形定义2.3 系统(2.1)的稳定子空间记作1span{,,}s n s E v v =，不稳定子空间记作1span{,,}u n u E u u =，而中心子空间记作1span{,,}c n c E w w =。
其中1,,s n v v 是对应于具有负实部特征值的广义特征向量，1,,u n u u 是对应于正实部特征值的广义特征向量，而1,,c n w w 是对应于具有零实部的特征值的广义特征向量。
s u c n n n n ++=。
它们分别又称为不变稳定、非稳定和中心子空间。
例题2.2 如果 110()110,002Df x --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭那么span{(1,0,0),(1,1,0)},span{(0,0,1)},.s u c E E E φ===如图2.4所示。
图2.4 广义特征空间定义2.4 假设x 是(2.1)的一个平衡点，系统(2.1)的流是()t x ϕ，那么x 的局部稳定流形()s locW x 和局部非稳定流形()u loc W x 分别是 (){|()(),(),0},(){|()(),(),0},s loc t t uloc t t W x x U x x t x U t W x x U x x t x U t ϕϕϕϕ=∈→→∞∈≥=∈→→-∞∈≤其中n U R ⊂是x 的一个邻域。
不难看出()s locW x 和()u loc W x 给出了线性化系统(2.1)的稳定子空间s E 和不稳定子空间u E 的非线性的模拟。
以下定理给出了更确切的描述。
定理2.4 (平衡点稳定流形定理) 假设()x f x '=有一个双曲平衡点x ，那么存在局部稳定和不稳定流形()s locW x 和()u loc W x ，其维数为s n 和u n ，分别与线性化系统()Df x ξξ'=的子空间s E 和u E 的维数相等，且与s E 和u E 相切。
同时，()s locW x 和()u loc W x 与f 具有相同的光滑性。
上述结论如图2.5所示，其证明可参阅Hartman[1964]和[7]。
图2.5 稳定流形进而还有如下的中心流形定理。
定理2.5 假设f 是n R 上定义的一个r C 向量场，()0f x =。
让(0)A Df =，其谱分解为0,;Re 0,;0,.s c u λσλλσλσ<∈⎧⎪=∈⎨⎪>∈⎩又设,s c σσ和u σ的广义特征空间分别是,s c E E 和u E 。
那么，存在着r C 稳定的不变流形s W 和不稳定的不变流形u W 分别在x 与s E 和u E 相切和—个1r C -中心流形c W 与c E 在x 相切。
其中s W 和u W 是唯—确定，而s W 并非唯一(如图2.6)。
图2.6 中心流形、稳定流形和不稳定流形定义2.5 全局稳定和不稳定流形分别为 00()(()),()(()).s s t loc t u u t loc t W x W x W x W x ϕϕ≤≥==根据微分方程(2.1)的解的存在性和唯一性可知，两个不同的平衡点的稳定(或非稳定)流形不能相交；()s W x (或()u W x )也不能自我相交；而不同的平衡点或同一个平衡点的稳定流形和不稳定流形却可能相交。
例题2.3 考虑二维系统2,.x x y y x '=⎧⎨'=-+⎩ 原点(0,0)是其唯一的平衡点，其线性化系统为,.x x y y '=⎧⎨'=-⎩ 易得22{(,)|0},{(,)|0},s u E x y R x E x y R y =∈==∈=23(0,0){(,)|/3},(0,0).u s s W x y R y x W E =∈=≡分别如图2.7所示。