bo四年级数学下册课件_三角形的内角和_课件
把图形中相邻两边的夹角成为内角。
2.猜测： 长方形的内角和是360度，那么 三角形的内角和是多少度呢？
3.验证： 通过你自己喜欢的方式验证，三 角形的内角和是180度。学生展示 交流。 （1）量 （2）撕——拼 （3）折——拼 （4）画
返回
1
2
2
1
3
3
4.深化：大小、形状不同的三角形，它们的内 角和一样吗？
青岛版四年级数学下册
薛城区临山小学 薄其勇
1.通过“量一量”、“算一算”、 “拼一拼”、“折一折”的小组活动 的方法，探索发现验证三角形内角和 等于180°，并能应用这一知识解决一 些简单问题。 2.通过把三角形的内角和转化为平角 进行探究实验，渗透“转化”的数学 思想。
1.引入： 什么是内角？
一个三角形中可能有两个直角吗？ 一个三角形中可能有两个钝角吗？
一块三角尺的内角和是180度，用两块完全 一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形 的内角和是360度？两块完全 一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形 的内角和( )。
将一个大三角形分成两个小三角形，这两个 小三角形的内角和分别是多少？
拓展练习 根据三角形的内角和是180度，你能求出四边形 的内角和是多少度吗？
知识的升华
下面的正六边形，你能根据学过的知识求出六边 形的内角和吗？七边形呢？……
4个三角形： 180°×4＝720°
谈谈收获
一个直角三角形，一个锐角是 50°，另一个锐角是几度？
180°－90°－50°=40°
180° －（50°+90°）=40 ° 90°－50°＝40°
50°
已知等腰三角形的风筝， 一个底角70°，顶角多少度？
180°－70°－70°=40° 180°－70°×2=40°
70° 70°
5.应用
变式练习
选一选
（1）一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（ ） A.95°，20° B.45°，80° C.55°，60° （2）一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（）。 A.100° B. 40° C.55° （3）一个等腰三角形，一个底角是顶角的2倍，这个三角形顶角（ ） 度，底角（）度。 A. 36° B.72° C.45° D.90°
结论：三角形内角和是 180°
∠1+∠2+∠3=180°
5.应用 基础练习 三角形∠1=140°∠3=25°求∠2 的度数。
180°－140°－25°=15°
180 °－（140° +25°）=15 °
140°
25°
75° 35°
？
180° －75 ° － 35°=70°
180° －（75 ° + 35°）=70°
《三角形全等的判定 “角边角”、“角角边”》课件(3套)
\ DAOC DBOD (ASA)
2. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，
AB∥DE，∠A＝∠D．
求证：BE=CF．
AD
BE
CF
(2) (1)
小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
如果可以,带哪块去合适 呢?为什么?
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），
D′ C′
∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证）， ∠ABD=∠A'B'D'（已证），
全等三角形对应边上 的高也相等.
画法：1、画A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。
△A/B/C/就是所要画的三角形。
C
E
D
C’
A
B
通过实验你发现了什么规律？A’
B’
探究反映的规律是：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。
第十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定
第3课时 “角边角”、“角角边”
学习目标
情境引入
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”
和“AAS”．
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”
5.4三角形的内角和(教案)四年级下册数学 人教版
5.4三角形的内角和（教案）四年级下册数学人教版教学内容：5.4 三角形的内角和教学目标：1.了解三角形的定义及其性质。
2.掌握如何求解三角形的内角。
3.能够计算任意三角形的内角和。
教学重点：1.三角形的定义及性质的理解。
2.如何求解三角形的内角。
3.任意三角形的内角和的计算方法。
教学难点：1.了解三角形的定义及其性质。
2.如何在不知道三角形三个角度的情况下计算其内角和。
教学方法：1.课堂讲解2.帮助学生到实际情境中发现规律、探究规律。
3.小组合作学习。
教学步骤：Step 1 引入新知老师出示一张有三角形和四边形的图像，让学生找出其中的三角形。
请学生尝试定义三角形，并解释其性质。
Step 2 给出三角形内角和的定理当老师明确学生已经掌握了三角形的定义及其性质，老师可以给学生讲解三角形的内角和定理。
让学生学会如何根据三角形的已知信息，将他们的内角加起来求和。
Step 3 学生互动练习老师分别给学生一些不同形状和大小的三角形，请学生先在纸上练习计算其内角和，再一起讨论解法。
这样可以帮助学生更好地理解和掌握这个定理。
Step 4 小组合作学习老师将同桌的同学分为不同的小组，让他们一起完成以下的任务。
1.在计算内角和的过程中，学生会发现什么规律？2.学生能够在不知道三角形三个角度的情况下计算其内角和吗？3.有什么小技巧可以帮助学生快速计算三角形的内角和？Step 5 作业布置老师可以布置一些针对练习三角形内角和的作业，检查学生是否掌握了这个知识点。
教学评价：1.通过小组合作学习和讨论，学生能够发现解题中的规律，并加深对于三角形内角和的理解和记忆。
2.老师可以通过听取学生们的发言和指导小组学习，批评指出学生们突出的问题。
3.在作业检查过程中，老师可以检查学生对三角形内角和的理解和掌握情况。
三角形的内角和讲学案(修定)
§9.1.2三角形的内角和与外角和(第一课时)讲学案学习目标：1．探索并证明“三角形的内角和等于︒180”；2．能利用“三角形的内角和等于︒180”这一结论解决一些数学问题. 学习重点：探索并证明“三角形的内角和等于︒180”. 学习难点：怎样添加辅助线并用几何语言加以描述. 教学方法：自主——指导法. 教学过程： 一、问题探究1．在小学我们已经知道“三角形的内角和等于 ”，你还记得当时是用什么方法得到这个结论的？2．你能从下图的操作中，发现“三角形的内角和等于︒180”这个结论正确的说理方法吗？你有几种说理方法？请画出图形，并用说理的方式加以说明. 如图，已知△ABC ，试说明∠A+∠B+∠C=180°.得出结论： .ABC2311 23二、学以致用1．如图，在△ABC 中，∠C=90°. （1）若∠A=30°，则∠B= °；（2）试说明∠A+∠B 的大小.2．如图，AB ∥CD ，AF 、CF 分别平分∠BAC 、∠ACB. （1）若∠BAC=120°，则∠2= °； （2）求∠F 的度数.三、自我评估1．如图是一块玻璃残片，它的原形是三角形，已知∠B=50°，∠C=70°，则残缺的那个角∠A= °.2．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，则此三角形为（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 3．如图，在△ABC 中，∠ACD 是△ABC 的外角. （1）若∠A=40°，∠B=80°，则∠ACD= °； （2）若∠A=30°，∠B=50°，则∠ACD= °；（3）从（1）、（2）中你能猜想并发现∠A 、∠B 、∠ACD 三个角之间的大小关系吗？*4．在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B 、∠C 越来越大. 若∠A 减小p °，∠B 增加m °，∠C 增加n °，则p 、m 、n 三者之间的等量关系是 .A C BDF21（第2题）A CB D （第3题） A BC （第1题）（第4题） AB C（第1题）四、盘点收获今天我们回顾了“三角形的内角和的性质”，并用说理的方式进行了说明. 1．它的内容是什么？2．我们是怎样探究和说明这个结论的？ 3．当遇到已知三角形的一个内角大小时，不要忽视了将另外“两个角的和”看作“一个整体”来解决问题的思路.五、分层作业 （A 组）1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点Ｏ. （1）若∠A=70°，则∠ABC+∠ACB= 度． （2）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，求∠BOC 的度数． 在下列解答中，填入适当的理由或数学式. 解：∵BO 平分∠ABC(已知)，∴∠1=21∠ABC=︒⨯5021=25°( )， ∴同理可得∠2= °，∵∠BOC+∠1+∠2=180°( )， ∴∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-25°- = . 2．在△ABC 中，若∠A+∠B=∠C ，则此三角形为（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 3．如图，AD 是△ABC 的高，∠B=40°，∠BAC=80°，求∠DAC 的度数.（B 组）——供学有余力的同学完成！ 1．在△ABC 中，∠A=21∠B=31∠C ，则此三角形为（ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点Ｏ. （1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC= °； （2）若∠A=80°，求∠1+∠2的度数；（3）若∠A=n °，求∠BOC 的度数(用含n 的代数式表示)．CA B O12（B 组第2题）CABO12（第1题）ABC（第3题）。
数学 7.5 三角形内角和定理-课件
C.180° D.140°
9.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2等于( B )
A.90° B.100°
C.130° D.180°
第七章
7.5 三角形内角和定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-6-
10.如图是由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形.若∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠F的度数
C,∠1=30°,∠B=60°,∠C=20°,则∠2= 50° ,∠A= 70° .
-3-
第七章
7.5 三角形内角和定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
6.( 改编 )如图,∠1,∠2,∠3之间的大小关系为 ∠2<∠3<∠1 ( 用“<”连接 ).
-4-
第七章
7.5 三角形内角和定理
知识要点基础练
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°,
∴∠EFD=∠AFC=120°.
( 2 )FE=FD.
在 AC 上截取 AG=AE,连接 FG.
∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠DAC,
又∵AF=AF,∴△AEF≌△AGF( SAS ),
∴FE=FG,∠AFE=∠AFG=60°,
∴∠CFG=60°.
于点F.
( 1 )求∠EFD的度数;
( 2 )判断FE与FD之间的数量关系,并证明你的结论.
第七章
7.5 三角形内角和定理
知识要点基础练
综合能力提升练
解:( 1 )∵△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,
三角形、四边形和圆
三角形与四边形一、三角形1、三角形的内角、外角（三边关系、内外角关系）、中线、高、角平分线（三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边；三角形三个内角的和等于180°三角形的内角和：三角形的内角和为180°（大角对大边）三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
）2、画任意三角形的角平分线、中线、高3、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
㈠全等三角形1、.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3.三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
㈡等腰三角形及全等三角形1、.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，有两边相等（等边对等角）2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
3、等腰三角形的判定：两角相等或两边相等4、等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，5、.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是全等三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。
㈢直角三角形1、两个锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半2、勾股定理：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
3、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形4、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
第5讲 三角形的边角关系 (修复的)
第二篇三角形本篇的主要内容是三角形、全等三角形和等腰三角形以及勾股定理，主要了解三角形的中线、角平分线．在知道三角形的三个内角的和等于180°的基础上．学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明．这些内容都是研究特殊的三角形，如等腰三角形、直角三角形）的基础，也是研究其他图形的基础知识．从全等三角形开始，我们要开始理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．这既是本篇的重点，也是学习的难点．研究三角形全等条件的重点应放在第一个条件（“边边边”条件）上，然后以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定．在掌握了“边边边”条件的基础上，学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程．“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了．在“角平分线和垂直平分线”一讲中，介绍了角的平分线和垂直平分线的作法，角平分线和垂直平分线的性质与判定，这些结论是用三角形全等证明得到的，利用这些结论证明线段相等和角度相等，比用全等知识来证明线段相等和角度相等更方便．本讲中探究三角形三条角平分线和垂直平分线相交于一点．也为今后在“圆”一章学习内心和外心作好了准备．等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质．由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛．而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关．在本讲中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”、“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容．课程标准对于推理证明的安排，在“全等三角形”已经要求会用符号表示推理（证明）的基础上，对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）三角形的性质与判定等），仍是要求证明．由于刚开始接触用符号表示推理，图形、题目的复杂程度明显增加，多练、多想、多总结是是学好本篇的基本方法．第5讲三角形边角关系〖学习目标〗1.理解三角形及与三角形有关的线段的概念，证明三角形两边的和大于第三边．2.理解三角形的内角、外角的概念，探索并证明三角形内角和定理，掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握两个内角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3.了解多边形有关的概念，探索并掌握多边形的内角和与外角和公式．※考情分析三角形是正式学习几何的第一步，其主要内容是三角形的三边关系和三角形的内角和，这些都是中考关注的热点，本篇涉及的一些几何证明已经具有一定的难度．在中考数学试卷中，如果是计算或证明，难度可能达到中等，而对概念的考查，就可能比较简单．题型一般为填空或选择为主，分值一般3分左右．〖基础知识·轻松学〗一、三角形的有关概念1．三角形定义的要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次连接．2．三角形的分类（1）按边分类 （2）按角分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形 精讲：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形．（2）不等边三角形是指三条边都不相等的三角形．无论哪种标准进行分类，原则上做到不重不漏．二、三角形三边关系（1）三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．（2）三边关系的应用：①若两条较短的线段长度之和大于第三条线段，则这三条线段可以组成三角形．②当已知三角形两边长，两边之差＜第三边＜两边之和．精讲：这里的“两边”指的是任意两边．对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值．三、三角形的高、角平分线和中线高：三角形的一个顶点到它对边的垂线段．中线：三角形的一个顶点到它对边中点的连线段．角平分线：一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．精讲：（1）三条高所在的直线相交于一点（垂心）．①锐角三角形三条高的交点在三角形的内部（如图5-1）；②钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，这点在三角形外部（如图5-2）；③直角三角形的三条高的交点是直角顶点（如图5-3）．图5-1 图5-2 图5-3 图5-4（2）三角形的三条中线相交于一点，如图5-4（重心），三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形．（3）三角形的三条角平分线相交于一点，如图（内心）四、三角形三个内角的和等于180°．表示：在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°．应用：在三角形中，已知两个角的度数，可求另一个角的度数；或已知各角之间的数量关系可求各角．推论：直角三角形的两个锐角互余，这个性质是由三角形的内角和定理得到的．反之，当一个三角形的两个锐角互余时，这个三角形是直角三角形．精讲：由三角形内角和定理可以推出以下几个常见结论：结论1：如图5-5，如果∠C ＝90°，则∠A ＋∠B ＝90°； AB C D AB CI A E C D B图5-5 图5-6 图5-7 图5-8 图5-9（图5-5未标注顶点ABC ）结论2：在△ABC 中，如果∠A ＋∠B ＝90°或∠A ＋∠B ＝∠C 或∠C －∠A ＝∠B 或∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 为直角三角形；结论3：如图5-6，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，则∠DBC ＝12∠A ； 结论4：如图5-7，在△ABC 中，∠ABC ,∠ACB 的角平分线相交于I ，则∠BIC ＝90°＋12∠A ． 结论5：如图5-8，在△ABC 中，AB ＝AC ，FD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则∠EDF ＝∠B ＝∠C ；结论6：如图5-9，在△ABC 中，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和高，则∠DAE ＝12|∠C －∠B |． A C B五、三角形的外角的性质性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．精讲：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证时经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．六、多边形1．多边形的对角线①从同一顶点出发，可以画（n－3）条对角线；②从同一顶点出发的对角线将n边形分成（n－2）个三角形；n n 条对角线．③n边形一共有(3)22．n边形的内角和等于(n－2)×180°．3．n边形的外角和等于360°．精讲：多边形的内角和随着边数的增加而增加，而且是每增一边，都增加180°，而外角和不随边数的变化而变化，保持度数不变．〖重难疑点·轻松破〗一、这三条线段能否构成三角形例1：下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗? .（1）5cm，8cm，2cm；（2）5cm，8cm，13cm；（3）5cm，8cm，5cm．分析：只要比较两条较短线段之和与最长线的大小即可.答案：（1）∵5＋2＝7< 8，不满足两边之和大于第三边∴不能摆成三角形.（2）∵5＋8＝13，出现两边之和等于第三边的情况∴不能摆成三角形.（3）∵5＋5＝10>8，两个较小边之和大于第三边，∴能摆成三角形．点评：如果三条线段能够构成三角形，则任意两边之和大于第三边．但是当两条较短线段长之和大于第三边的话，那么另外两组不等式也是成立的．变式练习1：下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cmC．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，40cm，8cm二、中线等分对边的应用三角形中线的应用体现在两个方面，一是讨论中线将三角形周长分成的两部分的关系；二是中线等分三角形面积问题．例2：如图5-10，等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．AB C D图5-10分析：由题意可知，中线BD 将△ABC 的周长分成AB ＋AD 和BC ＋CD 两部分（注意不是AB ＋AD ＋BD 和BC ＋CD ＋BD 两部分），故有两个可能（1）AB ＋AD ＝15且BC ＋CD ＝6；（2）AB ＋AD ＝6且BC ＋CD ＝15．再由AB ＝AC ＝2AD ＝2CD 及三角形三边关系知（1）成立，（2）不成立．解：设AB ＝AC ＝2x ，则AD ＝CD ＝x ．（1）当AB ＋AD ＝15，BC ＋CD ＝6时，有2x ＋x ＝15，所以x ＝5，2x ＝10，BC ＝6－5＝1．（2）当AB ＋AD ＝6，BC ＋CD ＝15时，有2x ＋x ＝6．所以x ＝2，2x ＝4，所以BC ＝13．因为4＋4＜13，故不能组成三角形．答：三角形的腰长为10，底边长为1．点评：（1）由于AD ＝CD ，因此本题中线BD 将△ABC 周长分成的两部分之差，等于AB 与BC 边长之差．（2）涉及等腰三角形边的问题时，常要分情况讨论，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去．变式练习2：在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 上的中线BD 把三角形的周长分为24cm 和30cm 的两个部分，求三角形的三边长．例3：如图5-11，在△ABC 中，AD ，BE ，CF 是三条中线，它们相交于同一点G ，问△AGF 的面积和△AGE 的面积是否相等？为什么？图5-11分析：三角形的中线可将三角形的面积分成面积相等的两部分，本题中除了AD ，CF ，BE 可以看作中线外，GF ，GE ，GD 也可以看作中线．解：这两个三角形的面积相等.理由：∵AD 是BC 边上的中线，∴△ABD 与△ADC 等底同高，∴S △ABD ＝S △ADC ．同理：S △BGD ＝S △CGD ．∴S △ABG ＝S △AGC ．∵GE ，GF 分别是△AGC ，△AGB 的中线．∴S △AGF ＝S △BFG ，S △AGE ＝S △GEC ．∴S △AGF ＝S △AGE点评：根据“三角形的面积＝21×底×高”可知，“同高等底的两个三角形的面积相等”本题正是利用这一性质解决问题的．变式练习3：如图5-12，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且ABC S △＝4cm 2，则BEF S △＝_______cm 2． AB DC EF图5-12三、基本图形――两角平分线的夹角问题三角形中两个内角平分线夹角、一个内角和一个外角平分线的夹角、以及两个外角平分线的夹角都与第三个内角有关，了解这些结论推导的过程，并熟记这些结论，对今后的解题有很大的帮助．例4：如图5-13，已知在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的外角∠ACE ，BD 、CD 相交于点D ．求证：∠A ＝2∠D ；图5-13分析：根据外角性质可得∠A ＝∠ACE －∠ABC ，∠D ＝∠DCE －∠DBC ，要证明∠A ＝2∠D ，只需证明∠ACE －∠ABC ＝2(∠DCE －∠DBC )即可．证明：∵BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的外角∠ACE ，∴∠ACE ＝2∠DCE ，∠ABC ＝2∠DBC∵∠A ＝∠ACE －∠ABC ，∠D ＝∠DCE －∠DBC∴∠A ＝2∠D ．模型梳理：在三角形中，一个外角平分线和一个内角平分线的夹角等于第三个角度数的一半，即∠D ＝12∠A ； 类似的结论还有：（1）如图5-14，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，则∠BOC ＝90°＋12∠A ． （2）如图5-15，在△ABC 中，CP ，BP 分别是∠ACB ，∠ABC 的外角的平分线，则∠P ＝90°－12∠A ，可见∠P 为锐角． AB C O A B C P D E图5-14 图5-15变式练习4：如图5-16，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 和∠C 的三等分线分别交于点D ，E ，则∠BDC 等于_______．图5-16四、利用外角求角度例5：一个零件的形状如图5-17，按规定，∠CAB 应等于90°，∠C ，∠B 应分别等于20°和300．李师傅量得∠CDB ＝142°，就断定了这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？A B CD E图5-17分析：由于李师傅量得∠CDB ＝142°，我们可由∠CAB ＝90°,∠B ＝∠C ＝20°计算出∠CDB 的度数，如果∠CDB 不等于142°，则这个零件肯定不合适．解：延长BD 交AC 于E ，则∠CDB ＝∠C ＋∠CED ；又∠CED ＝∠CAB ＋∠B ，所以∠CDB ＝∠C ＋∠CAB ＋∠B ＝140°．而实际测量∠CDB ＝142°，所以可以断定这个零件不合格．点评：（1）解形如图5-17的图形的角度计算问题时，我们常常通过延长某条线段将该图形分割成两个三角形，构造三角形的外角解决问题．（2）从本题的解法可以总结出这样一个规律：∠CDB ＝∠C ＋∠CAB ＋∠B ．变式练习5：如图5-18，△ABC 的三条角平分线交于点O ，过O 作OE ⊥BC 于E ，求证：∠BOD ＝∠COEAB C DEC B AH G DE O图5-18五、基本图形――“又”字型例6：如图5-19，BE 与CD 交于A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 平分线．（1）试探求：∠F 与∠B ，∠D 之间的关系？（2）若∠B ∶∠D ∶∠F ＝2∶4∶x ．求x 的值．DE FA B C G HD E F C G E F B C H D E A B C图5-19 图5-20 图5-21 图5-22分析：这个图形我们可分解为图5-20、图5-21、图5-22三个基本图形，这三个基本图形分别可得结论：①∠D ＋∠DEF ＝∠F ＋∠DCF ；②∠F ＋∠FEB ＝∠B ＋∠BCF ；③∠D ＋∠DEB ＝∠B ＋∠BCD ．我们可任选两个结论来探究∠F 与∠B ,∠D 之间的关系．证明：∵∠EGC ＝∠D ＋∠DEF ，∠EGC ＝∠F ＋∠DCF ，∴∠D ＋∠DEF ＝∠F ＋∠DCF ．即∠D －∠F ＝∠DCF －∠DEF ．同样道理：∠F －∠B ＝∠BCF －∠FEB ．∵CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 平分线，∴∠DCF ＝∠BCF ，∠DEF ＝∠FEB ，∴∠DCF －∠DEF ＝∠BCF －∠FEB ．∴∠D －∠F ＝∠F －∠B ．即2∠F ＝∠B ＋∠D（2）设∠B ＝2k ，∠D =4k ，∠F ＝xk ，∵2∠F ＝∠B ＋∠D ，∴2xk ＝2k ＋4k ，解得：x ＝3．点评：本题问题的顺利解决主要得益于基本图形的使用，平时注意积累基本图形及其基本规律对于解题非常有帮助，同时对于复杂的图形，我们要善于将复杂的图形分解成简单的图形，从而发现解题思路．变式练习6：如图5-23，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．图5-23六、多边形边数的探究思路例7：如果一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为1190°，则这个多边形的边数是多少？这个内角是多少度？分析：从n边形的内角和我们可以看出两方面内容：一是多边形的内角和是180°的倍数；二是多边形的内角和与多边形的边数有关，如果将内角和除以180°，然后加2后就等于多边形边数；在本题中，这个多边形的内角和是比1190°大，是180°的倍数，而且是与1190°最接近的那个180°的倍数，所以这个多边形的内角和为1260°．解：设这个多边形为n边形由题意：这个多边形的内角和为1260°∴180（n－2）＝1260，解得n＝91260°－1190°＝70°答：这个多边形为九边形，这个内角为70°．点评：判断一个多边形的内角和是否计算错误，首先这个内角和必须是180°的倍数，如果少计算了一个角，则内角和要比计算结果大，与计算结果最接近的那个180°的倍数，如果多计算了一个角，则内角和要比计算结果小，也是与计算结果最接近的那个180°的倍数．变式练习7：一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能例8：如果一个各边都相等的多边形，若它的每一个内角是144°，则这个多边形是（）A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形分析：本题有两种解决问题的思路，思路一是借助多边形的内角和定理，设这个多边形为n 边形，则这个多边形的内角和为180(n－2)°或144n°，则可得方程180(n－2)＝144n，求出这个多边形的边数；思路二是转化为多边形的外角来求，由于这个多边形的每个内角为144°，所以它的每个外角等于36°，根据多边形的外角和是360°可知这个多边形是十边形．解：法一：设这个多边形为n边形．则180(n－2)＝144n，解得n＝10．答：这个多边形是十边形．法二：因为这个多边形的每一个内角是144°，所以这个多边形每个外角等于36°，360°÷36°＝10．答：这个多边形是十边形．点评：尽管多边形的内角和度数随着边数的增加而增加，但是多边形的外角和的度数始终保持不变，利用这一不变性，可使问题变得简单．变式练习8：一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为（）．A．9B．8C．7D．6【课时作业·轻松练】A．基础题组1．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2．能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的是（ ）．A ．高B ．中线和角平分线C ．角平分线D ．中线3．如图5-24，AE ，AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B ＝36°，∠C ＝76°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．40°B ．20°C ．18°D ．38° AE C D B图5-244．如图5-25，∠A ＝55°，∠B ＝30°，∠C ＝35°，求∠D 的度数．图5-255．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是_______．B ．提升题组6．如图5-26，把△ABC 的纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1,∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律为_______________． 1 2 BC AE D 图5-267．如图5-27，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ,△ADF ,△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝_________．图5-278．如图5-28，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，且∠B ＝3∠BAD ，求∠ADC 的度数．CAB D图5-289．（1）如图5-29，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY ，XZ 分别经过点B ，C ，△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ 度，∠XBC ＋∠XCB ＝ 度；（2）如图5-30，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY ,XZ 仍然分别经过点B ,C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．X XYA BCCB A YZ Z图5-29 图5-3010．如图5-31，∠XOY ＝90°，点A ，B 分别在射线OX ，OY 上移动，BE 是∠ABY 的平分线，BE的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，试问∠ACB 的大小是否发生变化，如果保持不变，请给出证明，如果随点A ，B 移动发生变化，请求出变化范围．YXOA BCE图5-31〖中考试题初体验〗1．（2013湖南长沙 3， 3分）如果一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边可能是（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．82．（2013四川达州，17，3分）如图5-32，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013＝___度．图5-32五、我的错题本参考答案变式练习1.答案：C解析：较短的两边长度之和大于较长的边．2.答案：三角形的三边长分别为20，20，14或16，16，223.答案：1解析：△BEF面积等于△BEC面积的一半，而△ABE与△BDE，△ACE与△CDE的面积相等，所以△BEF的面积等于△ABC面积的四分之一．4.答案：88°解析：∵∠B和∠C的三等分线分别交于点D，E，∴∠DBC＝23∠ABC，∠DCB＝23∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝138°，∴∠DBC＋∠DCB＝23(∠ABC＋∠ACB)＝92°．5. 证明：∵AD，BG，CH是△ABC的三条角平分线，∴∠ABG＝12∠ABC，∠BAD＝12∠BAC，∠BCH＝12∠ACB∵∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∴∠ABG＋∠BAD＋∠BCH＝90°∴∠ABG＋∠BAD＝90°－∠BCH∵OE⊥BC，∴∠BCH＋∠COE＝90°，∴∠COE＝90°－∠BCH∴∠BOD＝∠COE6.解：∵∠GKF＝∠E＋∠F，∠GKF＝∠KGH＋∠KHG，∴∠E＋∠F＝∠KGH＋∠KHG，同理：∠A＋∠B＝∠GKH＋∠KHG，∠C＋∠D＝∠KGH＋∠GKH．∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2(∠KGH＋∠GKH＋∠KHG)=360°．7.答案：D解析：由多边形的内角和公式得，（n-2）180=1620,解得n=11；通过操作可以发现，一个多边形截取一个角后，所得出的边数与原多边形边数比较有三种情况：等于原边数、比原边数少1、比原边数多1．8.答案：D解析：设这个多边形的边数为n ，则有120n ＝(n －2)180，解得n ＝6． 课时作业·轻松练 A ．基础题组 1.答案：C 2．答案：D 3．答案：B 解析：∠DAE ＝12(∠C －∠B )． 4．延长BD 到点E ，∵∠A ＝55°，∠B ＝30°，∴∠BEC ＝∠A ＋∠B ＝85°，∴∠BDC ＝∠BEC＋∠C ＝120°． 5．答案：10解析：多边形的外角和为360°，而正多边形的每个外角都相等，都是36°． B.提升题组 6．2∠A ＝∠1＋∠2解析:∵∠1＝180°－2∠ADE , ∠2＝180°－2∠AED,∴∠1＋∠2=2(180°－∠ADE －∠AED )= 2∠A. 7．答案：2解析：∵EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，∴S △ACE ＝23S △ABC ＝8，S △BCD ＝12S △ABC ＝6，S △ADF －S △BEF ＝S △ACE －S △BCD ＝2．8．解：设∠BAD ＝x °，则∠B ＝3x °，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠BAD ＝2x °，∵∠C ＝90°，∴∠BAC ＋∠B ＝90°，∴3x °＋2x °＝90°，解得：x ＝18，∴∠ADC ＝72°． 9．（1）150、90；（2）不变化、60°． 10．∠C 的大小保持不变．理由：∵∠ABY ＝90°＋∠OAB ，AC 平分∠OAB ，BE 平分∠ABY ， ∴∠ABE ＝21∠ABY ＝21（90°＋∠OAB ）＝45°＋21∠OAB ， 即∠ABE ＝45°＋∠CAB ，又∵∠ABE ＝∠C ＋∠CAB ， ∴∠C ＝45°，故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°. 中考试题初体验1．答案：B解析：本题考查了三角形的三边关系，由于“三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边”知三条线段能组成三角形的条件是任何两边之和都大于第三边，对于选项A 中2＋2＝4，不能构成三角形；选项C 中2＋4＝6，不能构成三角形；选项D 中2＋4＜8，不能构成三角形；只有选项B 能构成三角形．2．答案：20132m解析：利用角平分先性质、三角形外角性质，易证∠A 1＝21∠A ，进而可求∠A 1，由于∠A 1＝21∠A ，∠A 2＝21∠A 1＝221∠A ，…，以此类推可知∠A 2013＝201321∠A ＝ 20132m 度．。
三角形内角和 课件
三角形的内角和
数学文化
法国著名的数学家帕斯卡在12岁 的某一天正在拿着粉笔在地上画各 种图形，画着画着，他突然发现了 一个惊人的秘密，从此,图形的世界 更加流光溢彩，我们的探究之旅也 由此展开……
帕斯卡的验证过程
直角三角形内角和
360°÷ 2 = 180°
直角三角形内角和
量
600
锐角三角形
480
720
600＋480＋720＝1800
量
380
钝角三角形
260
1160
1160＋260＋380＝1800
撕
3
1
2
3
21
平角：180°
折
1
22 3 3
平角：180°
1
算
180° 180°
180°×2-90°-90°=180°
算
180° 180°
180°×2-90°-90°=180°
45°
60°
45°
30°
∟
∟
所有直角三角形的内角和是180°
小组合作要求
1.请把三角形的三个角涂成不同的颜色，并 标出∠1 ∠2 ∠3。
2.想办法验证手中不同的三角形的内角和是多少。
小组汇报要求
1.汇报流程：
选了什么三角形 用什么方法验证 结论是什么
2.其他小组汇报后，如果同意请送出掌声； 如果不同意请举手发言。
结论：
所有三角形的内角和都是180 °
1.算出笑脸所遮盖角的度数。
70° 80° 30°
∟
பைடு நூலகம்65°
25°
180 °— 80 °— 30 °=70 ° 180 °— 90 °— 25 °=65 °
人教版四年级数学下册教材分析ppt
• • • •
⑥12×25 =12×5×5 =6Байду номын сангаас×5 =300
第四单元 小数的意义和性质 教学内容：小数的意义和性质、小数的大小比较、生活中的小数、 求一个小数的近似数。 教学目标： 1．使学生理解小数的意义，认识小数的计数单位， 会 读 、 写 小 数 ， 会 比 较 小 数 的 大 小 。 2 ．使学生掌握小数的性质和小数点位置移动引起小数大小变 化 的 规 律 。 3．使学生会进行小数和十进复名数的相互改写。 4 ．使学生能够根据要求会用“四舍五入法”保留一定的小数 数位，求出小数的近似数，并能把较大的数改写成用万或亿作单位 的小数。 重点：小数的意义和性质、小数大小的比较、小数点位置的移动 引起小数大小的变化。
教学感悟
• 1、突出折线统计图的特点。 • 2、规范作图。 • 3、回答问题要完整。
（四）“实践与综合应用”领 域
• 第八单元 数学广角。 • 教学内容：一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情况，两端 都不栽的情况 ，封闭曲线(方阵)中的植树问题 • 教学目标： 1．使学生通过生活中的事例，初步体会解决植树问题的思想 方法。 2．初步培养学生从实际问题中探索规律、找出解决问题的有 效方法的能力。 3．让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的 方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决 实际问题的能力。 • 重点：体会解决植树问题的思想方法。 • 难点：尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题。
3 单元 运
算
2单元 1单元
位
四则 运 算
4单元
小数意义 和性质
定 便 律与 计 简 算
方 置与
向
5单元
三角形
折 线
三角形全等的判定：角边角和角角边_课件
结论
两角和其中一角对边对应相等的两个三角形全等 简写为“角角边”或“AAS”.
书写规范
如何书写三角形全等的证明过程呢？
在△ABC与△DEF 中
∠B =∠E ∠A =∠D
一定要按“角，角， 边”的顺序列举条件
AC =DF
已知：点E 是正方形ABCD 的边CD上一点，点F 是CB 的延长 线上一点，且EA⊥AF，求证：DE=BF．
提示：证明△ABF ≌△ADE．
已知△ABC 中，BE ⊥AD 于E，CF⊥AD 于F，且BE =CF， 那么BD与DC 相等吗？
提示：证明△BDE ≌△CDF．
补充题 如图，AB∥CD，AD∥BC，那么 AB =CD 吗？为什么 ？AD 与BC 呢？
2．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B 的距离，可以在 池塘外取AB 的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画BF 的 垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE 的长就是 AB 的长．为什么？
如图，小明、小强一起踢球，不小心把一块三角形的装饰玻 璃踢碎了，摔成了3 块，两人决定赔偿．你能告诉他们只带其 中哪一块去玻璃店，就可以买到一块完全一样的玻璃吗？
结论
两角及夹边对应相等的两个三角形全等 简写为“角边角”或“ASA”.
结论 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能 制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形 的原貌吗？
这利用的是什么原理呢？
ASA可以判定三角形全等．
书写规范
如何书写三角形全等的证明过程呢？
在△ABC 与△DEF 中
八年级数学
精品 课件
第十二章 全等三角形：三角形全等的判定
冀教版四年级数学下册《9-1 多边形的内角和》课堂教学课件PPT小学优秀公开课
如果一个正多边形的一个内角等于150°, 则这个多边形的边数A 是_____
A.12 B.9 C. 8
D.7
如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这 个多边形的边数是__1_2_
请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
请问：四边形从一个顶点出发，能引出1条对角线？ 请问：五边形从一个顶点出发，能引出2条对角线？
请问：六边形从一个顶点出发，能引出3条对角线？ ……
请问：N边形从一个顶点出发，能引出N-3条对角线？
我们已经知道一个三角形的内角和等于180°， 那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形 呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？
●Leabharlann n=7已知在一个十边形中，九个内角的和 的度数是1290°，求这个十边形的另一 个内角的度数.
先求出十边形的内角和再减去1290°,就可 以得出.
● 解: （10－2）×180° =1440 °
● 则十边形的另一个内角的度数为
●
1440 °- 1290° =150 °
那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?
由此，我们就可以得出 :
● (n-2) n边形的内角和为_________________． 180 °
它有什么作用 呢?
1.知道多边形的边数，可以求出多边形的度 数. 2.知道多边形的度数，可以求出多边形的边数.
典题精讲
求八边形的内角和的度数．
分析: n边形的内角和公式为(n-2) 180 °， 现在知道这个多边形的边数，代入这个公式 既可求出.
冀教版 数学 四年级下册