相似三角形的判定及证明技巧讲义
数学讲义：相似三角形判定和性质
15、八年级数学培佳班：相似判定和性质姓名一、知识梳理（1）本单元的知识结构数学的单元复习最重要就是梳理知识，穿线结网，形成清晰的知识链，就“相似三角形”这一单元而言，其知识网络大致如图所示：一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）（平行）B （不平行）（二）8字型、反8字型BCB C（蝴蝶型）（平行）（不平行） （三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景一线三等角的变形（五）一线三直角型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。
8字型拓展【典型例题】1．已知在平行四边形ABCD 中，AC =2AB ；求证：∠ABD =∠DAC2．已知：如图，在△ABC 中，∠ADE =∠B ，∠BAC =∠DAE ．（1）求证：ACAEAB AD =； （2）当∠BAC =90°时，求证：EC ⊥BC ．3、在Rt ABC ∆中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点,且CE =13AC ,BF =13BC . (1 )求证∶AC BC =CDBD.(2 )求EDF ∠的度数.4、如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．求证：（1）EG CGAD CD =； （2）FD ⊥DG ．EFEDC BA GF E D CBAC【三等角问题】（1）如图已知△ABC 中，AB=AC,∠APQ=∠B ，求证:△ABP ∽△PCQ变式:等边△ABC 的边长为6,点E 在AC 上,AE=2,BE 的中垂线交AB 于点P,交BC 于点F求 :BPBF的值.【重心问题】（重心问题）在∆ABC 中，矩形DEFG 的一边FG 在BC 上，点D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是BC 边上的高，BC=10，AH=6.（1）如图4，若DG=2DE ，求DE 的长；（2）如图5，对角线DF 与EG 的交点过∆ABC 的重心O ，求矩形DEFG 的面积.（面积问题）在平行四边形ABCD 中，AB=5，AD=3，平行四边形面积是10，点P 是AB 上一动点，（点P 不与点A 、点B 重合），过点P 作PQ ∥AD 交BD 于Q ，连结CQ ，设AP 的长为x ，四边形QPBC 的面积为y 。
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形详细讲义
知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的性质与判定专题讲义
相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。
（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割： _____（2）两角对应相等：（3）两边夹：（4）三边比：_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。
二、基础练习1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：162．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（）A．10cm2B．14cm2C．16cm2D．18cm23．如图，已知△ABC，AB=6，AC=4，D为AB边上一点，且AD=2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE=（）A．2 B．34C．3或43D．3或344．（2008•毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（）A．10cm，25cm，30cmB ．10cm ，30cm ，36cm 或10cm ，12cm ，30cmC ．10cm ，30cm ，36cmD ．10cm ，25cm ，30cm 或12cm ，30cm ，36cm 5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．6．如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB＝5，求： （1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；三、 重难点高效突破专题一：计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。
九年级数学相似三角形的判定及证明技巧讲义
相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。
本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。
2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。
3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。
4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。
2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。
3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。
4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。
以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。
在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。
同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。
祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。
知识讲解—相似三角形的判定及有关性质
条件二：∠2=∠ACB.
条件三： ，即 .
【变式2】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，
Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．
【答案】因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：
∴
【变式4】如右图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H.
求证：(1)DG2＝BG·CG；
(2)BG·CG＝GF·GH.
【答案】(1)DG为Rt△BCD斜边上的高，
∴由射影定理得DG2＝BG·CG.
(2)∵DG⊥BC，∴∠ABC＋∠H＝90°，
2有时需要用到方程的思想.
3在复杂图形中分解出射影定理的基本图形来使用它的性质进行证明，是一种常用的证明线段等积式的方法，必要时需结合代换线段或线段的等积式来解决问题.
【典型例题】
类型一、平行截线定理的应用
例1.如图，D、E、F分别为△ABC边BC、CA、AB上的点， 。连结DE、CF。求证：DE和CF互相平分。
要点三、射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。
如右图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。
要点诠释：
1根据射影定理，已知“直角三角形斜边上的高”图形中六条线段中的任意两条，就可求出其余四条线段，
∴DE和CF互相平分
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形的性质与判定讲义
ABC D E相似三角形的性质和判定（讲义）一、 知识点睛1. 相似三角形的性质：______________、_______________．2. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；对应面积的比等于_____________． 3. 相似三角形的判定：① __________________________________________； ② __________________________________________； ③ __________________________________________．二、 精讲精练1. 两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别是40°,60°，那么另一个三角形的最大内角是 ， 最小内角是 ．2. 若△ABC ∽△DEF ，AB =6cm ，BC =4cm ，AC =9cm ，且△DEF 的最短边为8cm ，则最长边为（ ） A ．16cm B ．18cm C ．4.5cmD ．13cm3. 如图，△ADE ∽△ABC ，AD =3BD ,S △ABC =48，则S △ADE = ．第3题图 第4题图4. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ,AB =AC =3，BC =4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF = ． 5. 如图，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=； ④AC 2=AD ·AB ．其中能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4B′FB EA第5题图BCDA6. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 某种三角形架子由钢条焊接而成.在这种三角形架子的设计图上，其三边长分别为4cm ，3cm ，5cm .现有两根钢条，一根长60cm ，另一根长180cm ，若用其中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段，作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图纸上的形状相同（即相似），则共有_____种不同的做法.（焊接用料忽略不计）8. 如图，AB ∥DE ，若AB :DE =1:2，AC =2，BC =3，则CE = ，CD = ．第8题 第9题9. 如图，若AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，则AB = ．10. 如图，D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，∠1=∠B ，若AE =EC =4，BC =10，AB =12，则△ADE 和△ACB 的周长之比为 ．CBAE DCBAEBCD A1ED CBA11. 如图，△PMN 是等边三角形，∠APB =120°．求证：AM ·PB =PN ·AP ．21BNMAP12. 如图，M 为线段AB 上一点，AE 与BD 交于点C ， ∠DME =∠A =∠B =α，且DM 交AC 于点F ，ME 交BD 于点G ．求证：△AMF ∽△BGM ．GFMEDC BA13. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，AD ，A′D′分别是边BC ，B′C′上的中线，求证：ADk A'D'=.D'DC'B'A'C BA14.如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止运动,设运动时间为t秒．当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．【参考答案】一、知识点睛1.相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例．2.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比；对应面积的比等于相似比的平方．3.相似三角形的判定：④两组角对应相等的两个三角形相似；⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；⑥三边对应成比例的两个三角形相似．二、精讲精练1.80°；40°2. B3.274.127或25. C6. A7. 38.4；69. 410.1:311.证明略（提示：通过∠A=∠2，∠AMP=∠PNB=120°，证明△AMP∽△PNB）12.证明略（提示：通过∠A=∠B，∠AFM=∠BMG，证明△AMF∽△BGM）13.证明略（提示：证明△ABD∽△A′B′D′）14.当△DBE∽△ABC时，t=125；当△DBE∽△CBA时，t=32 11．相似三角形的性质和判定（随堂测试）1. 将两个等腰直角三角形摆成如图所示的样子，所有的点都在同一平面内． （1）求证：△ABE ∽△DAE ； （2）求证：△DCA ∽△DAE ； （3）求证：△ABE ∽△DCA .2. 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ．求证：E 是AC 的中点．【参考答案】1. 证明略【提示：（1）（2）利用两组角对应相等来判定相似；由（1）（2）的结论推出对应角相等来证明（3）】2. 证明略（提示:证明△ADE ∽△ABC ）EDBAABDCEF G相似三角形的性质和判定（作业）1. 在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x =______，y =______，m =______，n =______．（2） （1）m°50°60°y 3a n °1070°50°4a 4830332022x2. 将三角形纸片△ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF ，AB =AC =4，BC =5，若以点B′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则CF =______．第2题图 第3题图 3. 如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个 条件：①∠ACP =∠B ；②∠APC =∠ACB ；③2AC AP AB =⋅；④AB CP AP CB ⋅=⋅．其中能判定△APC 和△ACB 相似的是________． 4. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．B PCAB′CF EA5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ，13AD BC =，若OA =1，OD =32，则OB =______，OC =______．6. 如图，在△ABC 中，CD =CE ，∠A =∠ECB ．求证：CD 2=AD ·BE ．ED CBA7. 如图，在Rt △ABC 中，AB =3cm ，AC =6cm ．动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时动点N 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，当一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．MCBA O D AB C【参考答案】1.32；152；70；602.259或523.①②③4. B5.92；36.证明略（提示：证明△ADC∽△CEB）7.当△MAN∽△BAC时，t=32；当△MAN∽△CAB时，t=12 5。
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相似三角形（三）
知识点（一）：相似三角形的证明技巧
1.相似三角形的基本图形
2.相似三角形判定定理（3条）
3.相似三角形的具体解题方法
1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？）
例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
分析方法：
1）先将积式______________
2）______________（“横定”还是“竖定”？）
练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。
求证：CD2=DE·DF。
A
D E
F B
C
2.过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．
(1)等量过渡法（等线段代换法）
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的
延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．
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(2)等比过渡法（等比代换法）
当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代
换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED 交AB的延长线于点F．
求证：ABDFACAF ．
（3）等积过渡法（等积代换法）
思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC 延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝
DF·DG．
小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；
不相似，不用急：等线等比来代替。
”
4.确定证明的切入点。
几何证明题的证明方法主要有三个方面。
第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第三，从
“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为
清晰的思维过程。
5.相似三角形中的辅助线
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：
一、作平行线
例1. 如图，?ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE
延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE?
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B
D
A C
F E
例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF.
例3、如图，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.
二、作延长线
例1.如图，已知平行四边ABCD中，E是AB
的中点，AF=31AD，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．
D C
F
A E B
综合练习
1.已知：如图，在ABC?中，BDAACAB,36,????是角平分线，试利用三角形相似的关系说明ACDCAD??2．
2.如图，矩形ABCD中，3AD?厘米，ABa?厘米（3a?）．动点MN，同时从B点出发，分别沿BA?，BC?运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于PQ，．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若4a?厘米，1t?秒，则PM?______厘米；
（2）若5a?厘米，求时间t，使PNBPAD△∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求t(用表示)
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