湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷及答案
2025届湖北省黄冈、华师大附中高三第四次模拟考试数学试卷含解析
2025届湖北省黄冈、华师大附中高三第四次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B ．22C ．4D ．83．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 4．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．7 D ．85．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行6．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ）A ．25B ．32C ．35D ．408．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ） A ．24()27 B ．34()27 C ．44()27 D ．54()2710．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x = 12．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S =，P 为线段AB 上的一点，且CACB CP x y CA CB=⋅+⋅，则11x y +的最小值为（ ）A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年黄冈中学自主招生预录考试数学模拟试题及答案解析(五)
2019年黄冈中学自主招生预录考试数学模拟试题（五）一．填空题（每题3分，共24分）1．（3分）+=．2．（3分）（x2﹣x﹣2）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a12+a10+a8+a6+a4+a2=．3．（3分）如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．4．（3分）已知x为实数，则的最大值是．5．（3分）关于x的方程有实根，则a的取值范围是．6．（3分）已知f（x）=﹣，则f（x）的最大值是．7．（3分）如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D．则CD 的最大值为．(第7题图) (第8题图)8．（3分）如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是．二．选择题（每小题3分，共24分）9．（3分）记A=，再记[A]表示不超过A的最大整数，则[A]（）A．2010 B．2011 C．2012 D．201310．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），下面说法错误的是（）A．x=﹣2，y=5 B．1＜x2＜2C．当x1＜x＜x2时，y＞0 D．当x=时，y有最小值11．（3分）如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A．AD的中点B．AE：ED=（﹣1）：2C．AE：ED=：1 D．AE：ED=（﹣1）：212．（3分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．D．13．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π14．（3分）如图，以半圆的一条弦AN为对称轴将弧AN折叠过来和直径MN交于B点，如果MB：BN=2：3，且MN=10，则弦AN的长为（）A．B．C．D．15．（3分）两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．15116．（3分）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均=（）在双曲线（x＞0）上，则图中S△OBPA．B．C．D．4三.解答题17．（12分）如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接正方形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．18．（14分）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12.1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？19．（14分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．20．（16分）如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．求证：．21．（16分）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG 上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．2019年黄冈中学自主招生预录考试数学模拟试题（五）参考答案与试题解析一．填空题（每题3分，共24分）1．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）+=2﹣．【分析】先根据二次根式的性质开方，再分母有理化，即可得出答案．【解答】解：原式=+=+=+=﹣+2﹣=2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查了分母有理化和二次根式的性质的应用，注意：n+m的有理化因式是n﹣m．2．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）（x2﹣x﹣2）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a12+a10+a8+a6+a4+a2=﹣32．【分析】先把x=0代入等式可计算出a0=64，再分别把x=1和﹣1代入等式可得到a12+a11+a10+…+a2+a1+a0=64，a12﹣a11+a10+…+a2﹣a1+a0=0，然后把两式相加即可得到2a12+2a10+2a8+2a6+2a4+2a2+2a0=64，再把a0=64代入计算即可．【解答】解：把x=0代入得a0=（﹣2）6=64，把x=1代入得a12+a11+a10+…+a2+a1+a0=（1﹣1﹣2）2=64，把x=﹣1代入得a12﹣a11+a10+…+a2﹣a1+a0=（1+1﹣2）2=0，所以2a12+2a10+2a8+2a6+2a4+2a2+2a0=64，所以a12+a10+a8+a6+a4+a2=（64﹣2×64）=﹣32．故答案为﹣32．【点评】本题考查了代数式求值：先把代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体思想进行计算．3．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是﹣6、﹣．【分析】按x≥1和x＜1分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的b的值．【解答】解：当x≥1时，函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3=x2﹣7x，图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），当x＜1时，函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3=x2﹣x﹣6，顶点坐标为（，﹣），∴当b=﹣6或b=﹣时，两图象恰有三个交点．故本题答案为：﹣6，﹣．【点评】本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．4．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知x为实数，则的最大值是2．【分析】设y=+，然后把等式两边平方，再根据二次函数的最值问题求出y2的最大值，开方即可得解．【解答】解：设y=+，则y2=8﹣x+2+x﹣2=2+6，∴当x=5时，y2有最大值，为12，∴y的最大值是=2，即+的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，利用二次函数的最值问题求出所求代数式的平方的最大值是解题的关键．5．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）关于x的方程有实根，则a的取值范围是﹣3＜a≤2．【分析】设y=，方程变形后，根据方程有实根，得到根的判别式大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：设y=，方程变形为y2﹣6y+2﹣a=0，抛物线对称轴为y=3，开口向上．∵方程有实根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4（2﹣a）=28+4a≥0，解得：a≥﹣7，又y=的取值范围为0≤y＜1即方程在0≤y＜1．所以有f（0）=2﹣a≥0，f（1）=﹣3﹣a＜0，解得﹣3＜a≤2故答案为：﹣3＜a≤2【点评】此题考查了分式方程的解，以及根与系数的关系，利用了整体代换的思想，是一道基本题型．6．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知f（x）=﹣，则f（x）的最大值是．【分析】f（x）的最大值可以看作x轴上的点到点（3，3），（1，2）的最大距离，即两点之间的距离．【解答】解：如图：f（x）=﹣，可以看作x轴上的点到点（3，3），（1，2）的最大距离，最大距离为两点之间的距离，即：=．故答案为：．【点评】本题主要考查了无理函数的最值，解题的关键是运用数形结合的思想．7．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD ⊥OC交⊙O于点D．则CD的最大值为．【分析】作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再利用相交弦定理得CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为．【解答】解：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，∴AH=BH=AB=，∵CD⊥OC，∴CD=CE，∵CD•CE=BC•AC，∴CD2=（BH﹣CH）（AH+CH）=（﹣CH）（+CH）=3﹣CH2，∴CD=，∴当CH最小时，CD最大，而C点运动到H点时，CH最小，此时CD=，即CD的最大值为．故答案为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．8．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC 的最大值是3+4．【分析】过点B作BE⊥BP使点E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，连接AE、PE、PC，然后求出PE= PB，再求出∠ABE=∠CBP，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=PC，再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大，也就是PC最大．【解答】解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，则PE=PB=4，∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°，∴∠ABE=∠CBP，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴AE=PC，由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大，此时AE=AP+PE=3+4，所以，PC的最大值是3+4．故答案为：3+4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是能巧妙利用三角形全等的知识，构造全等三角形，把求PC的长转化成求AE的长．二．选择题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）记A=，再记[A]表示不超过A的最大整数，则[A]（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【分析】先通分得到1++=，再把分子变形得到完全平方公式，所以=，变形得：1+﹣，则A=1+﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣，计算得到2013，然后根据[x]表示不超过x 的最大整数求解．【解答】解：∵1++====，∴==1+﹣，∴A=1+﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣=2013，∴[A]=[2013]=2013．故选：D．【点评】此题主要考查了取整计算，利用完全平方公式以及分式的加减运算法则将原式变形得出=1+﹣是解题关键．10．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），下面说法错误的是（）A．x=﹣2，y=5 B．1＜x2＜2C．当x1＜x＜x2时，y＞0 D．当x=时，y有最小值【分析】分别结合图表中数据得出二次函数对称轴以及图象与x轴的交点范围和自变量x与y的对应情况，进而得出答案．【解答】解：A、利用图表中x=0，1时对应y的值相等，x=﹣1，2时对应y的值相等，∴x=﹣2，5时对应y的值相等，∴x=﹣2，y=5，故此选项正确，不合题意；B、∵方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），且x=1时y=﹣1，x=2时，y=1，∴1＜x2＜2，故此选项正确，不合题意；C、由题意，结合点的坐标，如图所示，可得出二次函数图象向上，∴当x1＜x＜x2时，y＜0，故此选项错误，符合题意；D、∵利用图表中x=0，1时对应y的值相等，∴当x=时，y有最小值，故此选项正确，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及利用图象上点的坐标得出函数的性质，利用数形结合得出是解题关键．11．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A．AD的中点B．AE：ED=（﹣1）：2 C．AE：ED=：1 D．AE：ED=（﹣1）：2【分析】设AE=x．则DE=1﹣x．剪下的两个正方形的面积之和为y，所以由正方形的面积公式得到y=AE2+DE2=2（x﹣）2+．当x=时，y取最小值．即点E是AD的中点．、【解答】解：设AE=x．则DE=1﹣x．剪下的两个正方形的面积之和为y，则y=AE2+DE2=x2+（1﹣x）2=2（x﹣）2+．当x=时，y取最小值．即点E是AD的中点．故选A．【点评】本题考查了二次函数的最值．此题是利用配方法求得二次函数的最值的．12．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．D．【分析】设OA的中点是D，则∠CDO=90°，这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积，从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去两个半圆的面积，加上两个弧OC 围成的面积的2倍就是阴影部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：设OA的中点是D，则∠CDO=90°，半径为rS扇形OAB=πr2S半圆OAC=π（）2=πr2S△ODC=××=r2S弧OC=S半圆OAC﹣S△ODC=πr2﹣r2两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为πr2﹣r2图中阴影部分的面积为πr2﹣2×πr2+2（πr2﹣r2）=πr2﹣r2∴该点刚好来自阴影部分的概率是：1﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了几何概型，解题的关键是求阴影部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题．13．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．14．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，以半圆的一条弦AN为对称轴将弧AN折叠过来和直径MN 交于B点，如果MB：BN=2：3，且MN=10，则弦AN的长为（）A．B．C．D．【分析】作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，可得M、A、M′三点共线，MA=M′A，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．而M′A•M′M=M′B′•M′N，即M′A•2M′A=4×10=40．则M′A2=20，又∵M′A2=M′N2﹣AN2，∴20=100﹣AN2，∴AN=4．故选B．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．15．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．151【分析】根据两组数的变化规律写出两组数的通式，从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值，再结合第一个相同的数写出通式，然后把序数10代入进行计算即可得解．【解答】解：第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m+4，第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n+3，∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12，∵第一个相同的数为7，∴相同的数的组成的数列的通式为12a﹣5，第10个相同的数是：12×10﹣5=120﹣5=115．故选：A．【点评】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键．16．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，则图中S=（）△OBPA．B．C．D．4【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB=∠CAD=60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP=S△AOP ，故S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【解答】解：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB=∠CAD=60°，∴AD∥OB，∴S△ABP=S△AOP，∴S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE=S△ABE=S△AOB，∵点B在反比例函数y=的图象上，∴S△OBE=×4=2，∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．三.解答题17．（12分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接正方形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．【分析】过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，根据DG∥BC，再由△ADG∽△ABC即可求出x的表达式，再代入求出三角形的面积即可．【解答】解：∵过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，∴BC•h=1，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，故=，即=，∴x=，设正方形的面积为S，则S=x2=（）2=（）2=[]2≤（）2=．∴正方形DEFG最大面积=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．18．（14分）（2005•黄冈）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12.1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？【分析】由于y与x之间的函数关系式为分段函数，则W与x之间的函数关系式亦为分段函数．分情况解答．【解答】解：（1）依题意得，可建立的函数关系式为：∴y=；即y=.4分（2）设利润为W，则W=售价﹣进价故W=，化简得W=①当W=时，∵当x≥0，函数W随着x增大而增大，∵1≤x＜6∴当x=5时，W有最大值，最大值=17.125②当W=时，∵W=，当x≥8时，函数W随x增大而增大，∴在x=11时，函数有最大值为19③当W=时，∵W=，∵12≤x≤16，当x≤16时，函数W随x增大而减小，∴在x=12时，函数有最大值为18综上所述，当x=11时，函数有最大值为19．【点评】本题考查的是二次函数的运用，由于计算量大，考生在做这些题的时候要耐心细心．难度中上．此题是分段函数，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解决，最后再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应用题目的特点．19．（14分）（2015•黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．【分析】由于x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，利用根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，然后把（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）乘开，接着整体代入前面等式的值即可得到关于a的方程，解方程即可求解．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，a=1，b=（3a ﹣1），c=2a2﹣1，∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22=﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，∴5a2+18a﹣99=0，∴a=3或﹣，当a=3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=﹣．【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．（16分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．求证：．【分析】根据C、E、O、D四点共圆，根据切割线定理可得：PC•PE=PD•PO，并且可以证得Rt△SPD∽Rt△OPS，即可证得PS2=PD•PO，再根据切割线定理即可求解．【解答】证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，于是因为C、E、O、D四点共圆，所以PC•PE=PD•PO又因为Rt△SPD∽Rt△OPS所以即PS2=PD•PO而由切割线定理知PS2=PA•PB所以即【点评】本题主要考查了切割线定理以及三角形相似的证明，注意对比例式的变形是解题关键．21．（16分）（2010•仙桃）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P 为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）在Rt△ODC中，根据射影定理即可求出OB的长，由此可得到B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）易知△AOD是等腰Rt△，若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，那么△PQM也必须是等腰Rt△；由于∠QPM≠90°，因此本题分两种情况：①PQ为斜边，M为直角顶点；②PM为斜边，Q为直角顶点；首先求出直线AD的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到PQ的长；在①中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在②中，PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标；（3）①若四边形PQNM是菱形，首先必须满足四边形PMNQ是平行四边形，此时MN与PQ相等，由此可得到P点坐标，然后再判断PQ是否与PM相等即可；②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，因此本题只需考虑MN∥PQ这一种情况；若四边形PMNQ是等腰梯形且MN、PQ为上下底，那么根据等腰梯形的对称性可知：Q、P的纵坐标的和应该等于N、M的纵坐标的和，据此可求出P、Q的坐标，然后再判断QN与PM是否平行即可．【解答】解：（1）在Rt△BDC中，OD⊥BC，由射影定理，得：OD2=OB•OC；则OB==1；∴B（﹣1，0）；∴B（﹣1，0），C（4，0），E（0，4）；设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4）（a≠0），则有：a（0+1）（0﹣4）=4，a=﹣1；∴y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+3x+4；（2）因为A（﹣2，0），D（0，2）；所以直线AD：y=x+2；联立，解得或，则F（1﹣，3﹣），G（1+，3+）；设P点坐标为（x，x+2）（1﹣＜x＜1+），则Q（x，﹣x2+3x+4）；∴PQ=﹣x2+3x+4﹣x﹣2=﹣x2+2x+2；易知M（，），若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形；①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|x M﹣x P|，即：﹣x2+2x+2=2（﹣x），解得x=2﹣，x=2+（不合题意舍去）∴P（2﹣，4﹣）；②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|x M﹣x Q|，即：﹣x2+2x+2=﹣x，解得x=，x=（不合题意舍去）∴P（，）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2﹣，4﹣）或（，）；（3）易知N（，），M（，）；设P点坐标为（m，m+2），则Q（m，﹣m2+3m+4）；（1﹣＜m＜1+）∴PQ=﹣m2+2m+2，NM=；①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有：MN=PQ，即：﹣m2+2m+2=，解得m=，m=（舍去）；当m=时，P（，），Q（，）此时PM=≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形；②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是等腰梯形，只有一种情况：PQ∥MN；依题意，则有：（y N﹣y Q）=（y P﹣y M），即（y N+y M）=（y P+y Q），即+=﹣m2+3m+4+m+2，解得m=，m=（舍去）；当m=时，P（，），Q（，），此时NQ与MP不相等，∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（，）．【点评】此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件．。
2020年黄冈中学自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题五套合集(含答案)
2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题六一、选择题（每小题5分，共40分）1．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++12．如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．4．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元5．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣7．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C． D．8．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）•x%D．（2+x%）•x%二、填空题（每小题5分，共40分）9．方程组的解是．10．若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为．11．设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为．12．两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|=．13．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．14．有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是．15．已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是．16．若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．三、解答题（共70分）17．（15分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．18．（15分）如图，开口向下的抛物线y=ax2﹣8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，（1）求OC的长及的值；（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．19．（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）20．（10分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．21．（15分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA•PE=PC•PF；（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题六答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．解：∵﹣=﹣===，∴a的小数部分=﹣1；∵﹣===，∴b的小数部分=﹣2，∴﹣====．故选B．2．解：作PH⊥AB于H，如图，∵△PAB为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，∴PA=PB=AH=，∠HPB=45°，∵∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，而∠CPD=45°，∴1≤AN≤2，即1≤x≤2，∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°，∴∠2=∠BPM，而∠A=∠B，∴△ANP∽△BPM，∴=，即=，∴y=，∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．故选：A．3．解：如右图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，在Rt△ENK和Rt△EML中，，故可得△ENK≌△EML，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的．故选B．4．解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根据题意得：，②﹣①得：x+3y=1.05③，①﹣3③可得：2y=z，故可得：x+y+2y=x+y+z=1.05．故选B．5．解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则△＞0，∴（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选D．6．解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．故选：A．7．解：因为三角形是锐角三角形，所以22+32＞x2；22+x2＞32，所以5＜x2＜13，即．故选B．8．解：根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了（2+x%）•x%，故选D二、填空题（每小题5分，共40分）9．解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，由②式又可变化为=26，把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3=13，再代入又得﹣3=9，解得ab=﹣27，又因为a+b=26，所以解这个方程组得或，于是（1），解得；（2），解得．故答案为和．10．解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，∴a=0，则左边式子ax=0，∴b＜0一定成立，∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．11．解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，则最大值与最小值之差为1．故答案为：112．解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），又∵P2007在y=上，∴Px2007=．而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．故答案为：．13．解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=∴n=120°即扇形的圆心角是120°∴弧所对的弦长是2×3sin60°=314．解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，∴△AEF∽△ABC，∴==．∴EF=．∴折线长=2EF=．故答案为．15．解：由方程x2﹣3x+2=0解方程的两个根是1，2，即a=1，b=2故这组数据是3，1，4，2，5其平均数（3+1+4+2+5）=3方差S2=[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]=2故五个数据的标准差是S==故本题答案为：．16．解：y=2x2﹣px+4p+1可化为y=2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）．三、解答题（共70分）17．解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）==（﹣1≤m＜1）．∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．18．解：（1）由题设知a＜0，且方程ax2﹣8ax+12a=0有两二根，两边同时除以a得，x2﹣8x+12=0原式可化为（x﹣2）（x﹣6）=0x1=2，x2=6于是OA=2，OB=6∵△OCA∽△OBC∴OC2=OA•OB=12即OC=2而===，故（2）因为C是BP的中点∴OC=BC从而C点的横坐标为3又∴设直线BP的解析式为y=kx+b，因其过点B（6，0），，则有∴∴又点在抛物线上∴∴∴抛物线解析式为：．19．解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有，①﹣②×4得3x+y=360，总产值A=4x+3y+2z=2（x+y+z）+（2x+y）=720+（3x+y）﹣x=1080﹣x，∵z≥60，∴x+y≤300，而3x+y=360，∴x+360﹣3x≤300，∴x≥30，∴A≤1050，即x=30，y=270，z=60．最高产值：30×4+270×3+60×2=1050（千元）20．解：画树状图得：则一共有8种等可能的情况，（1）∵2个女孩和1个男孩的3种，∴这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为：；（2）∵这个家庭至少有一个男孩的有7种情况，∴这个家庭至少有一个男孩的概率为：．21．（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O'于A，∴∠CAB=∠F．∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠F．∴AF∥CE．∴．∴PA•PE=PC•PF．（2）证明：∵，∴=．∴．再根据切割线定理，得PA2=PB•PF，∴．（3）解：连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，而PC：CE：EP=3：4：5，∴PA：FA：PF=3：4：5．设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y，∴EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2．∴∠C=∠CAF=90°．∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．∵⊙O与⊙O'等圆，∴AE=AF=4y．∵AC2+CE2=AE2∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy﹣7y2=0，∴（25x﹣7y）（x+y）=0，∴．∴．2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题七一、选择题（每题5分，共12小题）1．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：102．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．3．抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）A．≤a≤1 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤24．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（）A．9 B．6 C．5 D．45．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④6．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（）A．24B．48C．96D．1927．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．有下列三个结论：①△CEF 与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．29．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，且O点在BC边上，则图中阴影部分面积S阴=（）A．B．C．5﹣πD．﹣10．若实数a，b满足a﹣ab+b2+2=0，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤411．在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠．问哪一个重叠的面积最大（）A．B．C．D．12．有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共6小题）13．一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为．14．已知|ab﹣2|+|a﹣1|=0，则++…+=．15．若x2﹣3x+1=0，则的值为．16．已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．17．若+b2+2b+1=0，则a2+﹣|b|=．18．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．三、解答题19．（15分）如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．20．（15分）为深化“携手节能低碳，共建碧水蓝天”活动，发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨．月处理成本（元）与月份之间的关系可近似地表示为：p=50x2+100x+450，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．若该单位每月再生资源处理量为y（吨），每月的利润为w（元）．（1）分别求出y与x，w与x的函数关系式；（2）在今年内该单位哪个月获得利润达到5800元？21．（15分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0．（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为时，求θ的值．22．（15分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题七参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共12小题）1．解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．2．解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．3．解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．故选D．4．解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，设反比例函数解析式为y=（k＞0），∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，∴A、B两点的纵坐标分别是、，∵AD∥BE，∴△CEB∽△CDA，∴===，∴DE=CE，∵OD：OE=a：2a=1：2，∴OD=DE，∴OD=OC，∴S△AOD=S△AOC=×9=3，∴|k|=3，而k＞0，∴k=6．故选B．5．解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；②当x=1时，函数值为2，∴a+b+c=2；故本选项正确；③∵对称轴x=＞﹣1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；④当x=﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c=2，将a+c=2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选D．6．解：∵点A（﹣，0），点B（0，1），∴OA=，OB=1，∴tan∠OAB==，∴∠OAB=30°，∵△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均为等边三角形，∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°，∴∠OB1A=∠A1B2A=∠A2B3A=∠OAB=30°，∴OB1=OA=，A1B2=A1A，A2B3=A2A，∴OA1=OB1=，OA2=OA1+A1A2=OA1+A1B2=+2=3，同理：OA3=7，OA4=15，OA5=31，OA6=63，则A5A6=OA6﹣OA5=32．则△A5B6A6的周长是96，故选C．7．解：①设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，∴△DEF的面积是××x=k，同理可知：△CEF的面积是k，∴△CEF的面积等于△DEF的面积，∴①正确；②条件不足，无法证出两三角形全等的条件，∴②错误；③∵△CEF的面积等于△DEF的面积，∴边EF上的高相等，∴CD∥EF，∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，同理EF=AC，∴AC=BD，∴③正确；正确的有2个．故选：C．8．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，∵∠CED=90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON=90°，∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，∴∠COM=∠DON，∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OD，在△COM和△DON中，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM=ON，∴四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，∵∠DCE=30°，∠CED=90°∴DE=a，CE=a，设DN=x，x+DE=CE﹣x，解得：x=，∴NE=x+a=，∵OE=NE，∴=•，∴a=1，∴S正方形ABCD=4故选B．9．解：连接OD，OE，设⊙O与BC交于M、N两点，∵以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，∴OD⊥AB，OE⊥AC，即∠ADO=∠AEO=90°，∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴四边形ADOE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ADOE是正方形，∴∠DOE=90°，∴∠DOM+∠EON=90°，设OE=x，则AE=AD=OD=x，EC=AC﹣AE=4﹣x，∵△COE∽△CBA，∴，即，解得：x=，∴S阴影=S△ABC﹣S正方形ADOE﹣（S扇形DOM+S扇形EON）=×3×4﹣（）2﹣=﹣．故选D．10．解：∵b是实数，∴关于b的一元二次方程b2﹣ab+a+2=0，△=（﹣a）2﹣4×1×（a+2）≥0解得：a≤﹣2或a≥4；∴a的取值范围是a≤﹣2或a≥4．故选C．11．解：A、S阴影=2×4=8（cm2）；B、如图所示：根据勾股定理知，2x2=4，所以x=，S阴影=4×4﹣2××（4﹣）（4﹣）=﹣2（cm2）；C、图C，逆时针旋转90°，并从后面看，可与图D对比，因为图C的倾斜度比图D的倾斜度小，所以，图C的底比图D的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图D阴影部分的面积．D、如图：设阴影部分平行四边形的底为x，所以，直角三角形的短直角边是因为正方形的面积=阴影部分的面积+两个空白三角形的面积，所以，×4××2+2x=16，解得x=，S阴影=2×=因为，≈1.414，≈2.646，所以，﹣2≈9.312，≈8.775；即﹣2＞，图B阴影的面积大于图D阴影的面积；又因为图A、图C、图D中阴影部分四边形为等高不等底，因为图D阴影的倾斜度最大，所以图D 中阴影部分的底最大；故选B12．解：根据题意列出树状图得：则（a，b）的等可能结果有：（﹣2，﹣6），（﹣2，2），（﹣2，6），（﹣6，﹣2），（﹣6，2），（﹣6，6），（2，﹣2），（2，6），（2，﹣6），（6，﹣2），（6，2），（6，﹣6）共12种；解①得：x＜7，当a＞0，解②得：，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则3＜x＜7时符合要求，故，即b=6，a=2符合要求，当a＜0，解②得：，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则x＜3时符合要求，故，即b=﹣6，a=﹣2符合要求，故所有组合中只有2种情况符合要求，∴使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：．故选A．二、填空题（每题5分，共6小题）13．解：在y=kx+3中令x=0，得y=3，则函数与y轴的交点坐标是：（0，3）；设函数与x轴的交点坐标是（a，0），根据勾股定理得到a2+32=25，解得a=±4；当a=4时，把（4，0）代入y=kx+3，得k=﹣；当a=﹣4时，把（﹣4，0）代入y=kx+3，得k=．故k的值为或．14．解：∵|ab﹣2|≥0，|a﹣1|≥0，且|ab﹣2|+|a﹣1|=0，∴ab﹣2=0且a﹣1=0，解得ab=2且a=1，把a=1代入ab=2中，解得b=2，则原式=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故答案为：15．解：由已知x2﹣3x+1=0变换得x2=3x﹣1将x2=3x﹣1代入===== =故答案为．16．解∵a+b+c=10，∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），∴=﹣+﹣+﹣=﹣1+﹣1+﹣1=++﹣3，∵，∴原式=×10﹣3=﹣3=．故填：．17．解：∵+b2+2b+1=0，∴+（b+1）2=0，∴a﹣1=0，b+1=0，∴a=1，b=﹣1，∴a2+﹣|b|=0．故答案为：0．18．解：∵M、N两点关于y轴对称，∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b②，∴ab=，（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=11，a+b=±，∴y=﹣x2±x，∴顶点坐标为（=±，=），即（±，）．故答案为：（±，）．三、解答题19．（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，∵△AFD由△AFG翻折而成，∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形；（2）MN2=ND2+DH2，理由：连接NH，∵△ADH由△ABM旋转而成，∴△ABM≌△ADH，∴AM=AH，BM=DH，∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ADH=∠ABD=45°，∴∠NDH=90°，∵，∴△AMN≌△AHN，∴MN=NH，∴MN2=ND2+DH2；（3）设AG=BC=x，则EC=x﹣4，CF=x﹣6，在Rt△ECF中，∵CE2+CF2=EF2，即（x﹣4）2+（x﹣6）2=100，x1=12，x2=﹣2（舍去）∴AG=12，∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，∴BD===12，∵BM=3，∴MD=BD﹣BM=12﹣3=9，设NH=y，在Rt△NHD中，∵NH2=ND2+DH2，即y2=（9﹣y）2+（3）2，解得y=5，即MN=5．20．解：（1）设y=kx+b，根据题意，将（1，40），（2，50）代入y=kx+b，得：，解得：，故每月再生资源处理量y（吨）与x月份之间的关系式为：y=10x+30，w=100y﹣p=100（10x+30）﹣（50x2+100x+450）=﹣50x2+900x+2550；（2）由﹣50x2+900x+2550=5800得：x2﹣18x+65=0∴x1=13，x2=5∵x≤12，∴x=5，∴在今年内该单位第5个月获得利润达到5800元．21．（1）证明：∵方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1．∴△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，而（3a﹣4）2≥0，∴△≥0．所以当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的两根，∴m+n=﹣，mn=．∵，=，∴﹣=，∴a=2，即可求得m=1，n=3．∴y=x+3，则A（﹣3，0），B（0，3），∴△ABO为等腰直角三角形，∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（﹣3，3），把（﹣3，3）代入反比例函数，得k=﹣9，所以反比例函数的解析式为y=﹣；（3）解：设点P的坐标为（0，p），延长PQ和AO′交于点G．∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q，∴四边形AOPG为矩形．∴Q的坐标为（﹣，p），∴G（﹣3，P），当0°＜θ＜45°，即p＞3时，∵GP=3，GQ=3﹣，GO′=p﹣3，GA=p，∴S四边形APQO′=S△APG﹣S△QGO′=×p×3﹣×（3﹣）×（p﹣3）=9﹣，∴=9﹣，∴p=．（合题意）∴P（0，）．则AP=6，OA=3，所以∠PAO=60°，∠θ=60°﹣45°=15°；当θ=45°时，直线l于y轴没有交点；当45°＜θ＜90°，则p＜﹣3，用同样的方法也可求得p=，这与p＜﹣3相矛盾，舍去．所以旋转角度θ为15°．22．解：（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（﹣3，0）、B（0，3），代入抛物线解析式y=﹣x2+bx+c中，∴∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2﹣2m+3），∴F（m，m+3），∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，△PFG周长为：﹣m2﹣3m+（﹣m2﹣3m），=﹣（+1）（m+）2+，∴△PFG周长的最大值为：．（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，∵D（﹣1，4），∴E（﹣1，2）、则N（﹣1，0）∵y=x+3中，k=1，∴直线DM1解析式为：y=x+5，直线M3M2解析式为：y=x+1，∴x+5=﹣x2﹣2x+3或x+1=﹣x2﹣2x+3，∴x1=﹣1，x2=﹣2，x3=，x4=，∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．绝密★启用前2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题九注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1．甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m（m为正整数）千克米，乙每次买米用去2m元．由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元，那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是（）A．甲比乙便宜B．乙比甲便宜C．甲与乙相同D．由m的值确定2．自2006年3月26日起，国家对石油开采企业销售国产石油因价格超过一定水平（每桶40美元）所获的超额收入，将按比例征收收益金（征收比率及算法举例如下面的图和表）．有人预测中国石油公司2006年第3季度将销售200百万桶石油，售价为每桶53美元，那么中国石油公司该季度估算的特别收益金将达到人民币（按1美元兑换8元人民币的汇率计算）（）A．62.4亿元B．58.4亿元C．50.4亿元D．0.504亿元3．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．4．小明早晨从家里外出晨练，他没有间断地匀速跑了20min后回家．已知小明在整个晨练途中，出发t min时所在的位置与家的距离为s km，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB﹣BC所示，则下列图形中大致可以表示小明晨练路线的为（）A．B．C．D．5．甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度V l 与V2（V l＜V2），甲用一半的路程使用速度V l、另一半的路程使用速度V2；乙用一半的时间使用速度V l、另一半的时间使用速度V2；关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析．其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，其中正确的图示分析为（）A．图（1）B．图（1）或图（2）C．图（3）D．图（4）6．两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是p：1，而在另一个瓶子中是q：1，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（）A．B．C．D．7．点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（）A．B．C．D．8．有红色、黄色、蓝色三个盒子，其中有一个盒子内放有一个苹果；三个盒子上各写有一句话，红色盒子上写着“该盒子没有苹果”，黄色盒子上写着“该盒子内有苹果”，蓝色盒子上写着“黄色盒子内没有苹果”；已知这三句话中有且只有一句是真的，那么苹果在哪个盒子内（）A．红色B．黄色C．蓝色D．不能确定第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9．方程的解为x=．10．世界著名的莱布尼兹三角形如图所示，其排在第8行从左边数第3个位置上的数是．11．在由乙猜甲刚才想的数字游戏中，把乙猜的数字记为b且，a，b是0，1，2，3四个数中的其中某一个，若|a﹣b|≤1则称甲乙”心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为．12．假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，现在要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．现在有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而右边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数．那么刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是号．13．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5，则（a﹣2017）（a﹣2018）=14．阅读材料：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，若AB=4，DE=2，BD=8，则可用含x的代数式表示AC+CE的长为+．然后利用几何知识可知：当A、C、E在一条直线上时，x=时，AC+CE的最小值为10．根据以上阅读材料，可构图求出代数式+的最小值为．三．解答题（共4小题，共44分）15．（10分）通过观察a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0可知：，与此类比，当a ≥0，b≥0时，（要求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用．请你运用上述不等式解决下列问题：（1）求证：当x＞0时，；（2）求证：当x＞1时，；（3）的最小值是．16．（10分）如图，给定锐角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF 和EG的大小，并证明你的结论．17．（12分）某粮食加工厂给吉利卖站送来10箱袋装米粉，每箱10袋，每袋重800克，其中有一箱米粉每袋少50克，但不知道是哪一箱，送货员想出一个好办法，他用笔将10个箱子分别编上1，2，3，…，10的号码，然后从1号箱中取出1袋米粉，2号箱中取出2袋米粉，…10号箱中取出10袋米粉，在将这些米粉称了一下，称得重量为43800克，你知道重量不足的是哪一箱吗？18．（12分）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（﹣3，﹣3）．（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B（﹣6，m），与x轴交于点C，求m的值和直线BC的表达式；（3）在（2）的条件下，直线BC与y轴交于点D，求以点A，B，D为顶点的三角形的面积；（4）在（3）的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题九参考答案与试题解析1．解：由题意可知：甲三次共买了3m千克的米，花费为1.8×m+2.2×m+2×m=6m元，则甲的平均单价为6m÷3m=2；乙共花费3×2m÷（2m÷1.8+2m÷2.2+2m÷2）=1.99＜2；∴乙比甲便宜．故选：B．2．解：每桶特别收益金：5×20%+5×25%+3×30%=3.15（美元），合人民币：3.15×8=25.2（元），共获收益金：25.2×2 000 00000=50 400 00000（元）=50.4（亿元）．故选：C．3．解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG=GC，AB∥MG∥CD，∴AM=MN，∵MH⊥CD，∠D=90°，∴MH∥AD，∴NH=HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，由题意得，∠MCD=30°，∴MH=MC=a，CH=a，∴DH=a﹣a，∴CN=CH﹣NH=a﹣（a﹣a）=（﹣1）a，∴△MNC的面积=××（﹣1）a=a2，故选：C．4．解：根据图象得到，OA段，s随时间t的增大而增大，因而到家的距离增大；AB段距离不变，说明这段所走的路线到家的距离不变，即路线是以家为圆心的圆．故选：B．5．解：由题意得：甲在一半路程处将进行速度的转换，4个选项均符合；乙在一半时间处将进行速度的转换，函数图象将在t1处发生弯折，只有（1）（2）（4）符合，再利用速度不同，所以行驶路程就不同，两人不可能同时到达目的地，故（4）错误，故只有（1）（2）正确，故选：B．6．解：设瓶子的容积，即酒精与水的和是1．则纯酒精之和为：1×+1×=+；水之和为：+∴混合液中的酒精与水的容积之比为：（+）÷（+）=．7．解：易知D、C、E三点共线，点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，∴对的圆心角为=60°，∴∠ABC=30°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=1，BC=AB•COS30°=，BE=BC•COS30°=，CE=DC=，AD=，且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．从而，S阴影=S梯形ABED+S△ABC﹣，=S△ADC+S△BCE，=．故选：B．8．解；假设红盒子的话是真的，则黄、蓝盒子的话是假的，三个盒子上的话相互之间产生矛盾，假设不成立；假设黄盒子的话是真的，则红、蓝盒子的话是假的，即苹果在红盒子和黄盒子内，显然假设不成立；假设蓝盒子的话是真的，则红、黄盒子的话是假的，可得到苹果在红盒子中，故假设成立．所以蓝盒子的话是真的，苹果在红盒子中．故选：A．9．解：方法一：移项得，=12﹣，两边平方得，=144﹣24+x+16，整理得，25=160+x，两边平方得，625（x+16）=25600+320x+x2，整理得，x2﹣305x+15600=0，即（x﹣65）（x﹣240）=0，∴x﹣65=0，x﹣240=0，解得x1=65，x2=240，检验：当x1=65时，+，=+，=9+3，=12，符合；当x2=240时，+，=+，=16+4，=20，不符合．∴原方程的解是x=65；方法二：令t=，则=t2，原方程可化为t2+t=12，解得t1=3，t2=﹣4（舍去），∴=3，两边4次方得，x+16=81，解得x=65．故答案为：65．10．解：∵第8行最后一个数是，第7行最后一个数是，第6行最后一个数是，∴第7行倒数第二个数是﹣=，第8行倒数第二个数是﹣=，∴第8行倒数第三个数是﹣=，故答案是：．11．解：从0，1，2，3四个数中任取两个则|a﹣b|≤1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；共10种情况，甲乙出现的结果共有4×4=16，故出他们”心有灵犀”的概率为=．12．解：1到30中除以5余3，除以7余6的数只有13．13．解：（a﹣2017）（a﹣2018）===﹣2．故答案是：﹣2．14．解：如图所示：C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，若AB=5，DE=3，BD=12，当A，C，E，在一条直线上，AE最短，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴AB∥DE，∴△ABC∽EDC，∴=，∴=，解得：DC=．即当x=时，代数式+有最小值，。
2020年湖北省黄冈中学理科实验班提前招生(预录)数学模拟试题一及答案解析
又因为 AM//BC，所以 OA OM ，即 3b
9b2
6c
|
3 2
|
.
OB OC 3b 9b2 6c |另一解 b 5 舍去）.
2
2
因此，抛物线的解析式为 y 1 x2 5 x 6 . 62
18 如图，点 A 为 y 轴正半轴上一点， A，B 两点关于 x 轴对称，过点 A 任作直线交抛
（A）内心 （B）外心
（C）重心 （D）垂心
6、黑板上写有
共 100 个数字．每次操作先从黑板上的数中选取 2 个
数
，然后删去
，并在黑板上写上数
下的数是（ ）．
（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99
，则经过 99 次操作后，黑板上剩
7、在平面直角坐标系 中，满足不等式 x2＋y2≤2x＋2y 的整数点坐标（x，y）的个数为
因为 PA 为⊙D 的切线，所以 PA⊥AD，又 AE⊥PD，所以由射影定理可得 AE2 PE DE ， 即 ( 9b2 6c)2 ( 3 b2 c) | m | ，又易知 m 0 ，所以可得 m 6 .
2 又由 DA＝DC 得 DA2 DC2 ，即 ( 9 b2 6)c 2 m2 3( b0) ( 2 )m c 2 ，把 m 6 代入后可解得 c 6 （另一解 c 0 舍去）.
D． 2 5 3
（）
A． 1 . 8
B．0.
C．1.
D． 9 . 8
3．若方程 x2 2 px 3p 2 0 的两个不相等的实数根 x1, x2 满足 x12 x13 4 (x22 x23) ，
则实数 p 的所有可能的值之和为
（）
A．0.
B． 3 . 4
C． 1.
2021年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷
2021年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确）1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图示，有下列四个结论：（1）a2﹣2a﹣3＞0；（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；（3）（a+b）（b+c）（c+a）＞0；（4）a2＞|bc﹣1|．其中正确的结论有（）个．A．4B．3C．2D．12．（4分）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（8，8），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．C．D．3．（4分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，有下列四个结论：（1）月接待游客量逐月增加；（2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，其中正确的结论有（）个．A．4B．3C．2D．14．（4分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜2＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣8C．c＜﹣6D．c＜﹣15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD ＝3cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（）cm．A．4﹣B．5﹣C．6﹣D．7﹣6．（4分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB →BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AC边的长为（）A．3B．4C．5D．67．（4分）对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2]＝2，[1.2]＝1．若有正整数解，则正实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1或2≤a＜3B．0＜a≤1或2≤a＜3C．0＜a＜1或2≤a＜5D．0＜a≤1或2＜a≤58．（4分）已知非零实数a，b，c满足，，，则a+b+c＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分）9．（4分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于2或16的概率是．10．（4分）如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝3BD，则sin C 的值为．11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A n的纵坐标为．12．（4分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝10，AE＝AF＝8，连接BF，DE，若Rt△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，△ADE的面积＝．13．（4分）如图，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点B，C在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，则平行四边形OABC的面积为．14．（4分）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝3．将△BDE 绕点B逆时针方向旋转后得△BD'E'，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'＝．15．（4分）因式分解：3x3﹣8x2+3x+2＝．16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同的两点A、B，C为二次函数的图象的顶点，AB＝3，若△ABC是边长为3的等边三角形，则a＝．三、解答题（本大题共7小题，每小题5分）17．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）•（++2），其中+（n﹣3）2＝0．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．（ⅰ）求实数k的取值范围；（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．19．（5分）一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀．（1）从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率；（2）从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率．20．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．（1）求证：∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝18，求⊙O的半径．21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，AB∥CD，点D在点C的右侧，点A、E关于直线BD对称，CE交BD于点F，AE交DB延长线于点G．[猜想]（1）如图①，当∠ABC＝90°时，求∠EFG的大小；[探究]（2）在（1）的前提下，若AB＝4，CD＝1，求EF的长；[应用]（3）如图②，当∠ABC＝120°时，若EF＝2，AB＝2，求CD的长．22．（12分）某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数y＝，其中x是新样式单车的月产量（单位：辆），利润＝总收益﹣总成本．（1）试将利润用z元表示为月产量x的函数；（2）当月产量x为多少件时利润最大？最大利润是多少？23．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线交于另一点D．（1）若点D的纵坐标为3，求抛物线的函数表达式；（2）设M是抛物线的对称轴上一点，N是抛物线上一点，以点B，D，M，N为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由；（3）在（1）的条件下，点P（t，0）为线段OB上一动点，PE⊥x轴交抛物线于E，交直线AC于F，EH⊥AF于H．当点P运动时，若在线段OP上总存在一点G，使S△EFH＝S△EGH（用S△EFH表示△EFH 的面积，用S△EGH表示△EGH的面积），请直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确）1．A；2．D；3．B；4．C；5．B；6．C；7．C；8．A；二、填空题（本大题共8小题，每小题4分）9．；10．；11．；12．24；13．；14．+；15．（x﹣1）（3x+1）（x﹣2）；16．﹣；三、解答题（本大题共7小题，每小题5分）17．；18．（i）k≤；（ii）1．；19．（1）；（2）．；20．（1）证明见解答过程；（2）6．；21．（1）45°；（2）；（3）﹣1．；22．（1）z＝，（2）当月产量x为300件时利润最大，最大利润是25000元．；23．（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）（7，11）或（，）；（3）3≤t≤．。
2020年黄冈中学重点高中自主招生考试数学模拟试卷八及答案解析
O x y A B C DM N (第3题图) 2020年黄冈中学重点高中自主招生考试数学模拟试卷八一、填空题(共5题，每题5分，共25分)1．设532x -=，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值是( ) (A) －1 (B) 0 (C) 1 (D)22． 程序框图如图所示．当E ＝0.96时，则输出的k ＝( ) (A)20 (B)22 (C)24 (D)253． 如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点O ，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数ky x=(k ＞0)的图象分别与BC 、CD 交于点M 、N ．若点A(－2，－2)，且△OMN 的面积为32，则k ＝( )(A)2．5 (B)2 (C)1.5 (D)14． 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足13CF FD =，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF ＝2，AF ＝3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝52； ④S △DEF ＝45．其中正确的是结论的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点F ，设S 四边形EADF ＝S1，S △BDF ＝S2， S △BCF ＝S3，S △CEF ＝S 4，则S 1S 3与S 2S 4的大小关系是( )(A) 不能确定 (B) S 1S 3＜S 2S 4 (C) S 1S 3＝S 2S 4 (D) S 1S 3＞S 2S 4开始k=1，S=01(1)S S k k =++S ≥E ？输出kk=k+1否是(第2题图)(第4题图) (第5题图)二、填空题(共4题，每题5分，共20分)6． 关于x 的分式方程11mx =-+的解是负数，则m 的取值范围是__________．7．一枚质地均匀的正方形骰子的六个面上的数字分别是1、2、2、3、3、4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1、3、4、5、6、8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是_______．8．如图，在Rt△ABC 两直角边AC 、BC 上分别作正方形ACDE 、正方形CBFG ，连结DG ．线段AB 、BF 、FG 、GD 、DE 、EA 的中点依次为P 、L 、K 、I 、H 、Q ．若AC ＝14，BC ＝28，则六边形HIKLPQ 的面积为_______．9．如图，已知菱形ABCD 的顶点D 、C 在直线y ＝x 上，且顶点A 、B 在抛物线y ＝x 2上，DA 平行于y 轴，则S 菱形ABCD ＝_______．(第8题图)ABCDEF GIH LKPQ(第9题图)OxyABCD三、解答题(共2题，第10题15分，第11题15分)10．如图①，梯形ABCD 中，AB∥CD，∠C＝90°，AB ＝BC ＝4， CD ＝6．(1)点E 是BC 边上的点，EF∥AD 交CD 于点F ，FG∥EA 交AD 边于点G ．若四边形AEFG 是矩形，求BE 的长；(2)在(1)的条件下，将∠AEF 绕着点E 逆时针旋转为∠A'EF'，交CD 边于点F'(与D 不重合)，射线EA'交AB 边于点M ，作F'N∥EA'交AD 边于点N ，如图②．设BM ＝x ，△NF'D 的F'D 边上的高为y ．求y 与x 的函数关系式，并直接写出y 的最大值．(图①)ABC DEFG(图②)AB C DEF ’NMA ’11．已知，如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B ，(0,3)C ． ⑴求该二次函数的解析式；⑵在该抛物线对称轴上一点P ，使得三条线段PA 、PB 、PC 与一个等边三角形的三条边对应相等(即这三条线段能构成等边三角形)，请求出点P 的坐标． ⑶若线段DE 两端点的坐标分别为3(3,)2D 、3(4,)2E ．将线段DE 向左平移t 个单位后，在平移后的像''D E 上都存在点P ，使得三条线段PA 、PB 、PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．请直接写出t 的取值范围．(第11题图)(备用图)2020年黄冈中学重点高中自主招生考试数学模拟试卷八答题卡第Ⅰ部分 数学题号 一 二 三 总分 10 11 得分一、填空题(共5题，每题5分，共25分)1 2 3 4 5二、填空题(共4题，每题5分，共20分)6 7 8 9三、解答题(共2题，第10题15分，第11题15分)10．(图①)ABC DEFG(图②)ABC DEF ’NMA ’11．(第11题图)(备用图)2020年黄冈中学重点高中自主招生考试 数学模拟试卷八参考答案及评分标准一、填空题(共5题，每题5分，共25分) 1 2 3 4 5 ACBCD二、填空题(共4题，每题5分，共20分) 678 9 m>-1且m ≠0191004.517224-三、解答题(共2题，第10题15分，第11题15分) 10．（1）作AH ⊥CD 于H ，则AH=BC=AB=4，HD=2. ∵∠AEB+∠CEF=90°，∠EFC+∠CEF=90° ∴∠AEB=∠EFC 同理∠EFC=∠D ∴∠AEB=∠D∴Rt △ABE ≌Rt △AHD ∴BE=HD=2---------5'(2)∵∠BEM=∠CF'E ，∠B=∠C=90° ∴△BEM ∽△CF'E 作NP ⊥CD 于P ，同理△CF'E ∽△PNF'∴''BM CE PF BE CF PN ==∴CF'=4x ，PF'=2xy 由(1)知tanD=2y PD = ∴PD=2y∵CD=CF'+PF'+PD=422xy yx++=6 ∴2128x y x x-=+--------------------------10' y 最大值=28810--------------------15' 11． ⑴2343333y x x =-+；------------5' ⑵(2,3)P ---------------------10' ⑶712t ≤≤------------------------15。
2020年黄冈中学重点高中自主招生考试数学模拟试卷二及答案解析(PDF版)
2020年黄冈中学重点高中自主招生考试数学模拟试卷二一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．是整数，正整数n的最小值是（）A．0 B．2 C．3 D．42．如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是（）①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．A．①③B．①④C．②④D．③④3．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（）A．4cm B．4cm C．4cm D．4cm4．已知﹣=5，则分式的值为（）A．1 B．5 C．D．5．已知一次函数y=﹣x+b，过点（﹣8，﹣2），那么一次函数的解析式为（）A．y=﹣x﹣2 B．y=﹣x﹣6 C．y=﹣x﹣10 D．y=﹣x﹣16．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣37．已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（）A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥18．已知二次函数y=2x2+8x+7的图象上有点A（﹣2，y1），B（﹣5，y2），C（﹣1，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y19．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP=90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（）A．3≤m≤4 B．2≤m≤4 C．0≤m≤D．0≤m≤310．二次函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．若a﹣b=1，ab=﹣2，则（a﹣2）（b+2）=．若二次三项式x2﹣（m﹣2）x+16是一个完全平方式，则字母m的值是．12．若a，b为实数，且|a+1|+=0，则（ab）2014的值为．13．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=．14．反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是．15．已知抛物线y=﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常数），若0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，则m的值为．16．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=．三．解答题（共5小题，满分50分）17．（10分）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为．（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是m2．18．（8分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．19．（8分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N．当点F运动到点C 时，△DEF终止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为x．（1）求△DEF的边长；（2）求M点、N点在BA上的移动速度；（3）在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE⇒EF运动，最终运动到F点．若设△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式，写出它的定义域；并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大？20．（12分）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=﹣+c且过顶点C（0，5）（长度单位：m）（1）直接写出c的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元？（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数．（精确到0.1°）21．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．2020年黄冈中学重点高中自主招生考试数学模拟试卷二参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．解：∵是整数，∴正整数n的最小值为2，故选：B．2．证明：①∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，故①错误，②如图1，连结CD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDF=90°，假设AC平分∠BAF成立，则有DC=BC，∴在RT△FDB中，DC=BC=FC，∴AC⊥BF，且平分BF，∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，与①中的AC垂直BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，故②错误，③如图2：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，∴D、P、C、F四点共圆，∴∠CFP和∠CDB都对应，∴∠CFP=∠CDB，∵∠CDB=∠CAB，∴∠CFP=∠CAB，又∵∠FPC=∠APM，∴△AMP∽△FCP，∠ACF=90°，∴∠AMP=90°，∴FP⊥AB，故③正确，④∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AF．故④正确，综上所述只有③④正确．故选：D．3．解：如图，连接DE．由题意，在Rt△DCE中，CE=4cm，CD=8cm，由勾股定理得：DE===cm．过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知MG=BC=CD．连接DE，交MG于点I．由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE=90°，∵∠DIG+∠EDC=90°，∠MIE=∠DIG（对顶角相等），∴∠NMG=∠EDC．在△MNG与△DEC中，∴△MNG≌△DEC（ASA）．∴MN=DE=cm．故选：D．4．解：已知等式整理得：=5，即x﹣y=﹣5xy，则原式===1，故选：A．5．解：把（﹣8，﹣2）代入y=﹣x+b得：﹣2=8+b，解得：b=﹣10，则一次函数解析式为y=﹣x﹣10，故选：C．6．解：∵﹣4x2+3=5x∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．故选：B．【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．7．解：设在直角三角形ABC中，∠A=α，∠C=90°，故sinα=，cosα=；则m=sinα+cosα=＞1．故选：A．8．解：∵二次函数y=2x2+8x+7中a=2＞0，∴开口向上，对称轴为x=﹣=﹣=﹣2，∵A（﹣2，y1）中x=﹣2，y1最小，B（﹣5，y2），点B关于对称轴的对称点B′横坐标是2×（﹣2）﹣（﹣5）=1，则有B′（1，y2），因为在对称轴得右侧，y随x得增大而增大，故y2＞y3．∴y2＞y3＞y1．故选：C．9．解：令y=0，则﹣x+3=0，解得x=4，所以，点B的坐标为（4，0），过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标横坐标为a，则OD=a，PD=m﹣a，∵∠OCP=90°，∴△OCD∽△CPD，∴=，∴CD2=OD•DP，∴（﹣a+3）2=a（m﹣a），整理得，m=a+﹣，所以，m≥2﹣=3，∵点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），∴OC⊥AB时，点P、B重合，m最大，∴m的取值范围是3≤m≤4．故选：A．10．解：∵对称轴是x=，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x=a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x=0时函数值是m．因而当x=a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．解：（1）（a﹣2）（b+2）=ab+2a﹣2b﹣4=ab+2（a﹣b）﹣4=﹣2+2﹣4=﹣4（2）∵（x±4）2=x2±8x+16，∴﹣（m﹣2）=±8，∴m=10或m=﹣6故答案为：﹣4；10或﹣612．解：∵|a+1|+=0，又∵|a+1|≥0，≥0，∴a+1=0，b﹣1=0，∴a=﹣1，b=1，ab=﹣1，∴（ab）2014=（﹣1）2014=1．故答案为1．13．解：∵DF=DC，DE=DB，且∠EDF+∠BDC=180°，过点A作AI⊥EH，交HE的延长线于点I，∴∠I=∠DFE=90°，∵∠AEI+∠DEI=∠DEI+∠DEF=90°，∴∠AEI=∠DEF，∵AE=DE，∴△AEI≌△DEF（AAS），∴AI=DF，∵EH=EF，=S△DEF，∴S△AHE=S△GFI=S△DEF，同理：S△BDCS△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF，S△DEF=×3×4=6，∴S1+S2+S3=18．故答案为：18．14．解：∵x1＜0＜x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）不同象限，y1＞y2，∴点A在第二象限，B在第四象限，∴1﹣2m＜0，m＞．故答案为m＞．15．解：∵y=﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2=﹣4（x﹣）2﹣4m，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=．当＜0，即m＜0时，x=0时y取最大值（如图1所示），∴﹣4m﹣m2=﹣5，解得：m1=﹣5，m2=1（不合题意，舍去）；当0≤≤1，即0≤m≤2时，x=时y取最大值（如图2所示），∴﹣4m=﹣5，解得：m3=；当＞1，即m＞2时，x=1时y取最大值（如图3所示），∴﹣4+4m﹣4m﹣m2=﹣5，解得：m4=﹣1（不合题意，舍去），m5=1（不合题意，舍去）．综上所述，m的值为﹣5或．故答案为：﹣5或．16．解：①如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，H为半圆的圆心，不妨设GH=a，则GF=2a，在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=．由此可得，半圆的半径为a，正方形边长为2a，所以半圆的半径与正方形边长的比是a：2a=：2；②因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．切点分别为I，J，连接EB、AE，OI、OJ，∵AC、BC是⊙O的切线，∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；在直角三角形AEB中，∵∠AEB=90°，ED⊥AB，∴△ADE∽△BDE∽△ABE，于是得到ED2=AD•BD，即102=x•y②．解①式和②式，得x+y=21，即半圆的直径AB=21．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）17．解：（1）△ABC的面积=3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3，=9﹣1﹣1.5﹣3，=9﹣5.5，=3.5；（2）△DEF如图2所示；面积=2×4﹣×1×2﹣×2×2﹣×1×4，=8﹣1﹣2﹣2，=8﹣5，=3；（3）∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°，∴∠PAE+∠BAG=180°﹣90°=90°，又∵∠AEP+∠PAE=90°，∴∠BAG=∠AEP，在△ABG和△EAP中，，∴△ABG≌△EAP（AAS），同理可证，△ACG≌△FAQ，∴EP=AG=FQ；（4）如图4，过R作RH⊥PQ于H，设RH=h，在Rt△PRH中，PH==，在Rt△RQH中，QH==，∴PQ=+=6，=6﹣，两边平方得，25﹣h2=36﹣12+13﹣h2，整理得，=2，两边平方得，13﹣h2=4，解得h=3，=×6×3=9，∴S△PQR∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m2．故答案为：（1）3.5；（2）3；（4）110．18．解：（Ⅰ）对称轴x=﹣=2．（Ⅱ）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），∴4a﹣8a+3a=2，∴a=﹣2，∴y=﹣2x2+8x﹣6，∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2=10；（Ⅲ）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，∴t+1≤5，∴t≤4，∴t的最大值为4．19．解：（1）当F点与C点重合时，如图1所示：∵△DEF为等边三角形，∴∠DFE=60°∵∠B=30°，∴∠BDF=90°∴FD=BC=3；（2）过E点作EG⊥AB，∵∠DEF=60°，∠B=30°，∴∠BME=30°，∴EB=EM在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=x，∴BM=2BG=x，∴M点在BA上的移动速度为=，F点作FH⊥F1D1，在Rt△FF1H中，FH=x×cos30°=x，点N在BA上的移动速度为=；（3）在Rt△DMN中，DM=3﹣x，MN=（3﹣x）×cos30°==（3﹣x），当P点运动到M点时，有2x+x=3，∴x=1①当P点在DM之间运动时，过P点作PP1⊥AB，垂足为P1在Rt△PMP1中，PM=3﹣x﹣2x=3﹣3x，∴PP1=（3﹣3x）=（1﹣x），∴y与x的函数关系式为：y=×（3﹣x）×（1﹣x）=（x2﹣4x+3）（0≤x≤1），②当P点在ME之间运动时，过P点作PP2⊥AB，垂足为P2，在Rt△PMP2中，PM=x﹣（3﹣2x）=3（x﹣1），∴PP2=（1﹣x），∴y与x的函数关系式为：y=×（3﹣x）×（1﹣x），=﹣（x2﹣4x+3）（1＜x≤）．③当P点在EF之间运动时，过P点作PP3⊥AB，垂足为P3，在Rt△PMP3中，PB=x+（2x﹣3）=3（x﹣1），∴PP3=（x﹣1），∴y与x的函数关系式为：y=×（3﹣x）×（x﹣1），=﹣（x2﹣4x+3）（≤x≤3），∴y=﹣（x﹣2）2+，=，∴当x=2时，y最大而当P点在D点时，y=×3××=，∵＞，∴当P点在D点时，△PMN的面积最大．20．解：（1）抛物线的解析式为y=﹣+c，∵点（0，5）在抛物线上∴c=5；（2）由（1）知，OC=5，令y=0，即﹣+5=0，解得x1=10，x2=﹣10；∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30，∴30×1.5×20=900答：购买地毯需要900元．（3）可设G的坐标为（m，﹣+5）其中m＞0则EF=2m，GF=﹣+5，由已知得：2（EF+GF）=27.5，即2（2m﹣+5）=27.5，解得：m1=5，m2=35（不合题意，舍去），把m1=5代入，﹣+5=﹣×52+5=3.75，∴点G的坐标是（5，3.75），∴EF=10，GF=3.75，在Rt△EFG中，tan∠GEF===0.375，∴∠GEF≈20.6°．21．解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，p有最大值；（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x=，②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x=﹣，综上所述，点A1的横坐标为或﹣．。
湖北省黄冈中学初中数学自主招生预录考试训练试题二(
湖北省黄冈中学2016年初中数学自主招生预录考试训练试题二（理科实验班）预录考试数学训练题（二） 参考答案一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 1．D ． 2．B ． 3．A ． 解析：CPE∆∽CBA ∆222PE CP CP bPE AB a b AB BC BC a ⇒=⇒=⋅=+222b EF PE a b a ⇒==+．4．C ．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 5．3． 6．10． 7．23 ． 8．33332x --<<． 解析：由26<0x mx +-，2222424122224m mm mx m m+++-<<=++解得 -．当1≤m ≤3时，22241241=322m m ++++- -的最大值为-，221212333=2243243m m-++++的最小值为． 所以，当1≤m ≤3时，y <0即260x mx +-<恒成立时， x 的取值范围是33332x --<<． 9．25．解析：由题意知（a －b ）2=1，∴a 2－2ab + b 2=1，又∵a 2+ b 2=13，∴2ab =12，∴（a +b ）2=a +2ab + b 2=13+12=25． 10．2018．解析：由题意知m 2－2016m +1=0，∴m 2－2015m =m －1，m 2+1= 2016m ，∴原式=m －1+20162016m +3= m －1+1m+3=2+1m m +2=2016m m +2=2016+2=2018．11．9．解析：从俯视图知该立体图形从前到后共排了三排小正方体，各位置上小正方体的个数如图所示． 12．－10．解析：[5]+3[－π]=2+3×（－4）=2－12=－10． 三、解答题（本大题共4小题，共60分）QBC A P 13．（本小题14分）由题意知，3+2=3a +b ，且3= -a +b ，解得a =3-1，b =23-1． ∴2-c =ac +b =(3-1)c +(23-1)，解得c =3-2． ∴a -b = -3，b -c =3+1，c -a = -1． ∴a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca =21[(a -b )2+(b -c )2+(c-a )2]=21[(-3)2+(3+1)2+(-1)2]=4+3． 14．（本小题16分）（1）连接EP ，FP ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD=90°，∠BPA=90°，∴∠FPE=90°，∴∠BPF=∠APE ， 又∵∠FBP=∠PAE=45°，∴△BPF ≌△APE ，∴BF=AE ，而AB=AD ，∴DE=AF ； （2）连EF ，∵∠BAD=90°，∴EF 为⊙O 的直径，而⊙O 的半径为23，∴EF=3， ∴AF 2+AE 2=EF 2=（3）2=3，而DE=AF ，故DE 2+AE 2=3 ①；又∵AD=AE+ED=AB ，∴AE+ED= 12+ ②，由①②联立起来组成方程组，解得AE=1，ED=2或AE= 2，ED=1，所以ED AE= 222或． 15．（本小题12分）（1）当0x a <≤时，PCQ PBQ PBC S S S S ∆∆∆==-=ax x x a a x a x a 4343)(2321)(23)(212+-=-•--•+，当x a >时，PCQ PBQ PBC S S S S ∆∆∆==-=ax x a x a a x x a 4343)(2321)(23)(212-=-•--•+， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+-=∴)(4343)0(434322a x ax x a x ax x S ； （2）2213sin602ABC S a a ∆=︒=，若ABC PCQ S S ∆∆=，则 当0x a <≤时，有22333444x ax a -+=QACB P即220xax a -+=，解得，此方程无实根；当x a >时，有22333444x ax a -= 即220xax a --=解得，121515 22x a a x a a +-=>=<，(舍去)所以，当152APa +=时， △PCQ 的面积和△ABC 的面积相等．16．（本小题18分）（1）设过B 、A 、A ′三点的抛物线的函数表达式为y=ax 2+bx+c ． ∵抛物线过点B （﹣1，0），A (0，2)，A ′（1，1），∴021a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得32122a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩． ∴过B 、A 、A ′三点的抛物线的函数表达式为y=32-x 2+12x+2； （2）存在，E （﹣2，1）；（3）如图，△ABO 向下平移到△AB 1O 1，△B A ′B ′向左平移到B 2 A ′B ′，AB 1交x 轴于点C ，B A ′交y 轴于点D ，AB 1交B A ′于点E ，连接O E ． 移动t 秒时，A(0，2﹣t )，C(22t -，0)，B 2 (﹣1﹣t ，0)，D(0，12t+)， 设直线A C 的解析式为y=k 1x+b 1，则1112202b ttk b =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1122k b t =⎧⎨=-⎩，故y=2x+2﹣t ； 设直线B 2D 的解析式为y=k 2x+b 2，则122012t k b t b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩（-1-），解得221212k t b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故y=12 x+12t +； 由221122y x tty x =+-⎧⎪⎨+=+⎪⎩得112222t x t x ++-=+，4421x t x t +-=++，333x t =-，1x t =-，故E(t ﹣1，t )．0设△ABO 与△B A ′B ′重叠面积为S ，则S=S△COE +S△DOE=12OC·︱y E︱+12OD·︱x E︱=12·22t-·t+12·12t+·(1﹣t) =14(2 t﹣t2)+14(1﹣t2)=﹣12t2+12t+14=﹣12(t﹣12)2+38．∵﹣12<0，∴当t=12时，△ABO与△B A′B′重叠面积的最大值为38．。
湖北省黄冈中学初中数学自主招生预录考试训练试题五(
湖北省黄冈中学2016年初中数学自主招生（理科实验班）预录考试训练试题五高中预录考试数学训练题（五） 参考答案一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 1．B ． 2．C ． 3．A ． 4．C ．解析：设第n 层的最高点到水平线的距离记为：a n （n =1，2，3，…，10）． 由题意，得224412132435411111;();();();();2222a a a a a a a a a ==+=+=+=+66106576109111();();...;();222a a a a a a =+=+=+把这10个式子左右相加，得2468101010111111170512[()()()()()]()2222221024a =+⨯++++-=． 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）5．6． 6．5个． 7．4196． 8．45．解析：记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则232431091;2;3;............9.a a a a a a a ==+=+=+所以10123.....945a =++++=．9．0． 10．36．解析：每隔3cm 剪一刀共剪72÷3－1=24－1=23刀，每隔4cm 剪一刀，共剪72÷4－1=17刀，所以应共剪23+17=40刀，但其中重复位置的刀数为：72÷12－1=5刀，因此互不重复的刀数为40－5=35刀，所以72cm 长的绳子按要求被剪的段数为35+1=36段． 11.6.解析：∵a ＜3，b ＞3，∴a －3＜0，b －3＞0,∴(a －3)(b －3)＜0，∴ab －3(a +b )+9＜0， 又∵a +b =k －1，ab =3，代入上述不等式，得3－3(k －1) +9＜0，解得k ＞5． 12.130.解析：由30350x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩用x 来表示y ，z ，得y =40－2x ，z =x －10，又由y ≥0，z ≥0，得402x x -≥0⎧⎨-10≥0⎩，解得10≤x ≤20， 又把y =40－2x ，z =x －10代入M =5x +4y +2z ，得M =－x +140，显然M 是关于x 的一次函数，且M 随x 增大而减小，所以当x =10时，M 的最大值为130． 三、解答题（本大题共4小题，共60分） 13．（本题满分14分）过点A 作AN ⊥BC 交DG 于M ,交BC 于N ，设AN=h ，DE=x=MN=DG ， 则121=⋅h BC ，2h BC =，由DG ∥BC 知△ADG ∽△ABC ，故AN AM BC DG =，即h xh hx -=2，∴222+=h h x ． 记正方形DEFG 的面积为S ，则212222222222222=⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=h h h h S ． 当2=h 时，正方形DEFG 面积的最大值为21． 14．（本题满分12分）由题意知0)1)(5(56)12(4)13(222≥--=+-=---=∆a a a a a a ， ∴5≥a 或1≤a ．由根与系数的关系知12,3122121-=-=+a x x a x x ．故21221212221212116)(310)(3)3)(3(x x x x x x x x x x x x -+=-+=--8019185)12(16)31(3222-=+--=---=a a a a ．∴31=a （舍）或5332-=a ． ∴所求的实数533-=a ． 15．（本题满分16分）（1）当x = c 时，y = 0，即20, (1)0ac bc c c ac b ++=++=，又c>1，所以 10ac b ++=．设一元二次方程20ax bx c ++=两个实根为1212,()x x x x ≤．由120cx x a⋅=>，及x = c >1，得120 0x x >>，． 又因为当0＜x ＜c 时，0y >，所以1x c =， 于是二次函数2y ax bx c =++的对称轴：2bx c a=-≥ 即2b ac ≤-． 所以12b ac ac =--≤-，即1ac ≤．（2）因为0＜x=1＜c 时，0y >，所以0a b c ++>． 由1ac ≤及0,1a c >>得：01a <<． 因为22()(23)2()(223)221(1)(2)(1)(2)a b c a b c x a b c x c a b c x a ac c x cx x x x x x x x x +++++++++--++++==++++++ 而0a b c ++>，01a <<，1c >，223(1)(21)(1)0a ac c a c c --+=--+->，所以当x ＞0时，2()(232)20(1)(2)a b c x a ac c x c x x x +++-+-+>++，即021a b cx x x++>++．16．（本题满分18分）（Ⅰ）当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b <≤=+时设，由题意得1,2000,32060,200.3a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得∴320031)(+=x x v ．故函数()v x 的表达式为60,(020),()1(200),(20200)3x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩．（Ⅱ）由题意得60,(020),()1(200),(20200)3x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩．当020x ≤≤时，当20x =时，()f x 的最大值为60×20=1200；当20200x <≤时，21110000()(200)(100)333f x x x x =-=--+，∵13-<0，∴当100x =时，()f x 的最大值为1000033333≈． 综上所述，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．。
2020年黄冈中学自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题七及答案解析
2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题七一、选择题（每题5分，共12小题）1．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：102．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．3．抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）A．≤a≤1 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤24．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（）A．9 B．6 C．5 D．45．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④6．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（）A．24B．48C．96D．1927．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．有下列三个结论：①△CEF 与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．29．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，且O点在BC边上，则图中阴影部分面积S阴=（）A．B．C．5﹣πD．﹣10．若实数a，b满足a﹣ab+b2+2=0，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤411．在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠．问哪一个重叠的面积最大（）A．B．C．D．12．有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共6小题）13．一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为．14．已知|ab﹣2|+|a﹣1|=0，则++…+=．15．若x2﹣3x+1=0，则的值为．16．已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．17．若+b2+2b+1=0，则a2+﹣|b|=．18．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．三、解答题19．（15分）如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．20．（15分）为深化“携手节能低碳，共建碧水蓝天”活动，发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨．月处理成本（元）与月份之间的关系可近似地表示为：p=50x2+100x+450，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．若该单位每月再生资源处理量为y（吨），每月的利润为w（元）．（1）分别求出y与x，w与x的函数关系式；（2）在今年内该单位哪个月获得利润达到5800元？21．（15分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0．（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为时，求θ的值．22．（15分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题七参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共12小题）1．解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．2．解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．3．解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．故选D．4．解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，设反比例函数解析式为y=（k＞0），∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，∴A、B两点的纵坐标分别是、，∵AD∥BE，∴△CEB∽△CDA，∴===，∴DE=CE，∵OD：OE=a：2a=1：2，∴OD=DE，∴OD=OC，∴S△AOD=S△AOC=×9=3，∴|k|=3，而k＞0，∴k=6．故选B．5．解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；②当x=1时，函数值为2，∴a+b+c=2；故本选项正确；③∵对称轴x=＞﹣1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；④当x=﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c=2，将a+c=2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选D．6．解：∵点A（﹣，0），点B（0，1），∴OA=，OB=1，∴tan∠OAB==，∴∠OAB=30°，∵△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均为等边三角形，∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°，∴∠OB1A=∠A1B2A=∠A2B3A=∠OAB=30°，∴OB1=OA=，A1B2=A1A，A2B3=A2A，∴OA1=OB1=，OA2=OA1+A1A2=OA1+A1B2=+2=3，同理：OA3=7，OA4=15，OA5=31，OA6=63，则A5A6=OA6﹣OA5=32．则△A5B6A6的周长是96，故选C．7．解：①设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，∴△DEF的面积是××x=k，同理可知：△CEF的面积是k，∴△CEF的面积等于△DEF的面积，∴①正确；②条件不足，无法证出两三角形全等的条件，∴②错误；③∵△CEF的面积等于△DEF的面积，∴边EF上的高相等，∴CD∥EF，∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，同理EF=AC，∴AC=BD，∴③正确；正确的有2个．故选：C．8．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，∵∠CED=90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON=90°，∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，∴∠COM=∠DON，∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OD，在△COM和△DON中，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM=ON，∴四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，∵∠DCE=30°，∠CED=90°∴DE=a，CE=a，设DN=x，x+DE=CE﹣x，解得：x=，∴NE=x+a=，∵OE=NE，∴=•，∴a=1，∴S正方形ABCD=4故选B．9．解：连接OD，OE，设⊙O与BC交于M、N两点，∵以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，∴OD⊥AB，OE⊥AC，即∠ADO=∠AEO=90°，∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴四边形ADOE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ADOE是正方形，∴∠DOE=90°，∴∠DOM+∠EON=90°，设OE=x，则AE=AD=OD=x，EC=AC﹣AE=4﹣x，∵△COE∽△CBA，∴，即，解得：x=，∴S阴影=S△ABC﹣S正方形ADOE﹣（S扇形DOM+S扇形EON）=×3×4﹣（）2﹣=﹣．故选D．10．解：∵b是实数，∴关于b的一元二次方程b2﹣ab+a+2=0，△=（﹣a）2﹣4×1×（a+2）≥0解得：a≤﹣2或a≥4；∴a的取值范围是a≤﹣2或a≥4．故选C．11．解：A、S阴影=2×4=8（cm2）；B、如图所示：根据勾股定理知，2x2=4，所以x=，S阴影=4×4﹣2××（4﹣）（4﹣）=﹣2（cm2）；C、图C，逆时针旋转90°，并从后面看，可与图D对比，因为图C的倾斜度比图D的倾斜度小，所以，图C的底比图D的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图D阴影部分的面积．D、如图：设阴影部分平行四边形的底为x，所以，直角三角形的短直角边是因为正方形的面积=阴影部分的面积+两个空白三角形的面积，所以，×4××2+2x=16，解得x=，S阴影=2×=因为，≈1.414，≈2.646，所以，﹣2≈9.312，≈8.775；即﹣2＞，图B阴影的面积大于图D阴影的面积；又因为图A、图C、图D中阴影部分四边形为等高不等底，因为图D阴影的倾斜度最大，所以图D 中阴影部分的底最大；故选B12．解：根据题意列出树状图得：则（a，b）的等可能结果有：（﹣2，﹣6），（﹣2，2），（﹣2，6），（﹣6，﹣2），（﹣6，2），（﹣6，6），（2，﹣2），（2，6），（2，﹣6），（6，﹣2），（6，2），（6，﹣6）共12种；解①得：x＜7，当a＞0，解②得：，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则3＜x＜7时符合要求，故，即b=6，a=2符合要求，当a＜0，解②得：，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则x＜3时符合要求，故，即b=﹣6，a=﹣2符合要求，故所有组合中只有2种情况符合要求，∴使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：．故选A．二、填空题（每题5分，共6小题）13．解：在y=kx+3中令x=0，得y=3，则函数与y轴的交点坐标是：（0，3）；设函数与x轴的交点坐标是（a，0），根据勾股定理得到a2+32=25，解得a=±4；当a=4时，把（4，0）代入y=kx+3，得k=﹣；当a=﹣4时，把（﹣4，0）代入y=kx+3，得k=．故k的值为或．14．解：∵|ab﹣2|≥0，|a﹣1|≥0，且|ab﹣2|+|a﹣1|=0，∴ab﹣2=0且a﹣1=0，解得ab=2且a=1，把a=1代入ab=2中，解得b=2，则原式=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故答案为：15．解：由已知x2﹣3x+1=0变换得x2=3x﹣1将x2=3x﹣1代入===== =故答案为．16．解∵a+b+c=10，∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），∴=﹣+﹣+﹣=﹣1+﹣1+﹣1=++﹣3，∵，∴原式=×10﹣3=﹣3=．故填：．17．解：∵+b2+2b+1=0，∴+（b+1）2=0，∴a﹣1=0，b+1=0，∴a=1，b=﹣1，∴a2+﹣|b|=0．故答案为：0．18．解：∵M、N两点关于y轴对称，∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b②，∴ab=，（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=11，a+b=±，∴y=﹣x2±x，∴顶点坐标为（=±，=），即（±，）．故答案为：（±，）．三、解答题19．（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，∵△AFD由△AFG翻折而成，∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形；（2）MN2=ND2+DH2，理由：连接NH，∵△ADH由△ABM旋转而成，∴△ABM≌△ADH，∴AM=AH，BM=DH，∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ADH=∠ABD=45°，∴∠NDH=90°，∵，∴△AMN≌△AHN，∴MN=NH，∴MN2=ND2+DH2；（3）设AG=BC=x，则EC=x﹣4，CF=x﹣6，在Rt△ECF中，∵CE2+CF2=EF2，即（x﹣4）2+（x﹣6）2=100，x1=12，x2=﹣2（舍去）∴AG=12，∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，∴BD===12，∵BM=3，∴MD=BD﹣BM=12﹣3=9，设NH=y，在Rt△NHD中，∵NH2=ND2+DH2，即y2=（9﹣y）2+（3）2，解得y=5，即MN=5．20．解：（1）设y=kx+b，根据题意，将（1，40），（2，50）代入y=kx+b，得：，解得：，故每月再生资源处理量y（吨）与x月份之间的关系式为：y=10x+30，w=100y﹣p=100（10x+30）﹣（50x2+100x+450）=﹣50x2+900x+2550；（2）由﹣50x2+900x+2550=5800得：x2﹣18x+65=0∴x1=13，x2=5∵x≤12，∴x=5，∴在今年内该单位第5个月获得利润达到5800元．21．（1）证明：∵方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1．∴△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，而（3a﹣4）2≥0，∴△≥0．所以当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的两根，∴m+n=﹣，mn=．∵，=，∴﹣=，∴a=2，即可求得m=1，n=3．∴y=x+3，则A（﹣3，0），B（0，3），∴△ABO为等腰直角三角形，∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（﹣3，3），把（﹣3，3）代入反比例函数，得k=﹣9，所以反比例函数的解析式为y=﹣；（3）解：设点P的坐标为（0，p），延长PQ和AO′交于点G．∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q，∴四边形AOPG为矩形．∴Q的坐标为（﹣，p），∴G（﹣3，P），当0°＜θ＜45°，即p＞3时，∵GP=3，GQ=3﹣，GO′=p﹣3，GA=p，∴S四边形APQO′=S△APG﹣S△QGO′=×p×3﹣×（3﹣）×（p﹣3）=9﹣，∴=9﹣，∴p=．（合题意）∴P（0，）．则AP=6，OA=3，所以∠PAO=60°，∠θ=60°﹣45°=15°；当θ=45°时，直线l于y轴没有交点；当45°＜θ＜90°，则p＜﹣3，用同样的方法也可求得p=，这与p＜﹣3相矛盾，舍去．所以旋转角度θ为15°．22．解：（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（﹣3，0）、B（0，3），代入抛物线解析式y=﹣x2+bx+c中，∴∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2﹣2m+3），∴F（m，m+3），∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，△PFG周长为：﹣m2﹣3m+（﹣m2﹣3m），=﹣（+1）（m+）2+，∴△PFG周长的最大值为：．（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，∵D（﹣1，4），∴E（﹣1，2）、则N（﹣1，0）∵y=x+3中，k=1，∴直线DM1解析式为：y=x+5，直线M3M2解析式为：y=x+1，∴x+5=﹣x2﹣2x+3或x+1=﹣x2﹣2x+3，∴x1=﹣1，x2=﹣2，x3=，x4=，∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．。
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20XX年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷及答案
一．填空题（每题3分，共24分）
1．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）+=．
2．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）（x2﹣x﹣2）6=+++…++a0，
则a12+a10+a8+a6+a4+a2=．
3．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的
图象恰有三个交点，则b的可能值是．
4．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知x为实数，则的最大值是．
5．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）关于x的方程有实根，则a
的取值范围是．
6．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知f（x）=﹣，
则f（x）的最大值是．
7．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，
连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D．则CD的最大值为．
8．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，
PB=4，则PC的最大值是．
二．选择题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）记A=，再记[A]表示不超过
A的最大整数，则[A]（ ）
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
10．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如
下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 11 1 ﹣1 ﹣1 1 5
且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），下面说法错误的是（ ）
A．x=﹣2，y=5 B．1＜x2＜2
C．当x1＜x＜x2时，y＞0 D．当x=时，y有最小值
11．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点
E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和
最小时，点E应选在（ ）
A．AD的中点 B．AE：ED=（﹣1）：2 C．AE：ED=：1 D．AE：ED=（﹣1）：
2
12．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、
OB为直径作两个半圆，向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率
是（ ）
A．1﹣ B． C． D．
13．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
积为（ ）
A． B．3π C． D．6π
14．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，以半圆的一条弦AN为对称轴将弧AN折叠
过来和直径MN交于B点，如果MB：BN=2：3，且MN=10，则弦AN的长为（ ）
A． B． C． D．
15．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）两列数如下：
7，10，13，16，19，22，25，28，31，…
7，11，15，19，23，27，31，35，39，…
第1个相同的数是7，第10个相同的数是（ ）
A．115 B．127 C．139 D．151
16．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、
D均在双曲线（x＞0）上，则图中S△OBP=（ ）
A． B． C． D．4
三.解答题
17．（12分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG
是△ABC的一个内接正方形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．
18．（14分）（2005•黄冈）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈
上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保
持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第
16周周末，该服装不再销售．
（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12.1≤x≤16，且
x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？
19．（14分）（2015•黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）
x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．
20．（16分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的
两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．
求证：．
21．（16分）（2010•仙桃）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y
轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、
G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与
抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足
条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能
否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
20XX年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷
参考答案
一．填空题（每题3分，共24分）
1．2-； 2．-32； 3．-6、-； 4．2； 5．a≥-7； 6．； 7．；
8．3+4；
二．选择题（每小题3分，共24分）
9．D； 10．C； 11．A； 12．A； 13．B； 14．B； 15．A； 16．D；
三.解答题
17．略； 18．略； 19．略； 20．略； 21．略；