二次函数的应用(1)——最值问题
高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题
高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题高中数学教学备课教案二次函数的应用——函数的最值问题一、教学目标1. 理解二次函数的最值问题，包括最大值和最小值的定义及求解方法。
2. 能够利用二次函数的最值问题解决实际生活中的应用问题。
3. 掌握相关的解题技巧和方法。
4. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重难点1. 理解最值问题的定义和求解方法。
2. 应用最值问题解决实际问题的能力。
三、教学过程导入：通过与学生的互动讨论，引出最值问题的概念。
1. 什么是最值问题？最大值和最小值有何不同？2. 举例说明最值问题在日常生活中的应用场景。
讲解一：最值问题的基本思路与方法1. 对于一元二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，求最大值或最小值的过程。
2. 最值问题的关键在于找到临界点，即导数为0的点，进而求得函数的最值。
3. 通过二次函数的图像，直观地理解最值的求解过程。
演示一：求解一元二次函数的最值1. 设一个具体的一元二次函数，如 f(x) = x^2 - 4x + 3。
2. 计算导数 f'(x) = 2x - 4，并令其等于0，解方程得到临界点 x = 2。
3. 讨论 x 的取值范围及对应的函数值，确定最大值和最小值。
讲解二：应用二次函数最值解决实际问题1. 通过具体例子，介绍如何将实际问题转化为数学问题，利用最值问题求解。
（例子1：某汽车行驶问题；例子2：抛物线的喷水问题）2. 强调建立数学模型的重要性，培养学生的数学建模能力。
演示二：解决实际问题的步骤及方法1. 选择合适的变量与函数模型。
2. 建立函数模型并确定函数的最值。
3. 根据实际问题的限制条件，确定变量的取值范围。
4. 求解最值并给出合理的解释。
讲解三：其他相关问题的讨论1. 当函数的定义域为有限区间时，如何确定最值？2. 如何处理一元二次函数的最值问题时出现的特殊情况？演示三：解决其他相关问题的方法1. 分析问题，考虑定义域的限制及函数图像的特点。
第二十二章 第12课 二次函数的应用(1)——最值问题
解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3， 当运动 x 秒时，则 AQ＝x，BP＝x， ∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x， ∴S△ADQ＝21AD·AQ＝12×4x＝2x， S△BPQ＝12BQ·BP＝12(3－x)x＝23x－12x2，S△PCD＝12PC·CD＝12·(4－ x)·3＝6－32x，
又 S 矩形 ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，∴S＝S 矩形 ABCD－S△ADQ－ S△BPQ－S△PCD ＝12－2x－32x－12x2－6－32x＝12x2－2x＋6＝12(x－2)2＋4， 即 S＝12(x－2)2＋4，∴S 为开口向上的二次函数，且对称轴为 x ＝2，
2．如图，小明用铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自行车 场地 ABCD，在 AB 和 BC 边各有一个 2 米宽的小门(不用铁栅 栏)，小明共用铁栅栏 40 米，设矩形 ABCD 的边 AD 长为 x 米， 矩形的面积为 S 平方米．
(1)写出 S 与 x 的函数关系式； (2)如果要围成 192 平方米的场地，AD 的长是___6____. (3)当 x 取何值时，S 有最大值？ 并求出最大值．
1．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是 40 元．根据市场 调查，在一段时间内，销售单价是 60 元时，销售量是 100 件， 而销售单价每降低 1 元，就会多售出 10 件． (1)写出销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的函数解析式． (2)写出销售该品牌童装获得的利润 w(元)与销售单价 x(元)之 间的函数解析式．
则当 AC＝__5____时，ABCD 的最大面积为__2_______.
4．在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，动点 Q 从点 A 出发，以每 秒 1 个单位的速度，沿 AB 向点 B 移动；同时点 P 从点 B 出发， 仍以每秒 1 个单位的速度，沿 BC 向点 C 移动，连接 QP，QD， PD.若两个点同时运动的时间为 x 秒(0＜x≤3)，设△QPD 的面 积为 S，用含 x 的函数关系式表示 S；当 x 为何值时，S 有最小 值？ 并求出最小值．
二次函数的最值问题与问题解决技巧
二次函数的最值问题与问题解决技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。
解决这类问题需要一定的技巧和方法。
本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。
一、二次函数的最值问题最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。
对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。
1. 二次函数的开口方向对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。
通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。
当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。
2. 顶点的横坐标和纵坐标二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。
对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。
3. 最值问题的解答根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。
当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。
二、解决二次函数最值问题的技巧解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。
1. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。
根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。
2. 配方法当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。
例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。
3. 导数法通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。
导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。
二次函数的综合运用
二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。
本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。
一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。
为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。
1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。
对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。
而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。
2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。
对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。
令 y' = 0，解得 x = -1。
将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。
同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。
二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。
下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。
1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。
对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。
二次函数的应用最值问题
二次函数的应用最值问题二次函数是一个在数学中广泛应用的函数模型。
在实际问题和生产生活中，二次函数的最值问题也经常出现。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括实际问题中的二次函数最值、生产生活中的二次函数最值、利用配方法求二次函数的最值、利用导数求解二次函数的最值、利用作图法求解二次函数的最值、利用公式法求解二次函数的最值和利用对称轴求解二次函数的最值等方面。
一、实际问题中的二次函数最值在实际问题中，二次函数最值通常出现在诸如最大利润、最小成本、最高产量等问题中。
例如，一个工厂生产一种产品，该产品的成本包括固定成本和可变成本。
固定成本是不随产量变化的成本，而可变成本是随产量变化的成本。
因此，总成本函数是一个开口向下的二次函数。
为了使总成本最低，需要找到自变量的取值，使得总成本函数的导数为零，并判断导数是否为零，从而确定最值是否存在。
二、生产生活中的二次函数最值在生产生活中，二次函数最值也经常出现。
例如，一个公司投资一个项目，该项目的收益随投资额变化，且收益函数是一个开口向下的二次函数。
为了使收益最大，需要找到投资额的最优解。
最优解可以通过求解收益函数的导数并令其为零得到。
三、利用配方法求二次函数的最值配方法是求二次函数最值的一种常用方法。
该方法的基本思想是将二次函数转化为一个完全平方项和一个常数项之和的形式，然后利用平方的非负性求出最值。
具体步骤如下：（1）将二次函数配方为一个完全平方项和一个常数项之和的形式；（2）根据平方的非负性，求出这个完全平方项的取值；（3）将这个完全平方项的取值代入配方后的二次函数中，求出最值。
四、利用导数求解二次函数的最值利用导数求解二次函数的最值是一种比较简单的方法。
该方法的基本思想是先求出二次函数的导数，然后令导数为零，解出此时的自变量取值，最后比较所有自变量取值对应的函数值，找出最大（或最小）的一个即可。
五、利用作图法求解二次函数的最值作图法是一种直观地求解二次函数最值的方法。
二次函数的最值与应用题解析
二次函数的最值与应用题解析二次函数是一种常见的函数类型，在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
掌握二次函数的最值及其在应用题中的解析方法，对于数学学习和解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍二次函数的最值的概念、求解方法以及应用题的解析方法。
一、二次函数的最值概念与性质二次函数通常具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的表达式，其中a、b和c都是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像一般是一个抛物线，开口方向由a 的正负决定。
1. 最小值与最大值对于二次函数f(x)，如果存在一个点x0，使得对于所有的x都有f(x) ≥ f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最小值；如果存在一个点x0，使得对于所有的x都有f(x) ≤ f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最大值。
2. 寻找最值的方法（1）若a > 0，即抛物线开口向上，则函数的最小值为抛物线的顶点，可以通过顶点的横坐标求得；（2）若a < 0，即抛物线开口向下，则函数的最大值为抛物线的顶点，同样可以通过顶点的横坐标求得。
二、二次函数最值的求解方法下面将介绍两种常用的方法来求解二次函数的最值。
1. 利用顶点坐标求解对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过求顶点的横坐标来获得函数的最值。
（1）对于抛物线开口向上：顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，将该值代入函数中求解即可得到最小值；（2）对于抛物线开口向下：顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，将该值代入函数中求解即可得到最大值。
2. 利用二次函数的性质求解利用二次函数的几何性质也可以求解最值。
（1）对于抛物线开口向上：最小值为y轴截距，即 f(0) = c；（2）对于抛物线开口向下：最大值为y轴截距，即 f(0) = c。
三、二次函数在应用题中的解析方法除了求解二次函数的最值，我们还可以通过二次函数来解决一些实际问题。
1. 最优解问题某公司生产一个产品，每个产品成本为C(x) = ax^2 + bx + c，销售价格为p。
二次函数的最值与最值问题的应用
二次函数的最值与最值问题的应用二次函数是数学中常见的一类函数，具有很多重要的性质和应用。
其中最值与最值问题是二次函数的重要内容之一。
本文将详细介绍二次函数的最值性质，以及如何利用最值问题解决实际应用中的相关问题。
一、二次函数的基本性质二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负性。
在讨论二次函数的最值之前，我们先了解一些与最值相关的基本性质。
1. 首先，二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值出现在顶点上。
2. 其次，二次函数的顶点即为函数的最值点。
顶点坐标为（h, k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为函数的最值（最小值或最大值）。
3. 再次，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相同。
对称轴的方程为x = h。
二、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是指求解函数的最小值或最大值的问题。
在实际应用中，最值问题经常出现，例如求解投掷问题中的飞行距离最大值或者盈利问题中的最大利润等。
1. 求解二次函数的最值为了求解二次函数的最值，我们可以利用二次函数图像的特点，即找出抛物线的顶点坐标。
通过完成平方项的平方，将二次函数转换为顶点形式，可以轻松地求解最值问题。
例如，对于函数y = x² - 4x + 3，我们可以完成平方项的平方，将其转换为顶点形式：y = (x - 2)² - 1从中可以看出，顶点坐标为（2, -1），函数的最小值为-1。
因此，原二次函数的最小值为-1。
2. 应用最值问题最值问题在实际应用中非常常见，下面以一个具体的应用为例进行解析。
例题：某商品的价格为p（元），销量为x（件），已知该商品的价格和销量满足二次函数关系p = 0.5x² - 2x + 8，求该商品的最佳销量以及最佳价格。
二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用
二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用二次函数的最值与应用二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，在学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用之前，我们首先需要了解二次函数的基本形式和性质。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0，x、y为变量。
在此基础上，我们将深入探讨二次函数的最值及其在实际问题中的应用。
一、二次函数的最值性质二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
对于一个二次函数而言，其最值即为函数的最大值和最小值。
1. 最值存在性对于二次函数y=ax^2+bx+c，当抛物线开口向上时，函数存在最小值；当抛物线开口向下时，函数存在最大值。
即最值存在性与a的正负相关。
2. 最值点的横坐标对于二次函数y=ax^2+bx+c，最值点的横坐标可以通过计算二次函数的自变量x的取值来确定。
最值点的横坐标为二次函数的顶点，顶点的横坐标为-x轴的对称轴，即x=-b/2a。
3. 最值点的纵坐标最值点的纵坐标可通过将最值点的横坐标代入二次函数中求得。
将x=-b/2a代入二次函数y=ax^2+bx+c中，可以求出最值点的纵坐标。
二、二次函数最值的应用二次函数的最值性质在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍二次函数最值的几个常见应用场景。
1. 最值问题通过研究二次函数的最值性质，可以解决许多涉及最值问题的实际情况。
例如，我们要抛掷一个物体，求出其最高点的高度以及达到最高点时的时间。
可以建立一个关于时间的二次函数模型，然后通过最值性质计算出最高点的高度和达到最高点的时间。
2. 优化问题在实际生活中，许多问题可以通过优化函数来解决。
例如，我们要制造一个容积为V的长方体包装盒，为了节省材料成本，我们想使包装盒的表面积最小。
可以建立一个关于长方体各边长的二次函数模型，然后通过最值性质求解出使表面积最小的边长。
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(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少
元？此时每日销售利润是多少元？
x/元
15
20
30
…
y/件
25
20
10
…
解：(1)设 y＝kx＋b，则 15k＋b＝25， 20k＋b＝20， ∴kb＝＝－401. ， ∴y＝－x＋40
(2)设利润为 w 元，则 w＝(x－10)(40－x) ＝－x2＋50x－400 ＝－(x－25)2＋225 ∴当销售价定为 25 元时，最大利润为 225 元．
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第二章 二次函数
第12课 二次函数的应用(1)——最值问题
一、知识储备
1．二次函数 y＝－2(x－10)2＋200，当 x＝__1_0___时，y 取得最 _大___值＝___2_0_0___.
2．二次函数 y＝(x－2)2＋50，当 x＝__2__时，y 取得最_小___值 ＝___5_0__.
S△PBQ＝12PB·BQ＝12(6－t)·2t＝－(t－3)2＋9 ∴经过 3 秒钟△PBQ 的面积达到最大值 9 cm2.
第2关 8．某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x(元) 与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下表： (1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元)的函数关系式(y 是 x 的一 次函数)；
5．(例 2)天虹商场在销售中发现：安踏运动鞋平均每天可售出 20 双，每双盈利 40 元，如果每双降价 1 元，那么每天可多售出 2 双．
(1)要想平均每天销售盈利 1 200 元，那么每双运动鞋应降价多 少元？
(2)当降价多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设每双运动鞋应降价x元，依题意，
得 40 x20 2x 1200 ,解得x1 10或 x2 20
（2）设当降价x元时，平均每天获得利润y元，依题意，
得 y 40 x20 2x = 2 x 152 1250
∴当 x 15 时，y取最大值，最大值为1250 即当降价15元时，可获得最大利润，最大利润是1250元
6．一种新上市的文具，进价为 20 元，试销阶段发现：当销售 单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件，销售单价每上涨 1 元， 每天的销售量就减少 10 件．
(1)写出每天所得的销售利润 y(元)与涨价 x(元)之间的函数关 系式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大．
解：(1)25－20＝5， y＝(5＋x)(250－10x)＝－10x2＋200x＋1250 (2)y＝－10(x－10)2＋2250 当 x＝10，ymax＝2250 即单价为 25＋10＝35 元时，销售的最大利润为 2250 元．
谢谢！
解：设定价增加 x 元，宾馆所得利润为 y 元，则 y＝(180＋x－20)(50－1x0) y＝－110x2＋34x＋ 10 的倍数 当 x＝－2ba＝170 时 ∴房价定为 180＋170＝350 元时，宾馆利润最大 ∴ymax＝4ac4－a b2＝10890(元)
三、过关检测 第1关 7．如图，△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝ 12 cm.点 P 从点 A 开始，沿 AB 边向点 B 以每秒 1 cm 的 速度移动；点 Q 从点 B 开始，沿着 BC 边向点 C 以每秒 2 cm 的速度移动．如果 P，Q 同时出发，问经过几秒钟 △PBQ 的面积最大？最大面积是多少？
第3关 9．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离 s(m)与时间 t(s)的 函数关系式 s＝20t－5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于 惯性汽车要滑行_2__s 才能停下来，最大的滑行距离为_2_0__m.
10．某宾馆有 50 个房间供游客住宿．若每个房间每天的定价 为 180 元，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加 10 元 时，就会有一个房间空闲．另外需宾馆对每个居住房间每天支出 20 元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？
二、新课学习 3．(例 1)要用总长为 20 m 的铁栏杆，一面靠墙 (墙长为 12 m)围成一个矩形 ABCD 花圃，设 AB＝x m．矩形 ABCD 的面积 y m2. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)当 x 为何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？
(1)y＝x(20－2x)或 y＝－2x2＋20x (2)y＝－2(x－5)2＋50，当 x＝5 时， 花圃的面积最大，最大面积为 50 m2.
4．有一根长为 20 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形 ABCD，其 中 AB＝x cm，矩形面积为 y cm2.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)当 x 为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少？ (1)y＝x(10－x)或 y＝－x2＋10x (2)当 x＝5 时，矩形最大面积为 25 cm2.