分数阶混沌系统的延迟同步
分数阶Newton-Leipnik混沌系统的同步
分数阶Newton-Leipnik混沌系统的同步
于红霞;杨利;黄硕;迟新利
【期刊名称】《沈阳工程学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(012)001
【摘要】对分数阶Newton-Leipnik混沌同步问题进行研究,为响应系统设计了适当的控制器以达到驱动系统和响应系统同步的目的.研究了一种新型的分数阶稳定性判定方法,并基于此完成了对直接控制器的设计方法的证明.分别对单吸引子和双吸引子的分数阶Newton-Leionik混沌系统问题进行仿真,结果证明了所提出方法的有效性.
【总页数】5页(P69-73)
【作者】于红霞;杨利;黄硕;迟新利
【作者单位】沈阳工程学院国际教育学院,辽宁沈阳110136;沈阳工程学院国际教育学院,辽宁沈阳110136;沈阳工程学院国际教育学院,辽宁沈阳110136;沈阳工程学院自动化学院,辽宁沈阳110136
【正文语种】中文
【中图分类】O415
【相关文献】
1.分数阶与整数阶混沌（超混沌）系统自适应广义矩阵同步 [J], 魏倩茹;裴东
2.分数阶混沌系统与整数阶混沌系统的投影同步 [J], 于思远
3.分数阶Newton-Leipnik混沌系统r滑模同步的两种方法 [J], 毛北行
4.基于分数阶积分器的分数阶混沌系统状态观测器同步研究 [J], 贾雅琼;蒋国平;俞斌
5.不确定分数阶超混沌Chen系统和分数阶Rössler系统的自适应异结构同步 [J], 杜永霞;李珊珊;高雅
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基于混合反馈控制的分数阶混沌系统多延时完全同步
基于混合反馈控制的分数阶混沌系统多延时完全同步
李睿;张广军;姚宏;朱涛
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2015(32)2
【摘要】为提高保密通信的安全性,本文首次将完全同步和延时投影同步的思想相结合提出了多延时完全同步。
针对Lorenz、金融分数阶两个不同的混沌系统,基于分数阶稳定性理论以及混合反馈控制方法,通过设计能够自动调节反馈增益系数的混合反馈控制器,实现了分数阶多延时完全同步。
根据前人提出的修正的预估校正算法对混沌系统进行数值仿真,结果表明由驱动系统与响应系统构建的多延时完全同步误差系统将最终稳定于零点,从而验证了混合反馈控制器的有效性和可行性。
【总页数】5页(P239-243)
【作者】李睿;张广军;姚宏;朱涛
【作者单位】空军工程大学理学院710051西安;西安交通大学生命科学与技术学院710049西安
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.5
【相关文献】
1.分数阶异结构超混沌系统完全同步与反相同步控制
2.基于线性反馈控制的分数阶混沌系统的Q-S同步研究
3.新分数阶混沌系统的线性反馈控制及投影同步分析
4.
基于分数阶积分器的分数阶混沌系统状态观测器同步研究5.分数阶Chen混沌系统的完全同步与反相同步
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混沌系统的控制与同步
混沌系统的控制与同步一、《混沌系统的基本概念及研究现状》本文首先介绍混沌系统的基本概念，包括混沌现象的定义、混沌系统的特点和混沌系统的分类等。
在此基础上，进一步分析了混沌系统的研究现状，包括混沌系统的数学模型和研究方法等。
同时，对于混沌系统的控制与同步问题，提出了重要的研究意义和应用前景。
混沌系统是现代非线性科学的重要研究对象之一，具有很多独特的特性。
混沌现象的定义就是指混沌系统的演化过程具有不可预测的性质，而混沌系统的特点则包括灵敏依赖于初始条件、复杂的周期轨道结构和高维的状态空间等。
混沌系统的分类包括：一维映射系统、连续动力系统、时变动力系统和离散时间系统，每种系统都有其独特的研究方法和应用场景。
混沌系统的控制与同步问题是混沌系统研究的重要方向之一，也是当前热门的研究领域。
在工程应用中，混沌系统的控制与同步问题具有广泛的应用前景，尤其是在通信、图像处理、密码学等领域有着很大的应用潜力。
因此，深入研究混沌系统的控制与同步问题，对于推动混沌系统原理的深入发展，实现混沌应用的工业化具有积极的意义。
总而言之，对于混沌系统的基本概念及研究现状的探讨，有助于了解混沌现象的本质以及混沌系统的一些基本特征，从而为混沌系统的控制与同步问题的研究奠定了基础。
二、《混沌系统的数学模型及控制方法》本文针对混沌系统的数学模型和控制方法进行了详细的分析，包括混沌系统数学模型的建立、混沌系统的各种控制方法以及混沌系统的控制效果评价等。
同时，本文还对混沌系统控制中常用的反馈控制、开环控制，混沌控制理论及其应用等相关内容进行了介绍。
混沌系统的数学模型建立对于混沌系统研究具有至关重要的作用，数学模型不仅是混沌系统研究的基础，而且也是设计混沌控制系统的核心。
混沌系统的控制方法包括：开环控制、反馈控制、预测控制等，其中反馈控制是最为常见和有效的一种控制方法。
混沌控制理论及其应用可以用于传统的混沌系统，也可以应用于更为复杂的混沌网络系统、混沌系统的外部控制和混沌系统的同步问题等。
混沌系统的时间延迟同步误差分析!-物理学报
这一方面的研究工作 2 在物理学报等刊物上也发表 大多数 2 到目前为止， 论文都是在理想的情况下进行研究， 其中一些论文 只是将混沌信号简单替代现代通信中的载波信号或 替代加密体制中的密码序列 2 由于离散混沌系统在 有限精度的计算机上迭代可等效为一个有限自动 机， 迭代出来的时间序列仍然是一个周期序列 2 这 样的混沌时间序列与利用线性反馈移位寄存器进行 非线性组合前馈和步控或钟控而产生的伪随机序列 的主要差别在于前者是十进制的伪随机序列， 而后 者是二进制的伪随机序列 2 而用连续混沌系统所产 了有关这一方面的论文
［"#—$%］ 研究 由于恒等同步是在理想 ! 比如同步问题：
（没有噪声和延迟） 的情况下， 在驱动混沌系统和响 应混沌系统参数空间的相同点上才发生 ! 因此， 恒 等同步的方案不能作为实际混沌通信的同步方案 ! 对于现实的物理世界， 信道具有噪声， 混沌同步信号 在传输过程中必然叠加上其他信号 （包括直流、 正弦 信号、 语音信号、 白噪声和高斯噪声） ， 要保证混沌系 统之间的恒等同步是不可能的， 因此对混沌同步信 号上叠加其他信号对同步造成的影响必须有一个定 量的分析 （此研究将在 &’() ! *’+, ! 杂志上发表） ! 在 现代通信中， 为了保证接收系统所产生的正弦信号 与发射系统的正弦信号同步， 不但要调频， 而且还要
混沌系统的两个重要物理特性是它产生的信号 具有宽带功率谱和对初值极端敏感， 使得混沌信号 具有高度的随机性， 从而可用混沌信号伪装有用信 息 2 自从 !’’& 年美国海军研究室的 *+,-./ 和 0/..-1 ［!—#］ 提出混沌自同步方案 以来， 在国际上出现了利 用混沌伪装或加密有用信息的研究热潮， 在众多杂 志上以及各种会议都发表了有关混沌同步、 混沌伪
基于线性分离实现分数阶超混沌系统的投影同步
投影同步：一种控 制方法，通过将一 个系统的状态投影 到另一个系统的状 态空间中，实现两 个系统的同步。
分数阶超混沌系统的特性
分数阶导数：与整数阶导数相比，分数阶导数具有更为复杂的动态行为
超混沌性：分数阶超混沌系统具有多个正的Lyapunov指数，表现出更为复杂的动力学 行为
投影同步：通过线性分离方法实现分数阶超混沌系统的投影同步，能够有效地控制系统 的动态行为
原理实现：通过线性分离方法，将分数阶超混沌系统的状态空间划分为两个子空间，然后通过 投影同步技术实现两个系统状态的同步。
数值模拟与实验验证
数值模拟方法：采用合适的数值方法对分数阶超混沌系统进行模拟，以验 证投影同步的有效性。
实验验证：通过搭建实际硬件平台，对分数阶超混沌系统进行实验验证， 以检验投影同步在实际系统中的表现。
结果分析：对数值模拟和实验验证的结果进行分析，比较不同参数下的投 影同步效果。
结论：总结基于线性分离的分数阶超混沌系统投影同步的优缺点，为后续 研究提供参考。
基于线性分离的分数阶超混沌系统投影同步的优势与局限性
优势：能够实 现更高效的同 步，提高系统 的稳定性和鲁
棒性
优势：具有更 广泛的应用场 景，可用于控 制、信号处理
分数阶超混沌系统的应用前景
分数阶超混沌系统在控制领域的应 用
分数阶超混沌系统在优化和机器学 习领域的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分数阶超混沌系统在信号处理和通 信领域的应用
分数阶超混沌系统在电力系统领域 的应用
04 投影同步原理
投影同步的基本概念
定义：投影同步 是一种通过比较 两个或多个系统 的状态变量，实 现系统间同步的
应用价值：分数阶超混沌系统在信号处理、图像处理、保密通信等领域具有广泛的应用 前景
分数阶系统有限时间稳定性理论及分数阶超混沌Lorenz系统有限时间同步
2011 中国物理学会 Chinese Physical Society 100507-1
http ： / / wulixb． iphy． ac． cn
物 理 学 报
Acta Phys10 （ 2011 ）
100507
求这 些 初 始 条 件 具 有 相 同 的 意 义 或 者 性 质， 而 Caputo 分数阶微分允许 非 同 质 的 初 始 条 件 ． 本 文 采 用 Caputo 定义研究 ． 首先 介 绍 与 本 文 相 关 的 Caputo 分数阶微分相关性质及理论 ． 性质 1
a
t
－ α + n － 1 （ n）
f
（ τ） dτ （ 2）
n － 1 ＜ α ＜ n， n∈N．
R-L 分数阶微分需要预先给定初始条件并且 要
* 国家自然科学基金（ 批准号： 50875132 ） 和南通大学自然科学基金（ 批准号： 10Z021 ） 资助的课题 ． 通讯联系人 ． E-mail ： hjb2008 @ 163. com
(
(
) )
1 α
3. 分数阶系统有限时间稳定性理论
定理 1
C a α t
4. 有限时间同步分数阶超混沌 Lorenz 系统
分数阶超混沌 Lorenz 可以表示为 dα x1 = a（ x2 － x1 ） + x4 ， dtα （ 7） dα x 2 = cx 1 － x 1 x 3 － x 2 ， dtα dα x 3 = x 1 x 2 － bx 3 ， dtα dα x 4 = － x 2 x 3 + rx 4 ， dtα b = 8 /3， c = 28 ， r = － 1 ． 以分数阶系统 其中 a = 10 ， （ 14 ） 为驱动系统， 设响应系统为
不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识李安平
246
2013， 49 （4）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
A( x t ) + A( x t )T ， 若 AH (t ) 2 所有元素连续有界， 且存在一个正常数 σ ( > 0) ， 使得 AH (t )
在实际工作中混沌系统的参数由于干扰或各种其他因素 的影响经常是未知的， 因此研究参数未知的不确定混沌系 统 同 步 与 辨 识 有 重 要 意 义 [12-14]。 在 有 未 知 参 数 存 在 情 形 下， 文 [11]的方法不再适用， 而且关于不同阶分数阶混沌系 统之间的参数辨识尚未见报道。 本文讨论参数不确定分数阶混沌系统用不同阶同结 构系统来同步和参数辨识， 利用分数阶非线性时变系统稳 定性理论， 给出分数阶系统用不同阶的分数阶系统来同步 和参数辨识的方法， 实例实现了不确定分数阶 Chen 通过不 同阶的分数阶 Chen 系统来同步和参数辨识。理论和实验 仿真说明了方法的有效性。
2
分数阶微积分
分数阶微积分有 300 多年的历史， 其定义有很多种， 常
1in
使 得 AH 所 有 的 特 征 值 都 满 足 λ i (t ) = a ii min (- a ii )( > 0) ，
-σ < 0 ， 因此由定理 2 可得， 系统渐近稳定。
用的有 Grunwald_Letnikov （GL） ， Riemann_Lionville （RL） ， Caputo’ s 定义。分数阶微分方程的计算方法有两大类： 一 种是频域算法， 一种时域算法。本文中采用 Caputo’ s 定义 和预测 -校正 （predictor-correctors） 时域数值算法。 Caputo’ s 分数阶微分定义为：
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步就是利用滑模控制技术
来对金融系统中出现的混沌进行同步。
它主要使用了分数阶微积分方
法来精确描述时滞存在的金融系统。
借助滑模控制，可以用一个适当
的控制功能来改变金融系统中混沌特性的各个阶段，从而有效地实现
混沌同步。
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术中，首先需要对金
融系统建立一个时滞分数阶微积分模型。
然后，构建一个合适的控制器，在不同的时期调整金融系统中的混沌特性。
分数阶微积分相比传
统的积分微分数学模型，具有更好的精确度，能够更好地反映时滞存
在的金融系统的变化趋势。
在滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术中，控制器的设
计非常重要，因此，控制器的设计通常结合了Lyapunov技术、鲁棒滑
模技术、Fuzzy技术等一系列技术方法，将复杂的金融系统变成一个简
单的可控制系统。
利用这种技术，可以用一系列精心设计的控制器来
调整金融系统中混沌特性，从而实现混沌同步。
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术在金融系统中的应
用非常广泛，能够有效的解决复杂的金融系统问题，提高金融系统的
可靠性和可靠性。
这一技术可以为复杂的金融系统设计提供新的思路，为金融系统的高效运营提供支持。
分数阶神经网络的混沌特性及其同步研究
摘要分数阶微积分是一个与整数阶微积分有同样长历史的课题，但直到近几十年，因其在物理和工程中的应用，才又重新引起了人们的重视。
它将常见的微分和积分运算推广到任意实数阶，非常适合用来描述那些有记忆和遗传特性的材料和过程。
混沌是非线性动力学系统中特有的一种运动形式，因其局部不稳定、非周期、伪随机、遍历等特性，被广泛应用于密码学、保密通讯、图像数据压缩、高速检索、模式识别等领域。
如今，分数阶非线性系统的复杂动力学研究已经成为一个热门话题，大量研究专注于分数阶系统中混沌的产生，控制与同步。
本文主要研究了分数阶Hopfield型延时神经网络和分数阶细胞神经网络中的复杂动力学行为，利用分数阶微分方程稳定性理论和Matlab数值仿真工具对这两类系统中的混沌现象的产生做了定性和定量分析。
同时针对这两类神经网络分别设计了合适的控制器,实现了混沌同步，通过数值仿真验证了控制方法的有效性。
具体研究内容如下：第一章，详细介绍了分数阶微积分的定义及其数值方法，混沌的定义、基本特征及分析方法，阐述了混沌同步的概念和同步方法。
第二章，提出了一类分数阶Hopfield型延时神经网络并研究了该系统的复杂动力学特性。
分岔分析与相图的一致性验证了系统中混沌现象的存在。
确定了系统随阶数增大的倍周期分岔通往混沌的道路。
分别设计控制器，实现了两个具有相同或不同阶次的驱动—响应系统的同步。
第三章，提出了一类分数阶四细胞神经网络并发现了该系统中的超混沌现象。
分别确定了系统出现超混沌、混沌、周期轨道的参数范围。
提出了一种基于滑模控制技术(Sliding Mode Control) 的分数阶系统同步方法，并针对分数阶四细胞神经网络超混沌系统讨论了驱动—响应系统的完全同步，异结构同步和广义同步三种不同的同步情况。
关键词：分数阶，混沌，超混沌，神经网络，混沌同步，滑模控制ABSTRACTFractional calculus, an old mathematical topic, has the same long history as integer order calculus. In recent decades, it has been attracted researchers' attention due to its applications to physics and engineering. Fractional calculus is a generalization of integration and differentiation to an arbitrary real number order. Nowadays, it has been realized that many systems can be elegantly described with the help of fractional-order systems, especially in the case of description of memory and hereditary properties of various materials and processes. Chaos, a particular behavior of nonlinear dynamical system, is widely used in cryptography, secret communications, image data compression, retrieval and pattern recognition fields, because of its characteristics such as local instability, non-periodicity, pseudo-randomness and ergodicity. Today, the study on fractional-order nonlinear system dynamics has become a hot topic, and plenty of research focus on the generation, control and synchronization of chaotic systems.This paper investigates the complex dynamics behaviors in fractional-order Hopfield delayed neural networks and cellular neural networks. With the help of fractional differential equation stability theory and Matlab, these two kinds of systems are analyzed both qualitatively and quantificationally. Then, different controllers especially for these two kinds of neural networks are designed to achieve the chaos synchronization. Numerical simulation of the synchronization confirms the effectiveness of the control methods. Concrete contents are as follows:In chapter 1, the definition and numerical methods of fractional-order differentiation are introduced in detail. The definition, essential feature and analysis methods of chaos are recommended. The concept and methods of chaos synchronization are described briefly.In chapter 2, a kind of fractional-order Hopfield delayed neural networks is put forward and its complex dynamic behavior is discussed. The consistency between bifurcation analysis and phase portraits proves the existence of chaos. Two different period-doubling bifurcation roads, which lead to chaos with the increase of the system order, are determined. Thecontrollers are designed respectively for the drive-response systems, which have the same order or different orders, to achieve chaos synchronization.In chapter 3, a kind of fractional-order cellular neural networks which contains four cells is put forward, and its hyperchaos behavior is discovered. The ranges of system parameters,for which the system can exhibit hyperchaos attractor, chaos attractor or periodic orbit, are determined. Then, a kind of control method based on the sliding mode control theory is proposed to achieve the hyperchao synchronization. The controllers for drive-response system identical, nonidentical and generalized synchronization are presented respectively.Keywords: Fractional order, Chaos, Hyperchaos, Neural networks, Synchronization, SMC目录1 绪论 (1)1.1引言 (1)1.2三种分数阶微分定义及其数值解法 (3)1.3 混沌定义与混沌同步概述 (5)1.4 几种常用的混沌系统分析方法 (7)1.5 本文的主要工作和研究意义 (8)2 分数阶延时神经网络中的混沌及其同步 (10)2.1 背景介绍 (10)2.2 模型与算法描述 (11)2.3 分数阶延时神经网络中的混沌与分岔 (13)2.4 分数阶延时神经网络的同步 (17)2.5 本章小结 (20)3 分数阶细胞神经网络中的超混沌及其同步 (21)3.1 背景介绍 (21)3.2 模型描述与稳定性分析 (22)3.3 分数阶细胞神经网络中的超混沌与分岔 (25)3.4 分数阶细胞神经网络的同步 (31)3.5 本章小节 (41)4 结论与展望 (42)致 谢 (43)攻读硕士学位期间主要成果 (45)参考文献 (46)Contents1 Introduction (1)1.1 Introduction (1)1.2 Definitions of Fractional Derivatives and Its Numerical Methods (3)1.3 Definitions of Chaos and Overview of Chaos Synchronization (5)1.4 Some Common on Chaos System Analysis Methods (7)1.5 Main Research Contents and Significance (8)2 Chaos and Its Synchronization of Fractional Delayed Neural Networks (10)2.1 Background Information (10)2.2 Description of Model and Algorithm (11)2.3 Chaos and Bifurcation of Fractional Delay Neural Networks (13)2.4 Chaos Synchronization of Fractional Delay Neural Networks (17)2.5 Conclusions (20)3 Hyperchaos and Its Synchronization of Fractional Cellular Neural Network (21)3.1 Background Information (21)3.2 Description of Model and Stability Analysis (22)3.3 Hyperchaos and Bifurcation of Fractional Cellular Neural Network (25)3.4 Chaos Synchronization of Fractional Cellular Neural Network (31)3.5 Conclusions (41)4 Summary and Prospects (42)Acknowledgments (43)Main Achievements during the Study for a Master's Degree (45)References (46)1 绪论本章简要介绍了分数阶微积分及混沌的发展历史和研究现状，说明了分数阶非线性系统复杂动力学分析中应注意的问题，概述并比较了现有的三种最常用的分数阶微分定义，详细介绍了一类本文用于求解分数阶微分方程的数值解法，介绍了混沌及混沌同步的定义与性质，对后文中用到的几种混沌系统分析方法作了说明，最后对本文的主要工作和研究意义作了阐述。
分数阶Victor-Carmen混沌系统的新型滑模同步方法
2021年5月 第28卷第5期控制工程Control Engineering of ChinaMay . 2021Vol .28, No .5文章编号：1671-7848(2021)05-0856-04DOI: 10.14107/j .cnki .kzgc .20180249分数阶Victor-Carmen 混沌系统的新型滑模同步方法毛北行(郑州航空工业管理学院数学学院，河南郑州450015)^ |摘要：Victor-Carmen 混洸系统引起了控制界的高度关注，利用新型滑模方法研究分数阶、 Victor-Carmen 混洸系统同步的方法尚未被系统地研究过。
基于一种新型滑糢面研究了分数-阶Victor-Carmen 不确定混洸系统的同步，并依据滑模方法和分数阶微分相关理论得到分数阶Victor-Carmen 不确定系统滑模同步的充分条件。
结论表明，分数阶Victor-Carmen 没先 祕在适当紐T 是賴同步的，最后借助MATLAB 仿真软件雜健S 进行验证。
关键词：新型滑模；分数阶；Victor-Carmen 混先系统 中图分类号：0482.4文献标识码：ANew Sliding Mode Synchronization Methods For Fractional-orderVictor-Carmen Chaotic SystemsMAO Bei-xing(School of Mathematics , Zhengzhou University of A eronautics , Zhengzhou 450015,China )Abstract:Victor-Carmen chaotic systems have attracted much attention from the control community . Themethod of studying the synchronization of fractional-order Victor-Carmen chaotic systems using the new sliding mode method has not been systematically studied . The synchronization of fractional-order Victor-Carmen uncertain chaotic systems is studied based on a new type sliding mode surface method in this paper . Sufficient conditions are acquired for sliding mode synchronization of fractional-order Victor-Carmen uncertain systems based on sliding mode method and fractional-order differential theory . The results demonstrate that fractional-order Victor-Carmen chaotic systems are of sliding mode synchronization under certain conditions . Finally , the numerical results are verified by MATLAB simulation software .K ey words: New sliding mode ; fractional -order ; Victor-Carmen chaotic systemi 引言近年来，分数阶混沌系统的同步问题成为研究 的热点[14]，如何利用滑模方法解决同步问题被科学 界广泛研宄，并取得了丰硕的成果^-91。
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d x2 ( t) /d t= ( c- a ) x1 ( t) ( 5)
x 1 ( t) x3 ( t ) + cx2 ( t)
d x3 ( t ) /d t= x1 ( t )x2 ( t) - bx3 ( t) 当参数 a = 35, b = 3, c= 28, = 0. 9 时系统处 于混沌状态, 图 1给出了上述参数条件下混沌吸引 子在各个平面上的投影.
另一方面, 自 1990年 P ecora等人 [ 6] 提出混沌 的同步原理并在电路中实现以来, 混沌同步的研究 得到了蓬勃的发展. 人们提出了多种混沌的控制方 法, 如驱动 响应混沌同步方法 [ 7] , 线性和非线性反 馈同步方法 [ 8 ] , 耦合同步法 [ 9] , 自适应同步法 [ 10] , 驱动参量同步法 [ 11] 等. 这些同步方法大多也适应 于分数阶混沌系统之间的同步. 文献 [ 12] 利用广 义 H am ilton系统理论的 M elnikov方 法, 严格分析 了延迟反馈方法控制混沌 Lorenz系统到周期解的 机理, 揭示 了延 迟时 间与 控制 混沌 的关 系. 文献 [ 13]针对分数阶混沌系统 的投影同步问题, 提出 了一种基于主动滑模原理的控制器实现了对分数 阶混沌系统的投影同步. 基于拉普拉斯变换和分数 阶线性稳定性理论, 文 献 [ 14] 运用单向耦合同步 法, 驱动 响应同步法, 反馈线性化控制方法研究了 一个分数阶新超混沌系统的同 步问题. 文献 [ 15] 基于 Lyapunov稳定性理论, 运用 主动控制方法选
常数矩阵, 若矩阵 C 的特征值 满足 | arg ( 1 ) | >
!/2, = m ax ( 1, 2, !, n ), i = 1, 2, !, n, 则分
数阶线性系统 ( 4)在原点是渐近稳定.
定理 1: 假设控制器 U 设计为 U = F (x ( t- ) ) -
F ( y ( t) ) - ke( t), 且 k 可使 (A - kI )的特征值 i 满 足 | arg( i ) | > !/2, 则分数阶误差系统 ( 3)在原 点是渐近稳定的, 即系统 ( 1)和 ( 2)达到延迟同步.
图 3 分数阶线性误差系统 ( 10)的时间序列曲线 F ig. 3 Th e t im e series of fract ional order linear error system ( 10)
3 结论
本文基于分数阶线性系统的稳定性理论, 结合 反馈控制和主动控制方法, 提出了一种实现分数阶 混沌系统延迟同步控制的新方法, 并给出了控制器 的解析表达式. 该方法通过非线性反馈使得分数阶 混沌系统的延迟同步误差系统转化为分数阶线性 系统, 简化了分数阶混 沌系统延迟同 步问题的研 究. 通过对分数阶 Chen混沌系统的延迟同步进行 数值模拟, 数值模拟结果验证了该方法的有效性和
和 ( 2)达到了延迟同步.
2 分数阶混沌系统延迟同步的数值模拟
下面我们以分数阶 Chen系统作为例子来阐明 上一节理论结果的正确性, 作为驱动系统的分数阶 C h en 混沌 系统 由下 面的 数学 模型 描述 :
d x1 ( t ) /d t= - a( x1 ( t) - x2 ( t ) )
1 分数阶混沌系统的延迟同步控制器设计
考虑由下面的数学模型描述的分数阶混沌系
统
d x /dt = A x + F ( x )
( 1)
其中 0< < 1, A 是关于系统参数的 n n 阶矩阵, x
= ( x1, x2, !, xn )T ∀ Rn 为系统 ( 1 )的状态向量, F (x ) = ( f1 (x ), f 2 ( x ), !, fn ( x ) )T ∀ Rn 为系统的非 线性项. 假设系统 ( 1) 为驱动系统, 响应系 统设计
第 8卷第 4期 2010年 12月 1672 6553 /2010 /08 /338 4
动力学与控制学报
JOU RNAL OF DYNAM ICS AND CONTROL
V o.l 8 N o. 4 D ec. 2010
分数阶混沌系统的延迟同步*
王德金 郑永爱
( 扬州大学信息工程学院, 扬州 225009 )
( 3) 为了研究系统 ( 1)和 ( 2)的延迟同步, 我们首
第 4期
王德金等: 分数阶混沌 系统的延迟同步
339
先给出下面的引理. 引理 1[ 16 ] 对于分数阶线性系统:
d x /dt = Cx
( 4)
其中 0< < 1, x = (x 1, x2, !, xn )T ∀ Rn, C ∀ Rn n为
响应系统为如下的受控的分数阶 Chen系统:
d y1 ( t ) /d t= - a( y1 ( t) - y2 ( t ) ) + u1
d y2 ( t) /d t= ( c- a ) y1 ( t) ( 6)
y1 ( t) y3 ( t ) + cy2 ( t) + u2
d y3 ( t ) /d t= y1 ( t )y2 ( t) - by3 ( t) + u3 把驱动系统 ( 5)写成 ( 1)的形式, 有
引言
分数阶微积分已有 300多年的历史, 其发展几 乎与整数阶微积分同步. 但将其应用到物理学和工 程学的研究热潮还是最近几十年兴起的. 近年来, 越来越多的科技工作者对分数阶混沌系统产生了 兴趣, 并利用分数阶方程描述动力系统, 从而出现 了一些分数阶混沌系统. 例如: 分数阶 Chen混沌系 统 [ 1] , 分数阶 Jerk混沌系统 [ 2] , 分数阶 L iu 混沌系 统 [ 3] , 分数阶 L 混沌系统 [ 4] , 分数阶统一混沌系 统 [ 5] 等.
d x /dt = A x + F ( x )
( 7)
-a a 0 其中 A = c- a c 0 , x = ( x 1, x 2, x3 )T, F ( x )
0 0 -b
图 1 分数阶 Chen 系统的相图 F ig. 1 Ph ase d iagram s for the fract ional order Ch en system
证明: 将 U = F ( x ( t - ) ) - F ( y ( t) ) - K e( t)
代入 ( 3)得
d e( t ) /dt = (A - kI) e( t)
因为存在合适的 k 可使 (A - kI )的特征值 i 满足 | arg( i ) | > !/ 2, 而由引理 1知, 分数阶误差系统 ( 3)在原点是渐近稳定的, 即分数阶混沌系统 ( 1)
3 王发强, 刘崇新. 分 数阶临 界混沌 系统 及电路 实验 的研 究. 物理 学 报, 2006, 55 ( 8): 3922 ~ 3927 ( W ang F Q, L iu C X. Study on the cr itica l chaotic system w ith fractiona l o rder and circu it exper iment. A cta Phy sica S inica, 2006, 55( 8): 3922 ~ 3927 ( in Ch inese) )
到延迟同步. 其中 x ( t), y ( t )分别是系统 ( 1)和 ( 2)
对应的解. 设 e( t) = y ( t ) - x ( t - ), 由 ( 1)和 ( 2)
可得误差系统
d e( t) /dt = Ae( t) + F (y ( t) ) - F (x ( t- ) ) + U
= ( 0, - x1x 3, x 1x2 )T. 把响应系统 ( 6)写成 ( 2)的形式, 有
d y /dt = A y + F ( y ) + U
( 8)
将定理 1中设计的控制器 U代入式 ( 8)得
d y ( t ) /d t = Ay ( t) + F ( x ( t - ) ) - ke( t) ( 9) 其中 y = ( y1, y2, y3 )T, F (x ( t - ) ) = ( 0, - x 1 ( t -
可行性.
参考文献
1 L i C P, P eng G J. Chaos in chen& s system w ith a fractiona l o rder. Chao s, So litons& F ractals, 2004, 22( 2): 443~ 450
2 A hm ad W, Sprott J C. Chaos in fractional order autono m ous non linear system s. Chaos, So litons& Fractals, 2003, 16( 2): 339~ 351
)x3 ( t- ), x1 ( t- ) x2 ( t- ) )T, e( t) = ( e1 ( t ), e2 ( t), e3 ( t ) )T, U = ( u1, u2, u3 )T, k 为常数.
由 ( 7)式和 ( 8)式得分数阶线性误差系统为:
d e( t) /dt = (A - kI) e( t)