杆梁问题的有限单元法

M yi
MT zi
（d）
单元刚度方程为
K e e Fe
（e）
其中：单元刚度矩阵
k1,1
K e
k2,1
k1,2 k2,2
k12,1 k12,2
k1,12
k2,12
k12,12
（f）
单元刚度矩阵元素根据其物理意义分析如下：
⑴ ui 1，其他结点自由度方向位移为0（如图32），生成单元刚度矩阵的第一列元素。
4.体系的简化: 空间结构 平面结构
5.荷载的简化: 集中力、集中力偶、分布荷载
代替实际结构的计算模型
体系的简化: 空间结构 平面结构
结点的简化: 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)
半铰结点
铰结点
刚结点
根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确定，将梁分为静定梁和超 静定梁。静定梁又可分为单跨静定梁和多跨静定梁。
EA
l
0
12EIz l3
0
0
0
12EIy l3
0
0
GJ
对
l
0
0
K e
EA l
0
0
6EIz l2
0
12E l3
I
z
6EI l2
y
0
0
0
0
4EIy
l
0
0
4EIz
l
0
0
0
EA
l
0
0
6
EI l2
z
0
12EIz l3
称
ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
0
12EIy l3
0
6EIy l2
0
0
0
12EIy l3
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件 组成的杆件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架 与桥梁结构中的梁杆等。
坐落在法国南部塔恩河谷的米约大桥2004年 竣工，它是目前世界上最高的大桥，桥面与 地面最底处垂直距离达270米。而斜拉索最 高点离地有343米，比埃菲尔铁还要高出23 米。尽管全长达2.46公里，但只用7个桥墩支 撑。
元素。
图3-7
为单跨超静定梁因杆端位移产生杆端力的基本情 况之一，查表得到
k2,6
Vi
6EIz l2
k6,6
M zi
4EIz l
k8,6
Vj
6EI l2
z
k12,6
Mzj
2EIz l
单元刚度矩阵第六列的其他元素为0。
j结点各自由度分别出现单位位移而生成的单元刚度矩阵元素
的分析类似，最后得至空间梁单元的单元刚度矩阵为
0
0
GJ 0
0
0
0
0 GJ
l
l
0
0
0
6EIz l2
6EI l2
y
0
0 0
2EIy l 0
0 2EIz
0
0
6EIy l2
0 6EIz
0
0 0
4EIy l 0
4EIz
l
l2
l
（3-1）
其他梁单元的刚度矩阵 ⑴轴力杆单元（图3-8）
图3-8
单元结点位移向量
e
ui u j
（g）
由空间梁单元刚度矩阵（3-1）式中取出对应的
计算简图:
在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)
确定计算简图的原则：
1.能反映实际结构的主要力学特性; 2.分析计算尽可能简便
简化内容:
1.杆件的简化: 杆件
杆件的轴线
2.结点的简化: 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)
3.支座的简化: 固定铰支座 可动较支座 固定端支座 滑动支座(定向支座)
空间梁单元的刚度矩阵 直接应用材料力学与结构力学的有关结论分析空 间梁单元的单元刚度矩阵，图1所示空间梁单元。
图1
其单元结点位移向量
e
i j
（a）
其中： i ui
vi
i
xi
yi
T zi
单元结点载荷向量为
（b）
Fe
Fi
F
j
（c）
其中： F i Ui
Vi
Wi
M xi
⑸ yi 1 ，其他结点位移为0（图3-6），生成第五列
元素。
图3-6
为单跨超静定梁因杆端位移产生杆端力的基本情
况之一，查表得到
k3,5
Wi
6EIy l2
k9,5
Wj
6EIy l2
k5,5
M yi
4EIy l
k11,5
M yj
2EIy l
单元刚度矩阵第五列的其他元素为0。
⑹ zi 1 ，其他结点位移为0（图3-7），生成第六列
Wj
12EIy l3
k11,3
My
j
6EIy l2
单元刚度矩阵第三列的其他元素为0。
⑷ xi 1 ，其他结点位移为0（图3-5），生成第四列
元素。
图3-5
为杆件的扭转基本变形情况，由材料力学公式有
GJ k4,4 M xi l
GJ k10,4 M xj l
单元刚度矩阵第四列的其他元素为0。
2EIz
l
12EIz
l3
6EIz l2
对称
（3-4）
4EIz
l
②xoz坐标面内平面弯曲（图3-11）
图3-11
单元结点位移向量
e i
yi
j
T yj
（j）
由空间梁单元刚度矩阵中取出对应的自由度元素得到
l
GJ l
GJ
l
（3-3）
⑶平面弯曲梁单元 ①xoy坐标面内平面弯曲（图3-10）
图3-10
单元结点位移向量
e vi
zi
vj
T zj
（i）
由空间梁单元刚度矩阵中取出对应的自由度元素得到
12EIz
l3 6EIz
K e
l2
12E l3
I
z
6EIz l2
4EIz
l
6
EIz l2
k2,2
V
i
12EIz l3
k6,2
M zi
6EIz l2
k8,2
V
j
12EIz l3
k12,2
Mzj
6EI l2
z
单元刚度矩阵第二列的其他元素为0。
⑶ i 1，其他结点位移为0（如图3-4），生成第 三列元素。查表得到
图3-4
k3,3
Wi
12EIy l3
k5,3
M yi
6EIy l2
k9,3
图3-2
为拉伸压缩基本变形情况，有
EA k1,1 Ni l
EA k7,1 N j l
⑵ vi 1 ，其他结点自由度方向位移为0（如图3-3）， 生成第二列元素。
图3-3
为单跨超静定梁因杆端位移产生杆端力的基本 情况之一，查阅由转角位移公式推导的单跨超静定 梁杆端弯矩和杆端剪力表格得到：
支座的简化: 固定铰支座 可动铰支座 固定端支座 滑动支座(定向支座)
主要内容简介 ❖ 杆梁单元的单元刚度矩阵 ❖ 坐标变换 ❖ 等效结点载荷
杆梁单元的单元刚度矩阵
单根的杆梁作为杆梁结构的基本成分，材料力学 与结构力学中已给出了其典型构件的解析解答。用 有限单元法分析杆梁结构已得到广泛应用，由于杆 梁单元本身具有解析解答，无须使用近似函数作为 位移模式，杆梁问题有限元分析得到的是精确解。
自由度元素 k1,1, k7,1, k1,7 , k7,7 得到
EA
K
e
l EA
l
EEAlA l
（3-2）
⑵扭转杆单元（图3-9）
图3-9
单元结点位移向量
e
xi xj
（h）
由空间梁单元刚度矩阵中取出对应的自由度元
素 得到 k1,1, k6,1, k1,6 , k6,6
GJ
K e
l GJ