2018年新课标全国1(卷)理科数学

关注“小马高中数学”轻松学好高中数学 2018年新课标全国I 卷 理科数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．设i ii z 211++-=，则=z ( ) A ．0 B ．21 C ．1 D ．2 2．已知集合}02{2>--=x x x A ，则=A C R ( )A ．}21{<<-x xB ．}21{≤≤-x xC ．}2{}1{>⋃-<x x x xD ．}2{}1{≥⋃-≤x x x x3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例关注“小马高中数学”轻松学好高中数学 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若2,31423=+=a S S S ，则=5a ( )A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数ax x a x x f +-+=23)1()(，若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在点)0,0(处的切线方程为() A ．x y 2-= B ．x y -= C ．x y 2= D ．x y =6．在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( )A ．AC AB 4143- B ．4341- C ．4143+ D ．4341+关注“小马高中数学”轻松学好高中数学7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点)0,2(-且斜率为32的直线与C 交于N M ,两点，则=⋅FN FM ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．已知函数.)()(,0,ln 0,)(a x x f x g x x x e x f x ++=⎩⎨⎧>≤=若)(x g 存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．)0,1[- B ．),0[+∞ C ．),1[+∞- D ．),1[+∞关注“小马高中数学”轻松学好高中数学10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边ABC AC AB ∆.,的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为,,,321P P P 则( )A ．21P P =B ．31P P =C ．32P P = D ．321P P P +=11．已知双曲线O y x C ,13:22=-为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为.,N M 若OMN ∆为直角三角形，则=MN ( )A ．23 B ．3 C ．32 D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A ．433B ．332C ．423D ．23关注“小马高中数学”轻松学好高中数学 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x，则y x z 23+=的最大值为_______．14．记n S 为数列}{n a 的前n 项和，若12+=n n a S ，则=6S _______．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_______种．（用数字填写答案）16．已知函数,2sin sin 2)(x x x f +=则)(x f 的最小值是________．关注“小马高中数学”轻松学好高中数学 三、解答题17．（12分）在平面四边形ABCD 中，.5,2,45,90===∠=∠BD AB A ADC oo （1）求;cos ADB ∠（2）若22=DC 求.BC关注“小马高中数学”轻松学好高中数学 18．（12分）如图，四边形ABCD 为正方形，F E ,分别为BC AD ,的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且.BF PF ⊥（1）证明：平面⊥PEF 平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.关注“小马高中数学”轻松学好高中数学 19．（12分）设椭圆12:22=+y x C 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于B A ,两点，点M 的坐标为)0,2(. （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：.OMB OMA ∠=∠关注“小马高中数学”轻松学好高中数学 20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<<P P ，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(P f ,求)(P f 的最大值点0P ．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0P 作为P 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？关注“小马高中数学”轻松学好高中数学 21．（12分）已知函数.ln 1)(x a x x x f +-=（1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 存在两个极值点,,21x x 证明：.2)()(2121-<--a x x x f x f关注“小马高中数学”轻松学好高中数学四、选考题（共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的方程为.2+=x k y 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为.03cos 22=-+θρρ （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.关注“小马高中数学”轻松学好高中数学23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知.11)(--+=ax x x f （1）当1=a 时，求不等式1)(>x f 的解集；（2）若)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，求a 的取值范围.关注“小马高中数学”轻松学好高中数学2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBABDABDCABA13.6 14.63- 15.1616.2- 17.（12分）解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==. （2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =. 18.（12分）解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，所以PE又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF .可得32PH EH ==.则33(0,0,0),(1,,0),(1,22H P D DP --=HP =为平面ABFD 的法向量.关注“小马高中数学”轻松学好高中数学设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin ||||||3HPDP HP DP θ⋅===⋅所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为4. 19.（12分）解：（1）由已知得(1,0)F，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,)2或(1,2-. 所以AM的方程为2y x =-+2y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠. 20.（12分）解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-.因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--. 令()0f p '=，得0.1p =.当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<.所以()f p 的最大值点为00.1p =. （2）由（1）知，0.1p =.关注“小马高中数学”轻松学好高中数学（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B :，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+.所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=.（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX >，故应该对余下的产品作检验. 21.（12分）解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当(0,()22a a x -+∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>.所以()f x在)+∞单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线关注“小马高中数学”轻松学好高中数学为1l ，y 轴左边的射线为2l．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l与2C 有两个公共点，或2l与2C 只有一个公共点且1l与2C 有两个公共点．当1l与2C 只有一个公共点时，A 到1l所在直线的距离为2，2=，故43k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >． （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．。