《工程力学》加速度合成定理
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牵连运动为转动的加速度合成定理
τ
aa cos 30 = −ae cos 30
故顶杆AB的加速度为 故顶杆 的加速度为
n − ar
+ ac
2
aa =
n − ae − (ar
− ac ) cos 30 = − 2eω 9
可见， 的实际方向铅直向下。 可见， aa 的实际方向铅直向下。
太原理工大学教师 安美文
谢
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太原理工大学教师 安美文
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va = vr sin 30
0 = −ve + vr cos 30
因为 ve = OA ⋅ ω = 2eω 于是可解得 v = 2 3 eω a
3
4 3 vr = eω 3
2
动点的加速度合成矢量图如图。 动点的加速度合成矢量图如图 其中
2 r
ξ B
ae = OA ⋅ ω = 2eω
dvr d (v x′ i ′ + v y ′ j ′ + v z ′ k ′) = dt dt dv y ′ dv x ′ dv z ′ di ′ dj ′ dk ′ = i ′+ j′ + k ′ + v x′ + v y′ + v z′ dt dt dt dt dt dt = ar + ω e × vr
B
η
vr
ϕ
ve A va
ω
O
α
r
C
ξ
α = ϕ = 30
为动点， 解：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在 以杆端 为动点 静系取在地面上， 轮上。动点的速度合成矢量图如图。 轮上。动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标轴， 建立如图的投影坐标轴，由va = ve + vr 将各矢量 投影到投影轴上， 投影到投影轴上，得
加速度合成定理
31
6.3 加速度合成定理
3. 科氏加速度ac是由于动系为转动时，牵连运动与相 对运动相互影响而产生的。
4. 当牵连运动为平移时，e 0，因此 aC 0，此时有
aa ae ar
当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该 瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
地理学的规律：北半球的江河，其右岸都受到明显的 冲刷。
va
其中 O1A
l2 r2
解：取曲柄OA上点A为动点，动系固
连于摇杆O1B上。则
ve va sin
sin r
l2 r2
va r
r 2
ve l 2 r 2
设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则
ve O1A1
1
r 2
l2 r2
r 2
l2 r2
23
6.2 速度合成定理
绝对运动与相对运动之间 的关系
动点M的绝对运动方程为 x x(t) y y(t)
动点M的相对运动方程为
x' x'(t) y' y'(t) 动系O'x'y'z'相对定系Oxyz的
运动为
xo' xo' (t)
yo' yo' (t)
(t)
x xo' x'cos y'sin
32
6.3 加速度合成定理
例：曲柄滑道机构中，曲柄长OA=10cm，绕O轴转动。
当φ=30º时,其角速度ω =1rad/s，角加速度α=1rad/s2。求
导杆BC的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。
33
6.3 加速度合成定理
6.3 加速度合成定理
3. 科氏加速度ac是由于动系为转动时，牵连运动与相 对运动相互影响而产生的。
4. 当牵连运动为平移时，e 0，因此 aC 0，此时有
aa ae ar
当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该 瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
地理学的规律：北半球的江河，其右岸都受到明显的 冲刷。
va
其中 O1A
l2 r2
解：取曲柄OA上点A为动点，动系固
连于摇杆O1B上。则
ve va sin
sin r
l2 r2
va r
r 2
ve l 2 r 2
设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则
ve O1A1
1
r 2
l2 r2
r 2
l2 r2
23
6.2 速度合成定理
绝对运动与相对运动之间 的关系
动点M的绝对运动方程为 x x(t) y y(t)
动点M的相对运动方程为
x' x'(t) y' y'(t) 动系O'x'y'z'相对定系Oxyz的
运动为
xo' xo' (t)
yo' yo' (t)
(t)
x xo' x'cos y'sin
32
6.3 加速度合成定理
例：曲柄滑道机构中，曲柄长OA=10cm，绕O轴转动。
当φ=30º时,其角速度ω =1rad/s，角加速度α=1rad/s2。求
导杆BC的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。
33
6.3 加速度合成定理
牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
理论力学
aa ae ar aC
即当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对 加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速 度合成定理。
设动点沿直杆 OA 运动，杆 OA 又以角速度 绕O 轴匀速转动。
将动坐标系固结在杆上。在瞬时 t ，动点在 OA杆的M 位置， 它的相对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，经时间间隔 t后， 杆OA 转动 角，动点运动到 OA 杆的M 点处，这时动点的相 对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，如图6-10（a）所示。
又由图6-10（c）可知 ve ve1 ve2 （c）
式中，ve1 表示由于牵连速度方向变化而引起的牵连速度增量；ve2 表示由于存在相对运动使牵连速度大小变化而引起的牵连速度增量。
将式（b）、式（c）一起代入式（a），可得
aa
lim vr1 t0 t
lim vr2 t0 t
lim ve1 t0 t
将式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牵连
运动为转动时点的加速度合成定理得到证明，
即式（d）可写成
aa ae ar aC
所得结论也适用于一般情况。科氏加速度的表达式为
aC 2e vr
根据矢量积运算法则，aC 的大小为
aC 2evr sin
式中， 是矢量e与vr 的夹角；
lim ve2 t0 t
lim ve ve t0 t
lim OM OM
t0
t
vr
其方向也垂直于 vr，并与 转向一致。
由于这两项附加加速度的大小相同，方向一致，所以，两项合
并成一项，用 aC 表示，它的大小为
aC 2vr
它的方向与 vr 垂直，并与 转向一致。这项加速度称为科氏加速度。
第七章 第三节 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
a ra e
n aa ae cos30 - a sin30 向x : e
w a
30º A
O2
va ve vr
C B
n ae
x
ar
ae
aa
C
r aa ( 3w 2 a ) 2
ve =rw va = ve sin30º =rw /2
D
分量形式的一般表达式
aa =ae+ar +
n ar
aa +
n aa =
ae +ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n ae + ar
带 n 项可通过速度分析求得； 带 项有六个要素。如已知其中四个要素，可求其余两个要素。
例(P155例7-6)小车vA =0.2 m/s、aA =0.2 m/s2，杆AB长0.7m， 该瞬时w=1rad/s，a= 1rad/s2。试求此时点B的vB、 aB 解 (1)动点：杆AB上B点 动系：小车A (2)运动分析和速度分析 A
60°
vA aA
w a
ve =vA =0.2 m/s
vr ABw =0.7 m/s
2 2 va ve vr 2ve vr cos 30
=0.879 m/s
vr
B
vB =va =0.879 m/s
va
ve
例(P155例7-6)小车vA =0.2 m/s、aA =0.2 m/s2，杆AB长0.7m， 该瞬时w=1rad/s，a= 2rad/s2。试求此时点B的vB、 aB 解 (1)动点：杆AB上B点 vB =va =0.879 m/s 动系：小车A ae =aA =0.2 m/s2 (2)运动分析和速度分析 ar ABa =1.4 m/s2 (3)加速度分析 n ar ABw 2 =0.7 m/s2 v A
牵连运动为转动时_加速度合成定理
导航与定位
在飞行器的导航和定位系统中，转动加速度 也是需要考虑的重要因素之一。它可以帮助 我们判断飞行器的姿态和位置变化。
其他领域中的转动加速度问题
机器人学
在机器人学中，转动加速度也是需要考虑的 重要因素之一。例如，在机器人的运动规划 中，我们需要考虑机器人的姿态、速度和加 速度等因素，以保证机器人的稳定性和精度 。
02
基础知识
运动的描述方法
位置矢量
描述物体的空间位置，可用矢量形式表示。
位移
物体在一段时间内位置的变化量，可用矢量 表示。
速度
物体在单位时间内位移的变化量，即位移对 时间的导数。
刚体的转动运动学
角速度
描述刚体转动的快慢和方向，等于刚 体上任意一点的速度沿垂直于该点切 线方向的分量。
角加速度
描述刚体转动的加速度，等于角速度 对时间的导数。
加速度合成定理通常以矢量形式 表示，它包括了牵连加速度、相 对加速度和科里奥利加速度三部 分之和。
应用领域
加速度合成定理在许多领域都有 广泛的应用，如物理学、工程学 、天文学等。
研究不足与展望
研究不足
尽管加速度合成定理在许多领域都有广泛的应用，但目前对于该定理的理解和应用还存 在一些不足之处，如对于某些复杂运动形式，应用该定理可能会出现误差。
车辆工程
在车辆工程中，转动加速度也是需要考虑的 重要因素之一。例如，在车辆的转向系统中 ，我们需要考虑车轮的转速、转向角度等因
素，以保证车辆的操控性和稳定性。
05
结论与展望
研究结论
总结定理
当牵连运动为转动时，加速度合 成定理是一个重要的物理规律， 它描述了物体上各点加速度矢量 的合成方法。
定理形式
理论力学加速度合成定理
一般式
一般情况下(we 与vr不垂直时科) 氏加速度 a的c 计算可以用矢积
表示
大小: ac 2wevrsin
方向：按右手法则确定。
[例3] 已知：凸轮机构以匀 w 绕O轴转动， 图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。
求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。
解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮 ; 绝对运动: 直线;
va
vr
ve
绝对速度: va=? 待求, 方向//AB; 相对运动: 曲线;
相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动: 定轴转动;
牵连速度: ve= w r ， 方向OA， 。
根据速度合成定理
vAB va ve tan w r tan
vr ve / cos w r / cos
绝对加速度 : aa ? , 方向 // AB 相对加速度 : arn vr2/ w2r2 / cos2θ ,
解：首先计算1点的加速度。
动点：圆盘上的1点 动系： 与框架固结
牵连运动：以匀角速度w2作定轴转动
牵连加速度：aeτ 0
ar ae aa
vr
ae aen w22R 450 mm s2
相对运动：以O为圆心，在铅直面内作匀速圆周运动
相对加速度：a rτ 0 ar arn w12R 1250mm s2
绝对速度 va = ? , 方向AB ； 绝对加速度 aa=?, 方向AB，待求。
相对速度 vr = ? , 方向CA; 相对加速度 art =? 方向CA
牵连速度 ve=v0 , 方向 →;
a
n r
vr2
/
R
方向沿CA指向C
由速度合成定理 va ve vr , 牵连加速度 ae=a0 , 方向→
工程力学：4-2 点的运动(速度合成定理)(1次课) 4-3 点的运动(加速度合成定理)(2次课)
北京交通大学力学系
点的运动方程合成
第二章 点的合成运动
点的运动方程合成——三种运动方程间的关系
设动点：M 牵连点： M
定系：Oxy
M
动系： Oxy
x x(t)
绝对运动方程 y y(t)
消去时间参数 t 得点的绝对运动轨迹
x x(t) 相对运动方程 y y(t)
消去时间参数 t 得点的相对运动轨迹
一点相对于圆盘以vr=r的相对速度逆时针运动。
北京交通大学力学系
牵连运动为转动时点的加速度合成定理
第二章 点的合成运动
vr
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
ar
d2 x dt 2
i
d2 y dt 2
j
d2z dt 2
k
va ve vr
dva dve dvr dt dt dt
1
dva dt
解：取小环M为动点，动系固联于曲杆OBC
va ve vr
ve OM
0.1m s
vr
va ve
va ve cot 30 3ve 0.173m s
第二章 点的合成运动
例一 刨床的急回机构如图。当曲柄OA以匀角速度 绕固定轴O 转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴 O1摆动。设曲柄长 OA= r，两轴之间的距离 OO1= l。试求 当曲柄在水平位置时摇杆的角加速度。
解：取滑块A为动点，动系固联于摇杆
O1B，由加速度合成定理有
aa ae ar aC
aC 2ωe vr
牵连运动为 任意运动！
北京交通大学力学系
牵连运动为转动时点的加速度合成定理
加速度合成定理
20
6.2 速度合成定理
解：取杆AB上点A为动点，动
系固连于凸轮上，定系固
连于地面上。则
vr
va
φ
ve
va ve cot v0 cot
0.577 v0
方向向上。
21
6.2 速度合成定理
例：曲柄摆杆机构，OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1。
若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
11
6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两
个坐标系都有运动的点。
动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨
迹是已知的，或者能直接看出的。
12
6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
绝对运动与相对运动之间 的关系
动点M的绝对运动方程为 x x(t) y y(t)
动点M的相对运动方程为
x' x'(t) y' y'(t) 动系O'x'y'z'相对定系Oxyz的
2.动参考系：把固定在其他相对于地面运动参考体上的 坐标系，称为动参考系，简称动系。以O'x'y'z'坐标系表 示。
Байду номын сангаас3. 动点：所研究的点（运动着的点）。
4
6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
6.2 速度合成定理
解：取杆AB上点A为动点，动
系固连于凸轮上，定系固
连于地面上。则
vr
va
φ
ve
va ve cot v0 cot
0.577 v0
方向向上。
21
6.2 速度合成定理
例：曲柄摆杆机构，OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1。
若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
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6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两
个坐标系都有运动的点。
动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨
迹是已知的，或者能直接看出的。
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6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
绝对运动与相对运动之间 的关系
动点M的绝对运动方程为 x x(t) y y(t)
动点M的相对运动方程为
x' x'(t) y' y'(t) 动系O'x'y'z'相对定系Oxyz的
2.动参考系：把固定在其他相对于地面运动参考体上的 坐标系，称为动参考系，简称动系。以O'x'y'z'坐标系表 示。
Байду номын сангаас3. 动点：所研究的点（运动着的点）。
4
6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
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5.计算科氏加速度:
a c vr
ac 2vr sin
方向垂直于OAB平面
av
c
r
1
a 2v sin900
c
r1
方向垂直于AB杆
定轴转动圆盘上的运动小球
ac v
6.自然现象中的科氏加速度
v
地球北半
球上水流的科 氏加速度
ac
7. 应用
图示曲杆OBC绕O轴转动,使套在其上的小环M沿固定直杆 OA 滑 动 。 已 知 : OB=10cm,OB 与 BC 垂 直 , 曲 杆 的 角 速 度 0.5rad s 。求当 600 时,小环M的加速度。
lim ve 've t0 t
? ar
lim vr 'vr t t0
v 'v
? ae
lim
t 0
e
e
t
(1) lim vr 'vr t t0
vr 'vr (vr 'vr2 ) (vr2 vr )
v 'v v 'v v v
lim r r lim r r2 lim r2 r
4. 加速度合成定理:
当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速 度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏 加速度的矢量和。即：
aa ar ae ac
式中 ac 2ωe vr
.难点： 理解科氏加速度 产生的原因 牵连运动与相对运动互相影响
计算科氏加速度，判断科氏加速度方向。
lim ve 'vM1 t0 t
lim AM ' AM1
t 0
t
vr
方向：与 ve 'vM1 一致，它垂直于 vr '
t 0,v ' v
r
r
即与 v 垂直，并与 转向一致。 r
ac 2 vr 方向垂直于 vr并与 转向一致 。
科氏加速度
ac 2ωe vr
va (aa ) vr (ar ) ve (ae )
速度合成定理
v v v
a
e
r
2.问题的提出:
牵连运动为平动时的加速度合成定理:
a a a
a
e
r
反例 a ,a
er
动点：小球 动系：圆盘
a 0 a
a a r 2
e
r
a a a
a
e
r
绝对运动：静止
牵连运动：圆盘以 作匀速转动
v v
M1
e
v e
v 'v (v 'v ) (v v )
e
e
e
M1
M1
e
lim ve 've lim ve 'vM1 lim vM1 ve
t t0
t t0
t t0
其中
ae
lim vM1 ve t t0
第一项 大小：
ve ' ' AM ' , vM1 ' AM1
lim vr 'vr2 t t0
lim
t 0
vr
'
lim
t 0
t
vr
v 'v 一致 t 0,
r r2
22 2
方向与 vr 垂直，并与 转向一致。
(2) lim ve 've t t0
v' v
e
M1
v' v
e
e
v' e
v M1
解：
O
B
一、选取动点、动系
C
动点：小环M
M
动系：曲杆OBC
A 二、运动分析
相对运动：M沿BC直线运动 牵连运动：OBC作定轴转动 绝对运动：M沿OA直线运动
O
B
O
B
M vr C
va
ve
aen M
ar
C
aa
ac
速度分析
A
大小 方向
va vr ve
??
v e
OM
10cm s
t t t t0
t0
t0
其中
ar
lim vr2 vr t t0
第一项 大小： vr ' vr2
v 'v
r
r2
2sin
2
v ' r
v' r v' v
r r
v ' v
r
r2
v v v
r
r2
r
方向：与
t 0, sin 2 2 , vr ' vr
解得: vr ve cos 20cm s
加速度分析 大小 方向
aaa aar araeaacc
a e
??
a OM 2 e
a 2v
c
r
A 根据投影定理：
0 a sin a cos
c
r
a a cos a sin a n
解得a： c
r
e
aa 35cm s2
思考题
点的速度合成定理 va ve vr 适用于动系
任何运动的情况， aa ae ar 适用于动系 平动的情况， aa ae ar ac 是否仅适用于 动系作定轴转动的情况？
谢谢பைடு நூலகம்家！
《工程力学》课件之
牵连运动为转动时
加速度合成定理
理学院工程力学系
1、点的合成运动简介：
(相对轨迹、 速度与加速度)
动点
(绝对轨迹、 速度与加速度)
动系
牵连运动 (刚体运动)
定系 (牵连速度与加速度)
动系上与动点 重合的点(牵连点)
合成
相对运动+牵连运动 绝对运动
分解
绝对速度（绝对加速度） 相对速度（相对加速度） 牵连速度（牵连加速度）
相对运动：小球以 作反方向匀
速圆周运动
3.定理的说明
特例
在瞬时t va vr ve 在瞬时t’ va ' vr 've '
经过 t
va va 'va (vr 'vr ) (ve 've )
aa
lim va t0 t
lim vr 'vr t0 t