第四节 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
牵连运动为转动的加速度合成定理
τ
aa cos 30 = −ae cos 30
故顶杆AB的加速度为 故顶杆 的加速度为
n − ar
+ ac
2
aa =
n − ae − (ar
− ac ) cos 30 = − 2eω 9
可见， 的实际方向铅直向下。 可见， aa 的实际方向铅直向下。
太原理工大学教师 安美文
谢
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太原理工大学教师 安美文
太原理工大学教师 安美文
va = vr sin 30
0 = −ve + vr cos 30
因为 ve = OA ⋅ ω = 2eω 于是可解得 v = 2 3 eω a
3
4 3 vr = eω 3
2
动点的加速度合成矢量图如图。 动点的加速度合成矢量图如图 其中
2 r
ξ B
ae = OA ⋅ ω = 2eω
dvr d (v x′ i ′ + v y ′ j ′ + v z ′ k ′) = dt dt dv y ′ dv x ′ dv z ′ di ′ dj ′ dk ′ = i ′+ j′ + k ′ + v x′ + v y′ + v z′ dt dt dt dt dt dt = ar + ω e × vr
B
η
vr
ϕ
ve A va
ω
O
α
r
C
ξ
α = ϕ = 30
为动点， 解：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在 以杆端 为动点 静系取在地面上， 轮上。动点的速度合成矢量图如图。 轮上。动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标轴， 建立如图的投影坐标轴，由va = ve + vr 将各矢量 投影到投影轴上， 投影到投影轴上，得
8-4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理
ve va sin vr va cos
Q O1A l2 r2 2r 300
ve r / 2 vr 3r / 2
Q ve 1g2r 1 / 4
(2)求角加速度ε1
x
uuv ak
ω
uuv ae
uuvφ
uuv ar
v
aa uuv
aen
φ
ω1
1
10
作加速度图
aa 2r
ae r ve
相对加速度
uuv •• v •• uv •• uuv ar x 'i ' y ' j ' z ' k '
2
根据速度合成定理，有
uuv uv uuv
va ve vr
k' j' r'
将上式两边对时间t求导，可得
绝对速度 其中：
uuv aa
uuv d va dt
uv d ve dt
uuv d vr dt
ε
ωr
i'
ro'
k
o
ij
uv
uv
v
dve
dt
d dt
uv v
r
d
dt
v uv
r
dr dt
v v uv uuv
r va
v v uv uv uuv v v uv uv uv uuv uuv uv uuv
r
uuv d vr dt
d dt
•
x
'
ve
v i'
•
R
ak 21vr 2 2R
y
根据牵连运动为定轴转动时
牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
理论力学
aa ae ar aC
即当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对 加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速 度合成定理。
设动点沿直杆 OA 运动，杆 OA 又以角速度 绕O 轴匀速转动。
将动坐标系固结在杆上。在瞬时 t ，动点在 OA杆的M 位置， 它的相对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，经时间间隔 t后， 杆OA 转动 角，动点运动到 OA 杆的M 点处，这时动点的相 对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，如图6-10（a）所示。
又由图6-10（c）可知 ve ve1 ve2 （c）
式中，ve1 表示由于牵连速度方向变化而引起的牵连速度增量；ve2 表示由于存在相对运动使牵连速度大小变化而引起的牵连速度增量。
将式（b）、式（c）一起代入式（a），可得
aa
lim vr1 t0 t
lim vr2 t0 t
lim ve1 t0 t
将式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牵连
运动为转动时点的加速度合成定理得到证明，
即式（d）可写成
aa ae ar aC
所得结论也适用于一般情况。科氏加速度的表达式为
aC 2e vr
根据矢量积运算法则，aC 的大小为
aC 2evr sin
式中， 是矢量e与vr 的夹角；
lim ve2 t0 t
lim ve ve t0 t
lim OM OM
t0
t
vr
其方向也垂直于 vr，并与 转向一致。
由于这两项附加加速度的大小相同，方向一致，所以，两项合
并成一项，用 aC 表示，它的大小为
aC 2vr
它的方向与 vr 垂直，并与 转向一致。这项加速度称为科氏加速度。
中文教案(牵连运动为转动时的加速度合成定理)
牵连运动为转动时点的加速度合成定理一、教学设计教学标题：牵连运动为转动时点的加速度合成定理教学目的：掌握牵连运动为转动时点的加速度合成定理及其应用；掌握科氏加速度的概念及计算方法，理解其产生的原因；巩固刚体定轴转动时角速度和角加速度以及刚体内各点速度和加速度的矢量表示法。
培养学生的逻辑思维能力及发现问题、思考问题、灵活应用所学解决生产实践中和生活中类似的力学现象和问题的能力。
教学设想：课程开始时提出身边一些有趣的现象引发同学们学习的兴趣，课程最后再列举种种自然界和工程中的现象促进学生的思考，激发学生对科学探索的热情并和学生一起应用新学知识讨论分析问题。
希望借此培养学生对科学的热爱，因为“热爱是最好的老师”；培养学生发现问题、思考问题、应用所学解决问题的能力。
这是本节课程安排的两个兴奋点。
定理的证明和分析产生科氏加速度的原因是学生学习中的难点，故教学时注意分散难点，增强思维的逻辑性，使内容在逻辑上环环相扣，步步深入，学生较易理解和接受。
比如先提出问题：平动时点的加速度合成定理是否适用于转动的情况？通过例题给出结论，再从运动学角度产生科氏加速度的原因，后用数学的矢量法进行更严密地推证。
考虑到学生可能认为这门课程太抽象，不能和生产实际联系起来，不知道用处何在。
所以可以专门就本节内容安排了一个小论文，有兴趣的同学可以独立完成，也可以自由组合完成，内容体裁自定。
并在期末专门安排时间让同学上台做研究报告。
希望能培养学生收集资料、整理资料、从中提取有用信息和撰写科研论文的能力；培养学生们团结合作的团队精神以及交流表达能力。
教学环节：1.通过列举自然界和生活中的几个现象切入本堂课的主题并简单介绍基本内容；2.明确地提出问题：动系为转动和平动时是否有同样的加速度合成定理？用一个简单的例子说明牵连运动为平动时的加速度合成定理不再适用于转动的情况；3.分析科氏加速度产生的原因和解释它的物理意义；4.用矢量法推导加速度合成定理；5.讨论不同情况下科氏加速度的计算；6.应用科氏加速度解释前面列举的现象，再简单介绍科氏加速度的发现和在自然科学中的应用说明科氏加速度的存在及其影响；7.总结本堂课的基本内容；8.布置作业。
点的合成运动
点的合成运动
在此之前，我们研究点的运动时，都是相对于某 一个参考系（定系）而言。但在有些问题中，往往需 要同时在两个不同的参考系中来描述同一点的运动， 而其中一个参考系相对于另一参考系也在运动。
为此，引入动点，动系，定系。并研究同一动点 相对 于两个不同参考系的运动之间的关系。
2013年8月6日
计算有何影响？
2013年8月6日
理论力学CAI
20
选择方法一
动系
动点
2013年8月6日
理论力学CAI
21
选择方法二
动系
动点
2013年8月6日
理论力学CAI
22
动点、动系和定系的选择原则
1. 动点是个确定的点。
2. 动点与动系必须分别选在两个不同的物体上，动点
与动系间有相对运动。
3. 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断。
例题
已知：AB匀角速度转动。 求：M在导槽EF及BC中运动的速度与加速度。
E
B
C M
A
l F D
2013年8月6日
理论力学CAI
35
y
vB
B
ve
M
E
vM
C
速度分析：
x 动点—M点 动系—BC杆
A
vr
D
l
F
ve = vB = l
v M = ve v r
y : vM = ve sin = l sin x : 0 = vr ve cos
相对轨迹，相对速度vr，相对加速度ar。
2013年8月6日 理论力学CAI
7
牵连运动(entangled motion) ：
中文教案牵连运动为转动时的加速度合成定理
牵连运动为转动时的加速度合成定理一、教学目标：1. 让学生理解牵连运动的概念，掌握牵连运动的基本性质。
2. 让学生了解转动加速度的合成定理，能够运用定理解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、思考能力和动手能力，提高学生解决物理问题的综合素质。
二、教学内容：1. 牵连运动的概念及其分类。
2. 牵连运动的基本性质。
3. 转动加速度的合成定理。
4. 转动加速度合成定理的应用实例。
5. 转动加速度合成定理在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：牵连运动的概念、性质及转动加速度合成定理的应用。
2. 教学难点：转动加速度合成定理的推导和应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解牵连运动的概念、性质和转动加速度合成定理。
2. 采用演示法，通过物理实验和动画演示，让学生直观地理解转动加速度的合成过程。
3. 采用问题驱动法，引导学生主动思考、探究和解决问题。
4. 采用案例教学法，分析实际问题，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学准备：1. 教学课件：制作包含牵连运动、转动加速度合成定理等内容的教学课件。
2. 实验器材：准备相关的物理实验器材，如小车、滑轮、砝码等。
3. 动画素材：收集有关转动加速度合成的动画或视频素材。
4. 练习题：编写相关练习题，以便课后巩固所学知识。
六、教学过程：1. 导入：通过一个简单的物理实验，让学生观察和体验牵连运动和转动加速度，激发学生的兴趣和好奇心。
2. 新课导入：介绍牵连运动的概念和分类，解释牵连运动的基本性质。
3. 转动加速度合成定理的推导：引导学生通过实验数据和观察，发现转动加速度的合成规律，并推导出合成定理。
4. 转动加速度合成定理的应用：通过实例分析，让学生学会运用合成定理解决实际问题，如计算物体的最终速度等。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容和知识点，提出一些拓展问题，激发学生的思考和研究兴趣。
七、课堂练习：1. 根据牵连运动的概念，判断下列情况是否属于牵连运动。
理论力学课件 加速度合成定理及其应用
的速度和加速度。
分析
动 点 A(OA) ， 动 系 BCD( 平
B
移)。 绝对运动：绕O圆周运动
n O
A
ϕ
O1
D
ϕ
相对运动：绕O1圆周运动
R C
牵连点运动：水平直线
例7-4 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R＝OA＝10 cm，已
2、分析三种运动。点作直线运动加速度为1 项；曲线运动加速度为2项。
3、速度分析（见前述）。若有科氏加速度，需要求相对 速度和牵连角速度。 4、加速度分析。
1）作加速度矢量图。法向加速度指向曲率中心，加 速度未知的指向可以假设。
7-4 加速度合成定理及其应用
科氏加速度方向由下法确定。
相对速度按牵连角速度转向绕动点转90度。 牵连运动为平移时最一般表达式
7-4 加速度合成定理及其应用
7-4 加速度合成定理及其应用
例7-5 偏心凸轮的偏心距OC＝e、半径
为R = 3e ， 以 匀 角 速 度 ω 绕 O 轴 转
动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的
B
端 点 A 始 终 与 凸 轮 接 触 ， 且 OAB 成 一
直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB
的速度和加速度。
= avr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+ ωv × vvr
avC = 2ωve × vvr
7-4 加速度合成定理及其应用
ava = ave +
科氏加速度
avr
+ avC
avC =
2ωve
× vvr
ωe是动系转动的角速度。
ωe = 0 ⇒
工程力学-加速度合成定理
10
例题
例 题6
§3 复合运动
解：1. 运动分析: 杆OA定轴转动，杆AB一般平面
O
运动，滑块B水平平动。
OA
2.动点动系选择: 动点----滑块B，
l
r
Bve
va
动系----固连于杆OA 动系的牵连运动—绕O轴定
A
3l
轴转动
vr
动点绝对运动轨迹--水平直线，
动点相对运动轨迹—以A为圆心，AB为半径的圆周
3.速度分析: va
方向 ✓
大小 ？
v由e 动点vB的r 速度合成由关于系vr 3lr 故得：
✓
✓
va vr tan lr ()
OB·OA? AB·r
OA
ve 2l
vr
2l cos
r
()
11
例题
例 题6
§3 复合运动
3. 加速度分析： 由动点加速度合成关系
aa
ae
aen
a0r
arn
牵连点为套筒上C点(动系定轴转动转轴)
a科
aeC' 0
C’ earCv' ac' vrc'
故动点C’的 加速度： aaC' arC' a科
26
牵连加速度 ae ----动系中与动点M重合的m点（牵
连点）相对于定系的绝对加速度 科氏加速度 ac ----为动点的相对速度与动系的牵连
角速度共同引起的附加加速度
动ac系及动 点在科科同氏氏一加加平速速面度度内的的作方大平向小面：运由a动vcr时的:2方e向vr随 e 的转
e vr
动方向旋转90º后得到
60º
OA，O1B杆为定轴转动，CD杆水平 平移，AB杆一般平面运动，套筒C复 合运动。
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※第四节 牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
取动点为小球M ，动系固结于圆盘，定系固
结于地面。
动点M 的的相对运动为匀速率圆周运
动，相对速度为r v ，故相对加速度r a 的大小为
r v a a r
n r r 2
== （a ）
方向指向圆心O 。
牵连运动是圆盘以匀角速度e ω绕O 轴转动，故动点M 的牵连速度e v 的大小为
r v e e ω=，方向与r v 一致；牵连加速度e a 的大小
为
2e n e e r a a ω== （b ）
方向也指向圆心O 。
由于r v 和e v 方向相同，故点M 的绝对速度的大小为
=+=+=r e r e a v r v v v ω常数
可见，动点M 的绝对运动也是也是匀速圆周运动，于是M 的绝对加速度a a 的大小为
()r e r e r e a n a
a v r v r r v r r v a a ωωω22222++=+=== （c ）
方向也是指向圆心O 。
考虑到（a ）、（b ）两式，有
r e r e a v a a a ω2++= （d ） 从上式可以看出，动点的绝对加速度除了牵连加速度和相对加速度两项外，还多了一项r e v ω2，可见牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，而多出的一项与牵连转动e ω和相对速度r v 有关，多出的这一项称为科氏加速度。
牵连运动为转动时点的加速度合成定理为：牵连运动为转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。
即
C r e a a a a a ++= （14-7）
式中a c 为科氏加速度，它等于动系角速度矢与点的相对速度矢的矢积的两倍，即
r e C v ωa ⨯=2 （14-8）
刚体的角速度矢的模等于角速度的大小，其方位沿刚体的转轴，
指向用右手螺旋法则来确定（右手四指代表角速度的转向，拇指表示
角速度矢的指向）。
C a 的大小为
θωsin 2r e C v a =
其中θ为e ω与r v 两矢量间的最小夹角。
矢C a 垂直于e ω与r v ，指向按
右手法则确定，如图14-11所示。
当e ω与r v 平行时（ 0=θ或180°），0=C a ；当e ω与r v 垂直时，r e C v a ω2=。
常见的平面机构中，e ω与r v 是相互垂直的，此时r e C v a ω2=；且r v 按e ω转向转过90°就是C a 的指向。
科氏加速度是由于牵连运动为转动时，牵连运动与相对运动相互影响而产生的。
图
14-11 图
14-10。