理论力学课件 15.1 牵连运动为平移时点的加速度合成定理
理论力学_点的合成运动_点的加速度合成定理_
8-4 点的加速度合成定理三种加速度(相对于三种运动,瞬时量)绝对加速度动点相对静系运动的加速度相对加速度动点相对动系运动的加速度牵连加速度牵连点的加速度8-4点的加速度合成定理a a r a e a动点--M 点定系--OXYZ动系--O ˊXˊYˊZˊ牵连点—动系O ˊXˊYˊZˊ上M 点M O r r r ''=+r x i y j z k '''''''=++为常矢量，，其中考虑到考虑到则M a O dr v r x i y j z k x i y j z k dt '''''''''''''==++++++eO O edv dv a a dt dt ''===r rr dv dv a dt dt==点的加速度合成定理—当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
2222222222o M a d r d r d x d y d z a i j k dt dt dt dt dt '''''''==+++a e r a a a =+上式中每一个矢量都有大小和方向两个要素，因此上式总共包含有12个要素，其中若仅有两个要素是未知的，则此矢量式可解。
由于加速度包括沿轨迹切线方向的切向加速度和沿主法线方向的法向加速度两个分量，所以在最一般的情况下练习1凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示。
设凸轮半v a径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为和。
求杆AB在图示位置时的加速度。
解：取动点和动系动点：顶杆AB上的A点动系：固结凸轮上的参考系绝对运动：铅垂方向直线运动相对运动：半圆周运动牵连运动：水平直线平移8该瞬时杆AB 的速度方向向上练习1—速度分析绝对速度：大小未知，方向沿杆AB 向上牵连速度：，方向水平向右相对速度：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线根据速度合成定理ϕϕsin sin e r vv v ==a v e v r v e v v =练习1—加速度分析绝对加速度：大小未知，方向沿直线AB 牵连加速度：，沿水平方向相对加速度法向分量：，沿着，指向半圆板圆心相对加速度切向分量：大小未知，垂直于，假设指向右下a a e a e a a OA OA O。
9.3牵连运动为平动时点的
v r1 v r
vr
t B
vr , , M B vr1 M , 1 A t+ t
M A
t 又由于牵连运动是平动， B AB曲线与A’B’曲线平行， 认为： vr
vr , , M B vr1 M , 1 A t+ t
v r1 v r
M A
于是：
v r ' v r v r ' v r1 lim lim t 0 t 0 t t
§9.3 牵连运动为平动时点的 加速度合成定理
牵连运动:动坐标系的运动
动坐标系固结于某一运动的刚体上,可能作平动， 定轴转动或其他的更为复杂的运动，动坐标系的运动 不同，加速度合成定理的表达形式不同。 先讨论牵连运动为平动时的加速度合成定理。
牵连运动为平动时的加速度合成定理
a a ae a r
度为a。
试求此瞬时平底推杆的速 度和加速度。
解：在整个运动过程中，AB杆的平底始终与 圆轮相切，所以圆轮中心点C至平底的距离保 持不变。 因此，C点相对于AB杆的运动是 平行于平底的直线运动，即C点 相对于AB杆的轨迹是一条与平 底平行的直线。
动点选圆心C点， 动系固结在推杆AB上。 点C的绝对运动为绕O点的 圆周运动。
动系平动，有：
t B ve M A
, , M B , M1 t+ t
, ve ve1
ve1 ve '
A
因此有： lim v e ' v e lim v e1 v e t 0 t 0 t t ve和ve1是平动坐标系上同一个点在相隔的两个不同瞬 时的速度， ( ve1－ ve )= ve是速度增量。
大小为
va=ew
点C的相对运动: 沿平行于平底的水平直线运动， vr=? 方向向左， 牵连运动：AB杆的铅垂直线
牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
理论力学
aa ae ar aC
即当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对 加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速 度合成定理。
设动点沿直杆 OA 运动，杆 OA 又以角速度 绕O 轴匀速转动。
将动坐标系固结在杆上。在瞬时 t ，动点在 OA杆的M 位置， 它的相对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，经时间间隔 t后， 杆OA 转动 角，动点运动到 OA 杆的M 点处，这时动点的相 对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，如图6-10（a）所示。
又由图6-10（c）可知 ve ve1 ve2 （c）
式中，ve1 表示由于牵连速度方向变化而引起的牵连速度增量；ve2 表示由于存在相对运动使牵连速度大小变化而引起的牵连速度增量。
将式（b）、式（c）一起代入式（a），可得
aa
lim vr1 t0 t
lim vr2 t0 t
lim ve1 t0 t
将式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牵连
运动为转动时点的加速度合成定理得到证明，
即式（d）可写成
aa ae ar aC
所得结论也适用于一般情况。科氏加速度的表达式为
aC 2e vr
根据矢量积运算法则，aC 的大小为
aC 2evr sin
式中， 是矢量e与vr 的夹角；
lim ve2 t0 t
lim ve ve t0 t
lim OM OM
t0
t
vr
其方向也垂直于 vr，并与 转向一致。
由于这两项附加加速度的大小相同，方向一致，所以，两项合
并成一项，用 aC 表示，它的大小为
aC 2vr
它的方向与 vr 垂直，并与 转向一致。这项加速度称为科氏加速度。
第四节 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
※第四节 牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
取动点为小球M ，动系固结于圆盘，定系固结于地面。
动点M 的的相对运动为匀速率圆周运动，相对速度为r v ，故相对加速度r a 的大小为r v a a rn r r 2== （a ）方向指向圆心O 。
牵连运动是圆盘以匀角速度e ω绕O 轴转动，故动点M 的牵连速度e v 的大小为r v e e ω=，方向与r v 一致；牵连加速度e a 的大小为2e n e e r a a ω== （b ）方向也指向圆心O 。
由于r v 和e v 方向相同，故点M 的绝对速度的大小为=+=+=r e r e a v r v v v ω常数可见，动点M 的绝对运动也是也是匀速圆周运动，于是M 的绝对加速度a a 的大小为()r e r e r e a n aa v r v r r v r r v a a ωωω22222++=+=== （c ）方向也是指向圆心O 。
考虑到（a ）、（b ）两式，有r e r e a v a a a ω2++= （d ） 从上式可以看出，动点的绝对加速度除了牵连加速度和相对加速度两项外，还多了一项r e v ω2，可见牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，而多出的一项与牵连转动e ω和相对速度r v 有关，多出的这一项称为科氏加速度。
牵连运动为转动时点的加速度合成定理为：牵连运动为转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。
即C r e a a a a a ++= （14-7）式中a c 为科氏加速度，它等于动系角速度矢与点的相对速度矢的矢积的两倍，即r e C v ωa ⨯=2 （14-8）刚体的角速度矢的模等于角速度的大小，其方位沿刚体的转轴，指向用右手螺旋法则来确定（右手四指代表角速度的转向，拇指表示角速度矢的指向）。
C a 的大小为θωsin 2r e C v a =其中θ为e ω与r v 两矢量间的最小夹角。
理论力学第七版第07章(1-2节)--点的合成运动 (2)
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴） 2.速度
va ve vr r
√
大小
? ?
√
rl v r v a cos 2 l r2
方向 √
r 2 v e v a sin 2 l r2
ve ve r 2 1 2 2 2 O1 A l r2 l r
(7-15)
aa ar α r ω ω r 2ω vr
(7-18)
§7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理
设动系作定轴转动，转轴通过点O´，其角速度矢量为
aa ar α r ω ω r 2ω vr
v a rO xi yj z k xi yj zk
va ve v r
aa ae ar
例7-7
已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端 A 的滑块，可 在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速 转动， OA r 。
回顾： 2.矢积表示绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
dv d 加速度 a r dt dt
→
d dr r dt dt
r v
(6-21)
→
→ → →
科里奥利，法国物理学家。
1792年5月21日生于巴黎；1843年9月19日卒于巴黎。 科里奥利是巴黎工艺学院的教师，长期健康状况不佳，这 限制了他创造能力的发挥。即便如此，他的名字在物理学 中仍是不可磨灭的。 1835年，他着手从数学上和实验上研 究自旋表面上的运动问题。地球每 24 小时自转一周。赤道 面上的一点，在此时间内必须运行25，000英里，因此每小 时大约向东运行 1，000英里。在纽约纬度地面上的一点， 一天只需行进19，000英里，向东运行的速度仅约为每小时 800英里。由赤道向北流动的空气，保持其较快的速度，因 此相对于它下面运动较慢的地面而言会向东行。水流的情 况也是一样。因此，空气和水在背向赤道流动时好像被推 向东运动，反之会向西运动,这样会形成一个圆! 推动它们运动的力就称为科里奥利力。 这种力不是真实存在的 ! 只是 “ 惯性 ” 这种性质的表现而已。 正是这种"力"造成了飓风和龙卷风的旋转运动。研究大炮射 击、卫星发射等技术问题时，必须考虑到这种力。
点的合成运动(相对牵连绝对运动)(课堂PPT)
相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动;
牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线;
绝对速度va 的大小,方向待 求
由速度合成定理：va ve vr
作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为
vA va ve 2 vr 2 v平2 v2
tg 1
v v平
1
15
[例2] 曲柄摆杆机构
已知：OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1
1
28
选点M为动点，动系固结与圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动
ve R, ae 2 R
（方向如图）
相对运动为匀速圆周运动，
有vr
常数, ar
vr 2 R
（方向如图）
由速度合成定理可得出
va ve vr R vr 常数
即绝对运动也为匀速圆周运动，所以
aa
va 2 R
(R vr 2
R
)
R
2
vr 2 R
之间的关系。 一．证明
当t t+△t AB A'B' M M'
也可看成M M１ M´
MM ' 为绝对轨迹
MM ' 为绝对位移
M1M ' 为相对轨迹
M1M ' 为相对位移
MM' ＝ MM 1 ＋ M1M '
将上式两边同除以t 后，
取
t 0
时的极限，得
lim
t 0
MM t
lim
t0
MM1 t
lim
t0
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
1
19
动点、动系和静系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，
理论力学课件 加速度合成定理及其应用
的速度和加速度。
分析
动 点 A(OA) ， 动 系 BCD( 平
B
移)。 绝对运动：绕O圆周运动
n O
A
ϕ
O1
D
ϕ
相对运动：绕O1圆周运动
R C
牵连点运动：水平直线
例7-4 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R＝OA＝10 cm，已
2、分析三种运动。点作直线运动加速度为1 项；曲线运动加速度为2项。
3、速度分析（见前述）。若有科氏加速度，需要求相对 速度和牵连角速度。 4、加速度分析。
1）作加速度矢量图。法向加速度指向曲率中心，加 速度未知的指向可以假设。
7-4 加速度合成定理及其应用
科氏加速度方向由下法确定。
相对速度按牵连角速度转向绕动点转90度。 牵连运动为平移时最一般表达式
7-4 加速度合成定理及其应用
7-4 加速度合成定理及其应用
例7-5 偏心凸轮的偏心距OC＝e、半径
为R = 3e ， 以 匀 角 速 度 ω 绕 O 轴 转
动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的
B
端 点 A 始 终 与 凸 轮 接 触 ， 且 OAB 成 一
直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB
的速度和加速度。
= avr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+ ωv × vvr
avC = 2ωve × vvr
7-4 加速度合成定理及其应用
ava = ave +
科氏加速度
avr
+ avC
avC =
2ωve
× vvr
ωe是动系转动的角速度。
ωe = 0 ⇒
牵连运动为平动的加速度合成定理
电子教案
第九章 点的合成运动
太原理工大学理学院 王晓君
9.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
如图，设 Oxyz为平动参考系，动点M相对
于动系的相对坐标为 x、 y 、z ，则动点M
的相对速度和加速度为
vr
ar
xi yj zk
xi yj zk
x
z
o
z
ar
ok
M
aa y
ae
x i j
y
由点的速度合成定理有： va ve vr
两边对时间求导，得：
动系平动时有： vr
va ve vr
xi yj
所以
aa
1 3
(ae
2arn
aan
)
3 (a v2 ) 3r
9.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
故OA杆的角加速度
OA
aa OA
3 (a v2 ) 3r r
THE END
谢 谢！
A
，
O1
由 va ve ，v将r 各矢量投影到投影轴上，得
va cos ve vr cos va sin vr sin
9.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
解得：
va
vr
ve
2 c os
v 2 c os30
v 3
3v 3
OA杆的角速度为
OA
va OA
3v 3r
动点的加速度合成矢量图如图。
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牵连运动为平移时点的加速度合成定理
va
ve
vr
点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
主要内容
1、牵连运动为平移时点的加速度合成定理 2、牵连运动为转动时点的加速度合成定理 3、加速度合成定理应用
点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
1、牵连运动为平移时 点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
牵连运动为平移时点的加速度合成定理
设动系作平移，由于x'、y'、z'各轴方向不变，故有
di dj dk 0 dt dt dt
ar
~ dvr dt
dvr dt
dve dt
dvO dt
aO
ae
aa
dva dt
Hale Waihona Puke dve dtdvr
dt
ae ar
当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该 瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。