幂函数图像及性质
幂函数图像及性质总结幂函数九个基本图像幂函数比较大小的方法
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
幂函数图像与性质
一知识梳理1、幂函数（1）定义：一般地，形如_________的函数称为幂函数，其中为常数。
几种常见幂函数的图像：①②③④⑤（2）幂函数的性质①所有幂函数在_________都有定义，并且图像都过点________；②时，幂函数的图像通过_________，并且在区间上是_________，特别的，当时，幂函数的图像________，当时，幂函数的图像________。
③时，幂函数的图像在区间上是_________，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋向时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。
（4）幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数. 轴和直线之间，图象由上至下，指数.二.常见幂函数的性质：定义域值域奇偶性单调性定点三、例题解析例1.已知函数若关于x的方程有两个不同的实根，则k的取值范围是___________例2.若曲线处的切线与两个坐标轴围城的三角形的面积为18，a=____例3 已知函数为何值时，：（1）是正比例函数，（2）是反比例函数，（3）是二次函数，（4）是幂函数例4 若点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上，定义，试求函数的最大值以及单调区间。
四：巩固练习1.已知幂函数(p,q∈N+且p与q互质)的图象如图所示,则A.p、q均为奇数且<0B.p为奇数,q为偶数且<0C.p为奇数,q为偶数且>0D.p为偶数,q为奇数且<02.给定一组函数解析式:如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是()A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①3、已知，则（）ＡＢＣＤ4、幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是（）ＡＢＣＤ5.（2011·山东高考）若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为：（A）0 （B）（C）1 （D）6.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为_________。
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
幂函数的图像和性质
幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质是指关于某一变量x的多项式形式为y=ax^n（a≠0）的函数，其中a是实数，n∈Z，称为幂函数。
由于幂函数有着独特的形式，它的图像和性质也有许多独特之处。
一、图像1. 对于任意实常数a>0，n>0，y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线；2. 对于任意实常数a>0,n<0,y=ax^n的图像是一条以x轴上的无穷远点为极坐标的曲线；3. 对于任意实常数a<0,n>0,y=ax^n的图像是一条以y轴上的无穷远点为极坐标的曲线；4. 对于任意实常数a<0,n<0,y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线。
二、性质（1）当n>0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断增大，直至无穷大；（2）当n<0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断减小，直至无穷小；（3）当n=0时，y=ax^n即为常数函数y=a，其图像是一条水平线；（4）当n>0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向上；（5）当n<0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向下；（6）对于任意实数m，y=ax^n的图像关于y=m的对称轴是x=(m/a)^(1/n)；（7）当n>0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间[0, +∞]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而增大；（8）当n<0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间(-∞, 0]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而减小；三、总结幂函数的图像和性质是指函数形式为y=ax^n（a≠0）的函数的图像和性质，其中a是实数，n∈Z。
幂函数的性质有：对称轴、渐近线、函数值随x的变化而变化等，此外，图像表明幂函数的变化趋势，可以直观地看出函数值y 随x的变化趋势，从而有助于理解函数的特点。
幂函数的像与变化规律
幂函数的像与变化规律幂函数是数学中的一类重要函数，它的图像特点与变化规律一直是数学学习的重点之一。
幂函数的像可以通过对幂函数进行分析和变换来得到。
在本文中，我将介绍幂函数的基本性质、图像特点以及与参数相关的变化规律。
一、幂函数的基本性质幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。
幂函数的定义域是实数集，a决定了函数的整体变化趋势，而b决定了函数在坐标系中的形状。
当b为正数时，函数呈现指数增长的趋势；当b为负数时，函数呈现指数衰减的趋势；当b为零时，函数为常数函数。
二、幂函数的图像特点1. 当a>0时，幂函数的图像在坐标系中从左下方向右上方运动，且图像会趋近于x轴正半轴；当a<0时，图像会从右上方向左下方运动，且也趋近于x轴正半轴。
2. 当b>1时，幂函数的图像在原点附近增长得非常迅速，呈现出陡峭的曲线；当0<b<1时，图像在原点附近增长较为缓慢；当b<0时，图像在原点两侧逐渐趋近于x轴。
3. 幂函数的对称轴是y轴，因此具有奇偶性。
对称性使得当幂函数表现递增或递减时，左右两侧的图像形状相似。
4. 幂函数在x轴上的零点称为幂函数的特殊点，特殊点的个数取决于指数b的奇偶性。
三、幂函数的参数对图像的变化规律的影响1. 参数a的变化：当a的绝对值变大时，函数图像的整体变化趋势会加大，增长或衰减的速度会变快；当a趋近于0时，函数图像会趋近于水平线。
2. 参数b的变化：当b的绝对值变大时，函数图像的形状会发生变化，曲线会更加陡峭或平缓；当b为负数时，函数呈现出对称轴对称的特点。
3. 特殊点的变化：当b为奇数时，幂函数有一个特殊点，即原点；当b为偶数时，幂函数没有特殊点。
特殊点的变化会对函数图像的形状产生明显的影响。
综上所述，通过对幂函数的分析和变换，我们可以获得幂函数的像及其变化规律。
幂函数的性质和图像特点使得它在数学和其他学科中都有广泛的应用，深入理解幂函数的性质对我们解决实际问题、优化函数运算具有重要意义。
幂函数与指数函数的性质
幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍幂函数和指数函数的性质，包括定义、图像、增减性、奇偶性等方面。
一、幂函数的性质幂函数的一般形式为y = x^a，其中x为自变量，a为常数。
1. 幂函数的定义域幂函数的定义域是所有使x^a有意义的实数x的集合。
根据x^a的定义，当x为负数时，a的值不能是分数或为奇数的负整数，否则会出现无意义的数学运算。
2. 幂函数的图像特点幂函数的图像特点取决于幂指数a的值。
当a为正数时，幂函数的图像在坐标系中从左下方无限趋近于x轴上方；当a为负数时，图像则从左上方无限趋近于x轴下方；当a为零时，图像为常函数y=1。
3. 幂函数的增减性对于幂函数y = x^a，当a为正数时，随着x的增大，y也随之增大，即幂函数是递增的；当a为负数时，随着x的增大，y反而减小，即幂函数是递减的。
当a为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即为偶函数；当a为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即为奇函数。
二、指数函数的性质指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为常数，x为自变量。
1. 指数函数的定义域指数函数的定义域是所有实数x。
2. 指数函数的图像特点指数函数的图像特点取决于底数a的值。
当a大于1时，指数函数的图像在坐标系中以点(0,1)为起点，随着x的增大而无限趋近于正无穷；当0<a<1时，图像则在坐标系中从点(0,1)向右无限延伸，逐渐接近x轴。
当a为1时，指数函数为常函数y=1。
3. 指数函数的增减性对于指数函数y = a^x，当底数a大于1时，随着x的增大，y也随之增大，即指数函数是递增的；当0<a<1时，随着x的增大，y反而减小，即指数函数是递减的。
指数函数没有奇偶性的特点。
综上所述，幂函数和指数函数在定义域、图像特点、增减性、奇偶性等方面都有一些共同点和区别。
它们的性质对于解决实际问题和理解数学概念都具有重要意义。
幂函数图像及其性质
幂函数图像及其性质幂函数是一种常见的数学函数形式，它的数学表达式为f(x)=ax^b，其中a和b是实数，且a不等于零。
幂函数的图像展示了函数的特性和行为，这对我们进一步了解和应用幂函数有着重要意义。
一、幂函数的图像及其特征通过观察幂函数的图像，我们可以得到以下几个基本特征：1. 幂函数的图像总是通过点(0,0)。
当x等于零时，幂函数的结果总是零。
2. 当b为正数时，幂函数的图像从左上方向右下方斜率逐渐减小，渐近于x轴。
这是因为幂函数中的x不断增大时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
3. 当b为负数时，幂函数的图像从右上方斜率逐渐减小，渐近于x 轴。
这是因为幂函数中的x不断减小时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
4. 当b为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且有一个最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的平方等于0或者正数。
5. 当b为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且没有最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的绝对值在整个定义域内都为正。
二、幂函数图像的变化规律1. 当a大于0时，幂函数的图像在整个定义域内为正。
随着b的增大，幂函数的图像变得平缓，斜率逐渐减小；随着b的减小，幂函数的图像变得陡峭，斜率逐渐增大。
2. 当a小于0时，幂函数的图像在整个定义域内交替在x轴上方和下方。
随着b的增大或减小，幂函数的图像也会随之变化。
3. 当a等于1时，幂函数的图像变成了恒等函数的图像y=x。
即幂函数退化为y=x的特例。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集R，值域取决于a和b 的取值范围。
2. 奇偶性：当b为偶数时，幂函数是偶函数，关于y轴对称；当b 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称。
3. 单调性：当b大于0时，幂函数在整个定义域内是单调递增的；当b小于0时，幂函数在整个定义域内是单调递减的。
4. 渐近线和交叉点：当b大于0时，幂函数的图像会渐近于x轴；当b小于0时，幂函数的图像会与x轴交叉于一个点，并渐近于x 轴。
幂函数的像与性质
幂函数的像与性质幂函数是高中数学中一个重要的函数概念，它在数学分析、微积分和图像绘制等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨幂函数的像以及其性质。
一、幂函数的定义和基本形式幂函数的定义如下：f(x) = x^a其中，a为实数，x为定义域内的数值。
幂函数的基本形式有两种：1. 正幂函数：当a>0时，幂函数f(x) = x^a是递增函数，即随着x的增大，f(x)也随之增大。
这种幂函数的图像呈现单调递增的趋势，且过原点(0,0)。
2. 负幂函数：当a<0时，幂函数f(x) = x^a是递减函数，即随着x的增大，f(x)反而减小。
这种幂函数的图像则在第一象限和第三象限之间交替，过原点(0,0)。
二、1. 正幂函数的像正幂函数f(x) = x^a，当a>0时，其像为正实数集(0,+∞)，即函数的取值范围为所有大于零的实数。
2. 负幂函数的像负幂函数f(x) = x^a，当a<0时，其像为(0, +∞)的一个区间，不包括0。
也就是说，负幂函数的取值范围是大于零的实数，但不包括0。
3. 幂函数的奇偶性幂函数f(x) = x^a的奇偶性与a的正负有关。
当a为偶数时，函数f(x)为偶函数，即关于y轴对称；当a为奇数时，函数f(x)为奇函数，即关于原点对称。
4. 幂函数的增减性正幂函数f(x) = x^a在定义域内是递增的。
对于a>1，函数的增长趋势会更为迅速；而当0<a<1时，函数f(x)的增长速度会减弱，趋于缓慢增长。
负幂函数f(x) = x^a在定义域内则是递减的。
5. 幂函数的图像幂函数的图像与a的取值密切相关。
当a>1时，幂函数的图像会向上迅速弯曲；当0<a<1时，图像会向下迅速弯曲；而当a<0时，图像在不同象限间变化。
三、幂函数在实际问题中的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用。
以经济增长为例，经济学家常常使用幂函数模型来描述生产、消费和投资等经济变量之间的关系。
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幂函数图像及性质
什么是幂函数？幂函数是指在极坐标或复平面上将某一点按某一规则移动，使其形成一种函数。
这种函数是关于某一点的未知函数，这一点可以表示为一个复数，且该复数可以表示某一点的坐标。
幂函数也可以用复数表示，其中一个具体的形式为：z =
r^n*cos(θ+2πm) + ir^n*sin(θ+2πm)，其中r 为极径，θ为极角，m为整数，n为实常数。
幂函数的图像是一条曲线，所以它也被称为曲线函数，它的图像可以根据x，y轴的定义方法来确定。
在极坐标系中，幂函数的形状一般是环状曲线，并且其形状受n值的影响很大，比如当n=1时，图像的形状为单个圆；当n=2时，图像的形状为集中的双圆；当n=3时，图像的形状为三角形；当n=4时，图像的形状为集中的四方形；当n=5时，图像的形状为五角星状等。
幂函数的性质可以用幂函数的微积分形式来说明，即
dz/dr=n*r^(n-1)，其中n 为实常数，r 为极径，z为极坐标系的一点的坐标，推导出dz/dr的值，可以用于表示幂函数的形状及特性。
此外，还可以用基本物理运算来说明，所谓幂函数是指坐标变换时r和θ之间存在一定的关系，此关系可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是幂函数，这里的幂函数可以通过幂函数的大小因子或者指数来表示，而指数n就是幂函数的性质，只有当n>0或者n<0时，才能使幂函数表达出不同的性质。
幂函数在物理学中也被广泛使用，例如，在声学领域，幂函数
可以用来描述声波的传播规律，这就是为什么音量大小是一个幂函数的原因。
此外，在光学领域，幂函数可以用来描述光的传播规律，例如，可以用来计算光的反射系数或者折射系数。
而在数学中，幂函数不仅表示曲线的性质，还可以用来研究复数的性质，以及形成更复杂的曲线。
以上就是我们关于幂函数图像及性质的简单介绍，幂函数是一种非常有趣的曲线函数，它在物理学，数学及光学领域有着重要的应用。
虽然它看起来很复杂，但它所提供的知识却是非常有价值的，只要我们多多使用幂函数，就能够获得丰富的经验和数学知识。