幂函数的性质课件
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幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
1 x ④y ( ) 否 2
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
《幂函数》PPT课件
(4) y x
1 2
(5) y x
1
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内，
-3
-4
a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
二、五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数
y x的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性： 在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域： [0,) 奇偶性： 在R上是偶函数
高中数学必修 ①人教版A
§2.3幂函数
y x 中 x 前面的系数是1，后面没有其它项。
一、幂函数的定义： 一般地，我们把形如 y x 的函数叫做 x为自变量， 幂函数，其中 为常数。
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
《幂函数》PPT课件
m2 m 1 1
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
《函数》第07讲 幂函数课件
(3).x 7, 3 , 求f x 的值域.
2.求下列函数在x (1, 2]的值域： x 1 y 2 x 1 x 2 3x 2 2 y x 5 3 f x x x 1
思考题
已知函数 f x 2 ,求f(x)的最小值,并求 x 4 此时的x值.
y loga x与y a 互为反函数.
x
log2 (3 1) 1, x
x
.
y loga ( x )的单调性？
y loga t , t x
④
知识应用
5 1.已知函数 f x x x
(1).x 1, 2 , 求f x 的值域.
(2).x 2, 4 , 求f x 的最小值.
问题2.你能画出函数的大致图像吗？
Y
2
1
0
X
1
2
a 函数 f x x (a>0)的大致图像 x
y
2 a a
0
a 2 a
x
b 思考：f x ax (a 0, b 0)的图像？ x
作业问题选讲
选择题：正确率低下？ ABCD四个字母很值钱, 5分. 3. 5. 11.
幂函数
知识梳理
一.幂函数的定义
名称 幂函数
指数函数
表达式
常数
为非零有理数
过定点
理由
y x
x
(1,1) 1 1 (0,1) a 0 1
ya
a 0, a 1
函数操
yx
yx
2
yx
3
yx
1 2
yx
1
4．常用幂函数的性质
2.求下列函数在x (1, 2]的值域： x 1 y 2 x 1 x 2 3x 2 2 y x 5 3 f x x x 1
思考题
已知函数 f x 2 ,求f(x)的最小值,并求 x 4 此时的x值.
y loga x与y a 互为反函数.
x
log2 (3 1) 1, x
x
.
y loga ( x )的单调性？
y loga t , t x
④
知识应用
5 1.已知函数 f x x x
(1).x 1, 2 , 求f x 的值域.
(2).x 2, 4 , 求f x 的最小值.
问题2.你能画出函数的大致图像吗？
Y
2
1
0
X
1
2
a 函数 f x x (a>0)的大致图像 x
y
2 a a
0
a 2 a
x
b 思考：f x ax (a 0, b 0)的图像？ x
作业问题选讲
选择题：正确率低下？ ABCD四个字母很值钱, 5分. 3. 5. 11.
幂函数
知识梳理
一.幂函数的定义
名称 幂函数
指数函数
表达式
常数
为非零有理数
过定点
理由
y x
x
(1,1) 1 1 (0,1) a 0 1
ya
a 0, a 1
函数操
yx
yx
2
yx
3
yx
1 2
yx
1
4．常用幂函数的性质
幂函数的性质与图像第一象限 ppt课件
幂函数的图象
幂函数的性质与图像第一象限
1
幂函数的定义
一般地，函数y = xn叫做幂函数，其 中x是自变量，n是常数。(n∈R)
幂函数的性质与图像第一象限
2
下列函数中，哪几个函数是幂
函数？ （1）y = 1
x2
（3）y=2x
答案:(1)(4) （2）y=2x2
（4）y=1
(5) y=x2 +2
(6) y=-x3
(2)函数在0，是增函数，
即在第一象限是增 数函 ；
(3)图像是抛物线型的，
随着的增大，图像逐渐由x轴向y轴靠近．
即当0 1时，图像上凸，
是靠近x轴的抛物线型(图1)；
当 1时，图像下凸，
是靠近y轴的抛幂物函数线的性型质与(图图像2第)一．象限
5
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
2、当 0时，
(1)图像过定 1， 1； 点
(2)函数在0，是减函数，
即在第一象限是减 数函 ；
(3)图像是双曲线型的，
图像x轴 与和 y轴无限接近但永交 远 (图不 3)．相
3、当 0时，
y
图像是0除 ， 1点 去的一条射 1 线．
幂函数的性质与图像第一象限
o 图4
x 6
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图像过定 1， 1点
(2)当 0时，
函数是增函数， 图像是抛物线型；
(3)当 0时，
函数是减函数，
图像是双曲线型．
幂函数的性质与图像第一象限
7
幂函数的性质与图像第一象限
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究活动一
(1)分别作出下列函数在第一象限内的图像；
(2)研究这些图像有何规律？ (1)yx2， yx3
幂函数的性质与图像第一象限
1
幂函数的定义
一般地，函数y = xn叫做幂函数，其 中x是自变量，n是常数。(n∈R)
幂函数的性质与图像第一象限
2
下列函数中，哪几个函数是幂
函数？ （1）y = 1
x2
（3）y=2x
答案:(1)(4) （2）y=2x2
（4）y=1
(5) y=x2 +2
(6) y=-x3
(2)函数在0，是增函数，
即在第一象限是增 数函 ；
(3)图像是抛物线型的，
随着的增大，图像逐渐由x轴向y轴靠近．
即当0 1时，图像上凸，
是靠近x轴的抛物线型(图1)；
当 1时，图像下凸，
是靠近y轴的抛幂物函数线的性型质与(图图像2第)一．象限
5
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
2、当 0时，
(1)图像过定 1， 1； 点
(2)函数在0，是减函数，
即在第一象限是减 数函 ；
(3)图像是双曲线型的，
图像x轴 与和 y轴无限接近但永交 远 (图不 3)．相
3、当 0时，
y
图像是0除 ， 1点 去的一条射 1 线．
幂函数的性质与图像第一象限
o 图4
x 6
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图像过定 1， 1点
(2)当 0时，
函数是增函数， 图像是抛物线型；
(3)当 0时，
函数是减函数，
图像是双曲线型．
幂函数的性质与图像第一象限
7
幂函数的性质与图像第一象限
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究活动一
(1)分别作出下列函数在第一象限内的图像；
(2)研究这些图像有何规律？ (1)yx2， yx3
幂函数的性质及其应用课件
幂函数性质
当自变量$x$的取值范围为全体实 数时，幂函数的值域为 $(0,+\infty)$。
幂函数的奇偶性
奇偶性定义
如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那 么这个函数就是偶函数；如果满足 $f(-x)=-f(x)$，那么这个函数就是奇 函数。
幂函数的奇偶性
当$n$为偶数时，幂函数$y = x^{n}$ 是偶函数；当$n$为奇数时，幂函数 $y = x^{n}$是奇函数。
幂函数的应用场景
幂函数在金融领域的应用
1 2
投资组合优化
幂函数可以用于建立投资组合模型，根据不同资 产的价格波动和相关性进行优化，以实现风险分 散和资产增值。
资本资产定价模型（CAPM）
幂函数可以用于CAPM中的回报率预测，根据风 险和资产的相关性来计算期望回报率。
3
期权定价模型
幂函数可以用于期权定价模型的构建，通过考虑 标的资产价格、行权价、剩余期限等因素来估算 期权的合理价格。
通过一个实际案例，介绍了幂函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
首先介绍了幂函数的定义和性质，然后通过一个具体的例子，展示了如何利用幂函数解决实际问题。这个例子涉 及到物理学中的力学和工程学中的材料科学，通过幂函数来描述和预测材料的强度和重量之间的关系。
利用幂函数解决实际问题二例
总结词
通过另一个实际案例，介绍了幂函数在 解决实际问题中的应用。
数据压缩
在数据压缩领域，幂函数 被用于构建压缩算法，以 实现数据的紧凑表示和存 储。
加密算法
幂函数也被广泛应用于加 密算法中，如RSA公钥密 码体系，以提供安全的数 据传输和保护。
图像处理
在图像处理中，幂函数可 以用于实现图像的缩放、 旋转和扭曲等变换。
当自变量$x$的取值范围为全体实 数时，幂函数的值域为 $(0,+\infty)$。
幂函数的奇偶性
奇偶性定义
如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那 么这个函数就是偶函数；如果满足 $f(-x)=-f(x)$，那么这个函数就是奇 函数。
幂函数的奇偶性
当$n$为偶数时，幂函数$y = x^{n}$ 是偶函数；当$n$为奇数时，幂函数 $y = x^{n}$是奇函数。
幂函数的应用场景
幂函数在金融领域的应用
1 2
投资组合优化
幂函数可以用于建立投资组合模型，根据不同资 产的价格波动和相关性进行优化，以实现风险分 散和资产增值。
资本资产定价模型（CAPM）
幂函数可以用于CAPM中的回报率预测，根据风 险和资产的相关性来计算期望回报率。
3
期权定价模型
幂函数可以用于期权定价模型的构建，通过考虑 标的资产价格、行权价、剩余期限等因素来估算 期权的合理价格。
通过一个实际案例，介绍了幂函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
首先介绍了幂函数的定义和性质，然后通过一个具体的例子，展示了如何利用幂函数解决实际问题。这个例子涉 及到物理学中的力学和工程学中的材料科学，通过幂函数来描述和预测材料的强度和重量之间的关系。
利用幂函数解决实际问题二例
总结词
通过另一个实际案例，介绍了幂函数在 解决实际问题中的应用。
数据压缩
在数据压缩领域，幂函数 被用于构建压缩算法，以 实现数据的紧凑表示和存 储。
加密算法
幂函数也被广泛应用于加 密算法中，如RSA公钥密 码体系，以提供安全的数 据传输和保护。
图像处理
在图像处理中，幂函数可 以用于实现图像的缩放、 旋转和扭曲等变换。
幂函数ppt课件全
(4)
1
y x2
(5)
y x1
21
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3 22
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
… -8 -1 0 1 8 27 64 …
… / / 0 1 2 3 2…
y 8
y=x3
6
4
1
2
y=x 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-4
-6
17
-8
函数 y x3 的图像
定义域： R
值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
18
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
2
1
2
所求的幂函数为y
x
1 2
.
10
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
证明: 设所求的幂函数为y x 函数的图像过点(3，27)
27 3 ,即33 3
3
f (x) x3
f (x)的定义域为R， f (x) (x)3 x3
f (x) f (x)
f (x1) f (x2)
x1
幂函数(课件)
04
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
高一数学《幂函数》PPT课件
函数的性质不同
指数函数的底数是一个大于0且 不等于1的常数，而幂函数的底 数可以是任意实数。此外，指 数函数的值域为正实数集，而 幂函数的值域为非负实数集。
图像的形状不同
指数函数的图像是一条经过点 (0,1)的曲线，而幂函数的图像 是一条经过原点的曲线。
02
常见幂函数类型及其特点
一次幂函数
表达式
幂的乘方法则
幂的乘方
底数不变，指数相乘。公式： (a^m)^n = a^(m×n)
举例
(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12； (x^2)^5 = x^(2×5) = x^10
积的乘方法则
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。公式： (ab)^n = a^n × b^n
举例
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
幂函数性质
幂函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。例如，当a>0时，幂函数在定义域内 单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减。
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
易错难点剖y = x^n（n为实数）
图像
02
一条直线（n=1时）或射线（n≠1时）
性质
03
当n>0时，函数在(0, +∞)上单调递增；当n<0时，函数在(0,
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探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？ 式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a a
底数 指数
名称 x
指数 底数
y
幂值 幂值
探究3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？ 看看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
尝 试 练 习：1、下面几个函数中，
哪几个函数是幂函数？
（1）y =
二、幂函数性质的探究：
对于幂函数，我们只讨论α=1，2，3， 情形。
2 3
1 ，–1 时的 2
1 2 1
即：y x , y x , y x , y x , y x
探究4：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何 研究幂函数呢？ 作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质 探究5：在同一坐标系中作出幂函数
幂 函 数
问题引入：
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克， x 元. 则所需的钱数y=____ 2、如果正方形的边长为x，则面积y=_____. x2
3、如果正方体的边长为x，体积为y，
那么y= x3 4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为 那么y=______. x 5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的
公共点
幂函数y x 的性质：
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通 过点(1,1); (2)如果 0, 则幂函数的图像过原点 ，并且在区间
[0,)上是增函数；
(3)如果〈0，则幂函数在区间 (0,)上是减函数
例1、证明幂函数 f ( x) x 在 [0,)上是
R R R 奇函数 [0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数 {x| x ≠ 0} {y| y≠ 0} 奇函数
定义域 值 域 奇偶性
[0，+∞） 偶函数
R上是 单调性 增函数
在（－∞,0] 在（ －∞,0） 上是减函 R上是 在[0，+∞） 和(0, +∞）上 数，在[0, 增函数 上是增函数 是减函数 +∞）上是 增函数 （1，1）
1 2
x 速度为y公里/秒，那么y=______
1
以上问题中的函数具有什么共同特征？
y=x
y=
1 2
x2
y=
3 x
yx
yx
1
共同特征：函数解析式是幂的形式，且 指数是常数，底数是自变量。
新课 一、幂函数的概念
一般地，函数yx源自叫做幂函数，其中x是自变量， 是常数。
探究1：你能举几个学过的幂函数的例子吗？
增函数。
收获与体会
请大家回味建立幂函数模型、定义幂函数及推导幂函数
性质的过程，你觉得有什么收获？
1 x
2
（2）y=2x2 （4）y
5
（3）y=x2 +
x
x
3
（5）y = 2x
答案（1）（4）
2、已知幂函数y = f (x)的图象 经过点（3 ， 3 ），求这个函数的解 析式。 待定系数法
yx
1 2
3、如果函数
f (x) =
(m2－m－1)
x
m
是幂函数，
求实数m的值。
m= -1 或 m= 2
2 3 1 2 1
y x, y x , y x , y x , y x
的图象。 几何画板 EXCEL
探究6： （探究性质）请同学们结合幂函数图象（课 本第86页图2.3.1），将你发现的结论填在下面（课本 第86页） 的表格内： 1
y=x
R R 奇函数
y = x2 y = x3 y x 2 y x 1