幂函数的性质课件
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幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
1 x ④y ( ) 否 2
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
《幂函数》PPT课件
(4) y x
1 2
(5) y x
1
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内，
-3
-4
a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
二、五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数
y x的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性： 在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域： [0,) 奇偶性： 在R上是偶函数
高中数学必修 ①人教版A
§2.3幂函数
y x 中 x 前面的系数是1，后面没有其它项。
一、幂函数的定义： 一般地，我们把形如 y x 的函数叫做 x为自变量， 幂函数，其中 为常数。
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
《幂函数》PPT课件
m2 m 1 1
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
《函数》第07讲 幂函数课件
(3).x 7, 3 , 求f x 的值域.
2.求下列函数在x (1, 2]的值域： x 1 y 2 x 1 x 2 3x 2 2 y x 5 3 f x x x 1
思考题
已知函数 f x 2 ,求f(x)的最小值,并求 x 4 此时的x值.
y loga x与y a 互为反函数.
x
log2 (3 1) 1, x
x
.
y loga ( x )的单调性？
y loga t , t x
④
知识应用
5 1.已知函数 f x x x
(1).x 1, 2 , 求f x 的值域.
(2).x 2, 4 , 求f x 的最小值.
问题2.你能画出函数的大致图像吗？
Y
2
1
0
X
1
2
a 函数 f x x (a>0)的大致图像 x
y
2 a a
0
a 2 a
x
b 思考：f x ax (a 0, b 0)的图像？ x
作业问题选讲
选择题：正确率低下？ ABCD四个字母很值钱, 5分. 3. 5. 11.
幂函数
知识梳理
一.幂函数的定义
名称 幂函数
指数函数
表达式
常数
为非零有理数
过定点
理由
y x
x
(1,1) 1 1 (0,1) a 0 1
ya
a 0, a 1
函数操
yx
yx
2
yx
3
yx
1 2
yx
1
4．常用幂函数的性质
2.求下列函数在x (1, 2]的值域： x 1 y 2 x 1 x 2 3x 2 2 y x 5 3 f x x x 1
思考题
已知函数 f x 2 ,求f(x)的最小值,并求 x 4 此时的x值.
y loga x与y a 互为反函数.
x
log2 (3 1) 1, x
x
.
y loga ( x )的单调性？
y loga t , t x
④
知识应用
5 1.已知函数 f x x x
(1).x 1, 2 , 求f x 的值域.
(2).x 2, 4 , 求f x 的最小值.
问题2.你能画出函数的大致图像吗？
Y
2
1
0
X
1
2
a 函数 f x x (a>0)的大致图像 x
y
2 a a
0
a 2 a
x
b 思考：f x ax (a 0, b 0)的图像？ x
作业问题选讲
选择题：正确率低下？ ABCD四个字母很值钱, 5分. 3. 5. 11.
幂函数
知识梳理
一.幂函数的定义
名称 幂函数
指数函数
表达式
常数
为非零有理数
过定点
理由
y x
x
(1,1) 1 1 (0,1) a 0 1
ya
a 0, a 1
函数操
yx
yx
2
yx
3
yx
1 2
yx
1
4．常用幂函数的性质
幂函数的性质与图像第一象限 ppt课件
幂函数的图象
幂函数的性质与图像第一象限
1
幂函数的定义
一般地，函数y = xn叫做幂函数，其 中x是自变量，n是常数。(n∈R)
幂函数的性质与图像第一象限
2
下列函数中，哪几个函数是幂
函数？ （1）y = 1
x2
（3）y=2x
答案:(1)(4) （2）y=2x2
（4）y=1
(5) y=x2 +2
(6) y=-x3
(2)函数在0，是增函数，
即在第一象限是增 数函 ；
(3)图像是抛物线型的，
随着的增大，图像逐渐由x轴向y轴靠近．
即当0 1时，图像上凸，
是靠近x轴的抛物线型(图1)；
当 1时，图像下凸，
是靠近y轴的抛幂物函数线的性型质与(图图像2第)一．象限
5
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
2、当 0时，
(1)图像过定 1， 1； 点
(2)函数在0，是减函数，
即在第一象限是减 数函 ；
(3)图像是双曲线型的，
图像x轴 与和 y轴无限接近但永交 远 (图不 3)．相
3、当 0时，
y
图像是0除 ， 1点 去的一条射 1 线．
幂函数的性质与图像第一象限
o 图4
x 6
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图像过定 1， 1点
(2)当 0时，
函数是增函数， 图像是抛物线型；
(3)当 0时，
函数是减函数，
图像是双曲线型．
幂函数的性质与图像第一象限
7
幂函数的性质与图像第一象限
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究活动一
(1)分别作出下列函数在第一象限内的图像；
(2)研究这些图像有何规律？ (1)yx2， yx3
幂函数的性质与图像第一象限
1
幂函数的定义
一般地，函数y = xn叫做幂函数，其 中x是自变量，n是常数。(n∈R)
幂函数的性质与图像第一象限
2
下列函数中，哪几个函数是幂
函数？ （1）y = 1
x2
（3）y=2x
答案:(1)(4) （2）y=2x2
（4）y=1
(5) y=x2 +2
(6) y=-x3
(2)函数在0，是增函数，
即在第一象限是增 数函 ；
(3)图像是抛物线型的，
随着的增大，图像逐渐由x轴向y轴靠近．
即当0 1时，图像上凸，
是靠近x轴的抛物线型(图1)；
当 1时，图像下凸，
是靠近y轴的抛幂物函数线的性型质与(图图像2第)一．象限
5
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
2、当 0时，
(1)图像过定 1， 1； 点
(2)函数在0，是减函数，
即在第一象限是减 数函 ；
(3)图像是双曲线型的，
图像x轴 与和 y轴无限接近但永交 远 (图不 3)．相
3、当 0时，
y
图像是0除 ， 1点 去的一条射 1 线．
幂函数的性质与图像第一象限
o 图4
x 6
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图像过定 1， 1点
(2)当 0时，
函数是增函数， 图像是抛物线型；
(3)当 0时，
函数是减函数，
图像是双曲线型．
幂函数的性质与图像第一象限
7
幂函数的性质与图像第一象限
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究活动一
(1)分别作出下列函数在第一象限内的图像；
(2)研究这些图像有何规律？ (1)yx2， yx3
幂函数的性质及其应用课件
幂函数性质
当自变量$x$的取值范围为全体实 数时，幂函数的值域为 $(0,+\infty)$。
幂函数的奇偶性
奇偶性定义
如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那 么这个函数就是偶函数；如果满足 $f(-x)=-f(x)$，那么这个函数就是奇 函数。
幂函数的奇偶性
当$n$为偶数时，幂函数$y = x^{n}$ 是偶函数；当$n$为奇数时，幂函数 $y = x^{n}$是奇函数。
幂函数的应用场景
幂函数在金融领域的应用
1 2
投资组合优化
幂函数可以用于建立投资组合模型，根据不同资 产的价格波动和相关性进行优化，以实现风险分 散和资产增值。
资本资产定价模型（CAPM）
幂函数可以用于CAPM中的回报率预测，根据风 险和资产的相关性来计算期望回报率。
3
期权定价模型
幂函数可以用于期权定价模型的构建，通过考虑 标的资产价格、行权价、剩余期限等因素来估算 期权的合理价格。
通过一个实际案例，介绍了幂函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
首先介绍了幂函数的定义和性质，然后通过一个具体的例子，展示了如何利用幂函数解决实际问题。这个例子涉 及到物理学中的力学和工程学中的材料科学，通过幂函数来描述和预测材料的强度和重量之间的关系。
利用幂函数解决实际问题二例
总结词
通过另一个实际案例，介绍了幂函数在 解决实际问题中的应用。
数据压缩
在数据压缩领域，幂函数 被用于构建压缩算法，以 实现数据的紧凑表示和存 储。
加密算法
幂函数也被广泛应用于加 密算法中，如RSA公钥密 码体系，以提供安全的数 据传输和保护。
图像处理
在图像处理中，幂函数可 以用于实现图像的缩放、 旋转和扭曲等变换。
当自变量$x$的取值范围为全体实 数时，幂函数的值域为 $(0,+\infty)$。
幂函数的奇偶性
奇偶性定义
如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那 么这个函数就是偶函数；如果满足 $f(-x)=-f(x)$，那么这个函数就是奇 函数。
幂函数的奇偶性
当$n$为偶数时，幂函数$y = x^{n}$ 是偶函数；当$n$为奇数时，幂函数 $y = x^{n}$是奇函数。
幂函数的应用场景
幂函数在金融领域的应用
1 2
投资组合优化
幂函数可以用于建立投资组合模型，根据不同资 产的价格波动和相关性进行优化，以实现风险分 散和资产增值。
资本资产定价模型（CAPM）
幂函数可以用于CAPM中的回报率预测，根据风 险和资产的相关性来计算期望回报率。
3
期权定价模型
幂函数可以用于期权定价模型的构建，通过考虑 标的资产价格、行权价、剩余期限等因素来估算 期权的合理价格。
通过一个实际案例，介绍了幂函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
首先介绍了幂函数的定义和性质，然后通过一个具体的例子，展示了如何利用幂函数解决实际问题。这个例子涉 及到物理学中的力学和工程学中的材料科学，通过幂函数来描述和预测材料的强度和重量之间的关系。
利用幂函数解决实际问题二例
总结词
通过另一个实际案例，介绍了幂函数在 解决实际问题中的应用。
数据压缩
在数据压缩领域，幂函数 被用于构建压缩算法，以 实现数据的紧凑表示和存 储。
加密算法
幂函数也被广泛应用于加 密算法中，如RSA公钥密 码体系，以提供安全的数 据传输和保护。
图像处理
在图像处理中，幂函数可 以用于实现图像的缩放、 旋转和扭曲等变换。
幂函数ppt课件全
(4)
1
y x2
(5)
y x1
21
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3 22
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
… -8 -1 0 1 8 27 64 …
… / / 0 1 2 3 2…
y 8
y=x3
6
4
1
2
y=x 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-4
-6
17
-8
函数 y x3 的图像
定义域： R
值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
18
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
2
1
2
所求的幂函数为y
x
1 2
.
10
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
证明: 设所求的幂函数为y x 函数的图像过点(3，27)
27 3 ,即33 3
3
f (x) x3
f (x)的定义域为R， f (x) (x)3 x3
f (x) f (x)
f (x1) f (x2)
x1
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探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？ 式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a a
底数 指数
名称 x
指数 底数
y
幂值 幂值
探究3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？ 看看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
尝 试 练 习：1、下面几个函数中，
哪几个函数是幂函数？
（1）y =
二、幂函数性质的探究：
对于幂函数，我们只讨论α=1，2，3， 情形。
2 3
1 ，–1 时的 2
1 2 1
即：y x , y x , y x , y x , y x
探究4：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何 研究幂函数呢？ 作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质 探究5：在同一坐标系中作出幂函数
幂 函 数
问题引入：
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克， x 元. 则所需的钱数y=____ 2、如果正方形的边长为x，则面积y=_____. x2
3、如果正方体的边长为x，体积为y，
那么y= x3 4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为 那么y=______. x 5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的
公共点
幂函数y x 的性质：
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通 过点(1,1); (2)如果 0, 则幂函数的图像过原点 ，并且在区间
[0,)上是增函数；
(3)如果〈0，则幂函数在区间 (0,)上是减函数
例1、证明幂函数 f ( x) x 在 [0,)上是
R R R 奇函数 [0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数 {x| x ≠ 0} {y| y≠ 0} 奇函数
定义域 值 域 奇偶性
[0，+∞） 偶函数
R上是 单调性 增函数
在（－∞,0] 在（ －∞,0） 上是减函 R上是 在[0，+∞） 和(0, +∞）上 数，在[0, 增函数 上是增函数 是减函数 +∞）上是 增函数 （1，1）
1 2
x 速度为y公里/秒，那么y=______
1
以上问题中的函数具有什么共同特征？
y=x
y=
1 2
x2
y=
3 x
yx
yx
1
共同特征：函数解析式是幂的形式，且 指数是常数，底数是自变量。
新课 一、幂函数的概念
一般地，函数yx源自叫做幂函数，其中x是自变量， 是常数。
探究1：你能举几个学过的幂函数的例子吗？
增函数。
收获与体会
请大家回味建立幂函数模型、定义幂函数及推导幂函数
性质的过程，你觉得有什么收获？
1 x
2
（2）y=2x2 （4）y
5
（3）y=x2 +
x
x
3
（5）y = 2x
答案（1）（4）
2、已知幂函数y = f (x)的图象 经过点（3 ， 3 ），求这个函数的解 析式。 待定系数法
yx
1 2
3、如果函数
f (x) =
(m2－m－1)
x
m
是幂函数，
求实数m的值。
m= -1 或 m= 2
2 3 1 2 1
y x, y x , y x , y x , y x
的图象。 几何画板 EXCEL
探究6： （探究性质）请同学们结合幂函数图象（课 本第86页图2.3.1），将你发现的结论填在下面（课本 第86页） 的表格内： 1
y=x
R R 奇函数
y = x2 y = x3 y x 2 y x 1