江苏省南京三中学年高二数学12月月考(无答案)
2022-2023学年江苏省南京市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．√5C ．5D ．102．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2 B ．0C ．2D ．±23．已知双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2x B ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x 4．直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为V =16ℎ(S +4S 0+S′)，其中S ，S ′别是上、下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）（ ）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车 6．已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β），则tanαtanβ=（ ）A ．13B ．12C ．2D ．37．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，连接AF 2并延长交椭圆C 于另一点B ，若F 1B ：F 2B ＝7：3，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．√338．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，E 为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF →•DA→的最小值是（ ） A ．1B ．1613C ．85D ．4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3°CB ．乙城市日均气温的众数为24°C C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为x ＝﹣1B ．点F 到直线l 的距离为√22C ．∠AOB =π2 D ．AB ＝1011．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为侧面BCC 1B 1内一点，则（ ）A ．当C 1P →=13C 1B →时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当C 1P →=λC 1B →（0＜λ＜1）时，四面体D 1ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π12．过原点的直线l 与圆M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ）A．弦AB长的最小值为8B．△MAB面积的最大值为4√2C．圆M上一定存在4个点到l的距离为2√2D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知a＞0，若圆（x﹣a）2+y2＝2与圆x2+（y﹣a）2＝8外切，则a＝．14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18．则这组数据的70百分位数是．15．设函数f（x）＝2x+log a x﹣8（a＞1）的零点为x0．若x0≥3，则a的最小值为．16．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，点P的坐标为（2，1），动点A，B在抛物线C上，且P A⊥PB，则F A+FB的最小值是．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在①（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，②tan A=√3bcb2+c2−a2，③a sin B=√3b cos A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cos B=2√77，且_____，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是棱BC上的点（不与点C重合），AD⊥DC1．（1）证明：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）若AC＝CC1＝2，求CC1与平面ADC1所成角的正弦值．19．（12分）已知圆M过原点O，圆心M在直线y＝x﹣1上，直线2x+y＝0与圆M相切．（1）求圆M的方程；（2）过点P（0，4）的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段PB的中点，求直线l的方程．20．（12分）某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中0＜p＜1，0＜q ＜1，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响．已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13．（1）求p ，q 的值；（2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率．21．（12分）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，﹣1）．问：是否存在直线l ，满足PM ＝PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，左、右顶点分别为M ，N ，点P（﹣1，1）满足PM →•PN →=1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D ．设直线MB ，MD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．2022-2023学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．√5C ．5D ．10解：∵（2+i ）z ＝3﹣4i ，∴z =3−4i2+i =(3−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=25−115i ， ∴|z|=√(25)2+(−115)2=√5． 故选：B ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行， 所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，检验当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意，当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意， 故m ＝﹣2． 故选：A ． 3．已知双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2x B ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x解：双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，可得e =ca =√3， 即有c =√3a ，由c 2＝a 2+b 2， 可得b =√2a ，即有渐近线方程为y ＝±ba x ，即为y ＝±√2x ． 故选：B ．4．直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解：因为直线y =√3x 的倾斜角为60°，直线y ＝x +1的倾斜角为45°，由直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称可得l 与y =√3x 与直线y ＝x +1的夹角相等，都为15°， 所以直线l 的倾斜角为30°． 故选：B ．5．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为V =16ℎ(S +4S 0+S′)，其中S ，S ′别是上、下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）（ ）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车解：两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米，由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米； 则上底面积S ＝18×8，中截面积S 0＝19×9，下底面积S 1＝20×10， 所以该建筑材料的体积为V =16×1×(144+684+200)=5143立方米， 所以建筑材料重约5143×32=257（吨），需要的卡车次为257÷4＝64.25，所以至少需要运65车． 故选：B ．6．已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β），则tanαtanβ=（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3解：已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β）， 整理得：sin αcos β+cos αsin β＝2sin αcos β﹣2cos αsin β， 故sin αcos β＝3cos αsin β， 所以tanαtanβ=3．故选：D ． 7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，连接AF 2并延长交椭圆C 于另一点B ，若F 1B ：F 2B ＝7：3，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．√33解：由椭圆的定义可得|BF 1|+|BF 2|＝2a ， 又|F 1B |：|F 2B |＝7：3， 所以|BF 1|=7a 5，|BF 2|=3a 5， 根据题意可得|AF 1|＝|AF 2|=√c 2+b 2=a ， 所以|AB |＝|AF 2|+|BF 2|＝a +3a5， 所以cos ∠F 1BF 2＝cos ∠F 1BA ， 所以|BF 1|2+|BF 2|2−|F 1F 2|22|BF 1||BF 2|=|BF 1|2+|AB|2−|AF 1|22|BF 1||AB|，所以(7a 5)2+(3a 5)2−(2c)22×7a 5×3a 5=(7a 5)2+(a+35a)2−a 22×7a 5×(a+3a5)， 所以49a 2+9a 2−40c 242a 2=49a 2+64a 2−25a 2112a 2，所以49a 2+9a 2−40c 242a 2=1114，所以25a 2＝100c 2， 所以c 2a 2=14，所以e =c a =12， 故选：C ．8．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，E 为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF →•DA →的最小值是（ ） A ．1B ．1613C ．85D ．4解：分别以AD ，AB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，B （0，3），D （2，0）， AB →=（0，3），AD →=（2，0），E 在线段CD 上，设E （2，m ），（0≤m ≤3），AE →=（2，m ）， 设AF →=k AE →=（2k ，mk ），则BF →=AF →−AB →=（2k ，mk ﹣3）， ∵BF ⊥AE ，∴BF →⋅AE →=4k +m （mk ﹣3）＝0，k =3mm 2+4， DF →=AF →−AD →=（2k ﹣2，mk ），DF →⋅DA →=（2k ﹣2，mk ）•（﹣2，0）＝4﹣4k ＝4−12mm 2+4， m ＝0，DF →⋅DA →=4， 0＜m ≤3时，12m m 2+4=12m+4m≤2√m⋅m=3，当且仅当m =4m ，即m ＝2时，取等号， 此时，DF →⋅DA →的最小值为1． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3°CB ．乙城市日均气温的众数为24°C C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定解：由图可以看出，甲城市7天的气温为：22°C ，22°C ，24°C ，24°C ，25°C ，25°C ，26°C ， 乙城市7天的气温为：23°C ，23°C ，24°C ，24°C ，24°C ，25°C ，25°C ， 对于A ，乙城市日均气温的极差为25°C ﹣23°C ＝2°C ，故A 错误， 对于B ，乙城市日均气温的众数为24°C ，故B 正确，对于C ，甲城市的中位数为24°C ，甲城市的平均数为17×(22+22+24+24+25+25+26)=24°C ，故C 正确，对于D ，由图中可以看成，乙城市的日均气温比甲城市的日均气温稳定，故D 错误． 故选：BC ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为x ＝﹣1B ．点F 到直线l 的距离为√22C ．∠AOB =π2 D ．AB ＝10解：由抛物线C ：y 2＝4x ，可得抛物线的准线为x ＝﹣1，故A 正确； 由抛物线C ：y 2＝4x ，可得抛物线的焦点坐标为F （1，0）， ∴点F 到直线l 的距离为d =|1−0−2|√1+1=√22，故B 正确；由{y =x −2y 2=4x ，消去x 得y 2﹣4y ﹣8＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴y 1+y 2＝4，y 1y 2＝﹣8，∴x 1x 2=116（y 1y 2）2＝4，∴OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2＝4﹣8＝﹣4，故∠AOB ≠π2，故C 不正确； 由弦长公式得|AB |=√(1+1k2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(1+1)[42−4×(−8)]=4√6，故D 不正确．故选：AB ．11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为侧面BCC 1B 1内一点，则（ ） A ．当C 1P →=13C 1B →时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当C 1P →=λC 1B →（0＜λ＜1）时，四面体D 1ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π解：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(13，1，23)，CP →=(13，0，23)，AD →=(−1，0，0)， 设异面直线CP 与AD 所成角为θ∈(0，π2]， 则cosθ=|cos ＜CP →，AD →＞|=|CP →⋅AD →||CP →|⋅|AD →|=|(13，0，23)⋅(−100)|√19+49=√55，故sinθ=√1−cos 2θ=2√55，tanθ=2，A 错误； 如图2，因为AB ∥C 1D 1，且AB ＝C 1D 1，所以四边形ABC 1D 1为平行四边形， 故BC 1∥AD 1，因为BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1， 所以BC 1∥平面ACD 1，故当点P 在BC 1上运动时，点P 到平面ACD 1的距离不变，即当C 1P →=λC 1B →(0＜λ＜1)时，四面体D 1ACP 的体积为定值，B 正确； 如图3，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，连接PB 1，因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，B 1P ⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥B 1P 1，因为AB ⊥平面BCC 1B 1，EP ⊂平面BCC 1B 1， 所以AB ⊥EP ，因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，设P （m ，1，n ），0≤m ≤1，0≤n ≤1，其中B 1（1，1，1）， 当PB 1＝PE 时，√(m −1)2+(1−1)2+(n −1)2=n ， 整理得：n =12(m −1)2+12，故当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确； 如图4，当C 1P →=12C 1B →时，P 为BC 1的中点，取BD 的中点Q ，BC 的中点N ，连接PN ，则PN ∥CC 1，故PN ⊥平面ABCD ，因为BC ⊥CD ，故三角形BCD 的外心为点Q ，则外接球球心O 在过点Q 且垂直于平面ABCD 的直线上，故OQ ⊥平面ABCD ，OQ ∥PN ，连接OP ，QN ，OB ，过点O 作OM ∥QN 交PN 于点M ，设四面体BCDP 的外接球的半径为R ，则OB =OP =R ，OM =QN =12，OQ =MN ， 其中QB =√22，PN =12，设OQ ＝MN ＝h ，则PM =12−ℎ， 由勾股定理得OB =√OQ 2+QB 2=√ℎ2+12，OP =√OM 2+PM 2=√(12−ℎ)2+14，故√ℎ2+12=√(12−ℎ)2+14，解得：h ＝0，故R =√02+12=√22，4πR 2=2π， 当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π，D 正确．故选：BCD ．12．过原点的直线l 与圆M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ） A ．弦AB 长的最小值为8B ．△MAB 面积的最大值为4√2C ．圆M 上一定存在4个点到l 的距离为2√2D ．A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线x ﹣y ﹣16＝0上解：M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0化为标准方程：M ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝18．设M 到直线l 的距离为d ，则d ≤|OM |=√2， 对于A ：由垂径定理|AB|2=√18−d 2≥√16=4，即|AB |≥8，当且仅当d =√2，即OM ⊥l 时取等号，故弦AB 长的最小值为8，故A 正确；对于B ：△MAB 面积为12|AB|⋅d =d √18−d 2=√−d 4+18d 2，令t ＝d 2，则：△MAB 面积为√−t 2+18t ，t ∈（0，2]，而y ＝﹣t 2+18t ＝﹣（t ﹣9）2+81在（0，2]上单调递增，所以y max ＝y |t ＝2＝32，于是△MAB 面积的最大值为4√2，B 正确；对于C ：当OM ⊥l 时，d =√2，到l 的距离为2√2的点由3个，C 错误；对于D ：A ，B 两点处圆的切线的交点坐标为（m ，n ），则直线AB 为切点弦所在直线方程，为：mx +ny +m +x ﹣（n +y ）﹣16＝0，由于直线AB 过原点，所以m ﹣n ﹣16＝0，即A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线x ﹣y ﹣16＝0上． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知a ＞0，若圆（x ﹣a ）2+y 2＝2与圆x 2+（y ﹣a ）2＝8外切，则a ＝ 3 ． 解：因为a ＞0，若圆（x ﹣a ）2+y 2＝2与圆x 2+（y ﹣a ）2＝8外切，则√a 2+a 2=√2+2√2=3√2， 所以a ＝3． 故答案为：3．14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18． 则这组数据的70百分位数是 13 ．解：根据题意，共有15个数据，则有15×0.7＝10.5， 故这组数据的70百分位数第11个数据，即13； 故答案为：13．15．设函数f （x ）＝2x +log a x ﹣8（a ＞1）的零点为x 0．若x 0≥3，则a 的最小值为 √3 ．解：由于y ＝2x +8和y ＝log a x （a ＞1）在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）＝2x +log a x ﹣8（a ＞1）在（0，+∞）上单调递增，则0＝f （x 0）≥f （3），即log a 3﹣2≤0，也即log a 3≤2（a ＞1），从而a 2≥3且a ＞1，故a ≥√3，故a 的最小值为√3， 故答案为：√3．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，点P 的坐标为（2，1），动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，则F A +FB 的最小值是 11 ．解：由抛物线C ：x 2＝4y ，可得焦点为F （0，1）， ∵点P 的坐标为（2，1），∴点P 在抛物线上，∵动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，∴P A ，PB 斜率存在且不为0，设P A 的斜率为k ，PB 的斜率为−1k，则直线P A 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣2）， 由{y −1=k(x −2)x 2=4y，消去y 得x 2﹣4kx +8k ﹣4＝0， ∴（x ﹣2）（x ﹣4k +2）＝0，∴x ＝2或x ＝4k ﹣2，∴点A 的坐标为（4k ﹣2，k （4k ﹣4）+1），即A （4k ﹣2，4k 2﹣4k +1）， 同理可得B （−4k −2，4k 2+4k+1），∴|F A|+|FB|＝4k2﹣4k+1+1+4k2+4k+1+1＝4（k2﹣k+1k2+1k+1）＝4[（k−1k）2﹣（k−1k）+3），令t＝k−1k，则|F A|+|FB|＝4（t2﹣t+3）＝4[（t−12）2+114]≥11，当t=12时，等号成立，故|F A|+|FB|的最小值是11．故答案为：11．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在①（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，②tan A=√3bcb2+c2−a2，③a sin B=√3b cos A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cos B=2√77，且_____，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：因为cosB=2√77，B为三角形内角，则sinB=√1−cos2B=√217，选①：（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，展开得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA=b 2+c2−a22bc=12，因为A为三角形内角，故A＝60°，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即b217=3√2114，解得b＝2，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32；选②：tanA=√3bcb2+c2−a2，由余弦定理得sinAcosA=√3bc2bccosA，故sinA=√32，因为A为三角形内角，故A＝60°或120°，当A＝60°时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即√217=3√2114，解得b＝2，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32；当A＝120°时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77−12×√217=√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即√217=√2114，解得b＝6，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×6×3×√32=9√32， 综上△ABC 的面积为3√32或9√32；选③：asinB =√3bcosA ，由正弦定理得sinAsinB =√3sinBcosA ， 因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0， 从而sinA =√3cosA ，显然cos A ≠0，所以tanA =√3， 因为A 为三角形内角，所以A ＝60°，所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32×2√77+12×√217=3√2114， 由正弦定理得bsinB=c sinC ，即√217=3√2114，解得b ＝2，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×3×√32=3√32． 18．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是棱BC 上的点（不与点C 重合），AD ⊥DC 1． （1）证明：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）若AC ＝CC 1＝2，求CC 1与平面ADC 1所成角的正弦值．解：（1）证明：因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1， 故C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故AD ⊥C 1C ， 又C 1C ∩C 1D ＝C 1，故AD ⊥平面BCC 1B 1， 又AD ⊂平面ADC 1，故平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）由（1）得平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1，且AD ⊥BC ，故D 为BC 的中点， 作CH ⊥C 1D 于H ，则CH ⊥平面ADC 1，则∠CC 1H 即为CC 1与平面ADC 1所成角， 因为AC ＝CC 1＝2，故CD ＝1，C 1D =√5， 所以sin ∠CC 1D =CD C 1D =√55，故CC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为√55．19．（12分）已知圆M 过原点O ，圆心M 在直线y ＝x ﹣1上，直线2x +y ＝0与圆M 相切． （1）求圆M 的方程；（2）过点P （0，4）的直线l 交圆M 于A ，B 两点．若A 为线段PB 的中点，求直线l 的方程． 解：（1）圆M 过原点O ，圆心M 在直线y ＝x ﹣1上，设圆的圆心（a ，a ﹣1），直线2x +y ＝0与圆M 相切．可得√a 2+(a −1)2=|2a+a−1|5，解得a ＝2，所以圆的圆心（2，1），半径为：√5， 所以圆M 的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5．（2）圆M 的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5．圆的圆心（2，1），半径为√5，如图，圆的图形如图，圆过原点，并且经过（0，2）点，过点P （0，4）的直线l 交圆M 于A ，B 两点．若A 为线段PB 的中点，观察可知，y 轴，就是所求直线之一，即x ＝0，M 到y 轴的距离为2，所以设另一条直线l 的方程为y ＝kx +4， 可得√1+k 2=2，解得k =−512， 所以另一条直线l 的方程为y =−512x +4．即5x +12y ﹣48＝0． 综上所求直线方程为：x ＝0或5x +12y ﹣48＝0．20．（12分）某篮球场有A ，B 两个定点投篮位置，每轮投篮按先A 后B 的顺序各投1次，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．设球员甲在A 点投中的概率为p ，在B 点投中的概率为q ，其中0＜p ＜1，0＜q ＜1，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响．已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13．（1）求p ，q 的值；（2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率． 解：（1）由题意可知，{(1−p)(1−q)=16p(1−q)=13， 解得，p =23，q =12；（2）甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的情况有两种，当甲恰好得8分时的概率为：C 21×23×13×12×12=19， 当甲恰好得10分的概率为：23×23×12×12=19，所以甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率：19+19=29．21．（12分）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，﹣1）．问：是否存在直线l ，满足PM ＝PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：（1）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ， 由条件得|QA|+|QB|=|QA|+|QT|=|AT|=r =4＞2√3=|AB|， 所以Q 的轨迹是椭圆，且2a =4，2c =2√3， 所以b ＝1，所以曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）假设存在满足题意的直线l ，且l 的斜率存在且不为0， 设l ：y ＝kx +2（k ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由{y =kx +2x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+16kx +12＝0，Δ＝（16k ）2﹣48（1+4k 2）＝64k 2﹣48＞0，解得k 2＞34， 则x 1+x 2=−16k 1+4k2，又y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4=41+4k2，所以MN 的中点坐标为(−8k 1+4k2，21+4k2)，因此，MN 的中垂线方程为y −21+4k2=−1k(x +8k 1+4k2)，要使|PM |＝|PN |，则点P （0，﹣1）应在MN 的中垂线上， 所以−1−21+4k2=−1k ⋅8k 1+4k 2，解得k 2=54＞34， 因此，存在满足题意的直线l ，其方程为y =±√52x +2．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，左、右顶点分别为M ，N ，点P（﹣1，1）满足PM →•PN →=1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D ．设直线MB ，MD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：（1）依题意可得M （﹣a ，0），N （a ，0），又点P （﹣1，1） 所以PM →=（﹣a +1，﹣1），PN →=（a +1，﹣1）， 由PM →⋅PN →=2﹣a 2＝1，可得a ＝1， 又双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，所以ca=√3，c =√3，则b 2＝c 2﹣a 2＝2，所以双曲线C 的方程为x 2−y 22=1．（2）由（1）可得M （﹣1，0），N （1，0），若直线l 的斜率不存在，则l 与双曲线C 仅有一个公共点M ，不合题意，故l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为y ＝k （x +1）+1，联立{y =k(x +1)+12x 2−y 2=2，可得（2﹣k 2）x 2﹣（2k 2+2k ）x ﹣k 2﹣2k ﹣3＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 2+2k 2−k2，x 1x 2=k 2+2k+3k 2−2，直线OP 的方程为：y ＝﹣x ，直线AN 的方程为y =y 1x 1−1（x ﹣1）， 即可得D （y 1x 1+y 1−1，−y 1x 1+y 1−1），则k 1k 2=−y 1x 1+y 1−1y 1x 1+y 1−1+1⋅y 2x 2+1=y 1y 2(x 1+2y 1−1)(x 2+1)=k 2x 1x 2+(k 2+k)(x 1+x 2)+k 2+2k+1(2k+1)(x 1+x 2+x 1x 2+1)=k 2⋅k 2+2k−12−k2+k 2+2k+1(2k+1)(k 2−32−k2+1)=4k+22k+1=2．所以k1k2为定值．。
江苏省南京市2023～2024学年九年级上学期12月月考数学试卷
数学（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每个小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．一元二次方程x (x －1)＝0的根是A ．x ＝1B ．x ＝0C ．x 1＝2，x 2＝1D ．x 1＝0，x 2＝12．平面内，若⊙O 的半径为2，OPP 在⊙OA ．内B ．上C ．外D ．内或外3．若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P （－2，4），则该图象必经过点A ．（－4，2）B ．（－2，－4）C ．（2，4）D ．（4，－2）4．某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是A ．5，4B ．5，6C ．6，5D ．6，65．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是A ．c ＜0B ．b 2－4ac ＜0C ．a －b ＋c ＜0D ．图象的对称轴是直线x ＝36．如图，已知点C 为圆锥母线SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB ＝6，AB ＝4．一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点，则蚂蚁爬行的最短路程为A ．5B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．二次函数y ＝(x ＋1)2＋2图象的顶点坐标为▲．8．一组数据：2，3，－1，5的极差为▲．9．已知x 1、x 2是方程x 2－2x －4＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为▲．10．在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的图象所对应的函数表达式为▲．（第5题）（第6题）11．如图，若甲、乙比赛成绩平均数相等，则2S 甲▲2S 乙（填“＞”、“＜”或“＝”)．12．已知圆锥的底面半径为6cm ，母线长为8cm ，它的侧面积为▲2cm ．13．某产品原来每件成本是100元，连续两次降低成本后，现在成本是81元，设平均每次降低成本的百分率为x ，可得方程▲．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD 至点E ，已知∠AOC ＝140°，那么∠CDE＝▲°．15．如图，点E 在y 轴上，⊙E 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C 、D ，若C （0，9），D （0，－1），则线段AB 的长度为▲．16．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，点D 为平面内一点，且∠BDC ＝90°，以AC 、CD 为边作□ACDE ，则CE 的最小值为▲．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（8分）解下列方程：（1）x 2＋4x －1＝0；（2）2x (x －3)＝x －3．（第11题）（第14题）（第15题）（第16题）18.（8分）为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：甲：8，7，10，7，8；乙：9，5，10，9，7（1）将下表填写完整：平均数极差方差甲▲3▲乙8▲ 3.2（2）根据以上信息，若你是教练，你会选择谁参加射击比赛，理由是什么？（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差会▲（填“变大”或“变小”或“不变”）．19．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…－3－2－101…y…0－3－4－30…（1）这个二次函数的表达式是▲；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）观察图象，当－4＜x＜0时，y的取值范围为▲．20．（7分）如图，在⊙O 中，AB ＝AC ．（1）若∠BOC ＝100°，则⌒AB 的度数为▲°；（2）若AB ＝13，BC ＝10，求⊙O 的半径．21．（6分）如图，已知线段a 及∠ACB ．请仅用直尺．．和．圆规．．作⊙O ，使⊙O 在∠ACB 的内部，CO ＝a ，且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．（不写作法，保留．．．．．．．作．图痕迹．．．）．22．（8分）若关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x 2＋2x ＝0的两个根是x 1＝0，x 2＝－2，则方程x 2＋2x ＝0是“隔根方程”．（1）方程x 2－x －20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x 的方程x 2＋mx ＋m －1＝0是“隔根方程”，求m 的值．23．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是⌒BD的中点，过点C 作CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝6，AC＝8，求CE、DE的长．24．（9分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出▲个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出▲个台灯；（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．25.（8分）已知二次函数y＝(x－m)2－1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当－1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．26．（8分）掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为35m ，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.9m ，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．27．（10分）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请运用．．此结论．．．，解决以下问题：如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α（60°＜α＜180°）．点D 是BC 边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转α到线段AE ，连接BE ．（1）求证：A 、E 、B 、D 四点共圆；（2）如图2，当AD ＝CD 时，⊙O 是四边形AEBD 的外接圆，求证：AC 是⊙O 的切线；（3）已知α＝120°，BC ＝6，点M 是边BC 的中点，此时⊙P 是四边形AEBD 的外接圆，直接写出圆心P 与点M 距离的最小值．图1图2图1图2备用图。
高中数学选择性必修三 专题33 二项分布与超几何分布(含答案)
专题33 二项分布与超几何分布一、单选题1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为()A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C【解析】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（）A．715B．815C．1415D．1【答案】C【解析】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝27210715CC=，P(X＝1)＝1173210715C CC=⋅，P(X＝2)＝23210115CC=，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝7714 151515 +=故选C3．（2020·江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村【答案】B 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==， 所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ．542B ．435C ．1942D ．821【答案】A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。
2021-2022年高二12月月考 数学 含答案
2021年高二12月月考 数学 含答案一、选择题(共12个小题，每小题5分，共60分)1．命题“如果，那么”的逆否命题是 （ ）A ．如果，那么B ．如果，那么C ．如果，那么D ．如果，那么 2．已知则是的 ( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知向量的夹角为 ( )A.0°B.45°C.90D.180°4．已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m <2 B ．1<m <2 C ．m <－1或1<m < D ．m <－1或1<m <25．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．B ．C ．D ． 6. 已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+= ( ) A.B.5，2C.D.-5，-27．若 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则Δ的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ． 8．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）9．已知圆锥曲线的离心率e 为方程的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是( )A． B． C． D．11．椭圆上有n个不同的点:P1 ,P2 ,…,P n , 椭圆的右焦点为F，数列｛|P n F|｝是公差大于的等差数列, 则n的最大值是（）A．198 B．199 C．200 D．20112．若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为（）A． B．C．D．二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是;否命题是 .14.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，则= 。
高二第二学期月考数学试卷理科及答案
高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。
江苏省南京三中2012-2013学年高二10月阶段性检测数学试题
南京三中2012-2013学年高二10月阶段性检测数学试题一、填空题：（本大题共14小题,每小题3分,计42分，请将各题答案填在答卷相应位置）1、抛物线y x 42=的准线方程为 ▲ ．2、已知椭圆的中心在原点、焦点在y 轴上, 若其离心率是,21焦距是８，则该椭圆的方程 为 ▲3．过点P (－3，－2)且与圆：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相切的直线方程是 ▲ .4、圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ▲ ．5、若双曲线122=-ny m x 的离心率为2，且双曲线的一个焦点恰好是抛物线28y x =的 焦点，则双曲线的标准方程为 ▲ ．6、圆221:210240C x y x y +-+-=与222:2280C x y x y +++-=公共弦的长为 ▲ ．7、若椭圆1422=+y m x 的离心率为21，则m 为 ▲ ． 8、如果圆8)()(22=-+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为,2则实数a 的取值范围 是 ▲ ． 9、椭圆131222=+y x 的左焦点为1F , 点P 在椭圆上, 如果线段1PF 的中点M 在y 轴的 正半轴上, 那么点M 的坐标是 ▲ ．10、已知双曲线121422=-y x ，12,F F 分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上一点， 且2211,,PF F F PF 成等差数列，则21F PF ∆的面积为 ▲ ．11、已知圆C 1：22(1)(1)1x y ++-=，圆C 2与圆C 1关于直线10x y --=对称， 则圆C 2的方程为 ▲ ． 12、已知21,F F 为双曲线136922=-y x 的焦点，点A 在双曲线上，点M 坐标为)3,3(且 21F AF ∆的一条中线恰好在直线AM 上，则线段AM 长度为 ▲ ．13、若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是 ▲ ．14.给出下列命题，其中正确命题的序号是 ▲ （填序号）。
南京市江宁区竹山中学2022-2023学年第一学期初二数学12月月考试题及解析
②该药店应如何进货才能使销售总利润最大?并求出最大利润．
27.如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内 动点．
（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
6.如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】先由∠CAE＝∠BAD得到∠CAB＝∠DAE，然后分别利用“SAS”、“ASA”和“AAS”对各添加的条件进行判断．
19.计算：
（1） ；
（2） ．
20.求下列各式中x的值：
（1） ；
（2） ．
21.已知某正数的两个平方根分别 和 ， 的立方根为 ．
（1）求 的值．
（2）求 的立方根．
22.如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
3.若点 在一次函数 的图像上，则点 一定不在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.已知 的三边分别为a，b，c，下列条件不能判断 是直角三角形的是（）
A B. ， ，
C. D.
5.如图，在 中， 垂直平分 ，垂足为E，交 于D，若 ，则 周长为（）
A. B. C. D.
6.如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）
安顺市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
安顺市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a3．i是虚数单位，计算i+i2+i3=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）D．（0，1）6．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C．D．7．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x的图象是（）A．①B．②C．③D．④8．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．29．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．1210．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（）A．720 B．270 C．390 D．30011．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题。
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7 1
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猜想1
1 1 1 20112
江苏省南京三中2020学年高二12月月考数学试题
、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共70分，请将答案写在答卷纸相应区域） 1. 命题“ x R , x 2 4x 2 0 ”的否定是： ▲
2. (理科做)已知向量 a = (1 , 3, 2 ), b = (1
, 0, 1 ) , p = ka - 2b, q = 3a + 4b ,
若p // q ，则实数k = ▲
a bi
(文科做)已知=上_
3 i , (a , b R , i 是虚数单位)，则a b ▲
2 i
-------
3. (理科做)空间三点 A (1 , - 1, a ) , B ( 2 , a , 0 ) , C ( 1 , a , - 2 )，若(AB - 2AC ) 与
BC 垂直，则实数a 等于 ▲
(文科做)设(1 2i)z 3 4i (i 是虚数单位)，则z ▲
2
4.抛物线x 2y 的焦点坐标是
▲
1 2
5.函数f （x ） —x In x 的单调减区间为
▲
2
6•“x 2”是“ x 2 4”的 ▲ 条件（在“充要” “充分不必要” “必要不充分” “既不 充分也不必要”中选一个）
7•若曲线f （x ） 2ax 3 ax 在点（1 , a ）处的切线与直线2x y 1 0平行，贝U 实数a 的 值为 ▲
2 2
&双曲线— 厶 1上一点M 到它的右焦点的距离是 3，则点M 的横坐标是 ▲
4
12
9.设双曲线的渐近线方程为
x 3y 0 ,则双曲线的离心率为
10.观察下列式子:
1 1 3
2 42
则可以
x
是 ▲
3 2
20
14
・若函数f(x) x ax (a 0)在区间(——, 3
有整数解的实数a 的个数是 ▲ 二、解答题(本大题共 6小题，共90分，请将答案写在答卷纸相应区域，解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤) 15. (14分)已知双曲线 C 的两个焦点分别为
F 1( 6,0) , F 2(6,0)，且经过点P(5,2)
(1) 求双曲线C 的标准方程； (2) 求以双曲线C 的左顶点为焦点的抛物线方程
•
16. (14分)设命题p :关于x 的方程x 2 kx 1 0无实根；命题q :函数
f (x) x 3 kx 2 3kx 1在(,
)上既有极大值又有极小值，
若命题"p 或q ”是真命题，“ p 且q ”是假命题，求实数 k 的取值范围.
17. (15 分)已知函数 f (x) a ^n ^(a R), f‘ (1) 3 (1求a 的值；
~2
a
b 2
1(a b 0)上，AB // x 轴，AD 过左焦点F ，则椭圆的离心率 e
13. M 是椭圆
x 2
圆M 与y 轴交于P , Q 两点，若
f '(x) f(x)
0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴 切于椭圆的右焦点,
PQM 是钝角三角形，则椭圆的离心率
e 的取值范围
)上单调递增，则使方程 f(x) 1000
2
x
2
2
a
2
⑵若对任意的x 1, e , f(x) c2 c恒成立，求c的取值范围
18. (15分)如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的
同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距40.. 3km。
两厂要在河
岸边合建一个供水站C ,从供水站到甲、乙两厂的水管费用分别为每千米a元与2a元.若设CBD ，水管的总费用为y元.
⑴试建立y关于的函数关系式，并写出的取值范围;
⑵ 取何值时，y取得最小值，最小值是多少？
19. (16 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(a,0)(a 0) , B(0, a), C( 4,0) , D(0,4), 设AOB 的外接圆圆心为E,
⑴求圆E的方程；
⑵若O E与直线CD相切，求实数a的值；
⑶设点P在圆E上，使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的O E是
否存在，若存在，求出O E的方程；若不存在，说明理由.
⑶讨论方程f(x) k 0的解的个数。