三角函数(四)方位角问题
利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题课件(共18张PPT)
You made my day!
我们，还在路上……
AE 3 ∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
(2)横截面的面积 S1BCADCF
2
16128.5522.28
2 1498.9(m2)，
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北 方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西 方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直 线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏 西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该 船的速度应该是( )海里/小时． A．10 B．5
∵cos ∠BCD＝ C D , BC
∴BC＝ cos CD BCDco4 s0 55。 70.2(米 ).
∴t甲≈
57.21038.6(秒), 2
t乙≈
70.2 2
35.1(秒).
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化 为求线段长度的问题．
知2－讲
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建 造这个大坝需用土石方约为224835m³.
方位角反算公式
方位角反算公式方位角反算公式在数学和地理等学科中可有着不小的作用呢！咱们先来说说啥是方位角。
想象一下，你站在一个地方，想要知道另一个地方相对于你所在位置的方向，这时候方位角就派上用场啦。
简单说，方位角就是从正北方向顺时针转到目标方向线的水平夹角。
那方位角反算公式到底是啥呢？其实就是通过已知的两个点的坐标，来算出它们之间连线的方位角。
比如说，有 A 点和 B 点，知道了它们的横纵坐标，就能通过一系列的计算得出 A 到 B 的方位角。
这公式看起来可能有点复杂，但别怕，咱们来一步步拆解。
就像解一个谜题，每一步都有它的小窍门。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这东西在生活里到底有啥用啊？”我笑着跟他们说：“同学们，假设你们在野外探险，迷路了，手里只有一张简单的地图，知道了方位角反算公式，就能搞清楚自己应该朝哪个方向走，才能找到回家的路。
” 这一下，他们好像来了精神，听得更认真了。
在实际运用中，方位角反算公式可帮了大忙。
比如说在建筑设计里，工程师得精确计算不同建筑物之间的相对方位，才能保证整体布局合理。
还有在航海中，船长要根据方位角来确定船只的航行方向，避免偏离航线。
咱们再回到公式本身。
要计算方位角，得先算出两点之间的坐标差值。
这就像是在地图上找出两点之间的水平和垂直距离。
然后再通过一些三角函数的运算，就能得出方位角啦。
这里面涉及到的数学知识，其实都是咱们平时学过的，只是把它们组合起来，解决一个新的问题。
有些同学可能会觉得，哎呀，这么多计算步骤，好麻烦呀！但其实，只要多做几道练习题，熟练掌握了方法，就会发现也没那么难。
就像骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但练得多了，就能轻松驾驭。
对于方位角反算公式，大家一定要多动手练习，不能光靠眼睛看。
只有亲自去算，才能真正理解其中的奥秘。
而且，当你算出正确结果，那种成就感可太棒啦！总之，方位角反算公式虽然有点小复杂，但只要咱们用心去学，多练习，它就能成为我们解决问题的有力工具。
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课的内容选自《初中数学》八年级下册第九章“勾股定理及其应用”的第三节“解直角三角形”。
具体包括：直角三角形的定义及性质，解直角三角形的概念，利用三角函数解直角三角形，以及方位角和坡度角的实际应用。
二、教学目标1. 知识目标：学生能够理解并掌握解直角三角形的基本概念，熟练运用三角函数求解直角三角形的未知边和角。
2. 技能目标：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、积极参与的学习态度。
三、教学难点与重点教学难点：解直角三角形的实际应用，特别是方位角和坡度角的计算。
教学重点：熟练运用三角函数解直角三角形，以及在实际问题中求解方位角和坡度角。
四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、量角器、多媒体课件。
学具：直角三角形模型、计算器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如建筑工地上的方位角和坡度角问题，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用。
2. 新课导入：讲解直角三角形的定义及性质，引导学生回顾勾股定理，为解直角三角形打下基础。
3. 新知讲解：（1）介绍解直角三角形的定义及方法，如正弦、余弦、正切函数的定义和应用。
（2）通过例题讲解，让学生掌握解直角三角形的方法。
（3）讲解方位角和坡度角的概念，以及在实际问题中的应用。
4. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论：针对练习题中的问题，组织学生进行小组讨论，互相交流解题思路。
六、板书设计1. 直角三角形的定义及性质2. 解直角三角形的方法：（1）正弦函数：sin A = 对边/斜边（2）余弦函数：cos A = 邻边/斜边（3）正切函数：tan A = 对边/邻边3. 方位角和坡度角的计算方法七、作业设计1. 作业题目：（1）已知直角三角形的两个角和一条边，求其他未知边和角。
1.4.1+三角函数的应用+方位角、仰角和俯角问题+同步练2024学年北师大版九年级下册
方位角、仰角和俯角问题【知识要点导航】1.方位角方位角是以观测点为中心(方向角的顶点)以正北或正南方向为始边，以旋转到观测目标所在的方向为终边所成的锐角.2.仰角与俯角视线与水平线方向的夹角中,视线在水平线上方的角叫做____________，视线在水平线下方的角叫做____________.注:水平线与铅垂线是互相垂直的，这为构造直角三角形提供了条件.通常，用水平线与铅垂线上的线段作为直角边，视线上的线段作为斜边，通过解这个直角三角形，解决实际问题.典型例题精析题型1 方位角的应用例1.如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向上的点A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的点B处.若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)变式练习1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（）A.35海里B.35cos37°海里C.35tan37°海里D.35sin37°海里2.如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12n mile 到达点C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.则小岛A到航线BC的距离约是__________n mile.(参考数据:√3≈1.73，结果精确到0.1)3.人工海产养殖合作社安排甲乙两组人员分别前往海面A、B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC=3600米，如图.参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)(1)求养殖场B与灯塔C的距离；(结果精确到个位)(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/分，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处.题型2 仰角、俯角的应用例2(1)数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度.如图，已知无人机的飞行高度为37米，当无机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°则旗杆的高度为（）A.15√3米B.(37−15√3)米C.(45−15√3)米D.22.5米(3)如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，在山下的点A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC 方向前进60m到达山脚点B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°.求塔ED的高度.(结果保留根号)变式练习4.如图，某校教学楼AB与CD的水平间距BD=a m，在教学楼CD的顶部C测得教学楼AB的顶部A的仰角为α，测得教学楼AB的底部B的俯角为β，则教学楼AB的高度是（）A.(atanα+atanβ)mB.(atanα+atanβ)mC.(asinα+asinβ)mD.(acosα+acosβ)m5.如图，一座古塔座落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°，点A、B、C、0在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中点O处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC=75°，求小李到古塔的水平距离(即BC)的长.(结果精确到1 米，参考数据:√2≈1.41，√3≈1.73)基础过关精练1.如图，海中有一小岛A，在点B测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从点B出发由西向东航行10 n mile到达点C，在点C测得小岛A恰好在正北方向上此时渔船与小岛A的距离为（）A.10√33n mile B.20√33n mile C.10 n mile D.10√3n mile2.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A.140√3mB.160√3mC.180√3mD.200√3m3.如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长度为20m，DE的高度为10m，则树AB的高度为（）A.20√3mB.30 mC.30√3mD.40 m4.如图，一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至点C处时发生了侧翻沉船事故.一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，则海警船大约需要________小时达到事故船C处.（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）5.某数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°.已知AB=10m，AD=30m，则灯塔CF 的高约为_________m.（结果保留整数；参考数据:tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，√2≈1.41)6.如图为某体育公园的部分示意图，C为公园大门，A、B、D分别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园.经测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向.(1)求B、D两地的距离；(结果精确到0.1米)(2)大门C在儿童乐园D的南偏西60°方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据线到大门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用(接头忽略不计).(参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)能力提升演练7.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C港在A港北偏东20°方向，则A、C两港之间的距离为（）A.(30+30√3)kmB.(30+10√3)kmC.(10+30√3)kmD.30√3km8.如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D处时，地面目标此时运动到点E处，从点E看点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为________米.（参考数据：tan37°≈34，tan47.4°≈109）9.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD(坡角∠DCE=45°)，在它们之间有一片水域.现要测量大楼AB的高度，小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为60°，当热气球探测器竖直上升到点F处时，测得楼顶点B处的仰角为30°.已知CD=30米，DF=60米，其中点A、C、E在同一直线上.(结果精确到0.1米；参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度.拓展探究训练10.如图，五边形ABCDE是一个公园沿湖的健身步道(步道可以骑行)，BD是仅能步行的跨湖小桥.经勘测，点B在点A的正北方935米处，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东74°，且在点区的正北方，∠C=90°，BC=800米，CD=600米.(参考数据:sin74°≈0.96，cos74°≈0.27，tan74°≈3.55)(1)求AE的长度；(结果精确到1米)(2)小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点A出发沿路线A→B→C→D→E→A的方向骑行，爸爸以150 米/分的速度从点B出发沿路线B→D→E→A的方向跑步前行.两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达A点？请说明理由.。
中考数学-锐角三角函数应用方位角与方向角问题
中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里 北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。
方位角及其应用
方位角及其应用方位有何功能为何会有方位的产生若没有方位一个人将难以描述自身所在之处，因此我们需要一套大家所认可的方式来定义我们的空间坐标，使人能在空间上轻易描述自身所在位置或与自身所在的相对位置，因此人们想出各种定义方位的方式来解决这样的问题。
当一个人有了方位的观念后，他便可以轻易的告诉其它人自身所在位置，或其它物品所在位置，或自身即将前往的位置等等。
1方向与方向角方向：指某一特定直线所朝向的位置称之。
方向角：以南北为基准朝东西两侧所量取的角度称之。
2方位与方位角方位：指固定某一特定方向为基准，以其作为出其它方向起算的依据，所订出的位置称之。
方位角：以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。
方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°。
典型例题剖析1利用方位角求角例1一轮船以每小时20海里的速度向正东方向航行，上午8时，该船在A处测得灯塔B位于它的北偏东300的方向，上午9时船行至C处，测得灯塔B恰好在它的正北方向，求∠BAC 思路导引：欲求∠BAC的大小，可先根据方位角的有关情况，画出示意图求解．这里的“北偏东300”指的是正北方向线向东旋转300解：如图，由题意易知∠DAB=300，∠ACB=900,由地理位置易得AD∥BC，∴∠B=300∠BAC=900一∠B=900-300=600，即∠BAC的度数为600点评:一定要注意数学知识与其他学科之间的联系．观侧点不同所得方位角也不同．确定方位角时，以观测点为坐标原点进行分析，各个观测点的南北方向线和东西方向线是互相垂直的．2利用方位角求距离例2某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C在北偏东600方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东300方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．如图所示：1试说明点B 是否在暗礁区域外；2若继续向东航行有无触礁危险请说明理由．思路导引：1判断点B 是否在暗礁区域外，只要求得BC 的长度，将其与16比较即可．若BC ＞16，则点B 在暗礁区域外；若BC≤16,则点B 在暗焦区域内．2岛C 是固定不变的，可把船看做一个动点，在运动的过程中，当船运动至岛C 的正南方某点时，船与岛最近，若此时船与岛的距离小于16，则有触礁危险，否则，不会触礁．解：（1）如图，过点B 作BD∥AE，交AC 于点D∵AB=36×=18（海里），∠ADB=600，∠DBC＝300，∴∠ACB＝300又∠CAB=300，∴BC=AB=18则BC=AB=18＞16，即点B 在暗礁区域外．2过点C 作CH⊥AB，△CBH 中，∠BCH＝300，令BH=，则CH=3 在Rt△ACH 中，∠CAH=300∴AH=x CH CH 33330tan 0⋅===3∵AH=ABBH,∴3=18，解得＝9∴CH＝93<16，∴船继续向东航行有触礁的危险．点评:本题主要考查通过方位角求距离的问题，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的作用，目的是提高我们把实际问题转化为数学问题的能力．。
数学方位角
数学方位角数学方位角是指平面上一条射线与x轴正方向的夹角，它在数学和物理学中具有重要的应用。
方位角的概念源于极坐标系，用来描述一个点在平面上的位置。
在本文中，我将介绍方位角的定义、计算方法以及其在实际应用中的一些例子。
让我们来看一下方位角的定义。
假设有一个点P(x, y)在平面上，与x轴正方向的夹角记为θ，则θ就是点P的方位角。
方位角通常用弧度制表示，范围是从0到2π。
当θ为0时，表示点P在x轴正方向上；当θ为π/2时，表示点P在y轴正方向上；当θ为π时，表示点P在x轴负方向上。
根据这个定义，我们可以通过一些数学公式来计算方位角。
假设点P的坐标为(x, y)，我们可以使用反三角函数来计算θ。
具体而言，可以使用以下公式：θ = arctan(y/x)。
这个公式可以通过点P的坐标来计算出方位角θ的值。
需要注意的是，由于arctan函数的定义域是从-pi/2到pi/2，我们需要根据点P所在的象限来确定θ的值。
例如，如果点P在第二象限，那么θ = arctan(y/x) + π；如果点P在第三象限，那么θ = arctan(y/x) + π；如果点P在第四象限，那么θ = arctan(y/x) + 2π。
方位角在数学和物理学中有许多应用。
其中一个重要的应用是在导航系统中。
例如，在航海和航空领域，方位角被用来确定船舶或飞机相对于某个参考点的位置。
通过测量方位角，可以确定船舶或飞机与参考点之间的夹角，从而确定它们的相对位置。
这对于导航和定位非常重要。
另一个应用是在地理信息系统（GIS）中。
方位角被用来描述地图上的点相对于北方的位置。
通过测量方位角，可以确定一个地点相对于北方的方向，从而帮助人们导航和定位。
方位角还被用来计算两个地点之间的距离和方向，这对于规划路线和导航非常有用。
除了导航和地理信息系统，方位角还在机器人技术、天文学、建筑设计等领域有广泛的应用。
例如，在机器人技术中，方位角被用来控制机器人的移动方向和转向角度。
中考数学-锐角三角函数应用方位角与方向角问题
中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里 北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。