三角函数(四)方位角问题
一、复习巩固：
二、教学新课：
三、巩固练习：
高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数的基本关系
高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数 的基本关系 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-
同角三角函数的基本关系 【知识梳理】 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即 sin α cos α＝tan_α ? ?? ??其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 【例1】 (1)已知sin α＝12 13 ，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－4 5 ，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2 α＝1－sin 2 α＝1－? ????12132＝? ?? ??5132 ，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－ 513，tan α＝sin αcos α＝－125 . (2)sin 2 α＝1－cos 2 α＝1－? ????－452＝? ?? ??352 ， 因为cos α＝－4 5 <0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3 4；当α是第 三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3 4 .
【类题通法】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得 cos α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得 sin α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin α cos α ＝m?sin α＝ m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝± 1 1＋m2 ，sin α＝ ± m 1＋m2 的值． 【对点训练】 已知tan α＝ 4 3 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝ sin α cos α ＝ 4 3 ，得sin α＝ 4 3 cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得 16 9 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ 9 25 . 又α是第三象限角，故cos α＝－ 3 5 ，sin α＝ 4 3 cos α＝－ 4 5 . 题型二、化切求值 【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．
人教版必修四 同角三角函数的基本关系教案
1.2.2同角三角函数的基本关系（3） 教学目的： 知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明； 能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。 （2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．同角三角函数的基本关系式。 （1）倒数关系：sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?=，tan cot 1αα?=． （2）商数关系： sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα =． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=． （练习）已知tan α43=，求cos α 2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（ ）=1 二、讲解新课： 例82tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合。 =|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos | αα． 2tan α-=-， ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα +=， 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠． 所以，角α的集合为：{|k ααπ=或322,}22 k k k Z πππαπ+<<+∈． 例9．化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+． 解：原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα -+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=?=?112sin cos 2sin cos αααα-+?==?． 说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点： （1）所含三角函数的种类最少； （2）能求值（指准确值）尽量求值； （3）不含特殊角的三角函数值。 例10．求证： cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．
同角三角函数关系
1.2.2同角三角函数关系 教学目标： 1、掌握同角三角函数关系式； 2、能利用同角三角函数的基本关系进行简单的求值、化简和证明。 教学重点： 公式αα αααtan cos sin ,1cos sin 22==+的推导及其应用 教学难点： 由一个三角函数值求其它三角函数；选择适当的推理途径证明恒等式 教学过程： 活动一 ①由特殊角引入平方关系、商数关系； ②同角三角函数的基本关系： ▼平方关系：1cos sin 22=+αα ▼商数关系：)2 (,cos sin tan ππαααα+≠=k ③用定义证明上述二个公式。 活动二：能利用同角三角函数的基本关系进行简单的求值、化简和证明。 问题一：利用同角三角函数的关系求某个角的三角函数值。 例1：已知54sin = α，且α是第二象限角，求ααtan ,cos 的值。 例2：已知,5 12tan = α求ααcos ,sin 的值。
例3：已知,2tan =α求（1） ααααcos 9sin 4cos 3sin 2-- （2）αα22cos 3sin 2- 例4：已知2cos sin =+αα， 求（1）ααcos sin ，（2）αα22cos sin -。 问题二：利用同角三角函数的关系进行简单的化简。 例5、化简（1）,1sin 1tan 2-α α其中α是第二象限角。 （2）,cos 1cos 1cos 1cos 1α ααα-+++-其中α是第四象限角。 注：化简实际上也是一种恒等变形，通常要求化简的结果中，涉及的三角函数名称较少， 表达形式比较简单，特殊角的三角函数应求出它们的值 问题三：利用同角三角函数的关系进行简单的证明。 例6：求证： α αααsin cos 1cos 1sin -=+
(精心整理)同角三角函数基本关系式练习题
任意角的三角函数 1.已知sin α=45 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)4 3 (D)4 3- 2.若θ是第三象限角，且02 cos <θ，则2 θ是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限 3.设是第二象限角,则sin cos αα ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1- 4.若tan θ=3 1,π<θ<32 π,则sin θ·cos θ的值为 （ ） (A)±3 10 (B) 3 10 5 若α 是三角形的一个内角，且sin α+cos α=3 2 ,则三角形为 （ ） (A) 钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形 6.已知α的终边经过P （ππ6 5cos ,6 5sin ），则α可能是 （ ） A ．π6 5 B ． 6 π C ．3 π- D ．3 π 7．如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是 （ ） A ．)(] 22 ,22 [Z k k k ∈++-ππππ B ．)() 22 3,22 (Z k k k ∈++ππππ C ．)(] 22 3,22 [Z k k k ∈++ππππ D ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ 8.1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ） A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 9. 扇形的周期是16，圆心角是2弧度，则扇形面积是______________
三角函数的定义与同角三角函数关系
三角函数的定义与同角三角函数关系 一．知识内容： 1.在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.三角函数定义： 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于 点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝y x (x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三 角函数. 思考：使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合， 在终边上任取一点P ，PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .问角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 4.(1)三角函数的定义域，值域分别是： (2)正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号: 5.由定义观察同角三角函数之间的关系： 二．知识应用： 例1.利用定义求下列角的三角函数值：(1) 32π (2)67π (3)3 10π- 练：(1)若750°角的终边上有一点(4，a )，则a ＝________. (2)求下列各式的值.①cos 25π3＋tan(－15π4 )；②sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
例2.已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝ 10 10x，求sin θ，tan θ. 练1已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋ 3 cos α的值. 例3.(1)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. (2)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 练2(1)点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角. (2)若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B＜0，则此三角形必为() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能 例3.(1)已知cos α＝－8 17，求sin α，tan α的值.(2).已知tan α＝4 3且α为第三象限角， 求sin α，cos α的值. 练3(1)若sinα＝－4 5，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；(2)若cosα＝ 3 3，求 sinα，tanα的值； (3)若tanα＝－ 2 2，求sinα，cosα的值．
人教A版必修4同角三角函数的基本关系式练习及答案
§1.2.2 同角三角函数的基本关系式 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α=8 1,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） (A) 2 3 (B)4 3 (C)3 (D)± 2 3 3.设是第二象限角,则 2 sin 1 1cos sin ααα - ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1- 4.若tan θ= 3 1,π<θ<3 2π,则sin θ·cos θ的值为 （ ） (A)±3 10 (B) 3 10 10 (D)± 10 5.已知 sin cos 2sin 3cos αα αα-+=5 1,则tan α的值是 （ ） (A)±83 (B)83 (C)83- (D)无法确定 * 6.若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=3 2 ,则三角形为 （ ） (A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形 二.填空题 7.已知sin θ－cos θ=12 ,则sin 3θ－cos 3θ= ; 8.已知tan α=2,则2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α= ; 9.1cos 1cos 1cos 1cos αα αα +--+α为第四象限角）= ; * 10.已知cos (α+ 4π)=1 3 ,0<α<2π,则sin(α+4π)= . 三.解答题 11.若sin x = 35m m -+,cos x =425 m m -+,x ∈(2π,π),求tan x
必修4三角函数所有知识点归纳归纳
《三角函数》【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角： {}090αα<< 小于90的角：{}90αα< 5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 8、角度与弧度对应表： 9、弧长与面积计算公式
弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α 终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）
同角三角函数的基本关系教案
同角三角函数的基本关系 东宁县绥阳中学 教学目的： 知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关 系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函 数值的方法。 能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用 于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程： 一、复习引入： 1．任意角的三角函数定义： 设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为 (0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果5 3sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 二、讲解新课： （一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系） 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： （1）商数关系：α ααcon sin tan = （2）平方关系：1sin 22=+ααcon 说明： ①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 tan cot 1(,)2 k k Z πααα?=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、 变形用），如： cos α= 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα =等。 2．例题分析： 一、求值问题 例1．（1）已知12sin 13α= ，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． （2）已知4 cos 5α=-，求sin ,tan αα． 解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313 αα=-=-= 又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5cos 13 α=- ，从而 sin 12tan cos 5ααα==-， 15cot tan 12αα==- （2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=， 又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5 α=，sin 3tan cos 4 ααα==-； 当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==． 总结： 1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。 例2．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα．
同角三角函数的基本关系式_练习题
同角三角函数的基本关系式 练习题 1．若sin α＝4 5，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 2．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 3．若tan α＝2，则2sin α－cos α sin α＋2cos α的值为( ) A ．0 B.34 C ．1 D.5 4 4．若cos α＝－8 17 ，则sin α＝________，tan α＝________. 5．若α是第四象限的角，tan α＝－5 12 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513 6．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α 1－cos 2α 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 7、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 2 3 ,则这个三角形是 （ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．不等腰直角三角形 D ．等腰直角三角形 8、已知sin αcos α = 1 8 ,则cos α－sin α的值等于 （ ） A ．±3 4 B ．±23 C ．23 D ．－2 3 9、已知θ是第三象限角，且9 5 cos sin 4 4 = +θθ，则=θθcos sin （ ） A ． 32 B ． 32- C ． 3 1 D ． 31- 10、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么θθcot tan +的值是 （ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 11、若 2cos sin 2cos sin =-+α αα α，则=αtan （ ） A ．1 B ．- 1 C ．43 D ．3 4- 12．A 为三角形ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝12 25 ，则这个三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 13．已知tan θ＝2，则sin 2 θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43 B.54 C.－34 D.45 14．(tan x ＋cot x )cos 2x ＝( )
北师版新课标高中数学必修二教案《同角三角函数的基本关系》
《同角三角函数的基本关系》教学设计 与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是按照一切从定义出发的原则进行的，通过对基本关系的推导，应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵． 同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如sin 24π+cos 24π=1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ+2 ，k ∈Z ． 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根． 1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明． 2．同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用：（1）求值（知一求二）；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式．通过本节的学习，学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明． 3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法． 教学重点：课本的三个公式的推导及应用． 教学难点：课本的三个公式的推导及应用．
同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系： 平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式
同角三角函数的基本关系式_基础
同角三角函数基本关系 【要点梳理】 要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：22 sin cos 1αα+= (2)商数关系： sin tan cos ααα = (3)倒数关系：tan cot 1?=αα，sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?= 要点诠释： (1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立； (2)2sin α是2 (sin )α的简写； (3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。 要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±?=± 2．商数关系式的变形 sin sin cos tan cos tan αααααα =?= ，。 【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．若4sin 5 α=-，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值。 【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。 举一反三： 【变式1】已知3sin 5 α=- ，求cos α，tan α的值。 类型二：利用同角关系求值
例2．已知：tan cot 2,θθ+=求： （1）sin cos ?θθ的值；（2）sin cos θθ+的值； （3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值 【变式1】已知sin cos αα-= （1）tan α+cot α；（2）sin 3α－cos 3α。 例3．已知：1tan 2θ=- ，求： （1）sin cos sin 3cos θθθθ +-； （2）2212sin cos sin cos θθθθ +-； （3）222sin 3sin cos 5cos θθθθ--。 【总结升华】已知tan α的值，求关于sin α、cos α的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos α≠0，所以可用cos n α（n ∈N*）除之，将被求式转化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α=m 的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin 2α+b sin αcos α+c cos 2α的值，注意将分母的1化为1=sin 2α+cos 2α代入，转化为关于tan α的表达式后再求值。 举一反三： 【变式1】已知 tan 1tan 1 A A =--，求下列各式的值. (1)sin 3cos ;sin 9cos A A A A -+ (2)2 sin sin cos 2A A A ++
高中数学必修4三角函数常考题型同角三角函数的基本关系案
同角三角函数的基本关系 【知识梳理】 同角三角函数的基本关系 ()平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于.即α＋α＝. ()商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝α. 【常考题型】 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例】()已知α＝，并且α是第二象限角，求α和α. ()已知α＝－，求α和α. [解]()α＝－α＝－＝，又α是第二象限角，所以α<，α＝－，α＝＝－. ()α＝－α＝－＝， 因为α＝－<，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，α＝，α＝＝－；当α是第三象限角时，α＝－，α＝＝. 【类题通法】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 ()若已知α＝，可以先应用公式α＝±，求得α的值，再由公式α＝求得α的值． ()若已知α＝，可以先应用公式α＝±，求得α的值，再由公式α＝求得α的值． ()若已知α＝，可以应用公式α＝＝?α＝α及α＋α＝，求得α＝±，α＝±的值． 【对点训练】 已知α＝，且α是第三象限角，求α，α的值． 解：由α＝＝，得α＝α，① 又α＋α＝，② 由①②得α＋α＝，即α＝. 又α是第三象限角，故α＝－，α＝α＝－. 题型二、化切求值 【例】已知α＝，求下列各式的值． ()α－α α＋α)； ()α· α－αα－α)； ()α＋α. [解]()原式＝α－α＋)＝＝； ()原式＝α－－α)＝＝－； ()原式＝＝ ＝＝.
【类题通法】 化切求值的方法技巧 ()已知α＝，可以求或的值，将分子分母同除以α或α，化成关于α的式子，从而达到求值 的目的．()对于α＋αα＋α的求值，可看成分母是，利用＝α＋α进行代替后分子分母同时除以α，得 到关于α的式子，从而可以求值． 【对点训练】 已知α＝，求下列各式的值： ()； ()α－αα－α. 解：()＝＝＝－. ()α－αα－α ＝， 这时分子和分母均为关于α，α的二次齐次式． 因为α≠，所以分子和分母同除以α， 则α－αα－α＝＝＝. 题型三、化简三角函数式 【例】化简α，其中α是第二象限角． [解]因为α是第二象限角，所以α>，α<. 故α＝α ＝α＝· ＝· ＝－. 【类题通法】 三角函数式化简技巧 ()化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目 的．()对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．()对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造α＋α＝，以降低函数次数， 达到化简的目的． 【对点训练】 化简：()； () ，θ是第二象限角． 解：()＝＝＝θ.
同角三角函数的基本关系式练习
同角三角函数的基本关系式练习 一、选择题 1、),0(,5 4 cos παα∈=，则αcot 的值等于 （ ） A ． 3 4 B ．43 C ．3 4 ± D ． 4 3 ± 2、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 2 3 ,则这个三角形是 （ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．不等腰直角三角形 D ．等腰直角三角形 3、已知sin αcos α = 1 8 ,则cos α－sin α的值等于 （ ） A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－23 4、已知θ是第三象限角，且9 5 cos sin 44 =+θθ，则=θθcos sin （ ） A ． 32 B ． 32- C ． 3 1 D ． 31- 5、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么θθcot tan +的值是 （ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 6、若 2cos sin 2cos sin =-+α αα α，则=αtan （ ） A ．1 B ． - 1 C ． 4 3 D ．3 4- 7、已知 21cos sin 1-=+x x ，则 1sin cos -x x 的值是 A ． 21 B ． 2 1 - C ．2 D ．－2 8、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+ B ．51- C ．51± D ．51-- 二、填空题 1、若15tan =α，则=αcos ；=αsin ．
2、若3tan =α，则α αα α3 333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________． 3、已知 2cos sin cos sin =-+α αα α，则ααcos sin 的值为 ． 4、已知5 24cos ,53sin +-= +-=m m m m θθ，则m=_________；=αtan ． 三、解答题 1、：已知5 1 sin =α，求ααtan ,cos 的值． 2、已知22cos sin =+αα，求α α22cos 1sin 1+的值． 3、已知5 1 cos sin = +ββ，且πβ<<0． （1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；
(完整版)高中数学必修4三角函数知识点归纳总结【经典】(可编辑修改word版)
【知识网络】 《三角函数》 应用 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿 x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 { = + k 360?}(k ∈ Z ) x 轴上角：{= k 180 }(k ∈ Z ) y 轴上角：{= 90 + k 180 }(k ∈ Z ) 3、第一象限角： {0 + k 360? < < 90 + k 360?}(k ∈ Z ) 第二象限角： { 90 + k 360? << 180 + k 360?}(k ∈ Z )第三象限角：{180 + k 360? << 270 + k 360?}(k ∈ Z )第四象限角：{ 270 + k 360? << 360 + k 360?}(k ∈ Z ) 4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角 第一象限角：{ 0 + k 360? < < 90 + k 360?}(k ∈ Z ) 锐角： {0 << 90 } 小于90 的角： {< 90 } 5、若为第二象限角，那么 为第几象限角？ 2 + 2k ≤≤ + 2k + k ≤ ≤ + k 2 4 2 2 弧长公式 同角三角函数 的基本关系式 诱导 公式 应用 计算与化简 证明恒等式 应用 任意角的概念 角度制与 弧度制 任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 应用 已知三角函 数值求角 和角公式 应用 倍角公式 应用 差角公式 应用
x 2 + y 2 , k = 0, ≤≤ k = 1, 5 ≤ ≤ 3 4 2 4 2 所以 在第一、三象限 2 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：1? = 180 ≈ 0.01745 1 = 180? ≈ 57.30? = 57?18' 角度 0? 30? 45? 60? 90 120? 135? 150? 180? 360? 弧度 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 2 9、弧长与面积计算公式 弧长： l = ? R ；面积： S = 1 l ? R = 1 ? R 2 ，注意：这里的 均为弧度制. 2 2 二、任意角的三角函数 y x y 1、正弦： sin = ；余弦cos = r ；正切tan = r x 其中( x , y ) 为角终边上任意点坐标， r = . 2、三角函数值对应表： 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270? 360 弧度 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 0 1 tan 3 3 1 3 无 - 3 -1 - 3 3 0 无 0 ,
同角的三角函数的基本关系
同角的三角函数的基本关系 2.2同角的三角函数的基本关系 一、教学目标： ⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 二、教学重、难点 重点：公式及的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 及 ,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,
证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化． 【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线 ,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且 .由勾股定理由 ,因此 ,即 . 根据三角函数的定义,当时,有 . 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切. 【例题讲评】 例1化简： 解：原式 例2 已知 解： （注意象限、符号）
同角三角函数的基本关系式练习题
同角三角函数的基本关系式练习题 1．若sin α＝45 ，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 2．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( ) A ．0 B.34 C ．1 D.54 4．若cos α＝－817 ，则sin α＝________，tan α＝________. 5．若α是第四象限的角，tan α＝－512 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513 6．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 7、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 23 ,则这个三角形是 （ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．不等腰直角三角形 D ．等腰直角三角形
8、已知sin αcos α = 18 ,则cos α－sin α的值等于 （ ） A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－2 3 9、已知θ是第三象限角，且9 5cos sin 44=+θθ，则=θθcos sin （ ） A ． 32 B ． 32- C ． 3 1 D ． 31- 10、如果角θ满足2cos sin = +θθ,那么1tan tan θθ+的值是 （ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 11、若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan （ ） A ．1 B ．- 1 C ．43 D ．3 4- 12．A 为三角形ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝1225 ，则这个三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 13．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43 B.54 C.－34 D.45 14．(1tan tan x x +)cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．1tan x
人教版必修四同角三角函数的基本关系教案
1.2.2同角三角函数的基本关系（2） 教学目的： 知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明； 能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。 （2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．同角三角函数的基本关系式。 （1）倒数关系：sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?=，tan cot 1αα?=． （2）商数关系： sin tan cos ααα =，cos cot sin ααα=． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=． （练习）已知tan α43=，求cos α 2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（ ）=1 二、讲解新课： 例1．化简21sin 440-． 解：原式221sin (36080)1sin 80=-+=-2cos 80cos80==． 例2．化简12sin 40cos40-． 解：原式22sin 40cos 402sin 40cos40=+- 2(sin 40cos40)|cos40sin 40|cos40sin 40=-=-=-． 例3、已知α=αcos 2sin ，求 的值。及αα+αα+αα-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2 解：2tan cos 2sin =α∴α=α 6 11222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴ 5614241 tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222=++=+αα+α=α+ααα+α=αα+α 强调（指出）技巧：1?分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2?“化1法” 例4、已知3 3cos sin =α+α，求的值。及α-αα+αcos sin cot tan 解：将 33cos sin = α+α 两边平方，得：31cos sin -=αα