平面向量
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示 .注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0）2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与u A uu B r共线uuur的单位向量是u A u B ur ）；| AB|4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r、b r叫做平行向量，记作：a r∥b r，规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有r0）；④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r.举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B uru D u C u r，则ABCD是平行四边形 .（4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur.（5）若a r b r，b r c r，则a r c r.（6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如 a r ，b r ， c r 等；3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同 的两个单位向量 i r , r j 为基底，则平面内的任一向量 a r 可表示为 a r xi r y r j （x, y ） ，称 （ x, y ）为向量 a r 的坐标， a r （x, y ）叫做向量 a r 的坐标表示 .结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同.三、平面向量的基本定理定理 设e r 1,e r 2同一平面内的一组基底向量， a r 是该平面内任一向量， 则存在唯一实数对 （ 1, 2），使 a r 1e r 1 2e r 2.1）定理核心： a rλ1e r 1 λ2er 2；（2）从左向右看，是对向量 a r的分解，且表达式唯一；反之，是对向量 a r的合成 .（3）向量的正交分解：当 e r 1,e r 2时，就说 a r λ1r e 1 λ2r e 2为对向量 a r的正交分 解．举例 3 (1)若 a r(1,1)， b r(1, 1)， c r( 1,2) ，则 c r. 结果：1r 3 r a b.22(2)下列向量组中， 能作为平面内所有向量基底的是 B A. e r 1(0,0) ， e r 2(1, 2) B. r e 1( 1,2) ， e r 2(5,7) C. r e 1(3,5) ， e r 2(6,10)（1）模：| a r | | | |a r |；（2）方向：当 0时， a r 的方向与 a r 的方向相同，当D. e r 1(2, 3) ， 1, 3 ,24（3）已知u A u D ur ,u B u E ur分别是 可用向量 a r,b r表示为 . （4）已知 △ABC 中，点 值是 . 结果： 0 四、实数与向量的积 实数 与向量 a r 的积是 下： △ABC 的边 BC ，AC 上的中线 ,且 u A u D ura r4r a2果 结上 边B u u r Bu u u u ru u ru u u u r C u 的u u r u u 个向量，记作 a r ，它的长度和方向规定如方向与a r的方向相反，当0时，a r r0，注意：a r 0.五、平面向量的数量积1. 两个向量的夹角：对于非零向量a r，b r，）称为向量a r，b r的夹角. uuur r作OAa r，u ru u把r bAOB (0当 0时， a r ， b r 同向；当 时， a r ， b r 反向；当 2时，a r ，b r 垂直. 2. 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a r ， b r ，它们的夹角为 ， 我们把数量 | a r || b r | cos 叫做 a r 与b r 的数量积（或内积或点积） ，记作： a r b r ， 即 a r b r |a r | |b r |cos .规定：零向量与任一向量的数量积是 0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量 举例 4（1）△ ABC 中，| u A uu B r| 3 ，|u A uu C r| 4 ，|u B u C ur| 5 ，则 9.uuur uuur AB BC果：结果：2）已知a r1,21，b r0, 12，c ra rkb r，d ra rb r，c r与d r的夹角为 4，则k1. 3）已知 |a r| 2，|b r| 5， a rb r3，则 |a rb r| ___ . 结果： 23. 4）已知 ra, rb 是两个非零向量，且| a r| |b r| |a rb r|，则a r与a rb r的夹角为 30o . 结果： 3.向量b r 在向量 a r上的投影： |b r | cos ，它是一个实数，但不一定大于 0. 举例 5 已知|a r| 3，|b r| 5，且 a rb r12 ，则向量 a r在向量 b r上的投影为 ___ . 结果： 152.54. a r b r 的几何意义 ：数量积 a r b r 等于a r 的模|a r |与b r 在a r 上的投影的积 .5. 向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a r ， （ 1） a r b a r b 0 ； （2）当 a r 、 b 同向时， a r b |a r | |b|，特别地， a r b r |a r | | b r |是a r 、 b r同向的充要分条件 ； 当a r 、 b r 反向时， a r b r |a r | |b r |，a r b r |a r | 件； 当 为锐角时， a r b r 0，且 a r 、b r 不同向， 充分条件 ； 当 为钝角时， a r b r 0 ，且 a r 、 b r 不反向； 充分条件 .（3）非零向量 a r ， b r 夹角b r ，其夹角为 ，则：a r 2|b r |是a r 、 b r 反向的充要分条 ab ab 的计算公式： cos 0 是 为锐角的 必要不 0 是 为钝角的 必要不 | a r a ||b b r | ；④ a r b r |a r ||b r | . 举例 6 取值范1）已知 a r（ ,2 ） ， b r（3 ,2） ，如果 a r与b r的夹角为锐角，则 的 3或 0且 3；(2)已知△OFQ 的面积为 S ，且u O u F ur u F u Q ur 1，若12 S 23，则u O u F ur， u F u Q ur夹角的 取值范围是 _____ . 结果： 4, 3；43①用 k 表示 a rb r；②求 a rb r的最小值，并求此时 a r与b r的夹角 的大小. 结果：① a rb r k 4k 1(k 0) ；②最小值为 12， 60o. 六、向量的运算1. 几何运算 (1)向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则 . r 运算形式：若 u A uu B r a r ， u B uu C r b r ，则向量u A uu C r 叫做 a r与b 的和，即 r r uuur uuur uuur a b AB BC AC ；作图：略 . 注：平行四边形法则只适用于不共线的向量 .(2)向量的减法 运算法则：三角形法则 . 运算形式：若 u A uu B r a r ， u A u C ur b r ，则 a r b r u A u B ur u A uu C r C uu A ur ，即由减向量的终 点指向被减向量的终点 .作图：略 .注：减向量与被减向量的起点相同 .举例 7( 1)化简：①u A u B uru B u C urC uuD ur；② u A uu B ru A u D uru D uu C ur；③uuur uuur uuur uuur uuur uuur r (AB CD) (AC BD) . 结果：① AD ；② CB ；③ 0；(2)若正方形 ABCD 的边长为 1，u A u B ura r，u B u C urb r，u A u C ur rc ，则 |a rb rc r|.结果： 2 2 ；(3)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足 O uu B urO uu C ur u O u B urO uu C ur2u O u A ur，则△ABC 的 形状为 . 结果：直角三角形；( 4)若 D 为 △ ABC 的边 BC 的中点， △ ABC 所在平面内有一点 P ，满足 u P u A ur u B u P urC uu P ur r0，设 || u u PAu u DuP ur r || ，则 的值为 . 结果：2；(5)若点O 是 △ABC 的外心，且 u O u A ur u O uu B r u C uu O r r0 ，则△ABC 的内角 C 为 . 结果： 120o.2. 坐标运算 ：设 a r (x 1,y 1) ，b (x 2,y 2) ，则(1)向量的加减法运算 ：a r b (x 1 x 2,y 1 y 2)，a r b (x 1 x 2,y 1 y 2) . 举例 8 (1)已知3)已知 a r(cos x,sin x) ， rb (cos y,sin y) ，且满足 |k ra b | 3|a rkb|其中 k 0 )点A(2,3) ，B(5,4) ，C(7,10) ，若u A uu P r u A uu B ru A uu C r( R) ，则当 ______ 时，点P在第一、三象限的角平分线上 . 结果：21；(2)已知 A(2,3) ， B(1,4) ，且21 u A u B ur (sin x,cos y)， x, y ( 2,2)，则 x y . 结 果： 6 或2；(3)已知作用在点 A(1,1)的三个力 F 1(3,4) ，F 2(2, 5) ， F 3(3,1) ，则合力 F u r u Fur 1u F ur 2 u F ur 3的终点坐标是 . 结果： (9,1) .(2)实数与向量的积 ： a r (x 1,y 1) ( x 1, y 1).(3)若 A(x 1, y 1) ， B(x 2, y 2) ，则 u A u B ur (x 2 x 1,y 2 y 1) ，即一个向量的坐标等 于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 .举例 9 设A(2,3) ， B( 1,5) ，且 u A uu C r 13u A u B ur， u A u D ur 3u A u B ur，则 C,D 的坐标分别是3举例 10 已知向量 a r(sin x,cos x ) ， b (sin x ,sin x) ， c r( 1,0) .(1)若 x 3，求向量 a r、 c r的夹角；3(2)若x [38 , 4]，函数 f(x) a rb r的最大值为 12，求 的值.结果：(1)150o；8 4 22) 21或 2 1.5)向量的模 ： a r2 |a r |2 x 2 y 2 |a r | x 2 y 2 . 举例 11 已知 a r ,b r 均为单位向量，它们的夹角为 . 结果： 13 .位向量，则 P 点斜坐标为 (x,y) .1)若点 P 的斜坐标为 (2, 2) ，求 P 到 O 的距离 |PO| ；2)求以O 为圆心， 1为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程.结果：( 1) 2；(2) x 2y 2xy 1 0 . 七、向量的运算律 1. 交换律： a r 2. 结合律： a r 3. 分配律： ( r b rr arr a)r b rr a r a rr a r c )r br b r( r b r b( r ar ) r b r r a(r r 举例 13 给出下列命题：ar (b c r ) a r b a r c r a r (b c r ) (a r b) c r结果： (1,131),( 7,9).4)平面向量数量积yxx r b60o，那么 |a r3b r|6)两点间的距离 ：若 A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2)，则|AB| (x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2 . 举例 12 如图，在平面斜坐标系 于斜坐标系 的斜坐标是这样定义的：若 u O u P urxe r 1方向的单 xOy 中， xOy 60o，平y 面上任一点 P关ye r 2，其中 e r 1,e r 2分别为60o与 x 轴、④ 若a rb r0，则 a r0r或b r r0；⑤若 a r b r c rb r则a r c r；⑥ |a r |2 a r 2；⑦ ar a r2bb a r ； ⑧ (a rb r )2 a r 2 b r 2；⑨ (a rb r )2 a r 22a rb rb r 2. 其中正确的是 . 结果：①⑥⑨ . 说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个 向量等式， 可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数， 两边同时取模， 两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一 个向量，切记两向量不能相除 ( 相约) ； (2)向量的“乘法”不满足结合律，即 八、向量平行 (共线) 的充要条件 a r //b a r b (a r b)2 (|a r ||b|)2 举例 14 (1) 若向量 a r (x,1) ， 相同. 结果： 2. ( 2)已知 a r (1,1) ，b (4,x) ，u r果：4. uuur uuur (3)设 PA ( k,12) ， PB (4,5) ， 果： 2 或 11. 九、向量垂直的充要条件0. (4,x) ，当 x x 1 y 2 y 1 x 2r br br rrb ar r 2b ， uu urPC r v ar (b c r) (a rb) c r，为什么？ 时， a r 与b r共线且方向 2a r b ，且 u r //v r，则 x(10, k) ， 则k时， A,B,C 共线 . y 1 y 2 0.|AB AC AB AC特别地 uuur uuuruuur uuur .|AB | |AC | |AB | | AC |举例 15 (1)已知 u O u A ur( 1,2) ，O uu B ur(3,m) ， (2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 B 的坐标是 .结果： (1,3) 或( 3，－1))； (3)已知 n r(a,b)向量 n rm r，且|n r| |m r| ，则m r的坐标是 ( b,a) . 十、线段的定比分点1. 定义：设点 P 是直线 P 1P 2上异于 P 1、 P 2的任意一点，若存在一个实 数 ，使 u P u 1P ur u P u P ur 2 ，则实数 叫做点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比 ， P 点叫 做有向线段 u P u 1u P ur 2的以定比为 的定比分点 . 2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系 (1) P 内分线段 P 1P 2 ，即点P 在线段 P 1P 2上 0； (2) P 外分线段 u P u 1u P u 2r 时，①点 P 在线段 P 1P 2的延长线上 P 在线段 P 1P 2的反向延长线上 1 0.x 1x 2 uuuruuur uuur 若OA OB ，则 m. 结果： OAB ， B 90 ，则点 32； 结果： (b, a)或1，②点比为 1.举例 16 若点 P 分u A u B ur所成的比为 43，则 A 分u B u P ur所成的比为 .结果： 73.33. 线段的定比分点坐标公式 ：设 P 1(x 1, y 1) ， P 2( x 2, y 2) ，点P(x, y)分有向线段 u P u 1u P u 2r 所成的比为 ，则定比分x 1 x 21 y 1 y 2x 1时，就得到线段 P 1P 2的中点坐标公式y说明：(1) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标 . (2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和 终点，并根据这些点确定对应的定比举例 17 (1)若 M( 3, 2) ，N(6, 1)，且 结果： ( 6, 37) ；3(2)已知 A(a,0) ， B(3,2 a)，直线 y 1ax 与线段 AB 交于M ，且u A u M uur 2u M uu B ur，则 a r. 结果：２或 4 .十一、平移公式如果点 P(x,y)按向量 a r (h,k) 平移至 P(x,y) ，则 x x h,；曲线 f(x,y) 0按 y y k.向量 a r (h,k) 平移得曲线 f(x h,y k) 0.说明：( 1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？( 2) 向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18 (1)按向量 a r 把(2, 3)平移到(1, 2) ，则按向量 a r把点( 7,2)平 移到点 ________ . 结果： ( 8,3) ；(2)函数 y sin 2x 的图象按向量 a r平移后，所得函数的解析式是点坐标公式为特别地，当1).x 1 x 2 , 2 y 1 y 2 .2 在使用定比分点的坐标公式时， 应明确 (x,y) ，(x 1,y 1)、(x 2,y 2)13uM uuN ur，则点 P 的坐标为 uuu ury cos2x 1 ，则a r _________ . 结果：( ,1) .4 十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：|a r| |b r| |a r b r| |a r| |b r|.(1)右边等号成立条件： (2)左边等号成立条件： (3)当 a r 、b r 不共线 |a r | 3. 三角形重心公式在 △ABC 中，若 A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2) ， C(x 3,y 3) ，则其重 心的 坐标为举例 19 若△ABC 的三边的中点分别为 心的坐标为 . 结果： 32,34.335. 三角形“三心”的向量表示G 为△ ABC 的重心，特别地 u P uu A r u P u Bur u P u C ur 0r G为△ ABC 的重心 .uuur uuur uuur uuur uuur uuur(2)PA PB PB PC PC PA P 为△ ABC 的垂心 .uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur( 3 ) |AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 P 为 △ ABC 的 内 心 ； 向 量 uuur uuur uu A u B ur uu A u C ur ( 0)所在直线过 △ ABC 的内心. |AB | | AC |6.点 P 分有向线段 u P 1uu P ur 2所成的比 向量形式设点 P 分有向线段 P 1P 2所成的比为 ，若 M 为平面内的任一点，则 uuuur uuuur uuuur uuuur u M uu P r MP 1MP 2，特别地 P 为有向线段 u P u 1u P ur 2的中点 u M uu P r MP 1MP 2. 127. 向 量 u P u A ur ,u P u B ur ,u P u C ur 中三终 点 A,B,C 共线 存 在实数 , ，使得 uuuruuur uuur PA PB PC 且1．举例 20 平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) ，B( 1,3)， 若点 C满足 OC 1OA 2OB ,其中 1, 2R 且 1 21, 则点 C 的轨迹是 . 结 果：直线 AB .a r 、b 同向或a r 、b a r 、b r 反向或r rr rrG(x 1 x 2 x 3 3y 1y 2y 3 ) 3)A(2,1) 、B( 3,4)、C( 1, 1)，则 △ ABC 的重 uuur 1 uuur uuur uuur1) PG (PA PB PC)r。
平面向量概念
平面向量概念
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
它由两个分量表示，分别是水平方向和垂直方向的分量。
平面上的向量一般用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的大小通常用模表示，用两个竖线表示，例如，向量a的模可以表示为|a|。
向量的方向有两种表示方法，一种是用与水平轴的夹角表示，另一种是用坐标轴上的分量表示，通常用点(x, y)表示。
平面向量有一些基本运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
数乘是指将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
点乘是指将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个数字。
平面向量有一些重要的性质和定理，比如平行四边形法则、向量的模长和向量的夹角等。
这些性质和定理在解决几何、物理等问题时非常有用。
平面向量在数学中的应用非常广泛，包括几何、力学、电磁学等。
它们可以描述物体的位移、速度、加速度等物理量，也可以用来研究几何图形的性质和变换。
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
(完整版)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
高中数学-公式-平面向量
平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。
〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
平面向量知识点总结
平面向量知识点总结平面向量是二维空间中的向量，它在数学中有着广泛的应用。
在平面向量的研究中，我们需要了解平面向量的定义、运算法则、坐标表示、线性相关与线性无关、向量的模和方向、向量的投影、平行四边形法则、平面向量的夹角、向量的数量积等内容。
本文将对这些内容进行详细的总结，以帮助读者更好地理解平面向量的相关知识。
1. 定义：平面向量是一个具有大小和方向的量。
它可以用一个有向线段来表示，也可以用它的坐标来表示。
平面向量的定义包括初始点和终点，表示为AB。
2. 运算法则：平面向量有加法和数乘两种运算方式。
向量的加法规则是将两个向量的横纵坐标分别相加，得到一个新的向量。
向量的数乘规则是将向量的横纵坐标分别与给定的实数相乘，得到一个新的向量。
3. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即用其横纵坐标表示向量的位置。
设向量AB的坐标为(a, b)，则向量AB的终点的坐标为(A.x + a, A.y + b)，其中A.x和A.y分别为点A 的横纵坐标。
4. 线性相关与线性无关：若存在一组实数k1, k2, ... , kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则向量组V1, V2, ... , Vn是线性相关的。
否则，向量组V1, V2, ... , Vn是线性无关的。
线性无关的向量组在平面向量的研究中具有重要的作用。
5. 向量的模和方向：向量的模表示向量的大小，即向量的长度。
向量的方向表示向量的朝向，即向量的角度。
向量的模可以用勾股定理计算，即v的模等于√(x^2 + y^2)，其中x 和y分别为向量v的横纵坐标。
6. 向量的投影：向量的投影指的是一个向量在另一个向量上的投影长度。
设向量A在向量B上的投影为P，且向量A 和向量B的夹角为θ，则投影P的长度等于A在B上的模乘以cosθ。
7. 平行四边形法则：平行四边形法则是用来计算两个向量的和的规则。
根据平行四边形法则，两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。
平面向量基础知识
平面向量一、平面向量的基本概念㈠、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母AB 表示.（AB 的大小──长度称为向量的模，记作|AB|. ）3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.4.向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.5、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.6、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：⑴综合①、②才是平行向量的完整定义；⑵向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.7、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：⑴向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 8、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）. 说明：⑴平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；⑵共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、 向量的加法与减法1、位移问题：①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=②某人从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=④船速为AB，水速为BC ，则船单位时间内的位移：AB BC AC +=2、向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
什么是平面向量
什么是平面向量平面向量是代数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
平面向量可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量，具有方向和大小两个特征。
一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数组成的有序对，记作AB→，其中A、B 表示平面上的两个点，→表示有向线段。
实数称为平面向量的坐标或分量，可以用来表示向量在坐标轴上的投影。
二、平面向量的表示平面向量可以用坐标轴上的点表示，也可以用向量的坐标表示。
以直角坐标系为例，设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，那么平面向量AB→的向量坐标为{(x2-x1), (y2-y1)}。
三、平面向量的运算1. 加法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的和为AB→ +CD→ = AD→。
即向量的加法满足“三角形法则”。
2. 数乘：设有平面向量AB→，实数k，则kAB→ = BA→。
即向量的数乘改变了向量的方向或长度。
3. 减法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的差为AB→ - CD→ = AD→。
即向量的减法可以看作是加法和数乘的结合。
四、平面向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和等于该向量本身。
2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 共线向量：若两个向量在同一直线上，则它们是共线向量。
4. 相等向量：若两个向量的方向和长度相等，则它们是相等向量。
5. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过将一个非零向量除以它的模长得到。
五、平面向量的应用平面向量在几何学中被广泛应用，例如求向量的模长、向量的夹角、向量的投影等。
在物理学中，平面向量可用于描述力的大小和方向，在工程学中，平面向量可用于描述力的分解和合成等问题。
总结：平面向量是由两个有序实数组成的有序对，具有方向和大小两个特征。
它可以用坐标轴上的点或向量的坐标来表示。
平面向量的运算包括加法、数乘和减法，满足相应的运算规律。
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
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回扣验收特训（三） 平面向量
1.如图所示，在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→
＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP ―→
＝( )
A.12a ＋1
2b B.13a ＋2
3b C.27a ＋47
b D.47a ＋27
b 解析：选C 连接BP ，则AP ―→＝AC ―→＋CP ―→＝b ＋PR ―→
， ① AP ―→＝AB ―→＋BP ―→＝a ＋RP ―→－RB ―→. ② 由①＋②，得2AP ―→＝a ＋b －RB ―→
.
③ 又RB ―→＝12QB ―→＝12(AB ―→－AQ ―→)＝1
2⎝⎛⎭⎫a －12 AP ―→ ，
④
将④代入③，得2AP ―→
＝a ＋b －12⎝⎛⎭⎫a －12 AP ―→ ，
解得AP ―→＝27a ＋4
7
b .
2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2
D. 5
解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D. 3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)
D ．(－6,3)
解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以
λ＝－3，b ＝(3，－6)．
4．已知平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，|a －b |＝x ，a ·b ＝－38x ，则x ＝( )
A. 3 B ．2 C. 5
D ．3
解析：选B |a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝x 2，两式相减得4a ·b ＝1－x 2.又a ·b ＝－38x ，所以1－x 2＝－32x ，解得x ＝2或x ＝－12
(舍去)．故选B.
5．在△ABC 中，(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→
|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选C 由(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，得AC ―→·(BC ―→＋BA ―→－AC ―→)＝0，即AC ―→·(BC ―→＋BA ―→＋CA ―→)＝0，∴2AC ―→·BA ―→＝0，∴AC ―→⊥BA ―→，∴A ＝90°.故选C.
6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )
A ．6或 3
B ．6或 2 C. 2
D ．6
解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.
当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－3
2
， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝⎛⎭⎫－1－3－3
2＝3， ∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.
7．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.
又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2. 答案：－2
8．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6.
答案：－6
9．已知向量OA ―→＝(1,7)，OB ―→
＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那
么MA ―→·MB ―→的最小值是________．
解析：设M ⎝⎛⎭⎫x ，12x ，则MA ―→＝⎝⎛⎭⎫1－x ，7－12x ，MB ―→＝⎝⎛⎭⎫5－x ，1－12x ，MA ―→·MB ―→
＝(1－x )(5－x )＋⎝⎛⎭⎫7－12x ⎝⎛⎭⎫1－12x ＝54
(x －4)2－8.所以当x ＝4时，MA ―→·MB ―→ 取得最小值－8. 答案：－8
10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.
解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61， 即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.
(2)|a ＋b |＝
a 2＋2a ·
b ＋b 2＝
16＋2×(－6)＋9＝13.
11．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |，其中k >0. (1)用k 表示a ·b ；
(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a ，b 的夹角．
解：(1)将|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方，得|ka ＋b |2＝(3|a －kb |)2，k 2a 2＋b 2＋2ka ·b ＝3(a 2
＋k 2b 2－2ka ·b )，
∴8ka ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2， a ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2
8k
.
∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a 2＝1，b 2＝1，∴a ·b ＝3－k 2＋3k 2－18k ＝k 2＋1
4k
.
(2)∵k 2＋1≥2k (当且仅当k ＝1时等号成立)，即k 2＋14k ≥2k 4k ＝12，∴a ·b 的最小值为1
2
.
设a，b的夹角为γ，则a·b＝|a||b|cos γ.
＝1×1×cos γ，
又|a|＝|b|＝1，∴1
2
∴γ＝60°，即当a·b取最小值时，a与b的夹角为60°.
12．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们两两之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求实数k的取值范围．
解：(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|·cos 120°＝0，
∴(a－b)⊥c.
(2)∵|ka＋b＋c|>1，∴(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
∴k2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1.
∴k2－2k>0，解得k<0或k>2.
∴实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．。