某高校《高等几何》期末考试试卷含答案
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是欧几里得几何的公理？A. 两点之间线段最短B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 任意两条直线都相交D. 圆的周长与直径的比值是一个常数答案：B2. 球面上的最短路径是：A. 直线B. 曲线C. 大圆D. 任意路径答案：C3. 以下哪个定理是球面几何中的定理？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 球面三角形的内角和大于180度D. 三角形内角和等于180度答案：C4. 以下哪个选项是双曲几何的特征？A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行C. 过直线外一点没有直线与已知直线平行D. 过直线外一点有一条直线与已知直线平行答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在欧几里得几何中，一个平面上任意两个点确定一条________。
答案：直线2. 球面几何中，球面上的两点之间的最短路径称为________。
答案：大圆3. 在双曲几何中，过直线外一点可以画出________条直线与已知直线平行。
答案：无数4. 根据球面几何的性质，球面上的三角形内角和________180度。
答案：大于三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在球面几何中，任意两个大圆的交点最多有两个。
证明：假设球面上有两个大圆A和B，它们相交于点P和Q。
如果存在第三个交点R，则R必须位于大圆A和B上。
由于大圆A和B是球面上的最短路径，它们在球面上的交点必须是球面上的最短路径的端点，因此R不可能存在。
因此，任意两个大圆的交点最多有两个。
答案：证明完毕。
2. 已知球面上的三角形ABC，其内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=180°+ε，其中ε为正数。
求证：三角形ABC的边长之和小于球面上的任意其他三角形的边长之和。
证明：设球面上的任意其他三角形为DEF，其内角分别为α'、β'、γ'。
高等几何试卷及答案
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟)一、填空题(2分⨯12=24分)1平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ,则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -19、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有:1233,'x xx x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得,2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。
(10分)证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ''I AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
2010-2011上学期《高等几何》期末考试试卷(A卷)
试卷代码：1110101801曲 靖 师 范 学 院2010─2011学年第一学期数学与应用数学专业 20071111、20071112、20071113、20071114班《高等几何》期末考试试卷(A 卷)任课教师：崔萍 负责人： （签字）注意：1．本试卷共7 页，请考生仔细检查，有错、漏、破烂及时报告监考教师更换。
2．考生班级、学号和姓名必须写在指定地点。
3．考试形式：闭卷；考试时间：120分钟。
一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．在拓广的欧氏平面上，原点的齐次坐标方程为 ，x 轴上的无穷远点的坐标为 . 2．无穷远线的方程是 . 3．通过每一个虚点有 条实直线.4．直线1233420x x x -+=上的无穷远点的坐标是 . 5．点（－3，0，2）的齐次线坐标方程是 .6．已知共线四点(1,1,1)A -、(1,1,1)B -、(0,1,0)C 、(2,4,2)D -，则交比),(CD AB ＝ .7．已知交比1234(,)7PP P P =，则交比),(2341P P P P＝ . 班级____________________ 学号____________________ 姓名____________________ ----------------------------------------密----------------------------------------封----------------------------------------线--------------------------------------8．直线（1，2-3i，－1）上的实点坐标是 . 9．用次透视仿射，可把△ABC变为△CAB.10．已知一个对合对应的二重元素为11S=-，22S=，则这个对合对应式为 .二、简答题（共4小题，第1、2、3题，每小题3分，第4题，6分，满分15分）1．仿射变换会不会把凸四边形变成凹四边形？为什么？2．线束交比的几何意义是什么？3．写出：“完全四点形的三双对边，被不通过任一顶点的一直线所截，所得三个点偶，是一个对合对应中的三个点偶”的对偶命题.4．下列概念：（1）二次曲线；（2）平行四边形；（3）直角三角形；（4）无穷远线；（5）正方形；（6）完全四线形；（7）对偶原理；（8）圆；（9）三角形的重心；（10）非平行线段的相等；（11）配极对应；（12）中心对称．哪些属于射影几何？哪些属于仿射几何？哪些专属欧氏几何？（只需写出编号）.三、计算证明题（共6小题，每小题8分，满分48分）1．求射影变换1132233352x x x x x x x xρρρ-'=⎧⎪'=+⎨⎪'=⎩的二重元素.2．给定二次曲线C ：22650x xy x -++=，求P （2，－1）关于C 的极线方程.3．已知二次曲线Γ通过A （1，0，0）、B （0，1，0）、C （0，0，1），并且点D（－1，1，－1）关于这条二次曲线的极线方程为1233270x x x -+-=，求这条二次曲线的方程.4．求射影对应，使点列l 上的三点3,1,2对应于点列'l 上三点3,1,2---.班级____________________ 学号____________________ 姓名____________________ ----------------------------------------密----------------------------------------封----------------------------------------线--------------------------------5．用高等几何方法证明：三角形的三中线共点.6．用高等几何知识证明：梯形两底中点，两对角线交点，两腰（所在直线）交点这四点共线.班级____________________ 学号____________________ 姓名____________________ ----------------------------------------密----------------------------------------封----------------------------------------线--------------------------------------四、作图题（共4小题，第1、2、3题，每小题4分，第4题，5分，满分17分）1．作出下列图形的对偶图形（不写作法，但标上相应字母）.2．在BB A A '-'-两对点决定的对合对应中，作C 点的对应点C '。
学历自考模拟试卷(专升本)《高等几何》期末考试试卷【附答案】
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………5.（ B.1C.装订线内不许答题15.（）.A.B.C.D.16.（）.A. B.C.D.17.（）.A.B.C.D.18.（）.A.B.1C.D.19.()A. B.C.D.20.() A.B.C. D.二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30.0分）21.直线=22.已知OX 轴上的射影变换式为，则原点的对应点为23.求射影变换的自对应元素的参数24.过点的实直线的齐次方程为25.ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则A（BC,DE）=26.平行四边形的仿射对应图形为27.两个线束点列成透视的充要条件是28.已知29.求点（1，-1，0）关于二阶曲线的极线方程30.直线上无穷远点坐标为三、问答题（本题共3小题，每题10.0分，共30.0分）1.求通过平面4x－y＋3z－1＝0与x＋5y－z＋2＝0的交线且与平面垂直的平面方程(10.0分)2.（10分）3.试求L1与L2间的距离与它们的公垂线方程。
（10分）得分评卷人得分评卷人高等几何参考一、1-10 DACAD CACAD 11-20 BBBCB DDDDD二、填空1.答案：1.2.答案：-1/3. 3.答案：1.4.答案：.5.答案：-1.6.答案：平行四边形7.答案：底的交点自应8.答案：3,-29.答案：. 10.答案：(5,-1,0)三、1.2.3.。
西南大学网络教育[0464]《高等几何》期末考试复习题及参考答案
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[0464]《高等几何》一、计算题(5题，共70分)1.经过A(-3，2)和B(6，1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P 点，求简比(ABP). (10分)解:设AP PB =λ，则点P 的坐标为P （361－＋λ＋λ，21＋λ＋λ），因为点P 在直线x ＋3y －6＝0上，所以有361－＋λ＋λ+3（21＋λ＋λ）－6=0 ,有1=λ,1)(-=-=λABP . 2.从原点向圆（x －2）2+(y －2)2=1作切线t 1, t 2。
试求x 轴，y 轴，t 1, t 2顺这次序的交比. (10分)解:设直线y=kx 与圆相切,则12212+-=k k ,两边平方得到03832=+-k k ,3742,1±=k 因此1t 的方程为0374=--x y ,2t 的方程为0374=+-x y ,故7474),(21+-=t t xy .3.求射影变换⎪⎩⎪⎨⎧='+='+='33322211ax x x ax x x ax x ρρρ的固定元素.(15分) 解：射影变换的特征方程是100010001--+λλλ=0，即1=λ或1-=λ把1=λ代人方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+0)1(0)1(0)1(321x x x λλλ,解得不变点是一条直线01=x把1-=λ代入上述方程组，解得不变点(1,0,0).把1=λ代人方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+0)1(0)1(0)1(321u u u λλλ,解得不变直线是过(1,0,0)的所有直线..把1-=λ代入上述方程组，解得不变直线01=x4.已知二阶曲线（C ）：221121332460x x x x x x +++=(1)求点(1,2,1)P 关于曲线的极线(2)求直线123360x x x -+=关于曲线的极点. (20分)解：(1)二阶曲线221121332460x x x x x x +++=的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103002322点(1,2,1)P 关于曲线的极线方程是(1,2,1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103002322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =0,即0429321=++x x x(2)设直线123360x x x -+=关于曲线的极点为(a,b,c),则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-613ρ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103002322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a ，解得a=2,b=-30,c=37.所求极点是(2,-30,37)。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知直线l的方程为Ax+By+C=0，直线m的方程为Dx+Ey+F=0，若l与m平行，则以下哪个条件成立？A. A/D = B/E ≠ C/FB. A/D = B/E = C/FC. A/D = B/E ≠ C/FD. A/D ≠ B/E = C/F答案：A2. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β垂直，则以下哪个条件成立？A. AE + BF + CG = 0B. AE + BF + CG ≠ 0C. AE + BF + CG = D + HD. AE + BF + CG = D - H答案：A3. 已知点P(x1, y1, z1)在平面α：Ax+By+Cz+D=0上，则以下哪个条件成立？A. Ax1+By1+Cz1+D=0B. Ax1+By1+Cz1+D≠0C. Ax1+By1+Cz1+D>0D. Ax1+By1+Cz1+D<0答案：A4. 已知直线l的参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、c为直线的方向向量，若直线l与平面α：Ax+By+Cz+D=0平行，则以下哪个条件成立？A. Aa+Bb+Cc=0B. Aa+Bb+Cc≠0C. Aa+Bb+Cc=DD. Aa+Bb+Cc=-D答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知直线l的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线m的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若l与m相交，则它们的交点坐标为__________。
答案：（(BF-CE)/(AF-CD), (AG-CF)/(AF-CD), (AE-BF)/(AF-CD)）6. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β相交，则它们的交线方程为__________。
答案：(Ax+By+Cz+D)(EF-GH) - (Ex+Fy+Gz+H)(AF-CD) = 07. 已知点P(x1, y1, z1)到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则d=__________。
大学几何学考试题及答案
大学几何学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在欧几里得几何中，下列哪个命题不是欧几里得的公理之一？A. 直线可以无限延伸B. 任何两个点可以通过一条直线连接C. 所有直角都相等D. 任何一条直线可以绕其上一点旋转360度答案：D2. 如果一个三角形的三个内角之和不是180度，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 非欧几里得三角形答案：D3. 在一个正方形中，对角线的长度与边长的比例是：A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A4. 下列哪个几何形状具有无限多的对称轴？A. 圆形B. 正方形C. 等边三角形D. 长方形答案：A5. 如果一个几何体的顶点数是V，面数是F，边数是E，那么欧拉公式是：A. V + F = EB. V - E + F = 1C. E = V + FD. F = V - E答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 在一个正六边形中，每个内角的度数是______。
答案：120°7. 勾股定理的数学表达式是：在直角三角形中，直角边的平方和等于______。
答案：斜边的平方8. 一个球体的体积公式是V = (4/3)πr³，其中r是球体的______。
答案：半径9. 如果一个几何体的顶点数是8，面数是6，那么根据欧拉公式，它的边数是______。
答案：1210. 在笛卡尔坐标系中，两点之间的距离公式是 d = √[(x₂ -x₁)² + (y₂ - y₁)²]，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是这两点的坐标。
如果这两点的坐标相同，那么它们之间的距离是______。
答案：0三、解答题（共75分）11. （15分）证明：在一个圆中，垂直于弦的直径平分这条弦。
证明：设圆心为O，弦为AB，直径为CD，其中C为AO的中点，D为BO的中点。
我们需要证明AD = BD。
由于C和D分别是AO和BO的中点，根据中点定理，AC = CD = BD。
高等几何试卷与答案
《高等几何》考试试题 A 卷（ 120 分钟）题号一二三四五六七八合计分数2410101010121212100得分一、填空题（ 2 分12=24 分）1、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形；2、直线 x15x20 上无穷远点坐标为：（5，-1，0）3、已知 (l1l 2 , l 3l 4 ) 3 ,则 (l 4l 3 , l 2 l1 )3(l1l 3 , l 2 l 4 )-24、过点 A(1,i,2)的实直线的齐次方程为： 2 x1 x305、方程 u125u1u26u220 表示的图形坐标（1,2,0）（ 1,3,0）6、已知OX轴上的射影变换式为x'2x 1，则原点的对应点-1x337、求点(1, 1,0)关于二阶曲线 3x125x22x327x1 x24x1x35x2 x30 的极线方程x13x26x308、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，则A( BC, DE ) = -19、一点列到自身的两射影变换a）：1 2 ， 2 3 ， 3 4 ；b）： 0 1 ， 2 3 ，1 0 其中为对合的是：b10、求射影变换'210 的自对应元素的参数111、两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应12、直线 2x1x2x30 上的三点A(1,3,1)，B(2,5,1)，C (1,2,0)的单比( ABC ) =1二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：x1 x3 0 与 x2' x3 0且'2'10。
由两线束的方程有：x1, 'x 2 。
x 3x 3将它们代入射影对应式并化简得，x 1x 2 2x 2 x 3 x 1 x 3 x 32 0此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。
（10 分）证明：三点形 ABC 和三点形 A B C 内接于二次曲线（ C ），设AB BC =D AB AC =EAB BC=DABAC= E ， 则 C (A,B,A,B)C(A,B,A,B)所 以 ，(A,D,E,B)C (A,B ,A,B)C(A,B ,A ,B)(E ,B ,A ,D )即 (A,D,E,B) (E ,B ,A ,D )这两个点列对应点的连线 AC ， C B ， C A ,BC 连同这两个点列的底AB ，A B 属于同一条二级曲线 （ C ），亦即三点形 ABC 和三点形 A B C 的边外切一条二次曲线。
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某高校《高等几何》期末考试试卷
(120分钟)
一、填空题(2分⨯12=24分)
1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ;
2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)
3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2
4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x
5、方程0652
2
2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=
x x x ,则原点的对应点 -3
1
7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212
322
21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x
8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1
9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b
10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应
12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1
二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:
130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有:1233
,'x x x x λλ=
=。
将它们代入射影对应式并化简得,
2
122313320x x x x x x x +-+=
此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。
(10分)
证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '
' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所
以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B
这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0,
17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。
(10分)
解:因为
1
7213
112---=0且1
5
01
7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。
四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(-
21,0),B(32,0),C(0,0),D(5
1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)=
)
2
151)(320()
32
51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12
1
→,0→2,所确定的对合方程。
(10分)
解 设所求为
a λλ'+b(λ+λ')+d=0
①
将对应参数代入得:
21a+(1+2
1
)b+d=0 ②
(0+2)b+d=0 ③ 从①②③中消去a,b,d 得
1
20123
211λλλλ'+'=0
即λλ'+λ+λ'-2=0为所求
六、求直线32163x x x +-=0关于212
2
212x x x x -++231x x -632x x =0之极点。
(12分) 解:设0p (0
30201,,x x x )为所求,则
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----031311111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡03020
1x x x =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡-613 解线性方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=--=-+-=+-6133020103020
10
30201x x x x x x x x
得即,1,1,30
30201-=-==x x x (3,-1,-1)为所求极点的坐标
七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。
(12分)
定理:内接于二阶曲线的简单六点形,三对对应边的交点在同一直线上。
证明:设简单六点形654321A A A A A A ,其三对对边的交点分别为L,M,N,
L= 21A A 54A A ,M=32A A 65A A ,N=43A A 16A A 以1A ,3A 为中心,分别连接其她四点,则由定理得到()65421A A A A A ∧()65423A A A A A
设P A A A A =5421 , Q A A A A =4365
则()65421A A A A A ∧()P A A L 54,,,()65423A A A A A ∧()65,,A A Q M
所以,()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M 由于两个点列底的交点5A →5A ,故有 ()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M
所以LM,Q A 4,5PA 三点共点,但Q A 4 5PA =N, 即L,M,N 三点共线。
八、用两种方法求双曲线042322
2
=-+-+y x xy y x 的渐近线方程。
(12分)
解:方法一
设渐近线的方程为
0)3
23
2
22
1
12
3
13
2
12
1
11
(=+++++x a x a x a k x a x a x a
根据公式得 01232=++-k k
解之,得31
,121-==k k ,所以渐近线方程为
0)23(1=--+++y x y x 与
0)23(3
1
1=---++y x y x
化简,得所求为
2x-2y-1=0 与2x+6y+5=0
方法二
先求出中心,因为
131=A ,332=A ,433-=A
所以中心为⎪⎭
⎫
⎝⎛--43,41C 代入公式得渐近线方程
03433434124
3412
2
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
++⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+y x y y x
分解因式得
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+41x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+43y =0
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+41x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+433y =0
化简,得所求为
2x-2y-1=0 与2x+6y+5=0。