2020年冀教版九年级数学上学期第25章 图形的相似单元检测卷及答案

第二十五章测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分) 1．下列长度的各组线段成比例的是( )A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，5cmC ．3cm ，4cm ，5cm ，6cmD ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm 2．若m ＋n n ＝52，则m n 等于( )A.52B.23C.25D.323．如图，可以判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A ．∠A ＝∠B ′＝∠C ′ B.AB A ′B ′＝AC A ′C ′且∠A ＝∠C ′ C.AB A ′B ′＝AC A ′C ′且∠A ＝∠A ′D ．以上条件都不对4．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )A ．1：4B ．1：2C ．2：1D ．4：15．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，AE ＝2，则AC 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．86．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩短后得到CD，则点C的坐标为()A．(2，1) B．(2，0)C．(3，3) D．(3，1)7．若线段AB＝5cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长为()A.5－52 B.35－52C.5－52或35－52 D.35－52或5＋528．如图，小东用长3.2 m的竹竿BE做测量工具测量学校旗杆CD的高度，移动竹竿BE，使竹竿BE、旗杆CD顶端的影子恰好落在地面的同一点A处．此时，竹竿BE与点A相距8 m，与旗杆CD相距22 m，则旗杆CD的高度为()A．12 m B．10 mC．8 m D．7 m9．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形是()10．如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的()A.19 B.29 C.13 D.4911．如图，在△ABC中，点D, E分别是边AC, AB的中点，BD与CE相交于点O, 连接DE.下列结论：①OEOB＝ODOC；②DEBC＝12；③S△DOES△BOC＝12；④S△DOE S△DBE＝13，其中正确的有()A．1个B．2 个C．3 个D．4个12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于()A．2 B．2.4C．2.5 D．2.2513．如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是()A．6米B．8米C．18米D．24米14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC等于()A．9∶4 B．9∶2C．3∶4 D．3∶215．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F 在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F 到BC的距离为()A．1 B．2C．12 2－6 D．6 2－616．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝13S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每题3分，共9分)17．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知ABAC＝13，则EFDE＝________.18．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC＝________．19．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分) 20．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．21．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，并求出△A2B2C2的面积．22．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD.(1)求证：△ABC～△ACD；(2)若AD＝2，AB＝5，求AC的长．23．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．24．如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFHD白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2∶1，且较长边在BC上，点H，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？25．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果点E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．请解答下列问题：(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？26．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E是CD的中点，求证：Q是CF的中点；(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．答案一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A7．C8．A 点拨：∵BE ∥CD ，∴△AEB ∽△ADC ，∴AE AD ＝BE CD ，即88＋22＝3.2CD ， 解得CD ＝12 m ．故旗杆CD 的高度为12 m ．故选A.9．D 10.C11．B 点拨：∵点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC 且DE BC ＝12，②正确； ∴∠ODE ＝∠OBC ，∠OED ＝∠OCB ，∴△ODE ∽△OBC ，∴OE OC ＝OD OB ＝DE BC ＝12，①错误； S △DOE S △BOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝14，③错误；∵S △DOE S △BOE ＝12OD ·h 12OB ·h ＝OD OB ＝12， ∴S △DOE S △DBE＝13，④正确．故选B. 12．B13．B 点拨：由题意知，∠APB ＝∠CPD .又∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ，∴AB CD ＝BP PD .∵AB ＝1.2米，BP ＝1.8米，PD ＝12米，∴CD ＝AB ·PD BP ＝1.2×121.8＝8(米)．故选B.14．D 点拨：方法1：∵∠ACB ＝90°，∠ADC ＝90°，又∠A 是公共角，∴Rt △ABC ∽Rt △ACD .∴AC AB ＝AD AC ，∴AC 2＝AD ·AB .∵∠ACB ＝90°，∠BDC ＝90°，又∠B 是公共角，∴Rt △ABC ∽Rt △CBD ，∴BC BD ＝AB BC ，∴BC 2＝BD ·AB .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD ＝94. ∴AC ∶BC ＝3∶2.方法2：易证△ACD ∽△CBD ，∴S △ACD S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2. 又∵CD ⊥AB ，∴S △ACD S △CBD ＝12AD ·CD 12BD ·CD ＝AD BD ＝94， ∴AC BC ＝32. 15．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交DG 于点N ，延长GF 交BC 于点H .∵AB ＝AC ，AD ＝AG ，∴AD ：AB ＝AG :AC .又∵∠BAC ＝∠DAG ，∴△ADG ∽△ABC .∴∠ADG ＝∠B .∴DG ∥BC .∴AN ⊥DG .∵四边形DEFG 是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，∴BM＝12BC＝6.∴AM＝AB2－BM2＝12 2.∵ANAM＝DGBC，即AN12 2＝612，∴AN＝6 2.∴MN＝AM－AN＝6 2.∴FH＝MN－GF＝6 2－6.故选D.16．D点拨：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴EM是AB边上的中线．∴EM＝12AB.∵点D，点N分别是BC，AC的中点，∴DN是△ABC的中位线．∴DN＝12AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确；由DN∥AB，易证△CDN∽△CBA.∴S△CNDS△CAB＝⎝⎛⎭⎪⎫DNAB2＝14.∴S△CND＝13S四边形ABDN.②正确；如图，连接DM，FN，则DM是△ABC的中位线，∴DM＝12AC，DM∥AC，∴四边形AMDN是平行四边形．∴∠AMD＝∠AND.易知∠ANF＝90°，∠AME＝90°，∴∠EMD＝∠DNF.∵FN是AC边上的中线，∴FN＝12AC.∴DM＝FN.又∵EM＝DN，∴△DEM≌△FDN.∴DE＝DF，∠FDN＝∠DEM.③正确；∵∠MDN＋∠AMD＝180°，∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°，∴DE⊥DF.④正确．故选D.二、17.218.1∶319.60 17三、20.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x∶7＝12∶6，解得x＝14.21．解：(1)如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．(2)如图，△A2B2C2就是所要画的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E，F.∵A (－1，2)，B (2，1)，C (4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2:1， ∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)．∴S △A 2B 2C 2＝12×(2＋8)×10－12×2×6－12×4×8＝28.22．(1)证明：∵∠ABC ＝∠ACD ，∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD .(2)解：由(1)知△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC .∵AD ＝2，AB ＝5，∴AC 2＝5AC， ∴AC ＝10(负值舍去)．23．解：由题意可得DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC .所以AD AB ＝DE BC ，即AD AD ＋DB＝DE BC . 因为AD ＝16 m ，BC ＝50 m ，DE ＝20 m ，所以1616＋DB ＝2050. 所以DB ＝24 m.答：这条河的宽度为24 m.24．解：如图，过点A 作AN ⊥BC 交HF 于点M ，交BC 于点N .∵∠BAC ＝90°，∴∠BNA ＝∠BAC ，BC ＝AB 2＋AC 2＝20(cm)．又∵∠B ＝∠B ，∴△ABN ∽△CBA ，∴AN AC ＝ABBC ，∴AN ＝AC ×AB BC ＝485(cm)．∵四边形EFHD 是矩形，∴HF ∥ED ，∴∠AHF ＝∠B ，∠AFM ＝∠C ，∴△AHF ∽△ABC ，∴AM AN ＝HFBC .设EF ＝x ，则MN ＝x ，由截出的矩形的长与宽的比为2∶1，可知HF ＝2x ，∴485－x485＝2x20，解得x ＝24049，∴2x ＝48049.故所截矩形的长为48049cm ，宽为24049cm.25．解：(1)由题意可知BE ＝2t ，CF ＝4t ，CE ＝12－2t .因为△CEF 是等腰直角三角形，∠ECF 是直角，所以CE ＝CF .所以12－2t ＝4t ，解得t ＝2.所以当t ＝2时，△CEF 是等腰直角三角形．(2)根据题意，可分为两种情况：①若△EFC ∽△ACD ，则EC AD ＝FCCD ，所以12－2t12＝4t24，解得t ＝3，即当t ＝3时，△EFC ∽△ACD ；②若△FEC ∽△ACD ，则FC AD ＝ECCD ，所以4t 12＝12－2t 24，解得t ＝1.2， 即当t ＝1.2时，△FEC ∽△ACD .因此，当t 为3或1.2时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似．26．(1)证明：由AD ＝DC ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF ，得△ADE ≌△DCF .(2)证明：因为四边形AEHG 是正方形，所以∠AEH ＝90°.所以∠QEC ＋∠AED ＝90°.又因为∠AED ＋∠EAD ＝90°，所以∠QEC ＝∠EAD .因为∠C ＝∠ADE ＝90°，所以△ECQ ∽△ADE .所以CQ DE ＝EC AD .因为E 是CD 的中点，CD ＝AD ，所以EC ＝DE ＝12AD . 所以EC AD ＝12. 因为DE ＝CF ，所以CQ DE ＝CQ CF ＝12， 即Q 是CF 的中点．(3)解：S 1＋S 2＝S 3成立．理由：因为△ECQ ∽△ADE ，所以CQ DE ＝QE AE .所以CQ CE ＝QE AE .因为∠C ＝∠AEQ ＝90°，所以△ECQ ∽△AEQ .所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE .所以S 1S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2，S 2S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2. 所以S 1S 3＋S 2S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2＝EQ 2＋AE 2AQ 2.在Rt △AEQ 中， 由勾股定理得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，S1 S3＋S2S3＝1，即S1＋S2＝S3.所以1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。