哈尔滨工程大学微积分
最新哈工大大一（下）工科数学分析期末考试知识点总结-刘星斯维提整理
最新哈工大大一（下）工科数学分析期末考试知识点总结-刘星斯维提整理1102002班工科数学分析（下）知识点整理人：刘星斯维提（1）：曲线积分：==<'+'=≤≤?==?)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f Lβαψ?ψ?βαψ?βα特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。
，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。
注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。
上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00),(),(00==+=+-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=+'+'=+?==y xdy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx yPx Q yPx Q G y x Q y x P G ydxxdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y Px Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D LD L D L LLLβαβαψψ??ψ?ψ?βα∑∑∑∑∑∑∑++=++±=±=±=++++=dsR Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx yzxyD D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(22γβα系：两类曲面积分之间的关号。
哈工程微积分自主考试试卷（有答案）
哈工程微积分自主考试试卷（有答案）班级：学号：姓名：装订线第1页共2页第2页共 2页高等数学A （一）自主考试参考答案及评分标准（2011.4.24）一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、解答：e 。
2、解答：dxx xxx x x x]sec)sin ln [(cos 2sin ++3、解答：1。
4、解答：π2。
5、解答：242ππ-。
二、选择题（每小题3分，共15分）：1，解答：C 2，解答：A 3、解答：B 。
4、解答：B 。
5、解答：B 。
三、计算题（每小题7分，共21分）： 1、解答：21)1(lim)1(11lim)1(11)1(011020)1ln(1lim )1ln(lim --+-+--+--+→-→===??-++=??+→→eeex x x x x xxx n xxx n e xxx n e x x n xx e x x xx xx ...........................................7分2、解答：t t f t f t f t t f dxdy ='''-''+'=)()()()(；...........................................3分)(122t f dxy d ''=。
...........................................4分3、解答：-dx x x x)1(arcsin cx x d x x d xx+==-=2)(arcsin arcsin arcsin2)(1arcsin2 ...........................................3分dx xx ?+2sin tan 1cx x x d xx dx x+=+=)tan tan (ln 21tan tan tan 121cos sintan 121++-dx xx x x x)2sin tan 1)1(arcsin (=c x x x +++)tan tan (ln 21)(arcsin2...........................................4分四、计算题（每小题8分，共32分）：1、解答：)0(f ''存在，)0(f '必存在且)(x f 在0=x 点必连续，从而)0()(lim 0f x f x =-→，即0=c ；又1)ln(1lim )0( ,)(lim)0(02=+='=++='+-→+→-xx f b xf x x ，故1=b ，且1)0(='f ；...........................................4分又axax xf x f f x x 21)12(lim )0()(lim)0(0=-+='-'=''--→→-，11lim )0()(lim )0(11-=-='-'=''+→→+++xxf x f f xx x ，故21-=a 。
哈尔滨工程大学数学上机实验
实验报告实验一：函数绘图实验1、实验目的利用数学软件绘制数学函数曲线及曲面，通过实验了解函数图形的绘制方法。
2、实验内容⑴在同一个图形中，绘制双曲线，以及的双曲线2条渐近线。
⑵在同一个图形中，绘制球面与锥面相交的曲面。
⑶自选题目：绘制一个或者多个平面图形、空间曲面图形。
3、程序设计及运行结果(1)>> x=-5:0.1:5;ezplot('x^2-y^2=1');y1=x;y2=-x;hold on;plot(xy1);hold on;plot(xy2);(2) >> x=-5:0.1:5;y=x;z=x;[xyz]=meshgrid(xyz);f1=x.^2+y.^2+z.^2-1;f2=x.^2+y.^2-z;p1=patch(isosurface(xyzf10));set(p1 'FaceColor' 'm');p2=patch(isosurface(xyzf20));set(p2 'FaceColor' 'w');(3)>> x=-5:0.1:5;y=x;z=x;[xyz]=meshgrid(xyz);f1=x.^2+y.^2+z.^2-9;f2=x.^2+y.^2-2*z;p1=patch(isosurface(xyzf10));set(p1 'FaceColor' 'm');p2=patch(isosurface(xyzf20));set(p2 'FaceColor' 'w');4、讨论与分析在本次试验中初步了解了matlab，学会了一些简单绘图，加深了对函数的理解为以后实验作个铺垫，由浅入深的了解matlab.实验二：微积分实验1、实验目的熟悉并了解使用数学软件，进行微积分问题计算的相关数学软件命令，让学生通过实验理解微积分，解决微积分计算上的问题。
全微分及其运用
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函 数在 D 内可微分.
下面我们讨论函数 z f ( x , y )在 P0 ( x0 , y0 )点的 可微性、可导性和连续性的关系.
dz f x ( x0 , y0 ) 定理 1(可微的必要条件) x
要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌 握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的 求法。会求隐函数的偏导数和全导数。
了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的
概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法 求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会 解一些简单应用题。
重点与难点
重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概
( 0 1 1, 0 2 1 )
－理学院工科数学教学中心－
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分
z f x ( x 0 1 x , y 0 y ) x f y ( x 0 , y 0 2 y ) y
为什么?
由于 f x ( x , y )在 P0 处连续, 故 f x ( x 0 1 x , y 0 y ) f x ( x 0 , y 0 ) ,
0( 0) ;
同理 f y ( x0 , y0 2 y ) f y ( x0 , y0 ) ,
0( 0).
于是，z [ f x ( x0 , y0 ) ]x [ f y ( x0 , y0 ) ]y
f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y (x y ).
[ f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 y )] [ f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )]
2-1复变函数的导数
5. { f [ g( z )]} f ( w) g( z ) 其中w g( z )
1 6. f ( z ) w f ( z ), z ( w )是两个 ( w ) 互为反函数的单值函数 .
若 w f ( z z 0 ) f ( z 0 ) Az o(| z |) (z 0)
称df ( z0 ) Az为函数f ( z )在z0处的微分， 或说函数在z0处可微。 若函数在点z0可微，则A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z f ( z0 )dz
u i v lim . x 0 x i y y 0
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数 与 积 分 变 换
当z沿平行于实轴的直线趋于0时， u i v u v f ( z0 ) lim i x 0 x x x
当z沿平行于虚轴的直线趋于0时， u i v v u f ( z0 ) lim i . y 0 i y y y
x 0 y k x
lim
k x x x (1 ki )
x 0
k 1 ki
随着k值不同，极限值也不同，故极限不存在 所以f ( z )在z 0处不可微.
为什么满足C-R方程，函数还 不可微（导）？ 因为C-R方程只是必要条件 常用u( x , y ), v ( x , y )是否有连续的偏导数 来代替是否可微
2
所以在复平面内是解析的；
f ( z ) x 2 yi在复平面内不可导， 所以复平面内是处处 不解析的；
微积分CAP_哈尔滨工业大学_11 第十一单元_1 第二十二讲、分部积分法
分部积分法[]()()()()()()f xg x f x g x f x g x'''=+由[]d()()()()()().f xg x f x g x x f x g x C''⇒+=+⎰——分部积分公式d d()()()()()().f xg x x f x g x f x g x x''⇒=-⎰⎰d d()()()()()().g x f x f x g x f x g x=-⎰⎰或分部积分法d ln x x ⎰例1.d ln ln x x x x=-⎰1d ln x x x xx=-⋅⎰d arctan x x ⎰例2.d arctan arctan x x x x=-⎰2d 1arctan xx x x x =-+⎰ln x x x C=-+()2211d 121arctan x x x x =-++⎰()2112arctan ln x x x C=-++典型的分部积分（i ） d d .g ff g f g =⋅-⎰⎰d ln x x ⎰例1.d arctan x x⎰例2.d d x x ⎰⎰1.，对数函数反三角函数，d d x x ⨯⨯⎰⎰2.，幂函数对数函数幂函数反三角函数，d arctan x x x ⎰例3.21d 2arctan x x =⎰22211d 221arctan x x x x x =-+⎰221111d 221arctan x x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰2111222arctan arctan x x x x C =-++d cos x x x ⎰例4.d sin x x =⎰()2211d 22cos sin x x x x x =-⋅-⎰sin cos x x x C=++d d x x ⨯⨯⎰⎰3.，幂函数三角函数幂函数指数函数，21d2cos x x =⎰d sin sin x x x x=-⎰d xx e x ⎰例5.d sin xe x x ⎰例6.d sin xx e =⎰d sin cos x xe x x e =-⎰移向，得d x ⨯⎰三角函数指数函数4.，d sin cos x xe x e x x =-⎰sin cos x x e x e x =-d sin x e x x -⎰()1d 2sin sin cos xx x e x x e x e x C =-+⎰⎛⎫ ⎪⎝⎭一个方向用两次分部积分变成方程再解典型的分部积分（ii ） d d .g ff g f g =⋅-⎰⎰()()()22d d 1113d 2cos sin nn nx x n x xax x n ≥+≥⎰⎰⎰5.，和1d cos n nI x x=⎰例1.2211d coscos n x x x-=⋅⎰21d tan cosn xx-=⎰()22d tan tan cos cos nn x x x x--=-⎰()()()122d tan sin cos sin cos cos nn x x n x x x x x --=---⎰()222d tan sin cos cos n nx x n x x x -=--⎰()()222tan cos n n n xn I I x--=---典型的分部积分()221d n n J x a x =+⎰例2.()()2222d nnxx a xa x -=-++⎰()()122222d n nxn x a x x xax --=+++⎰()()2122222d nn xx n xa x ax +=+++⎰()()()2122222212d nn n x a n x a x a x a x +⎛⎫ ⎪=+- ⎪+++⎝⎭⎰()212222n n nx nJ na J ax+=+-+()1n >11arctan x J a a⎛⎫= ⎪⎝⎭其他类型的分部积分（i ） d d .g ff g f g =⋅-⎰⎰不同类1.函数之积2d 1arcsin x x xx-⎰例1.()221d 121arcsin xx x =---⎰2d 1arcsin x x =--⎰()2211xxx ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝'--⎭=-222111d 1arcsin x x x xx=--+-⋅-⎰21arcsin x x x C=--++导数重2.复出现型d cos ln x x⎰例2.d cos ln cos ln x x x x=-⎰1d cos ln sin ln x x x x xx=+⋅⋅⎰d cos ln sin ln sin ln x x x x x x =+-⎰d cos ln sin ln cos ln x x x x x x =+-⎰移向，得()1d 2cos ln cos ln sin ln +x x x x x x C =+⎰含有“不可3.积函数”类型d sin cos ln x x x x x ⎛⎫+⋅⎪⎝⎭⎰例3.d d sin ln sin xx x x x =+⎰⎰22311sin ,,sin ,,,ln xx x ee x x x x x+例如d d sin sin sin ln x xx x x x x x=+-⎰⎰sin ln x x C=+规格严格 工夫到家 ~不定积分~ 其他类型的分部积分含有抽象4.函数的类型()d ()()()()f x g x f x g x x ''''-⎰例4.d d ()()()()f x g x x f x g x '''=-⎰⎰d d ()()()()()()f x g x x f x g x f x g x x '''''=-+⎰⎰d d ()()()()()()f xg x x f x g x f x g x ''''=-+⎰⎰d d ()()()()()()()()f x g x x f x g x f x g x g x f x x ''''''=-+-⎰⎰()()()()f x g x f x g x C''=-+。
哈尔滨工程大学工程算法课件06常微分方程的数值求解
欧拉法得： yn 1 yn hf xn , yn 因此，局部截断误差是 o h 2 。
19
2 改进Euler法
2.1方法构造
dy f x, y ，对其从 xk 到 xk 1 进 在微分方程初值问题 dx 行定积分得：
y xk 1 y xk
yk 1 是未知,待求的,未知量在 f x, y 中这是
一个方程,如f是非线性或超越函数,此方程是无法直接解出来(要 依靠迭代法才能解出)。这类格式称为隐式格式。
21
2.3 算例
y y x 例：用改进欧拉公式求解 , h 0.2 y 0 2 解： f x, y y x h yk 1 yk f xk , yk f xk 1 , yk 1 2 h h 1 2 y 2 x x y k 1 k 1 h k h k 1 1 2 2 可以从隐式格式中解出 yk 1 问题的精确解是 y x e x x 1
16
精确解为： y x 2 x
2
可以看出误差随着计算在积累。
17
1.4 Euler法的特点和误差
迭代格式 特点
1 单步方法：
yn 1 yn hf xn , yn n 0,1, 2,, N 1
2 显示格式： 3 局部截断误差为O h2
18
第六章 常微分方程数值解
§6.0 引言
§6.1 欧拉方法 §6.2 龙格-库塔方法
§6.3 单步法的收敛性和稳定性
§6.4 线性多步法
1
§6.0 引言
1 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题 的求解：
dy f x, y dx y x0 y0
复变函数--哈尔滨工程大学
在平面上取定直角坐标系， 点 P 一 对 实 数 (x, y)
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z x iy 平 面 上 的 点 P ( x , y )
所 以 复 数 z x iy 可 用 平 面 上 坐 标 为 ( x， y ) 的 点 P表 示 .
非 零 复 数 z的 指 数 表 示 式 :
z re
i
r
o
x
例1
哈 尔 滨 工 程 大 学
求 下 列 复 数 的 模 ,辐 角 及 辐 角 主 值 . 1) 1 i 2) 2i i1
例2
将下列复数化为三角表示式和指数表示式 1 )z 12 2i 2 ) z s in
课程基本介绍
研究对象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务
研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
主要内容
复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、
保形映射，积分变换等。
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是 实变函数在复数域内的推广和发展，它 们之间有许多相似之处。但又有不同之 处，在学习中要善于比较、区别、特别 要注意复数域上特有的那些性质与结果。
z1 z2
,(
z1 z2
)
例2 求
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1 i 1 i
4
例3
已 知 x iy ( 2 x 1 ) y i , 求 z x iy .
2
§2 复数的几何表示
哈 尔 滨 工 程 大 学
1. 点的表示 z x iy 复平面上的点P ( x，y )
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哈 尔
f
y
(
x0
,
y0
)表示曲面z
f (x, y)
滨 工 程
与平面x x0的交线在点P0的
z
z f (x, y)
大 学
切线对Oy轴的斜率.
z f (x, y)
S
2
:
x
x0
高 等 数 学
f tan
y M0
P0
•
O
•
M0 ( x0 , y0 )
y
T
x
❖ 高阶偏导数
哈 如果偏导函数 f (x, y) 和 f (x, y)的偏导数也
大
学 在空间直角坐标系Oxyz中, z f (x, y)表示一张曲面S.
高 等
用平面y y0去截曲面S,得交线为平面曲线 1,
数
学
1 :
z f (x, y)
y
y0
,
即z f ( x, y0 ).
从而, fx( x0 , y0 )表示曲线z f ( x, y0 )上点P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线对Ox轴的斜率.
第八章 多元函数微分法
哈
尔 滨
第二节 偏导数
工
程
大 学
学习要点
高 等
理解偏导数的概念
数
学
熟练掌握偏导数的计算
❖ 偏导数的定义
哈 设函数 z f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 点的某邻域 U (P0 )
尔 滨 工
内有定义 , 当y固定在y0，而x在x0处有增量x时,
程 大
相应地函数有增量
x2 y2 (x2 y2 )2
0.
❖ 可偏导与连续的关系
哈 [问题]: 二元函数f ( x, y)在点( x0 , y0 )偏导数存在,
尔 滨
f 在这点是否连续？
工
程 大
若f (x, y)在点( x0 , y0 )连续，f 在这点偏导数
学
是否存在？
高
等 数
二元函数在一点的连续性与可导性(两个偏导是
哈 尔 滨 工 程 大 学 高 等 数 学
x
z f (x, y)
z
z f (x, y)
1
:
y
y0
S • P0
O
•
M0(x0, y0 )
N
f tan
y x M0
fx( x0 , y0 )表示z f ( x, y) 与y y0的交线在P0处的 切线对Ox轴的斜率.
类似得f
y
(
x0
,
y0
)的几何意义.
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
学
高 等
若 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在,则称此极限
x0
x
数 学
为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x 的偏导数,
记为 :
fx( x0 , y0 ), z , x ( x0 , y0 )
学 否存在)没有关系!!!
对于多元函数f (P )而言,即使它在P0点的对各个自 变量的偏导数都存在,也不能保证f (P )在P0连续.
所谓曲面在M
0连续,
也就是
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
哈 尔 滨
记作
z y
，f y
，zy或f
y(
x
,
y).
工 程
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
大
学
如u=f(x, y, z) 在(x, y, z)处
高
等 数 学
f x( x ,
y, z)
lim
x0
f (x
x,
y, z) x
f (x,
y, z) ,
f y( x,
y, z)
lim
y0
f (x,
y y, z) y
y2 2
在点
M
(1,1,
3 2
)处的
滨
工 程
切线与 y轴正向的夹角 .
大
学
解 由偏导的几何意义,
高 等 数 学
tan z
d
(12
y2 )
1
y (1, 1) dy
2 y1
4
例3 验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程
哈 尔
zxx zyy 0.
滨 工 程 大
解
z
1 ln( x 2 2
尔 滨
x
y
工 程
存在,则称它们是f (x, y)的二阶偏导数,
大
学 f 关于x的二阶偏导数
高 等 数 学
z x x
2z x 2
zxx
fxx ( x, y),
f 关于y的二阶偏导数
y
z y
2z y2
zyy
f yy ( x, y);
f 先对x后对y的二阶混合偏导数
哈 尔 滨
y
z x
2z xy
zxy
fxy ( x, y),
工
程 大
f 先对y后对x的二阶混合偏导数
学
高 等 数
x
z y
2z yx
zyx
f yx ( x, y).
学
定理 : (混合偏导数定理)
如果函数 f ( x, y)的两个二阶混合偏导数fxy , f yx 连续, 那麽就有fxy f yx
例 1. 求z x2 3x y y2在点(1,2)处的偏导数.
z
或 f
x ( x0 , y0 )
x ( x0 , y0 )
同理可以定义函数z f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 处对于
y 的偏导数:
哈
尔 滨 工 程
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
大
学
记为 f y( x0 , y0 ), z , y ( x0 , y0 )
z y
或 f y
高
( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
等
数 学
如果函数z
f (x, y)在区域D内任意一点(x, y)处对
x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,
称为z f (x, y)对自变量x的偏导数,记作
z , f , x x
zx ,
fx(x, y)
函数z f (x, y)对自变量y的偏导数，
哈 尔 滨
2. 设z x y ,求 z 和 z . x y
工
程
大 学
3. u
z
y x
,
求ux
,
uy
,
uz
高
等 数
4. 设 z exy ,求二阶偏导数.
学
5. z f (x2 y2 ),求zxx 6.已知x y z 0,求 z y x
x z y
哈 尔
例2
求空间曲线
z
x2
x 1
y2 ),
z xΒιβλιοθήκη x2x y2
,
z y
x2
y
y2
;
学
2z (x2 y2) x2x y2 x2
高 等 数
x 2 ( x 2 y2 )2 ( x 2 y2 )2 ;
学
由 x, y 的对称性,
2z x2 y2 y2 ( x 2 y2 )2 ;
2z x 2
2z y2
y2 x2 (x2 y2 )2
f
(x,
y, z) ,
fz( x,
y, z)
lim
z0
f (x,
y, z z) z
f (x,
y, z) .
❖ 偏导数的几何意义
哈 尔
由于f x (
x0
,
y0
)
d dx
f ( x, y0 ) xx0 ,故只需弄清一元函数
滨
工 程
f ( x, y0 )的几何意义，就可以得到fx ( x0 , y0 )的几何意义.