[精品]2017-2018年吉林省延边二中高一(上)数学期中试卷与答案

2017-2018学年吉林省延边二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）1．（4分）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）2．（4分）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（x+2） B．C．D．3．（4分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，1）B．（﹣，+∞）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）4．（4分）下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转而成5．（4分）函数f（x）=e x+x﹣4的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）6．（4分）若函数y=a x+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0 C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜07．（4分）已知幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为（）A．3 B．2 C．2或3 D．﹣2或﹣38．（4分）若定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=e x，则f（1）+g（0）=（）A．B．C．D．9．（4分）能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．2＜x＜4 C．0＜x＜2或x＞4 D．x＜2或x＞410．（4分）某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是，其中N0，λ是正的常数，则当时，t=（）A．λln3 B．C．D．11．（4分）若函数在（﹣∞，0）上有最小值﹣4，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上（）A．有最小值5 B．有最小值6 C．有最大值6 D．有最大值512．（4分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则+的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）13．（4分）函数y=log a（x﹣1）+1（a＞1）的图象必过定点．14．（4分）已知函数f（x）=，若f（f（0））=4a，则实数a=．15．（4分）已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是．16．（4分）已知函数，g（x）=2x+a，若任意，都存在x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，22题为附加题，20分，请写出必要的解答过程）17．（10分）（1）求值（2）已知xlog32=1，求8x+4x的值．18．（10分）设全集为U=R，集合A={x|x≤﹣3或x≥6}，B={x|﹣2≤x≤14}（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知C={x|2a≤x≤a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．19．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＞m﹣2x恒成立，求实数m的范围．20．（12分）若f（x）是定义在R上的增函数，且对任意a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）+f（b），已知f（4）=2．（1）解不等式f（3x+1）﹣2＞f（x+3）；（2）若，求函数g（x）在x∈[1，2]时最值．21．（12分）设函数f（x）=log2x．（1）解不等式f（x﹣1）+f（x）＞1；（2）设函数g（x）=f（2x+1）+kx，若函数g（x）为偶函数，求实数k的值；（3）当x∈[t+2，t+3]时，是否存在实数t（其中0＜t＜1），使得不等式|f（）﹣f（x﹣3t）|≤1恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．（附加题）22．（20分）已知函数（x＞0），（1）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由（2）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域是[a，b]时，值域为[ma，mb]，（m≠0），求m的取值范围．2017-2018学年吉林省延边二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）1．（4分）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故选：B．2．（4分）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（x+2） B．C．D．【解答】解：A，y=ln（x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A正确；B，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除BC，在R上为减函数；排除CD，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D故选：A．3．（4分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，1）B．（﹣，+∞）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：．∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）．故选：A．4．（4分）下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转而成【解答】解：在 A 中，要加上：每相邻两个四边形的公共边互相平行，否则不是棱柱，故A错误；在B中，由棱柱的定义得：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故B正确；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故C错误；在D中，圆台可以由任意一个直角梯形绕其一直角边旋转而成，故D错误．故选：B．5．（4分）函数f（x）=e x+x﹣4的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：∵f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣2＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴有一个零点x0∈（1，2）．又函数f（x）单调递增，因此只有一个零点．故选：C．6．（4分）若函数y=a x+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0 C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜0【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b﹣1＜0，且0＜a＜1，∴0＜a＜1，且b＜0．故选C．故选：C．7．（4分）已知幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为（）A．3 B．2 C．2或3 D．﹣2或﹣3【解答】解：由题意，m2﹣5m+7=1，∴m=2或3m=2时，幂函数为y=x﹣2，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意；m=3时，幂函数为y=x3在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意故选：A．8．（4分）若定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=e x，则f（1）+g（0）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），∵定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足关系f（x）+g（x）=e x，①∴f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，∴﹣f（x）+g（x）=e﹣x，②联立①，②式可得f（x）=•（e x﹣e﹣x），g（x）=•（e x+e﹣x），∴f（1）=•（e﹣），g（0）=1，∴f（1）+g（0）=故选：C．9．（4分）能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．2＜x＜4 C．0＜x＜2或x＞4 D．x＜2或x＞4【解答】解：作出三个函数的图象如图：（红色为y=x2），当0＜x＜2时，y=log2x，y=x2，y=2x三个函数的图象依次从下到上排列，∴log2x＜x2＜2x，又当x=4时，42=24，∴y=x2，y=2x函数的图象在x=4时相交，根据这三个函数的图象可知，当x＞4时，log2x＜x2＜2x∴使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范是0＜x＜2，或x＞4，故选：C．10．（4分）某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是，其中N0，λ是正的常数，则当时，t=（）A．λln3 B．C．D．【解答】解：N=N0e﹣λt，∴=e﹣λt，∴﹣λt=ln，∴t=﹣ln，∵时，∴t=ln3，故选：D．11．（4分）若函数在（﹣∞，0）上有最小值﹣4，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上（）A．有最小值5 B．有最小值6 C．有最大值6 D．有最大值5【解答】解：令g（x）=ax3+，其定义域为R，又g（﹣x）=a（﹣x）3+=﹣[ax3+]=﹣g（x）所以g（x）是奇函数．由根据题意：函数在（﹣∞，0）上有最小值﹣4，所以函数g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，由函数g（x）在（0，+∞）上有最大值5，所以f（x）=g（x）+1在（0，+∞）上有最大值6．故选：C．12．（4分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则+的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]【解答】解：作出函数f（x）的图象，由图可知，x1+x2=﹣4，x3x4=1；当|log2x|=2时，x=4或x=，则1＜x4≤4故+=+=+x4，其在1＜x4≤4上是增函数，故﹣4+1＜+x4≤﹣1+4；即﹣3＜+x4≤3；即+的取值范围是（﹣3，3]，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）13．（4分）函数y=log a（x﹣1）+1（a＞1）的图象必过定点（2，1）．【解答】解：函数y=log a（x﹣1）+1（a＞1），则：令x﹣1=1，解得x=2，当x=2时y=1．故函数y=log a（x﹣1）+1（a＞1）的图象必过定点为（2，1）．故答案为：（2，1）．14．（4分）已知函数f（x）=，若f（f（0））=4a，则实数a=2．【解答】解：∵f（0）=2，∴f（f（0））=f（2）=4+2a=4a，所以a=2故答案为：2．15．（4分）已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（0，] ．【解答】解：∵函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则，求得，故答案为：（0，]．16．（4分）已知函数，g（x）=2x+a，若任意，都存在x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：任意，都存在x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），⇔f（x1）min≥[g（x2）]min，，x2∈[2，3]，对于函数，x∈，f′（x）=1﹣=＜0，因此函数f（x）在x∈上单调递减，∴f（x）min=f（1）=5．对于函数g（x）=2x+a，在x∈[2，3]单调递增，∴g（x）min=4+a．∴5≥4+a，解得a≤1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题（共5小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，22题为附加题，20分，请写出必要的解答过程）17．（10分）（1）求值（2）已知xlog32=1，求8x+4x的值．【解答】解：（1）原式=（lg2+lg5）2++=1++=．（2）xlog32=1，∴2x=3．∴8x+4x=（2x）3+（2x）2=33+32=36．18．（10分）设全集为U=R，集合A={x|x≤﹣3或x≥6}，B={x|﹣2≤x≤14}（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知C={x|2a≤x≤a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵全集为U=R，集合A={x|x≤﹣3或x≥6}，B={x|﹣2≤x≤14}．∴阴影部分表示的集合为（﹣∞，﹣3]∪（14，+∞）．（2）当2a＞a+1，即a＞1时，C=∅，成立；当2a=a+1，即a=1时，成立当2a＜a+1，即a＜1时，，得﹣1≤a＜1．综上所述，a的取值范围为[﹣1，+∞）．19．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＞m﹣2x恒成立，求实数m的范围．【解答】解：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∵f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣ax2﹣bx﹣c=2ax+a+b=2x恒成立．∴a=1，b=﹣1，又f（0）=c=1∴f（x）=x2﹣x+1；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞m﹣2x恒成立，即x2+x+1＞m恒成立，令g（x）=x2+x+1，对称轴∴，∴20．（12分）若f（x）是定义在R上的增函数，且对任意a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）+f（b），已知f（4）=2．（1）解不等式f（3x+1）﹣2＞f（x+3）；（2）若，求函数g（x）在x∈[1，2]时最值．【解答】解：（1）由f（4）=2．不等式f（3x+1）﹣2＞f（x+3）；可得f（3x+1）＞f（x+3）+f（4），∴f（3x+1）＞f（x+7）∵f（x）是定义在R上的增函数，∴3x+1＞x+7解得：x＞3．∴原不等式的解集为{x|x＞3}．（2）由f（4）=2，那么f（2+2）=f（2）+f（2）=2，即f（2）=1，∵，即g（x）+∴g（x）=2﹣．又g（x）在定义域上递增，∴g（x）在[1，2]上为增函数，∴最大值g（2）=﹣1，最小值g（1）=﹣4．21．（12分）设函数f（x）=log2x．（1）解不等式f（x﹣1）+f（x）＞1；（2）设函数g（x）=f（2x+1）+kx，若函数g（x）为偶函数，求实数k的值；（3）当x∈[t+2，t+3]时，是否存在实数t（其中0＜t＜1），使得不等式|f（）﹣f（x﹣3t）|≤1恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分（4分），第2小题满分（5分），第3小题满分（7分）．解（1）log2x+log2（x﹣1）＞2，可得：，解得x＞2（4分）（给出x＜﹣1或x＞2扣1分）（2）g（﹣x）=g（x），即，（5分）整理，得（2k+1）x=0，；（9分）（如g（﹣1）=g（1），，没有证明扣2分）（3）不等式|f（）﹣f（x﹣3t）|≤1恒成立，即，（11分）等价于恒成立，解，得，综上，不存在t符合题意．（16分）（附加题）22．（20分）已知函数（x＞0），（1）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由（2）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域是[a，b]时，值域为[ma，mb]，（m≠0），求m的取值范围．【解答】解：（1）假设存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，①当0＜a＜b≤1时，函数f（x）单调递减，由，可得a=b，不合题意；②当0＜a＜1＜b时，函数f（x）（a，1）单调递减，在（1，b）上单调递增，故f（x）min=f（1）=0，f（x）max=a＞0，不合题意；③当1≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调递增，且0＜f（x）＜1，与f（x）min=a ≥1矛盾．综上，不存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]；（2）依题意，m＞0，①当0＜a＜b≤1时，f（x）在[a，b]上单调递减，则，即，得a=b，与a＜b矛盾，舍去；②当0＜a＜1＜b时，f（x）min=0，f（x）max=ma＞0，不合题意；③当1≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调递增，则，即，故方程，即mx2﹣x+1=0存在两个大于1的实数根，满足，得0．综上，m的取值范围是（0，）．。